31空間向量及其運算

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算(一)教學(xué)目標：㈠知識目標：1.空間向量；2.相等的向量；3.空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律；㈡能力目標：1.理解空間向量的概念，掌握其表示方法；會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律；能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題.㈢德育目標：學(xué)會用發(fā)展的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發(fā)展、進化的，會用聯(lián)系的觀點看待事物.教學(xué)重點：空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律.教學(xué)難點：應(yīng)用向量解決立體幾何問題.教學(xué)方法：討論式.教學(xué)過程：復(fù)習(xí)引入［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有：用有向線段表示；用字母a、b等表示；用有向線段的起點與終點字母：A廠.［師］數(shù)學(xué)上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學(xué)們回憶一下.［生］長度相等且方向相同的向量叫相等向量.［師］學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運算：|扃|=|4||a|當A>0時，扃與a同向；當A<0時，癡與a反向；當A=0時，扃=0.［師］關(guān)于向量的以上幾種運算，請同學(xué)們回憶一下，有哪些運算律呢?［生］向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運算律

加法交換律：a^b=b^a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)數(shù)乘分配律：X(a+b)=^a+Xb［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運算的運算率，并進行一些簡單的應(yīng)用.請同學(xué)們閱讀課本尸26?尸27.新課講授［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量.例如空間的一個平移就是一個向量.那么我們怎樣表示空間向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？_［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量.［師］由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的.空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示.因此我們說空間任意兩個向量是共面的.［師］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？乘向［生］空間向量的加法、減法、數(shù)量的定義與平面向量的運算一樣：乘向OB=OA+AB=a+b，AB=OB-OA(指向被減向量)，OP=勿(人eR)［師］空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運算律呢？請大家驗證這些運算律.即:［生］空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運算律：即:⑴加法交換律：a+b=b+a；⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(課件驗證)⑶數(shù)乘分配律：4(a+b)=Aa+Xb.［師］空間向量加法的運算律要注意以下幾點：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量.即：AA+AA+AA+…+AA=AA122334n-1n1n因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量.⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量.AA+AA+AA+…+AA+AA=0122334n-1nn1⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則.例1已知平行六面體ABCD-AB'C'D(如圖)，化簡下列向量表達式，并標出化簡結(jié)果的向量：AB‘+BC；1—一：⑵AB+AD+AA；⑶AB+AD+~CC1—（4）3（AB+AD+AA'）.說明：平行四邊形ABCD平移向量a到ABCD的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體.記作ABCD—A’B’C’D’.平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱.解：（見課本p27）說明：由第2小題可知，始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣.鞏固練習(xí)課本P92練習(xí)W.教學(xué)反思平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移.關(guān)于向量算式的化簡，要注意解題格式、步驟和方法.V.課后作業(yè)1.課本鼎1、2、預(yù)習(xí)課本P92?P96,預(yù)習(xí)提綱：⑴怎樣的向量叫做共線向量？⑵兩個向量共線的充要條件是什么？⑶空間中點在直線上的充要條件是什么？⑷什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？⑸怎樣的向量叫做共面向量？⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？⑺空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？板書設(shè)計：§9.5空間向量及其運算（一）一、平面向量復(fù)習(xí)二、空間向量三、例11.定義及表示方法1.定義及表示2.加減與數(shù)乘運算2.加減與數(shù)乘向量小結(jié)3.運算律3.運算律教學(xué)后記:

