可靠性工程之可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性課件

回顧復(fù)習(xí)維修度M(τ)對(duì)可修產(chǎn)品在發(fā)生故障或失效后，在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間（0,τ）內(nèi)完成修復(fù)的概率。修復(fù)率μ(τ)修理時(shí)間已達(dá)到某個(gè)時(shí)刻但尚未修復(fù)的產(chǎn)品，在該時(shí)刻后的單位時(shí)間內(nèi)完成修復(fù)的概率。有效度A(t)可維修產(chǎn)品在某時(shí)刻t具有或維持其功能的概率。回顧復(fù)習(xí)維修度M(τ)第三章可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性3.1馬爾可夫過(guò)程3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率3.4單部件可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)第三章可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性3.1馬爾可夫過(guò)程引言

可修復(fù)系統(tǒng)的組成單元發(fā)生故障后，經(jīng)過(guò)修理可以使系統(tǒng)恢復(fù)至正常工作狀態(tài)，如下圖所示。如果工作時(shí)間和修復(fù)時(shí)間都服從指數(shù)分布，就可以借助馬爾可夫過(guò)程來(lái)描述。引言 可修復(fù)系統(tǒng)的組成單元發(fā)生故障后，經(jīng)過(guò)修理可以使系統(tǒng)恢3.1馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫過(guò)程定義 馬爾可夫過(guò)程是一類“后效性”的隨機(jī)過(guò)程。簡(jiǎn)單地說(shuō)，在這種過(guò)程中系統(tǒng)將來(lái)的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)?；蛘哒f(shuō)，若已知系統(tǒng)在t0時(shí)刻所處的狀態(tài)，那么t>t0時(shí)的狀態(tài)僅與時(shí)刻t0的狀態(tài)有關(guān)。3.1馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫過(guò)程定義3.1馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫過(guò)程的數(shù)學(xué)描述

設(shè){x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。若對(duì)任意n個(gè)時(shí)刻點(diǎn)0≤t1<t2<…<tn均有: P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1}

=P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1}i1,i2,…,in∈E

則稱{x(t),t≥0}為離散狀態(tài)空間E上連續(xù)時(shí)間馬爾可夫過(guò)程。

3.1馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫過(guò)程的數(shù)學(xué)描述3.1馬爾可夫過(guò)程齊次馬爾可夫過(guò)程 如果對(duì)任意t,u≥0,均有

P{x(t+u)=j|x(u)=i}=Pij(t)i,j∈E

與始點(diǎn)u無(wú)關(guān)，則稱該馬爾可夫過(guò)程是齊次的。 3.1馬爾可夫過(guò)程齊次馬爾可夫過(guò)程或者，齊次馬爾可夫過(guò)程如果馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)或轉(zhuǎn)移概率密度,只與轉(zhuǎn)移前后的狀態(tài)及相應(yīng)的二個(gè)時(shí)刻的時(shí)間差有關(guān)，而與二個(gè)時(shí)刻無(wú)關(guān)，即

F(x2;t2|x1;t1)=F(x2|x1;t2-t1)

f(x2;t2|x1;t1)=f(x2|x1;t2-t1)稱具有這種特性的馬爾可夫過(guò)程為齊次馬爾可夫過(guò)程。或者，齊次馬爾可夫過(guò)程3.1馬爾可夫過(guò)程齊次馬氏過(guò)程的性質(zhì) 可以證明，對(duì)系統(tǒng)壽命以及故障后的修復(fù)時(shí)間均服從指數(shù)分布時(shí)，則系統(tǒng)狀態(tài)變化的隨機(jī)過(guò)程{x(t),t≥0}是一個(gè)齊次馬爾可夫過(guò)程。(2)式中對(duì)j求和,是對(duì)狀態(tài)空間I的所有可能狀態(tài)進(jìn)行的

3.1馬爾可夫過(guò)程齊次馬氏過(guò)程的性質(zhì)3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程轉(zhuǎn)移矩陣

Pij(t)稱為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移函數(shù)，由轉(zhuǎn)移函數(shù)的全體組成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣。如對(duì)n個(gè)狀態(tài)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為n×n階方陣，可寫(xiě)為：

性質(zhì)（2）說(shuō)明一步轉(zhuǎn)移概率矩陣中任一行元素之和為1.通常稱滿足(1)、(2)性質(zhì)的矩陣為隨機(jī)矩陣.3.1馬爾可夫過(guò)程轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)（2）說(shuō)明一步轉(zhuǎn)移概3.1馬爾可夫過(guò)程三條假設(shè)，為常數(shù)(即壽命和維修時(shí)間服從指數(shù)分布)部件和系統(tǒng)取正常和故障兩種狀態(tài)。在相當(dāng)小的t內(nèi)，發(fā)生兩個(gè)或兩個(gè)以上部件同時(shí)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率是t的高階無(wú)窮小，此概率可以忽略不計(jì)。3.1馬爾可夫過(guò)程三條假設(shè)3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程

