名校新學(xué)案高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課后作業(yè)133函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(含答案詳析)

選修2-2第一章1.3一、選擇題1．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分別是()A．12；－8B．1；－8C．12；－15D．5；－16[答案]A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2時y＝1；x＝－1時y＝12；x＝1時y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.應(yīng)選A.2．(2014·京東城區(qū)聯(lián)考北)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù)B．在(1,3)上f(x)是減函數(shù)C．在(4,5)上f(x)是增函數(shù)D．當(dāng)x＝4時，f(x)取極大值[答案]C[解析]由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象知，f(x)在(－2,1)上先減后增，在(1,3)上先增后減，在(4,5)上單調(diào)遞加，x＝4是f(x)的極小值點，故A、B、D錯誤，選C.3．(2014安·徽程集中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f′(x)＞f(x)，則()A．f(2)<e2f(0)B．f(2)≤e2f(0)C．f(2)＝e2f(0)D．f(2)>e2f(0)[答案]D2f2f0[解析]所給四個選項實質(zhì)是比較f(2)與ef(0)的大小，即比較e2與e0的大小，故構(gòu)造函數(shù)F(x)＝fxx解決．efxf′x－fx[解析]設(shè)F(x)＝ex，則F′(x)＝ex>0，∴F(x)在R上為增函數(shù)，故F(2)>F(0)，f2f0∴e2>e0，即f(2)>e2f(0)．4．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為()A．293B．292323C．9D．8[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝3∈[0,1]，3∵f3＝23，f(0)＝f(1)＝0.39∴f(x)max＝239.5．(2014河·南淇縣一中模擬)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝eax＋3x，x∈R有大于零的極值點，則()A．a(chǎn)>－3B．a(chǎn)<－311C．a(chǎn)>－3D．a(chǎn)<－3[答案]B[解析]ax＋3，由條件知，方程aeax＋3＝0有大于零的實數(shù)根，∴0<－3y′＝aea<1，∴a<－3.6．(2014開·灤二中期中)若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是()A．(0,1)B．(－∞，1)1C．(0，＋∞)D．(0，2)[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，∴在(0,1)內(nèi)存在點x0，使得在(0，x00,內(nèi)f′(x)>0，由f′(x)＝0得，)內(nèi)f′(x)<0，在(x1)x2＝2b>0，b>01∴2b<1，∴0<b<2.7．(2014撫·順市六校聯(lián)合體期中)已知R上可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象以下列圖，則不等式2(x－2x－3)f′(x)>0的解集為()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]由f(x)的圖象知，在(－∞，－1)上f′(x)>0，在(－1,1)上f′(x)<0，在(1，＋)上f′(x)>0，又x2－2x－3>0的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集為(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集為(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．二、填空題x在點(1,1)處的切線為l，則l上的點到圓x2＋y28．(2014三·亞市一中月考)曲線y＝2x－1＋4x＋3＝0上的點的近來距離是________．[答案]22－1[解析]y′|x＝1＝－1x＝1＝－1，∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，2x－12|圓心(－2,0)到直線的距離d＝22，圓的半徑r＝1，∴所求近來距離為22－1.9．已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處取極大值，則常數(shù)c的值為________．[答案]6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.當(dāng)c＝2時，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2處獲取極小值，不合題意舍去；當(dāng)c＝6時，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2處獲取極大值．三、解答題10．(2014淄·博市臨淄中學(xué)學(xué)分認(rèn)定考試)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲線y＝f(x)在點P(1，f(1))處的切線方程為y＝3x＋1.(1)求a、b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．[解析](1)依題意可知點P(1，f(1))為切點，代入切線方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切線y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，a＋b＝－2，a＝2，由解得2a＋b＝0.b＝－4，∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝23或x＝－2.當(dāng)x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況以下表：x－3(－3，－2)－2(－2，2)2(2，1)1333f′(x)＋0－0＋f(x)8增極大值減極小值增4295∴f(x)的極大值為f(－2)＝13，極小值為f(3)＝27，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13.一、選擇題11．函數(shù)f(x)＝x4－4x(|x|<1)()A．有最大值，無最小值B．有最大值，也有最小值C．無最大值，有最小值D．既無最大值，也無最小值[答案]D[解析]f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得

x＝1.又

x∈(－1,1)且

1?(－1,1)，∴該方程無解，故函數(shù)f(x)在(－1,1)上既無極值也無最值．應(yīng)選D.12．(2013?！さ韰^(qū)高二期中)函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象以下列圖，則導(dǎo)函數(shù)＝f′(x)的圖象可能為()

y[答案]

C[解析]

由圖象知，

f(x)在x<0時，圖象增→減→增，x>0時，單調(diào)遞加，故

f′(x)在x<0時，其值為＋→－→＋，在

x>0時為＋，應(yīng)選

C.13．若函數(shù)

f(x)＝x3－12x在區(qū)間

(k1k1)

k(

)A．k≤－3或－1≤k≤1或

k≥3

B．－3<k<－1或

1<k<3C．－2<k<2

D．不存在這樣的實數(shù)[答案]

B[解析]

由于

y′＝3x2－12，由

y′>0得函數(shù)的增區(qū)間是

(－∞，－2)和(2，＋∞)，由

y′<0得函數(shù)的減區(qū)間是

(－2,2)，由于函數(shù)在

(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以有

k－1<－2<k＋1或

k－1<2<k＋1，解得－

3<k<－1或

1<k<3，應(yīng)選

B.14．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間A．[3，＋∞)C．(－3，＋∞)

[1，＋∞

)上是增函數(shù)，則實數(shù)B．[－3，＋∞)D．(－∞，－3)

a的取值范圍是

(

)[答案]

B[解析]

∵f(x)＝x3＋ax－2

在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴

f

′(x)＝3x2＋a≥0

在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，∴a≥－3，故應(yīng)選B.二、填空題15．(2013蘇·州五中高二期中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)＝0，當(dāng)x>0時，有xf′x－fx>0，則不等式x2f(x)>0的解集是________．x2[答案](－1,0)∪(1，＋∞)fx[解析]令g(x)＝x(x≠0)，∵x>0時，xf′x－fx2>0，x∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集為(1，＋∞)，∵f(x)為奇函數(shù)，∴g(x)為偶函數(shù)，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集為(－1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)．三、解答題16．(2013

陜·西師大附中一模

)設(shè)函數(shù)

f(x)＝ex－kx2－x.2(1)若k＝0，求f(x)的最小值；(2)若k＝1，談?wù)摵瘮?shù)f(x)的單調(diào)性．[解析](1)k＝0時，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)減小，在(0，＋∞)上單調(diào)增加，故f(x)的最小值為f(0)＝1.x12(2)若k＝1，則f(x)＝e－2x－x，定義域為R.∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1，由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞加，由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.所以f(x)在R上單調(diào)遞加．17．(2014沈·陽市模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.(1)若x＝1時，函數(shù)f(x)獲取極值，求函數(shù)f(x)的圖像在x＝－1處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(12，1)內(nèi)不只一，求實數(shù)a的取值范圍．[解析](1)f′(x)＝3x2＋2ax＋1，由f′(1)＝0，得a＝－2，∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1，當(dāng)x＝－1時，y＝－3，即切點(－1，－3)，k＝f′(x0)＝3x20－4x0＋1令x0＝－1得k＝8，∴切線方程為8x－y＋5＝0.112(2)f(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)不只一，即f′(x)＝0在