空間向量及其運算（2）一、課題：空間向量及其運算（2）二、教學(xué)目標：1.理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點的向量公式.三、教學(xué)重、難點：共線、共面定理及其應(yīng)用.四、教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：空間向量的概念及表示；（二）新課講解：共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行TOC\o"1-5"\h\z—>—>向量。讀作：a平行于b，記作：a//b.共線向量定理：\o"CurrentDocument"—————對空間任意兩個向量a,b（b。0）,a//b的充要條件是存在實數(shù)X，使a=xb（人唯一）.推論：如果i為經(jīng)過已知點A，且平行于已知向量a的直線，那么對任一點O，點P在直線1上—>—的充要條件是存在實數(shù)，，滿足等式OP=OA+tAB①，其中向量a叫做直線l的方向向量。在l\o"CurrentDocument"——?————上取AB=或則①式可化為OP=OA+tAB或OP=(1-1)OA+tOB②當t=1時，點P是線段AB的中點，此時OP=^（OA+OB）③①和②都叫空間直線的向量參數(shù)方程，③是線段AB的中點公式.向量與平面平行：已知平面a和向量a，作OA=a—，如果直線OA平行于a或在a內(nèi)，那么我們說向量a平行于平面a，記作：a//a.通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.說明：空間任意的兩向量都是共面的.共面向量定理：——————如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實數(shù)x,j使p=xa+yb推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y，使———————MP=xMAryM或?qū)臻g任一點O，有OP=OM+xMA+yMB①上面①式叫做平面MAB的向量表達式.（三）例題分析：例1.已知A,B,C三點不共線，對平面外任一點，滿足條件OP=5OA+2OB+2OC，

試判斷：點P與A,B,C是否一定共面?TOC\o"1-5"\h\z>?>>解：由題意：5OP=OA+2OB+2OC,\o"CurrentDocument"??????(OP-OA)=2(OB-OP)+2(OC-OP),>?>>>>AP=2PB+2PC，即PA=-2PB—2PC,所以，點P與A,B,C共面.說明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當?shù)某湟獥l件形式，然后對照形式將已知條件進行轉(zhuǎn)化運算.TOC\o"1-5"\h\z????【練習(xí)】:對空間任一點O和不共線的三點A,B,C，問滿足向量式OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1)的四點P,A,B,C是否共面?解：?.?OP=(1-z-y)OA+yOB+zOC，??????OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA)，???AP=yAB+zAC，.點P與點A,B,C共面.例2.已知°ABCD，從平面AC外一點O引向量?^?^????OE=kOA,OF=KOB,OG=kOC,OH=kOD，求證：四點E,F,G,H共面；平面AC//平面EG.>>>解：（1）..?四邊形ABCD是平行四邊形，AC=AB+AD，>>>EG=OG-OE，>>>>>>>=k-OC-k-OA=k(OC-OA)=kAC=k(AB+AD)>?>?>>>>=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EHE,F,G,H共面；?????????.?EF=OF-OE=k(OB-OA)=k-AB，又EG=k-AC，EF//AB,EG//AC吳江市高級中學(xué)所以，平面AC//平面EG.五、課堂練習(xí)：課本第96頁練習(xí)第1、2、3題.六、課堂小結(jié)：1.共線向量定理和共面向量定理及其推論；2.空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點向量公式.七、作業(yè)：TOC\o"1-5"\h\z???????????已知兩個非零向量e,e不共線，如果AB=e+e,AC=2e+8e,AD=3e-3e,\o"CurrentDocument"12121212求證：A,B,C,D共面.\o"CurrentDocument"—?—>-*■已知涉=3m一2n一4p,b=(x+1)尻+8n+2yp,a豐0，若a//b，求實數(shù)x,y的值。3.如圖，E,F,G,H分別為正方體AC的棱AB,AD,BC,DC的中點，111111111求證：(1)E,F,D,B四點共面；(2)平面AEF//平面BDHG.4.已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點，4.用向量法證明：E,F,G,H四點共面;用向量法證明：BD//平面EFGH.3.1.3.空間向量的數(shù)量積(1)教學(xué)目標：1.掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2.掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題。教學(xué)重、難點：空間數(shù)量積的計算方法、幾何意義、立體幾何問題的轉(zhuǎn)化。教具準備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神.教學(xué)過程學(xué)生探究過程：(一)復(fù)習(xí)：空間向量基本定理及其推論；(二)新課講解：空間向量的夾角及其表示：TOC\o"1-5"\h\z—???—?—?已知兩非零向量a,b，在空間任取一點。，作OA=a,OB=b，則ZAOB叫做向量a與b————————的夾角，記作<a,b>；且規(guī)定0<<a,b><n，顯然有<a,b>=<b,a>；-如兀~如-如若<a,b>=—，則稱a與b互相垂直，記作：a1b；向量的模：>設(shè)OA=a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：IaI；向量的數(shù)量積:—A—A—A—A已知向量a,b，則IaI-1bI-cos<a,b>叫做a,b的數(shù)量積，記—A—?—?—?作a-b，即a-b=IaI-1bI?cos<a,b>.已知向量AB=a和軸1，—是1上與1同方向的單位向量，作點A在1上的射影A'，作點B在1上的射影B，則2叫做向量:AB在軸1上或在—上的正射影；可以證明禎的長度IA'B'=IABIcos<~a二e>=1a—e.I空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：a-—=IaIcos<a,e>.——a1boa-b=0.I—12=—-a.空間向量數(shù)量積運算律：(Xa)-b=X(a-b)=a-(kb).——a-b=b-a(交換律).a-(b+—)=a-b+a-—(分配律).(三)例題分析：例1.用向量方法證明：直線和平面垂直的判定定理。?—?—?—：.OA-?—?—?—：.OA-BC=OA-AC-OA-AB————————=1OAI-1ACI-cos<OA,AC>-IOAI-1ABI-cos<OA,AB>=8x4xcos135。一8x6xcos120。=24-16*2OACOACB吳江市高級中學(xué)已知：m,n是平面a內(nèi)的兩條相交直線，直線l與平面a的交點為B，且11m,l1n求證：11a.證明：在a內(nèi)作不與m,n重合的任一直線g,在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，?丁m,n相交，.?.向量m,n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對3,V），使g=xm+yn，/^/-~7IIIII//:.l-g=xl-m+yl-n，又l-m=0,l-n=0，/n.g■/:.l-g=0，?l1g，?11g所以，直線l垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即得11a.例2.已知空間四邊形ABCD中，AB1CD，AC1BD，求證：AD1BC.TOC\o"1-5"\h\z??????證明：(法一)ad-BC=(AB+BD)-(AC-AB)??????=AB-AC+BD-AC-AB2-AB-BD??????=AB-(AC-AB-BD)=AB-DC=0.?—??—??—?(法二)選取一組基底，設(shè)AB=a,AC=b,AD=c——————————————?/AB1CD，.：a-(c一b)=0，即a-c=b-a，————————同理：a-b=b-c，，————：.a-c=b-c，————————：.c-(b-a)=0，:AD-BC=0，即AD1BC.說明：用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量運算取計算或證明。例3.如圖，在空間四邊形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，ZOAC=45。，^OAB=60。，求OA與BC的夾角的余弦值?！猓築C=AC—AB，————————AI-1ACI-cos<OA,AC>-IOAI-1ABI-cos<OA,AB>x4xcos135。-8x6xcos120。=24-16*2K7?OA-BC24-16<23-2還TOC\o"1-5"\h\z<OA,BC>===，IOAI-1BCI8x55所以，OA與BC的夾角的余弦值為3一2".——?—說明：由圖形知向量的夾角時易出錯，如<OA,AC>=135。易錯寫成<OA,AC>=45。，切記!鞏固練習(xí)：課本第99頁練習(xí)第1、2、3題。教學(xué)反思：空間向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)。作業(yè)：課本第106頁第3、4題補充：————————————————1.已知向量a1b，向量c與a,b的夾角都是60。，且IaI=1,IbI=2,IcI=3，試求：(1)(a+b)2；(2)(a+2b—c)2；(3)(3a—2b)-(b—3c).I三」向量的數(shù)量積（2）一、教學(xué)目標：①向量的數(shù)量積運算I三」向量的數(shù)量積（2）二、教學(xué)重點：①向量的數(shù)量積運算②利用向量的數(shù)量積運算判定垂直、求模、求角三、教學(xué)方法：練習(xí)法，糾錯法，歸納法四、教學(xué)過程：考點一：向量的數(shù)量積運算（一）、知識要點：1）定義：①設(shè)<a,b>=0，則aUb=（9的范圍為）②設(shè)a=（x,y），b=（x,y）則O^b=。1122注：①aUb不能寫成ab，或axb②aUb的結(jié)果為一個數(shù)值。2）投影：b在a方向上的投影為。3）向量數(shù)量積運算律：????