3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例1

如一臺(tái)機(jī)器，運(yùn)行到某一時(shí)刻t時(shí)，可能的狀態(tài)為：e1－正常；e2－故障。如機(jī)器處于e1狀態(tài)的概率P11=4/5,則e1向e2轉(zhuǎn)移的概率P12=1－P11=1/5；反過(guò)程，如機(jī)器處于e2狀態(tài)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的修復(fù)返回e1狀態(tài)的概率是3/5，P21=3/5(維修度M());則修不好仍處于e2狀態(tài)的概率是P22=1－P21=2/5.3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例13.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫(xiě)出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為:轉(zhuǎn)移矩陣Pij也表示事件ei

發(fā)生的條件下，事件ej發(fā)生的條件概率：Pij=P(ej|ei)；矩陣P:行是起始狀態(tài)，由小到大；列是到達(dá)狀態(tài)，由小到大排列，建立P時(shí)應(yīng)與轉(zhuǎn)移圖聯(lián)系起來(lái)。3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫(xiě)出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為:3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例2

對(duì)于一可修系統(tǒng)，失效率和修復(fù)率λ、μ為常數(shù)，試畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：

e1——正常；e2——故障。3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例23.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫(xiě)出：

通常令Δt=1,則有由此可知，狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖是求解(寫(xiě)出)轉(zhuǎn)移矩陣的基礎(chǔ)。此時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣P也稱為微系數(shù)矩陣3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫(xiě)出：此時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣P也稱為微系數(shù)矩陣馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率例排隊(duì)模型設(shè)服務(wù)系統(tǒng),由一個(gè)服務(wù)員和只可能容納兩個(gè)人的等候室組成.服務(wù)規(guī)則:先到先服務(wù),后來(lái)者需在等候室依次排隊(duì).假定需要服務(wù)的顧客到達(dá)系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)已有3個(gè)顧客(1個(gè)在接受服務(wù),2個(gè)在等候室排隊(duì)),則該顧客即離去.設(shè)時(shí)間間隔Δt內(nèi)有一個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率為q,有一原來(lái)被服務(wù)的顧客離開(kāi)系統(tǒng)(即服務(wù)完畢)的概率為p.又設(shè)當(dāng)Δt充分小,在時(shí)間間隔內(nèi)多于一個(gè)顧客進(jìn)入或離開(kāi)系統(tǒng)實(shí)際上是不可能的等候室服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)離去者隨機(jī)到達(dá)者馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率例排隊(duì)模型等候室服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)離去者隨馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率再設(shè)有無(wú)顧客來(lái)到與服務(wù)是否完畢是相互獨(dú)立的.如何用馬氏鏈描述這一服務(wù)系統(tǒng)?

設(shè)Xn≡X(nΔt),表示時(shí)間nΔt時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)。則{Xn,n=0,1,2,…}是隨機(jī)過(guò)程,狀態(tài)空間I={0,1,2,3}.由于當(dāng)Xn=i,i∈I已知時(shí),Xn+1所處的狀態(tài)概率分布只與Xn=i有關(guān),而與時(shí)間nΔt以前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān),所以該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)齊次馬氏鏈.怎樣計(jì)算此馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率?記p00:在系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的條件下,經(jīng)Δt后仍無(wú)顧客的概率,p00=1-q.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率再設(shè)有無(wú)顧客來(lái)到與服務(wù)是否完畢是相馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p01:在系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的條件下,經(jīng)Δt后有一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率,p01=q.p10:系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客正在接受服務(wù)的條件下,經(jīng)Δt后系統(tǒng)內(nèi)無(wú)人進(jìn)入的概率,等于在Δt間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢而離去,且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率,p10=p(1-q).p11:系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客的條件下,在Δt間隔內(nèi),因服務(wù)完畢而離去,而另一顧客進(jìn)入系統(tǒng),或者正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù),且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率,p11=pq+(1-p)(1-q).馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p01:在系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的條件馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p12:正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù),且另一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率,p12=q(1-p).p13:正在接受服務(wù)的顧客繼續(xù)要求服務(wù),且在Δt間隔內(nèi)有兩個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率.由假設(shè)這種情況是不可能發(fā)生的,p13=0.系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務(wù),有一顧客在排隊(duì),在Δt間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢離去,無(wú)顧客進(jìn)入;以及系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務(wù),有兩顧客正在排隊(duì),在Δt間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢離去,再無(wú)顧客進(jìn)入的概率相等,故有p21=p32=p(1-q).馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p12:正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)內(nèi)有2顧客,其中一人接受服務(wù),在Δt間隔內(nèi),因服務(wù)完畢而離去,而另一顧客進(jìn)入系統(tǒng),或者正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù),且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率為:p22=pq+(1-p)(1-q).系統(tǒng)內(nèi)有2顧客,正在接受服務(wù)的顧客繼續(xù)要求服務(wù),且另一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率為:p23=q(1-p)，且當(dāng)|i-j|≥2時(shí),pij=0.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)內(nèi)有2顧客,其中一人接受服務(wù),馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p33:系統(tǒng)內(nèi)有三位顧客,或者一人將離去另一人將進(jìn)入系統(tǒng);或者無(wú)人離開(kāi)的概率,p33=pq+(1-p).于是得該馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣:P=.0123

