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二重積分12/9/2022二重積分ppt一.二重積分的性質(zhì)二.二重積分的算法三.二重積分與極坐標四.二重積分的應(yīng)用學(xué)習(xí)內(nèi)容:12/9/2022二重積分ppt一.二重積分的性質(zhì)1.線性性質(zhì)(其中:
是常數(shù))2.對區(qū)域的有限可加性若區(qū)域D
分為D1,D2兩個部分區(qū)域
,則:3.若在區(qū)域D上總有,則有不等式二重積分ppt4.若在區(qū)域D上有為區(qū)域D的面積)(5.估值不等式設(shè)M與m分別是函數(shù)Z=f(x,y)在D上的最大值與最小值,是D的面積6.中值定理若f(x,y)在閉區(qū)域上連續(xù),是D的面積,則在D內(nèi)至少存在一點使得二重積分ppt例1:估計二重積分的值,D是圓域解:求被積函數(shù)
在區(qū)域
上可能的最值(0,0)是駐點,f(0,0)=9,在邊界上:,于是有:二重積分ppt例2:比較積分,的大小其中D是由直線和所圍成的解:因為積分域D在直線想x+y=1的下方,所以對于任意點均有從而有而故由二重積分的性質(zhì)得二重積分ppt二.二重積分的算法在區(qū)間[a,b]上任意取一個點作平行于yoz面的平面x=這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為該曲頂柱體的體積為二重積分pptD:
x1(y)xx2(y)cydI=0y
xx2(y)x1
(y)cdy
二重積分計算的兩種積分順序D二重積分ppt0y
xcdyDx2(y)x1
(y)I=
二重積分計算的兩種積分順序.D:
x1(y)xx2(y)cyd二重積分ppt0y
xcdyDD:
y1(x)yy2(x)axb0y
xI=ab
y1(x)
y2(x)Dx2(y)x1
(y)xI=二重積分計算的兩種積分順序.D:
x1(y)xx2(y)cyd二重積分ppt0y
xcdyD0y
xI=ab
y1(x)
y2(x)Dx2(y)x1
(y)x6.
二重積分計算的兩種積分順序.I=D:
x1(y)xx2(y)cydD:
y1(x)yy2(x)axb二重積分ppt0y
xcdyD0y
xI=ab
y1(x)
y2(x)Dx2(y)x1
(y)x二重積分計算的兩種積分順序.I=D:
x1(y)xx2(y)cydD:
y1(x)yy2(x)axb二重積分ppt11y=x20y
xD2先對y積分(從下到上)1畫出區(qū)域D
圖形3
先對x積分(從左到右)...y=x...例3:用兩種順序計算二重積分ppt一先對x積分yxoabDyxoabDyxoabD....例4:將二重積分化成二次積分二重積分ppt二先對y積分yxoabyxoabyxoabDDD.....二重積分ppt舉例說明如何交換二次積分的次序(1)對于給定的二重積分先根據(jù)其積分限畫出積分區(qū)域D(2)根據(jù)積分區(qū)域的形狀,按新的次序確定積分區(qū)域D的積分限(3)寫出結(jié)果二重積分ppt例1將交換積分次序。解:由得積分區(qū)域:令,,,,畫出的示意圖如圖。因為,所以:二重積分ppt畫出的示意圖如圖。例2將交換積分次序。解:由得積分區(qū)域:令,,,,因為,所以:二重積分ppt極坐標系下的面積元素將變換到極坐標系0D用坐標線:=常數(shù);r
=常數(shù)
分割區(qū)域Diriri+1...
...iii+iI=rir..三.二重積分與極坐標二重積分ppt怎樣利用極坐標計算二重積分1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部
0ABFEDD:
rr二重積分ppt怎樣利用極坐標計算二重積分(1)0ABFEDD:.1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部
r二重積分ppt怎樣利用極坐標計算二重積分(1)0ABFEDD:.
步驟:1從D的圖形找出r,上、下限;2
化被積函數(shù)為極坐標形式;3面積元素dxdy化為rdrd.1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部
r二重積分ppt2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部
0DrD:怎樣利用極坐標計算二重積分(2)r二重積分pptD:D0怎樣利用極坐標計算二重積分(2).2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部
r二重積分pptD:.D0
步驟:1從D的圖形找出r,上、下限;2
化被積函數(shù)為極坐標形式;3面積元素dxdy化為rdrd怎樣利用極坐標計算二重積分(2).2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部
r二重積分ppt0y
x2a..解例5:.二重積分ppt此題用直角系算麻煩,需使用極坐標系!21D0y
xD:變換到極坐標系..例6:計算D:=1和
=2
圍成二重積分ppt0y
x12
y=xD...例7:二重積分ppt四.二重積分的應(yīng)用(一)、曲面的面積
(二)、平面薄片的質(zhì)心
(三)、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量
(四)、平面薄片對質(zhì)點的引力(五)、經(jīng)濟應(yīng)用二重積分ppt衛(wèi)星實例一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi),且可近似認為是圓軌道.通訊衛(wèi)星運行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同,即人們看到它在天空不動.若地球半徑取為R,問衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少?通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大?一、曲面的面積二重積分ppt一、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d
,(稱為面積元素)則二重積分ppt故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即二重積分ppt例1求半徑為R的球的表面積:解
球面方程為:二重積分ppt在第一卦限內(nèi)球面的方程為
在平面上的投影區(qū)域可表示為D:x2+y2≤R2,x≥0,y≥0.
又二重積分ppt于是,所求球的表面積為即球的表面積
它等于大圓面積的4倍.
二重積分ppt二、平面薄片的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點系的質(zhì)心標設(shè)物體占有平面域D,有連續(xù)密度函數(shù)則分別位于為為采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心公式
二重積分ppt若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面片,(A為D的面積)得D的質(zhì)心坐標:則它的質(zhì)心坐標為其面密度二重積分ppt例5.求位于兩圓和之間均勻薄的質(zhì)心.
解:利用對稱性可知而二重積分ppt三、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有平面區(qū)域D,有連續(xù)分布的密度數(shù)該物體位于(x,y)處的微元因此物體對x軸的轉(zhuǎn)動慣量:對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.二重積分ppt同理可得:二重積分ppt例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.二重積分ppt
G
為引力常數(shù)四、平面薄片對質(zhì)點的引力設(shè)物體占有平面區(qū)域
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