二重積分ppt(經(jīng)典實用)

二重積分12/9/2022二重積分ppt一.二重積分的性質(zhì)二.二重積分的算法三.二重積分與極坐標四.二重積分的應(yīng)用學(xué)習(xí)內(nèi)容：12/9/2022二重積分ppt一.二重積分的性質(zhì)1.線性性質(zhì)（其中:

是常數(shù)）2.對區(qū)域的有限可加性若區(qū)域D

分為D1，D2兩個部分區(qū)域

,則：3.若在區(qū)域D上總有，則有不等式二重積分ppt4.若在區(qū)域D上有為區(qū)域D的面積）（5.估值不等式設(shè)M與m分別是函數(shù)Z=f(x,y)在D上的最大值與最小值，是D的面積6.中值定理若f(x,y）在閉區(qū)域上連續(xù)，是D的面積，則在D內(nèi)至少存在一點使得二重積分ppt例1：估計二重積分的值，D是圓域解:求被積函數(shù)

在區(qū)域

上可能的最值(0,0)是駐點，f(0,0)=9，在邊界上：，于是有：二重積分ppt例2：比較積分，的大小其中D是由直線和所圍成的解：因為積分域D在直線想x+y=1的下方，所以對于任意點均有從而有而故由二重積分的性質(zhì)得二重積分ppt二.二重積分的算法在區(qū)間[a,b]上任意取一個點作平行于yoz面的平面x=這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間為底，曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為該曲頂柱體的體積為二重積分pptD:

x1(y)xx2(y)cydI=0y

xx2(y)x1

(y)cdy

二重積分計算的兩種積分順序D二重積分ppt0y

xcdyDx2(y)x1

(y)I=

二重積分計算的兩種積分順序.D:

x1(y)xx2(y)cyd二重積分ppt0y

xcdyDD:

y1(x)yy2(x)axb0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)xI=二重積分計算的兩種積分順序.D:

x1(y)xx2(y)cyd二重積分ppt0y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x6.

二重積分計算的兩種積分順序.I=D:

x1(y)xx2(y)cydD:

y1(x)yy2(x)axb二重積分ppt0y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x二重積分計算的兩種積分順序.I=D:

x1(y)xx2(y)cydD:

y1(x)yy2(x)axb二重積分ppt11y=x20y

xD2先對y積分（從下到上）1畫出區(qū)域D

圖形3

先對x積分（從左到右）...y=x...例3：用兩種順序計算二重積分ppt一先對x積分yxoabDyxoabDyxoabD....例4：將二重積分化成二次積分二重積分ppt二先對y積分yxoabyxoabyxoabDDD.....二重積分ppt舉例說明如何交換二次積分的次序（1）對于給定的二重積分先根據(jù)其積分限畫出積分區(qū)域D（2）根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分區(qū)域D的積分限（3）寫出結(jié)果二重積分ppt例1將交換積分次序。解：由得積分區(qū)域：令，，，，畫出的示意圖如圖。因為，所以：二重積分ppt畫出的示意圖如圖。例2將交換積分次序。解：由得積分區(qū)域：令，，，，因為，所以：二重積分ppt極坐標系下的面積元素將變換到極坐標系0D用坐標線:=常數(shù)；r

=常數(shù)

分割區(qū)域Diriri+1...

...iii+iI=rir..三.二重積分與極坐標二重積分ppt怎樣利用極坐標計算二重積分1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部

0ABFEDD:

rr二重積分ppt怎樣利用極坐標計算二重積分(1)0ABFEDD:.1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部

r二重積分ppt怎樣利用極坐標計算二重積分(1)0ABFEDD:.

步驟：1從D的圖形找出r,上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標形式；3面積元素dxdy化為rdrd.1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部

r二重積分ppt2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部

0DrD:怎樣利用極坐標計算二重積分(2)r二重積分pptD:D0怎樣利用極坐標計算二重積分(2).2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部

r二重積分pptD:.D0

步驟：1從D的圖形找出r,上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標形式；3面積元素dxdy化為rdrd怎樣利用極坐標計算二重積分(2).2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部

r二重積分ppt0y

x2a..解例5：.二重積分ppt此題用直角系算麻煩，需使用極坐標系！21D0y

xD:變換到極坐標系..例6:計算D:=1和

=2

圍成二重積分ppt0y

x12

y=xD...例7：二重積分ppt四.二重積分的應(yīng)用（一）、曲面的面積

（二）、平面薄片的質(zhì)心

（三）、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量

(四）、平面薄片對質(zhì)點的引力（五）、經(jīng)濟應(yīng)用二重積分ppt衛(wèi)星實例一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi),且可近似認為是圓軌道.通訊衛(wèi)星運行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同,即人們看到它在天空不動.若地球半徑取為R,問衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少?通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大?一、曲面的面積二重積分ppt一、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則二重積分ppt故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即二重積分ppt例1求半徑為R的球的表面積：解

球面方程為：二重積分ppt在第一卦限內(nèi)球面的方程為

在平面上的投影區(qū)域可表示為D：x2+y2≤R2，x≥0，y≥0.

又二重積分ppt于是，所求球的表面積為即球的表面積

它等于大圓面積的4倍.

二重積分ppt二、平面薄片的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點系的質(zhì)心標設(shè)物體占有平面域D,有連續(xù)密度函數(shù)則分別位于為為采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心公式

二重積分ppt若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面片,(A為D的面積)得D的質(zhì)心坐標:則它的質(zhì)心坐標為其面密度二重積分ppt例5.求位于兩圓和之間均勻薄的質(zhì)心.

解:利用對稱性可知而二重積分ppt三、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有平面區(qū)域D,有連續(xù)分布的密度數(shù)該物體位于(x,y)處的微元因此物體對x軸的轉(zhuǎn)動慣量:對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.二重積分ppt同理可得：二重積分ppt例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.二重積分ppt

G

為引力常數(shù)四、平面薄片對質(zhì)點的引力設(shè)物體占有平面區(qū)域