(1-q)q00p(1-q)pq+(1-p)(1-q)q(1-p)00p(1-q)pq+(1-p)(1-q)q(1-p)00p(1-q)pq+(1-p)0123馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p33:系統(tǒng)內(nèi)有三位顧客,或者一馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

p11p12…p1n…p21p22

…p2n

……

…

…

…

…pn1pn2

…pnn

……

…

…

…

…P=馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

p11p12…p1n…Markov過(guò)程

Markov過(guò)程

C-K方程

C-K方程

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)是的概率，由切普曼—柯?tīng)柲缏宸蚍匠?，可表示為?/p>

式中n=k+l,vE(狀態(tài)空間)

此式為由狀態(tài)i經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，等于由狀態(tài)i先經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)v，然后由狀態(tài)v經(jīng)l步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率(此處v也可理解為從i到j(luò)的通道)。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)是3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率上式中，若令k=1,l=1,由可決定，即由全部一步轉(zhuǎn)移概率可確定全部?jī)刹睫D(zhuǎn)移概率。若重復(fù)上述方法，就可由全部一步轉(zhuǎn)移概率決定所有的轉(zhuǎn)移概率。若用矩陣表示n步轉(zhuǎn)移概率，即，則有：轉(zhuǎn)移矩陣

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率上式中，若令k=1,l=1,3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

一般地，可利用轉(zhuǎn)移概率和系統(tǒng)的初始狀態(tài)，求出任意轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率。公式如下：

式中

P－1步轉(zhuǎn)移概率；－n步轉(zhuǎn)移概率；n－轉(zhuǎn)移步數(shù)(次數(shù))；P(0)－系統(tǒng)初始狀態(tài)向量，P(0)=[P1(0),P2(0)…]Pi(0)－初始t=0時(shí)刻系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率P(n)－n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)所處狀態(tài)向量，P(n)=[P1(n),P2(n),…]Pi(n)－n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率一般地，可利用轉(zhuǎn)移概率和系3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率例：如下圖，已知P(0)=[P1(0),P2(0)]=[1,0],求n=1,2,…等各步(次)轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率。圖中e1——正常；e2——故障。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率例：如下圖，已知P(0)=[3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：依次求得n=1，n=2，n=3，n=5時(shí)的狀態(tài)矩陣

由此可知，隨著n的遞增，P1(n)、

P2(n)逐漸趨于穩(wěn)定。穩(wěn)定狀態(tài)概率稱為極限概率。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：依次求得n=1，n=23.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率本例n時(shí)的極限概率為P1()=4/9,P2()=5/9,即n時(shí)，將收斂于一個(gè)定概率矩陣，即(本例為)：

在實(shí)踐中常會(huì)遇到這樣的情況，不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，在經(jīng)歷了一段工作時(shí)間后，便會(huì)處于相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)，在數(shù)學(xué)上稱之為各態(tài)歷經(jīng)或遍歷性。所謂遍歷過(guò)程就是系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的概率與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。具有這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱為遍歷矩陣。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率本例n時(shí)的極限概率為P13.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率如果轉(zhuǎn)移矩陣P經(jīng)過(guò)n次相乘后，所得矩陣的全部元素都大于0,即(i,jE),(注：常以此為判斷馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楦鲬B(tài)歷經(jīng)的或是否存在極限概率)，則這樣的轉(zhuǎn)移矩陣都是遍歷矩陣。遍歷矩陣一定存在極限概率(或穩(wěn)定狀態(tài))。經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后的極限狀態(tài)，就是過(guò)程的平穩(wěn)狀態(tài)，即使再多轉(zhuǎn)移一步，狀態(tài)概率也不會(huì)有變化，可以求出平穩(wěn)狀態(tài)。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率如果轉(zhuǎn)移矩陣P經(jīng)過(guò)n次相乘后3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設(shè)平穩(wěn)狀態(tài)概率為P(n)=[P1,P2…Pn],P為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，則求平穩(wěn)狀態(tài)概率，只需求解以下方程：

或?qū)懗桑?.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設(shè)平穩(wěn)狀態(tài)概率為P(n)=[3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

展開(kāi)后得：

(j=1,2,…n)

（n個(gè)方程只有n-1個(gè)是獨(dú)立的，因此必須再加另一個(gè)獨(dú)立方程。）由此即可求出n個(gè)平穩(wěn)狀態(tài)概率。

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率展開(kāi)后得：3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

例：求如圖所示系統(tǒng)的平穩(wěn)狀態(tài)概率。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率例：求如圖所示系統(tǒng)的平穩(wěn)狀3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：一步轉(zhuǎn)移矩陣為:

