2022年華科版《勾股定理的逆定理》公開課教案

第1課時勾股定理的逆定理1．掌握勾股定理的逆定理，并能進行簡單應(yīng)用；(難點)2．理解勾股數(shù)的定義，探索常用勾股數(shù)的規(guī)律．(重點)一、情境導(dǎo)入據(jù)說幾千年前的古埃及人就已經(jīng)知道，在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個結(jié)，然后用釘子將第1個與第13個結(jié)釘在一起，拉緊繩子，再在第4個和第8個結(jié)處各釘上一個釘子，這樣圍成的三角形中最長邊所對的角就是直角，你知道為什么嗎？二、合作探究探究點一：勾股定理的逆定理【類型一】利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形判斷滿足以下條件的三角形是否是直角三角形．(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；(3)△ABC的三邊長a、b、c滿足(a＋b)(a－b)＝c2.解析：(1)兩角可以求出另外一個角；(2)使用勾股定理的逆定理驗證；(3)將式子變形即可使用勾股定理的逆定理驗證．解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形；(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．方法總結(jié)：在運用勾股定理的逆定理時，要特別注意找到最大邊，定理描述的是最大邊的平方等于另外兩邊的平方和．【類型二】利用勾股定理的逆定理求角的度數(shù)如圖，點P為等邊△ABC內(nèi)一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．解析：根據(jù)條件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA2＋PB2＝PC2，但PA、PB、PC不在同一個三角形中，可構(gòu)造邊長分別為3、4、5的直角三角形來解決問題．解：在△ABC所在的平面內(nèi)，以A為頂點，AC為邊在△ABC外作∠DAC＝∠PAB，且AD＝AP.連接DC，PD，那么△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB＝∠ADC.因為PA＝AD，∠PAD＝∠BAC＝60°，所以△APD為等邊三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因為DC＝BP＝4，PC＝5，且PD2＋DC2＝32＋42＝52＝PC2，所以△PDC為直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB＝∠ADC＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形．把長度分別為3、4、5的線段轉(zhuǎn)化為同一個三角形的三邊，利用勾股定理的逆定理判斷此三角形是直角三角形，進而求出角度．【類型三】利用勾股定理的逆定理解決面積問題如以下圖，AD是△ABC邊BC上的中線，BC＝10cm，AC＝4cm，AD＝3cm，求S△ABC.解析：由△DAC的三邊長，易判定該三角形是直角三角形，再由面積公式求出DC邊上的高，進而可求△ABC的面積，也可根據(jù)中線等分三角形面積求解．解：過點A作AE⊥BC交BC于點E.∵AD是△ABC的中線，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．∵CD2＝52＝25，AD2＋AC2＝32＋42＝25，∴AD2＋AC2＝CD2，∴△DAC是直角三角形．∵S△ADC＝eq\f(1,2)AD·AC＝eq\f(1,2)DC·AE，∴AE＝eq\f(AD·AC,DC)＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)(cm)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×10×eq\f(12,5)＝12(cm2)．方法總結(jié)：先用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再用面積法求AE的長，進而求出△ABC的面積．還可先求出S△ADC，再由AD是中線，得S△ABD＝S△ADC，即S△ABC＝2S△ADC，從而得解．【類型四】利用勾股定理的逆定理證垂直如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC＝5，BD＝12，兩底AD、BC的和為13.求證：AC⊥BD.解析：由于兩底的和，且對角線長度，應(yīng)先將對角線平移，再尋找解題途徑，由勾股定理的逆定理可以判定DB⊥DE，從而證明AC⊥BD.證明：過D作DE∥AC交BC的延長線于E點．又∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形．∴DE＝AC＝5，CE＝AD.在△BDE中，BD＝12，DE＝5，BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝13，且52＋122＝132，DE2＋BD2＝BE2，∴△BDE為直角三角形，即∴∠BDE＝90°，那么DE⊥BD.又∵DE∥AC，∴AC⊥BD.方法總結(jié)：利用三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判定直角三角形，從而推出兩線的垂直關(guān)系．