①aUb=ba②（人aJb=人（aUb）=a［（kb）③（a+b此=a宣+bC注：①沒有結(jié)合律（aub）uC=au（bac）二）例題講練TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"———————————，——1、下列命題：①若a[b=0，則a，b中至少一個為0②若a豐0且a[b=aQs，則b=c———————————③（aUb）Uc=aQbUc）④（3a+2b）R3a-2b）=9a2-4b2中正確有個數(shù)為（）\o"CurrentDocument"A.0個B.1個C.2個D.3個2、已知AABC中，A，B，C所對的邊為a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,則1BCUCA=?！?、若a，b，c滿足a+b+c=0，且a=3,b=|1c=，4則————————————aU+U+U?=。4、已知a=b=2，且a與b的夾角為—，則a+b在a上的投影為3考點二：向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用一）、知識要點：①a1boaub=0（用于判定垂直問題）

②a（用于求模運算問題）③cos0=苫匕（用于求角運算問題）二）例題講練1、已知a=2，b=3，且a與b的夾角為?，c=3a+2b②a（用于求模運算問題）③cos0=苫匕（用于求角運算問題）二）例題講練1、已知a=2，b=3，且a與b的夾角為?，c=3a+2b，d=ma一b，求當m為何值時c1d2、已知a=1，b=1，3a—2b=3，貝U3a+b=3、已知a和b是非零向量，且a=b=a—b，求a與a+b的夾角4、已知a=4，b=2，且a和b不共線，求使a+Xb與a—Xb的夾角是銳角時人的取值范圍鞏固練習(xí)1、已知云和廠是兩個單位向量，

129A.-8B.-2夾角為-，則(云-廠)0(—37+27)等于(31212C.—5D.822、已知云和廠是兩個單位向量，12夾角為1，則下面向量中與27—云垂直的是（321-C.e1-D.e2A.e+eB.e—e12123、在AABC中，設(shè)AB=a，BC=b，CA=c，若a(a+b)<0，則AABC()（A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）無法判定4、已知a和b是非零向量，且a+3b與7a—5b垂直，a—4b與7a—2b垂直，求a與b的夾角。5、已知oA、oB、oC是非零的單位向量，且oA+oB+oC=0，求證：AABC為正三角形。3.1.5空間向量運算的坐標表示課題向量的坐標教學(xué)目的要求理解空間向量與有序數(shù)組之間的1-1對應(yīng)關(guān)系掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐標表示主要內(nèi)容與時間分配投影與投影定理25分鐘分向量與向量的坐標30分鐘3?模與方向余弦的坐標表示35分鐘重點難點投影定理分向量方向余弦的坐標表示教學(xué)方法和手段啟發(fā)式教學(xué)法，使用電子教案一、向量在軸上的投影幾個概念(1)軸上有向線段的值：設(shè)有一軸^,AB是軸/上的有向線段，如果數(shù)人滿足”=\a^,且當AB與軸“同向時人是正的，當AB與軸明反向時人是負的，那么數(shù)人叫做軸〃上有向線段AB的值，記做AB,即人=AB。設(shè)。是與u軸同方向的單位向量，則AB=腥(2)設(shè)A、B、C是u軸上任意三點，不論三點的相互位置如何，總有AC=AB+BC(3)兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個非零向量"和b,任取空間一點。，作OA=a，OB=b，規(guī)定不超過兀的^AOB稱為向量a和b的夾角，記為球)空間一點A在軸U上的投影：通過點A作軸U的垂直平面，該平面與軸U的交點A'叫做點A在軸U上的投影。向量AB在軸U上的投影：設(shè)已知向量AB的起點A和終點B在軸U上的投影分別為點A，和B，那么軸U上的有向線段的值A(chǔ)，B'叫做向量AB在軸U上的投影，記做Prj^B。投影定理性質(zhì)1:向量在軸U上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角中的余弦：PrjAB=ABcos中性質(zhì)2:兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和，即Prj(a1+a2)=Prja1+Prja性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即Prj(ka)=XPrjau二、向量在坐標系上的分向量與向量的坐標向量在坐標系上的分向量與向量的坐標通過坐標法，使平面上或空間的點與有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。設(shè)a=MM是以M(x,y,z)為起點、TOC\o"1-5"\h\z121111M2(%，J2，z2)為終點的向量，八j、k分別表示圖7—5沿x,y,z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標系的基本單位向量，由圖7—5,并應(yīng)用向量的加法規(guī)則知：MM=(x-x)i+(y-y)j+(z-z)k12212121或a=a，xi+ayj+ak上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。有序數(shù)組a、a、a與向量a一一對應(yīng)，向量a在三條坐標軸上的投影a、a、a就叫做向xyzxyz量a的坐標，并記為a={a,a,a}。上式叫做向量a的坐標表示式。于是，起點為M(x,y,z)終點為M(x,y,z)的向量可以表示為11112222MM={x一x,y一y,z一z}12212121特別地，點M(x,y,z)對于原點O的向徑OM={x,y,z}注意：向量在坐標軸上的分向量與向量在坐標軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別