設(shè)P(n)=[P0

P1]，則

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：一步轉(zhuǎn)移矩陣為:3.4單部件可修系統(tǒng)單部件系統(tǒng)是指一個(gè)單元組成的系統(tǒng)(或把整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)作一個(gè)單元來(lái)研究)，部件故障，則系統(tǒng)故障；部件正常，則系統(tǒng)正常。3.4單部件可修系統(tǒng)單部件系統(tǒng)是指一個(gè)單元組成的系統(tǒng)(或把3.4單部件可修系統(tǒng)部件的失效率、修復(fù)率分別是常數(shù)λ、μ，則：t時(shí)刻系統(tǒng)處于工作(正常工作)狀態(tài)，在t→t+Δt之間內(nèi)發(fā)生故障的條件概率為λΔt(即為)t時(shí)刻系統(tǒng)處于故障狀態(tài)，在t→t+Δt之間即Δt時(shí)間內(nèi)修復(fù)好的條件概率為μΔt(即為)3.4單部件可修系統(tǒng)部件的失效率、修復(fù)率分別是常數(shù)λ、μ，3.4單部件可修系統(tǒng)

單部件可修系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.4單部件可修系統(tǒng)單部件可修系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.4單部件可修系統(tǒng)上圖中:同理:條件概率3.4單部件可修系統(tǒng)上圖中:條件概率3.4單部件可修系統(tǒng)上圖的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:3.4單部件可修系統(tǒng)上圖的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:3.4單部件可修系統(tǒng)令下面研究如何求解和首先，利用全概率公式可求出和的表達(dá)式3.4單部件可修系統(tǒng)令3.4單部件可修系統(tǒng)——此即為的計(jì)算公式3.4單部件可修系統(tǒng)——此即為3.4單部件可修系統(tǒng)由上式展開(kāi)、移項(xiàng)、兩邊除以若令取極限有：

(1)3.4單部件可修系統(tǒng)由上式展開(kāi)、移項(xiàng)、兩邊除以3.4單部件可修系統(tǒng)同理可得：

(2)(1)、(2)聯(lián)立即可求出和。(1)、(2)的聯(lián)立方程稱為狀態(tài)方程3.4單部件可修系統(tǒng)同理可得：3.4單部件可修系統(tǒng)下邊求解狀態(tài)方程對(duì)上述(1)、(2)兩邊取拉氏變換：3.4單部件可修系統(tǒng)下邊求解狀態(tài)方程3.4單部件可修系統(tǒng)假設(shè)t=0時(shí)系統(tǒng)為正常狀態(tài)，即，。代入上式3.4單部件可修系統(tǒng)假設(shè)t=0時(shí)系統(tǒng)為正常狀態(tài)，即3.4單部件可修系統(tǒng)拉氏反變換：3.4單部件可修系統(tǒng)拉氏反變換：3.4單部件可修系統(tǒng)由此瞬態(tài)有效度(可用度)：穩(wěn)態(tài)有效度：平均有效度：(0,t)3.4單部件可修系統(tǒng)由此瞬態(tài)有效度(可用度)：3.4單部件可修系統(tǒng)由上述可歸納出解可修系統(tǒng)有效度的方法步驟如下：(1)畫(huà)出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖(2)寫(xiě)出轉(zhuǎn)移矩陣(3)令，求出P(也稱為轉(zhuǎn)移矩陣)(4)求狀態(tài)方程系數(shù)矩陣AA=P-I（I為與P同階的單位矩陣，A又稱為轉(zhuǎn)移率矩陣）3.4單部件可修系統(tǒng)由上述可歸納出解可修系統(tǒng)有效度的方法步3.4單部件可修系統(tǒng)(5)寫(xiě)出狀態(tài)方程式式中為各狀態(tài)概率向量為各狀態(tài)概率導(dǎo)數(shù)向量

(6)求解狀態(tài)方程通常要給定初始狀態(tài)，且常用拉氏變換及反變換求解法。3.4單部件可修系統(tǒng)(5)寫(xiě)出狀態(tài)方程式3.4單部件可修系統(tǒng)如上例：3.4單部件可修系統(tǒng)如上例：3.4單部件可修系統(tǒng)得狀態(tài)方程與前述一致以下即可用拉氏變換法等求解方程3.4單部件可修系統(tǒng)得狀態(tài)方程3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個(gè)相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)每個(gè)單元：λ、μ為常數(shù)兩種狀態(tài)：狀態(tài)0：n個(gè)單元全正常，系統(tǒng)正常狀態(tài)狀態(tài)1：任一單元故障，系統(tǒng)故障狀態(tài)因?yàn)槿我粏卧收?，系統(tǒng)即停止工作(不會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)及以上單元同時(shí)故障的情況)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個(gè)相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個(gè)相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個(gè)相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)用前述方法：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)用前述方法：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)狀態(tài)方程：初始條件：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)狀態(tài)方程：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)用拉氏變換與反變換可解出：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)用拉氏變換與反變換可解出：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個(gè)不同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)有n+1個(gè)狀態(tài)：狀態(tài)0：n個(gè)單元均正常，系統(tǒng)正常狀態(tài)狀態(tài)1：?jiǎn)卧?故障，其余正常，系統(tǒng)故障狀態(tài)2：?jiǎn)卧?故障，其余正常，系統(tǒng)故障┋┋┋┋狀態(tài)n：?jiǎn)卧猲故障，其余正常，系統(tǒng)故障3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個(gè)不同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)A=P-I3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)A=P-I3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)給定初始條件，(用拉氏正、反變換)解此方程組即可求得：(瞬態(tài))有效度：穩(wěn)態(tài)有效度：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)給定初始條件，(用拉氏正、反變換)解此方3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)兩個(gè)相同單元的并聯(lián)系統(tǒng)(一組維修人員)