探究點二：勾股數(shù)以下幾組數(shù)中是勾股數(shù)的是________(填序號)．①32，42，52；②9，40，41；③eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)；④，1.2，1.5.解析：第①組不符合勾股數(shù)的定義，不是勾股數(shù)；第③④組不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)；只有第②組的9，40，41是勾股數(shù)．故填②.方法總結(jié)：判斷勾股數(shù)的方法：必須滿足兩個條件：一要符合等式a2＋b2＝c2；二要都是正整數(shù)．三、板書設(shè)計本節(jié)課采用以學(xué)生為主體，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學(xué)實驗，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知水平，最大限度地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生動手、觀察、分析、猜測、驗證、推理的能力，切實使學(xué)生在獲取知識的過程中得到能力的培養(yǎng).第2課時比例線段1．知道線段的比的概念，會計算兩條線段的比；(重點)2．理解成比例線段的概念；(重點)3．掌握成比例線段的判定方法．(難點)一、情境導(dǎo)入請觀察以下幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對觀察到的圖片特點進行歸納嗎？這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形．它們之所以大小不同，是因為它們圖上對應(yīng)的線段的長度不同．二、合作探究探究點一：線段的比【類型一】根據(jù)線段的比求長度如下列圖，M為線段AB上一點，AM∶MB＝3∶5，且AB＝16cm，求線段AM、BM的長度．解：線段AM與MB的比反映了這兩條線段在全線段AB中所占的份數(shù)，由AM∶MB＝3∶5可知AM＝eq\f(3,8)AB，MB＝eq\f(5,8)AB.∵AB＝16cm，∴AM＝eq\f(3,8)×16＝6(cm)，MB＝eq\f(5,8)×16＝10(cm)．方法總結(jié)：此題也可設(shè)AM＝3k，MB＝5k，利用3k＋5k＝16求解更簡便，這也是解這類題常用的方法．【類型二】比例尺在比例尺為1∶50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是3cm，那么甲、乙兩地的實際距離是________m.解析：根據(jù)“比例尺＝eq\f(圖上距離,實際距離)〞可求解．設(shè)甲、乙兩地的實際距離為xcm，那么有1∶50000＝3∶x，解得x＝150000cm＝1500m.方法總結(jié)：理解比例尺的意義，注意實際尺寸的單位要進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化．探究點二：成比例線段【類型一】判斷線段成比例以下四組線段中，是成比例線段的是()A．3cm，4cm，5cm，6cmB．4cm，8cm，3cm，5cmC．5cm，15cm，2cm，6cmD．8cm，4cm，1cm，3cm解析：將每組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，前兩條線段的比和后兩條線段的比相等的四條線段成比例．四個選項中，只有C項排列后有eq\f(2,5)＝eq\f(6,15).應(yīng)選C.方法總結(jié)：判斷四條線段是否成比例的方法：(1)把四條線段按從小到大順序排好，計算前兩條線段的比和后兩條線段的比，看是否相等作出判斷；(2)把四條線段按從小到大順序排好，計算前后兩個數(shù)的積與中間兩個數(shù)的積，看是否相等作出判斷．【類型二】由線段成比例求線段的長三條線段的長分別為1cm，eq\r(2)cm，2cm，請你再給出一條線段，使得它的長與前面三條線段的長能夠組成一個比例式．解：因為此題中沒有明確告知是求1，eq\r(2)，2的第四比例項，因此所添加的線段長可能是前三個數(shù)的第四比例項，也可能不是前三個數(shù)的第四比例項，因此應(yīng)進行分類討論．設(shè)要求的線段長為x，假設(shè)x∶1＝eq\r(2)∶2，那么x＝eq\f(\r(2),2)；假設(shè)1∶x＝eq\r(2)∶2，那么x＝eq\r(2)；假設(shè)1∶eq\r(2)＝x∶2，那么x＝eq\r(2)；假設(shè)1∶eq\r(2)＝2∶x，那么x＝2eq\r(2).所以所添加的數(shù)有三種可能，可以是eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，或2eq\r(2).方法總結(jié)：假設(shè)使四個數(shù)成比例，那么應(yīng)滿足其中兩個數(shù)的比等于另外兩個數(shù)的比，也可轉(zhuǎn)化為其中兩個數(shù)的乘積恰好等于另外兩個數(shù)的乘積．三、板書設(shè)計eq\a\vs4\al(比,例,線,段)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段,AB，CD的長度分別是m，n，那么這兩,條線段的比就是它們長度的比，,即AB