系統(tǒng)有3種狀態(tài)(λ、μ)0狀態(tài)—兩個(gè)單元都正常，系統(tǒng)正常

1狀態(tài)—任意一個(gè)單元故障，系統(tǒng)正常

2狀態(tài)—兩個(gè)單元都故障，系統(tǒng)故障3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)兩個(gè)相同單元的并聯(lián)系統(tǒng)(一組維修人員)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)13.6并聯(lián)可修系統(tǒng)13.6并聯(lián)可修系統(tǒng)

3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)∴狀態(tài)方程為：3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)∴狀態(tài)方程為：假定t=0時(shí)系統(tǒng)為0態(tài)，則有初始條件P0(0)=1,P1(0)=0,P2(0)=0,用拉普拉斯變換得方程組(s+2)P0(s)-P1(s)=1-2P0(s)+(s+)P1(s)-2P2(s)

=0-P1(s)+（s+2)P2(s)=0假定t=0時(shí)系統(tǒng)為0態(tài)，則有初始條件P0(0)=1,P1(3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)給定初始條件，解此方程組可得：P0=?P1=?P2=?3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)給定初始條件，解此方程組可得：P0=3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)兩個(gè)不同單元并聯(lián)系統(tǒng)(一組維修人員)

共5個(gè)狀態(tài)：狀態(tài)0—單元1、2都正常，系統(tǒng)正常狀態(tài)1—單元1正常，單元2故障，系統(tǒng)正常狀態(tài)2—單元2正常，單元1故障，系統(tǒng)正常狀態(tài)3—單元1修理，單元2待修，系統(tǒng)故障狀態(tài)4—單元2修理，單元1待修，系統(tǒng)故障3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)兩個(gè)不同單元并聯(lián)系統(tǒng)(一組維修人員)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)狀態(tài)方程：3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)可靠性工程之可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性課件可靠性工程之可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性課件3.6并聯(lián)系統(tǒng)可用度模型3.6并聯(lián)系統(tǒng)可用度模型表決系統(tǒng)可用度模型表決系統(tǒng)可用度模型旁聯(lián)系統(tǒng)可用度模型旁聯(lián)系統(tǒng)可用度模型可靠性工程之可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性課件可靠性工程之可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性課件回顧復(fù)習(xí)維修度M(τ)對(duì)可修產(chǎn)品在發(fā)生故障或失效后，在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間（0,τ）內(nèi)完成修復(fù)的概率。修復(fù)率μ(τ)修理時(shí)間已達(dá)到某個(gè)時(shí)刻但尚未修復(fù)的產(chǎn)品，在該時(shí)刻后的單位時(shí)間內(nèi)完成修復(fù)的概率。有效度A(t)可維修產(chǎn)品在某時(shí)刻t具有或維持其功能的概率?；仡檹?fù)習(xí)維修度M(τ)第三章可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性3.1馬爾可夫過(guò)程3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率3.4單部件可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)第三章可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性3.1馬爾可夫過(guò)程引言

可修復(fù)系統(tǒng)的組成單元發(fā)生故障后，經(jīng)過(guò)修理可以使系統(tǒng)恢復(fù)至正常工作狀態(tài)，如下圖所示。如果工作時(shí)間和修復(fù)時(shí)間都服從指數(shù)分布，就可以借助馬爾可夫過(guò)程來(lái)描述。引言 可修復(fù)系統(tǒng)的組成單元發(fā)生故障后，經(jīng)過(guò)修理可以使系統(tǒng)恢3.1馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫過(guò)程定義 馬爾可夫過(guò)程是一類“后效性”的隨機(jī)過(guò)程。簡(jiǎn)單地說(shuō)，在這種過(guò)程中系統(tǒng)將來(lái)的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)?；蛘哒f(shuō)，若已知系統(tǒng)在t0時(shí)刻所處的狀態(tài)，那么t>t0時(shí)的狀態(tài)僅與時(shí)刻t0的狀態(tài)有關(guān)。3.1馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫過(guò)程定義3.1馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫過(guò)程的數(shù)學(xué)描述

設(shè){x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。若對(duì)任意n個(gè)時(shí)刻點(diǎn)0≤t1<t2<…<tn均有: P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1}

=P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1}i1,i2,…,in∈E

則稱{x(t),t≥0}為離散狀態(tài)空間E上連續(xù)時(shí)間馬爾可夫過(guò)程。

3.1馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫過(guò)程的數(shù)學(xué)描述3.1馬爾可夫過(guò)程齊次馬爾可夫過(guò)程 如果對(duì)任意t,u≥0,均有

P{x(t+u)=j|x(u)=i}=Pij(t)i,j∈E

與始點(diǎn)u無(wú)關(guān)，則稱該馬爾可夫過(guò)程是齊次的。 3.1馬爾可夫過(guò)程齊次馬爾可夫過(guò)程或者，齊次馬爾可夫過(guò)程如果馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)或轉(zhuǎn)移概率密度,只與轉(zhuǎn)移前后的狀態(tài)及相應(yīng)的二個(gè)時(shí)刻的時(shí)間差有關(guān)，而與二個(gè)時(shí)刻無(wú)關(guān)，即

F(x2;t2|x1;t1)=F(x2|x1;t2-t1)

f(x2;t2|x1;t1)=f(x2|x1;t2-t1)稱具有這種特性的馬爾可夫過(guò)程為齊次馬爾可夫過(guò)程?；蛘?，齊次馬爾可夫過(guò)程3.1馬爾可夫過(guò)程齊次馬氏過(guò)程的性質(zhì) 可以證明，對(duì)系統(tǒng)壽命以及故障后的修復(fù)時(shí)間均服從指數(shù)分布時(shí)，則系統(tǒng)狀態(tài)變化的隨機(jī)過(guò)程{x(t),t≥0}是一個(gè)齊次馬爾可夫過(guò)程。(2)式中對(duì)j求和,是對(duì)狀態(tài)空間I的所有可能狀態(tài)進(jìn)行的

3.1馬爾可夫過(guò)程齊次馬氏過(guò)程的性質(zhì)3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程轉(zhuǎn)移矩陣

Pij(t)稱為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移函數(shù)，由轉(zhuǎn)移函數(shù)的全體組成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣。如對(duì)n個(gè)狀態(tài)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為n×n階方陣，可寫(xiě)為：

性質(zhì)（2）說(shuō)明一步轉(zhuǎn)移概率矩陣中任一行元素之和為1.通常稱滿足(1)、(2)性質(zhì)的矩陣為隨機(jī)矩陣.3.1馬爾可夫過(guò)程轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)（2）說(shuō)明一步轉(zhuǎn)移概3.1馬爾可夫過(guò)程三條假設(shè)，為常數(shù)(即壽命和維修時(shí)間服從指數(shù)分布)部件和系統(tǒng)取正常和故障兩種狀態(tài)。在相當(dāng)小的t內(nèi)，發(fā)生兩個(gè)或兩個(gè)以上部件同時(shí)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率是t的高階無(wú)窮小，此概率可以忽略不計(jì)。3.1馬爾可夫過(guò)程三條假設(shè)3.1馬爾可夫過(guò)程

3.1馬爾可夫過(guò)程

3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例1

如一臺(tái)機(jī)器，運(yùn)行到某一時(shí)刻t時(shí)，可能的狀態(tài)為：e1－正常；e2－故障。如機(jī)器處于e1狀態(tài)的概率P11=4/5,則e1向e2轉(zhuǎn)移的概率P12=1－P11=1/5；反過(guò)程，如機(jī)器處于e2狀態(tài)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的修復(fù)返回e1狀態(tài)的概率是3/5，P21=3/5(維修度M());則修不好仍處于e2狀態(tài)的概率是P22=1－P21=2/5.3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例13.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫(xiě)出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為:轉(zhuǎn)移矩陣Pij也表示事件ei

發(fā)生的條件下，事件ej發(fā)生的條件概率：Pij=P(ej|ei)；矩陣P:行是起始狀態(tài)，由小到大；列是到達(dá)狀態(tài)，由小到大排列，建立P時(shí)應(yīng)與轉(zhuǎn)移圖聯(lián)系起來(lái)。3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫(xiě)出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為:3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例2

對(duì)于一可修系統(tǒng)，失效率和修復(fù)率λ、μ為常數(shù)，試畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：

e1——正常；e2——故障。3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例23.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫(xiě)出：

通常令Δt=1,則有由此可知，狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖是求解(寫(xiě)出)轉(zhuǎn)移矩陣的基礎(chǔ)。此時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣P也稱為微系數(shù)矩陣3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫(xiě)出：此時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣P也稱為微系數(shù)矩陣馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率例排隊(duì)模型設(shè)服務(wù)系統(tǒng),由一個(gè)服務(wù)員和只可能容納兩個(gè)人的等候室組成.服務(wù)規(guī)則:先到先服務(wù),后來(lái)者需在等候室依次排隊(duì).假定需要服務(wù)的顧客到達(dá)系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)已有3個(gè)顧客(1個(gè)在接受服務(wù),2個(gè)在等候室排隊(duì)),則該顧客即離去.設(shè)時(shí)間間隔Δt內(nèi)有一個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率為q,有一原來(lái)被服務(wù)的顧客離開(kāi)系統(tǒng)(即服務(wù)完畢)的概率為p.又設(shè)當(dāng)Δt充分小,在時(shí)間間隔內(nèi)多于一個(gè)顧客進(jìn)入或離開(kāi)系統(tǒng)實(shí)際上是不可能的等候室服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)離去者隨機(jī)到達(dá)者馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率例排隊(duì)模型等候室服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)離去者隨馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率再設(shè)有無(wú)顧客來(lái)到與服務(wù)是否完畢是相互獨(dú)立的.如何用馬氏鏈描述這一服務(wù)系統(tǒng)?

設(shè)Xn≡X(nΔt),表示時(shí)間nΔt時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)。則{Xn,n=0,1,2,…}是隨機(jī)過(guò)程,狀態(tài)空間I={0,1,2,3}.由于當(dāng)Xn=i,i∈I已知時(shí),Xn+1所處的狀態(tài)概率分布只與Xn=i有關(guān),而與時(shí)間nΔt以前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān),所以該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)齊次馬氏鏈.怎樣計(jì)算此馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率?記p00:在系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的條件下,經(jīng)Δt后仍無(wú)顧客的概率,p00=1-q.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率再設(shè)有無(wú)顧客來(lái)到與服務(wù)是否完畢是相馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p01:在系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的條件下,經(jīng)Δt后有一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率,p01=q.p10:系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客正在接受服務(wù)的條件下,經(jīng)Δt后系統(tǒng)內(nèi)無(wú)人進(jìn)入的概率,等于在Δt間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢而離去,且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率,p10=p(1-q).p11:系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客的條件下,在Δt間隔內(nèi),因服務(wù)完畢而離去,而另一顧客進(jìn)入系統(tǒng),或者正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù),且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率,p11=pq+(1-p)(1-q).馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p01:在系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的條件馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p12:正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù),且另一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率,p12=q(1-p).p13:正在接受服務(wù)的顧客繼續(xù)要求服務(wù),且在Δt間隔內(nèi)有兩個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率.由假設(shè)這種情況是不可能發(fā)生的,p13=0.系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務(wù),有一顧客在排隊(duì),在Δt間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢離去,無(wú)顧客進(jìn)入;以及系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務(wù),有兩顧客正在排隊(duì),在Δt間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢離去,再無(wú)顧客進(jìn)入的概率相等,故有p21=p32=p(1-q).馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p12:正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)內(nèi)有2顧客,其中一人接受服務(wù),在Δt間隔內(nèi),因服務(wù)完畢而離去,而另一顧客進(jìn)入系統(tǒng),或者正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù),且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率為:p22=pq+(1-p)(1-q).系統(tǒng)內(nèi)有2顧客,正在接受服務(wù)的顧客繼續(xù)要求服務(wù),且另一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率為:p23=q(1-p)，且當(dāng)|i-j|≥2時(shí),pij=0.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)內(nèi)有2顧客,其中一人接受服務(wù),馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p33:系統(tǒng)內(nèi)有三位顧客,或者一人將離去另一人將進(jìn)入系統(tǒng);或者無(wú)人離開(kāi)的概率,p33=pq+(1-p).于是得該馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣:P=.0123

(1-q)q00p(1-q)pq+(1-p)(1-q)q(1-p)00p(1-q)pq+(1-p)(1-q)q(1-p)00p(1-q)pq+(1-p)0123馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p33:系統(tǒng)內(nèi)有三位顧客,或者一馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

p11p12…p1n…p21p22

…p2n

……

…

…

…

…pn1pn2

…pnn

……

…

…

…

…P=馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

p11p12…p1n…Markov過(guò)程

Markov過(guò)程

C-K方程

C-K方程

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)是的概率，由切普曼—柯?tīng)柲缏宸蚍匠?，可表示為?/p>

式中n=k+l,vE(狀態(tài)空間)

此式為由狀態(tài)i經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，等于由狀態(tài)i先經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)v，然后由狀態(tài)v經(jīng)l步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率(此處v也可理解為從i到j(luò)的通道)。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)是3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率上式中，若令k=1,l=1,由可決定，即由全部一步轉(zhuǎn)移概率可確定全部?jī)刹睫D(zhuǎn)移概率。若重復(fù)上述方法，就可由全部一步轉(zhuǎn)移概率決定所有的轉(zhuǎn)移概率。若用矩陣表示n步轉(zhuǎn)移概率，即，則有：轉(zhuǎn)移矩陣

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率上式中，若令k=1,l=1,3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

一般地，可利用轉(zhuǎn)移概率和系統(tǒng)的初始狀態(tài)，求出任意轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率。公式如下：

式中

P－1步轉(zhuǎn)移概率；－n步轉(zhuǎn)移概率；n－轉(zhuǎn)移步數(shù)(次數(shù))；P(0)－系統(tǒng)初始狀態(tài)向量，P(0)=[P1(0),P2(0)…]Pi(0)－初始t=0時(shí)刻系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率P(n)－n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)所處狀態(tài)向量，P(n)=[P1(n),P2(n),…]Pi(n)－n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率一般地，可利用轉(zhuǎn)移概率和系3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率例：如下圖，已知P(0)=[P1(0),P2(0)]=[1,0],求n=1,2,…等各步(次)轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率。圖中e1——正常；e2——故障。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率例：如下圖，已知P(0)=[3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：依次求得n=1，n=2，n=3，n=5時(shí)的狀態(tài)矩陣

由此可知，隨著n的遞增，P1(n)、

P2(n)逐漸趨于穩(wěn)定。穩(wěn)定狀態(tài)概率稱為極限概率。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：依次求得n=1，n=23.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率本例n時(shí)的極限概率為P1()=4/9,P2()=5/9,即n時(shí)，將收斂于一個(gè)定概率矩陣，即(本例為)：

在實(shí)踐中常會(huì)遇到這樣的情況，不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，在經(jīng)歷了一段工作時(shí)間后，便會(huì)處于相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)，在數(shù)學(xué)上稱之為各態(tài)歷經(jīng)或遍歷性。所謂遍歷過(guò)程就是系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的概率與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。具有這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱為遍歷矩陣。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率本例n時(shí)的極限概率為P13.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率如果轉(zhuǎn)移矩陣P經(jīng)過(guò)n次相乘后，所得矩陣的全部元素都大于0,即(i,jE),(注：常以此為判斷馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楦鲬B(tài)歷經(jīng)的或是否存在極限概率)，則這樣的轉(zhuǎn)移矩陣都是遍歷矩陣。遍歷矩陣一定存在極限概率(或穩(wěn)定狀態(tài))。經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后的極限狀態(tài)，就是過(guò)程的平穩(wěn)狀態(tài)，即使再多轉(zhuǎn)移一步，狀態(tài)概率也不會(huì)有變化，可以求出平穩(wěn)狀態(tài)。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率如果轉(zhuǎn)移矩陣P經(jīng)過(guò)n次相乘后3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設(shè)平穩(wěn)狀態(tài)概率為P(n)=[P1,P2…Pn],P為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，則求平穩(wěn)狀態(tài)概率，只需求解以下方程：

或?qū)懗桑?.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設(shè)平穩(wěn)狀態(tài)概率為P(n)=[3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

展開(kāi)后得：

(j=1,2,…n)

（n個(gè)方程只有n-1個(gè)是獨(dú)立的，因此必須再加另一個(gè)獨(dú)立方程。）由此即可求出n個(gè)平穩(wěn)狀態(tài)概率。

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率展開(kāi)后得：3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

例：求如圖所示系統(tǒng)的平穩(wěn)狀態(tài)概率。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率例：求如圖所示系統(tǒng)的平穩(wěn)狀3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：一步轉(zhuǎn)移矩陣為:

設(shè)P(n)=[P0

P1]，則

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：一步轉(zhuǎn)移矩陣為:3.4單部件可修系統(tǒng)單部件系統(tǒng)是指一個(gè)單元組成的系統(tǒng)(或把整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)作一個(gè)單元來(lái)研究)，部件故障，則系統(tǒng)故障；部件正常，則系統(tǒng)正常。3.4單部件可修系統(tǒng)單部件系統(tǒng)是指一個(gè)單元組成的系統(tǒng)(或把3.4單部件可修系統(tǒng)部件的失效率、修復(fù)率分別是常數(shù)λ、μ，則：t時(shí)刻系統(tǒng)處于工作(正常工作)狀態(tài)，在t→t+Δt之間內(nèi)發(fā)生故障的條件概率為λΔt(即為)t時(shí)刻系統(tǒng)處于故障狀態(tài)，在t→t+Δt之間即Δt時(shí)間內(nèi)修復(fù)好的條件概率為μΔt(即為)3.4單部件可修系統(tǒng)部件的失效率、修復(fù)率分別是常數(shù)λ、μ，3.4單部件可修系統(tǒng)

單部件可修系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.4單部件可修系統(tǒng)單部件可修系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.4單部件可修系統(tǒng)上圖中:同理:條件概率3.4單部件可修系統(tǒng)上圖中:條件概率3.4單部件可修系統(tǒng)上圖的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:3.4單部件可修系統(tǒng)上圖的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:3.4單部件可修系統(tǒng)令下面研究如何求解和首先，利用全概率公式可求出和的表達(dá)式3.4單部件可修系統(tǒng)令3.4單部件可修系統(tǒng)——此即為的計(jì)算公式3.4單部件可修系統(tǒng)——此即為3.4單部件可修系統(tǒng)由上式展開(kāi)、移項(xiàng)、兩邊除以若令取極限有：

(1)3.4單部件可修系統(tǒng)由上式展開(kāi)、移項(xiàng)、兩邊除以3.4單部件可修系統(tǒng)同理可得：

(2)(1)、(2)聯(lián)立即可求出和。(1)、(2)的聯(lián)立方程稱為狀態(tài)方程3.4單部件可修系統(tǒng)同理可得：3.4單部件可修系統(tǒng)下邊求解狀態(tài)方程對(duì)上述(1)、(2)兩邊取拉氏變換：3.4單部件可修系統(tǒng)下邊求解狀態(tài)方程3.4單部件可修系統(tǒng)假設(shè)t=0時(shí)系統(tǒng)為正常狀態(tài)，即，。代入上式3.4單部件可修系統(tǒng)假設(shè)t=0時(shí)系統(tǒng)為正常狀態(tài)，即3.4單部件可修系統(tǒng)拉氏反變換：3.4單部件可修系統(tǒng)拉氏反變換：3.4