人教版九年級上冊數學-第二十二章-二次函數-實際問題與二次函數(第三課時)課件

22.3實際問題與二次函數（第3課時）人教版數學九年級上冊22.3實際問題與二次函數人教版數學九年級上冊導入新知導入新知如圖是一個二次函數的圖象，現在請你根據給出的坐標系的位置，說出這個二次函數的解析式類型.xyxyxy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO導入新知如圖是一個二次函數的圖象，現在請你根據給出的坐標系的3.能運用二次函數的圖象與性質進行決策．1.掌握二次函數模型的建立，會把實際問題轉化為二次函數問題．

2.利用二次函數解決拱橋及運動中的有關問題．素養(yǎng)目標3.能運用二次函數的圖象與性質進行決策．1.掌握二次函數模型

如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋的跨度是4.9米，水面寬是4米時，拱頂離水面2米.現在想了解水面寬度變化時，拱頂離水面的高度怎樣變化．你能想出辦法來嗎？探究新知建立平面直角坐標系解答拋物線形問題知識點如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋建立函數模型.這是什么樣的函數呢？

拱橋的縱截面是拋物線，所以應當是個二次函數.你能想出辦法來嗎？探究新知【合作探究】建立函數模型.這是什么樣的函數呢？拱橋的怎樣建立直角坐標系比較簡單呢？以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，如圖．從圖看出，什么形式的二次函數，它的圖象是這條拋物線呢？由于頂點坐標系是（0.0），因此這個二次函數的形式為探究新知怎樣建立直角坐標系比較簡單呢？以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為-2-421-2-1A如何確定a是多少？已知水面寬4米時，拱頂離水面高2米，因此點A（2，-2）在拋物線上，由此得出,因此，，其中｜x｜是水面寬度的一半，y是拱頂離水面高度的相反數，這樣我們就可以了解到水面寬度變化時，拱頂離水面高度怎樣變化．解得探究新知xyo-2-421-2-1A如何確定a是多少？已知水面寬4米時，拱由于拱橋的跨度為4.9米，因此自變量x的取值范圍是：水面寬3m時,從而因此拱頂離水面高1.125m.現在你能求出水面寬3米時，拱頂離水面高多少米嗎？探究新知由于拱橋的跨度為4.9米，因此自變量x的取值范圍是：水面寬3建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟是什么？實際問題建立二次函數模型利用二次函數的圖象和性質求解實際問題的解探究新知建立二次函數模型解決實際問題建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟是什么例1

圖中是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m時，水面寬度增加了多少？建立坐標系解答生活中的拋物線形問題素養(yǎng)考點1探究新知l=4m2ml=4m2m例1圖中是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，解法一:

如圖所示以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系.∴可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為y=ax2.當拱橋離水面2m時,水面寬4m.即拋物線過點(2,-2),∴這條拋物線所表示的二次函數為y=-0.5x2.∴-2=a×22,∴a=-0.5.當水面下降1m時,水面的縱坐標為y=-3,這時有

探究新知l=4m2m解法一:如圖所示以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y解法二:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系.因此可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為:y=ax2+2.此時,拋物線的頂點為(0,2)當拱橋離水面2m時,水面寬4m,即:拋物線過點(2,0),因此這條拋物線所表示的二次函數為:y=-0.5x2+2.當水面下降1m時,水面的縱坐標為y=-1,這時有:

0=a×22+2，a=-0.5.

探究新知2ml=4mo解法二:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以解法三:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以其中的一個交點(如左邊的點)為原點，建立平面直角坐標系.因此可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為y=a(x-2)2+2.∵拋物線過點(0,0),∴0=a×(-2)2+2.∴a=-0.5.因此這條拋物線所表示的二次函數為y=-0.5(x-2)

2+2.此時,拋物線的頂點為(2,2).探究新知

2ml=4mo解法三:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以其1.理解問題;

回顧“最大利潤”和“橋梁建筑”解決問題的過程，你能總結一下解決此類問題的基本思路嗎？與同伴交流.2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系；3.用數學的方式表示出它們之間的關系;4.做數學求解;5.檢驗結果的合理性.【思考】“二次函數應用”的思路探究新知1.理解問題;回顧“最大利潤”和“橋梁建筑”解決有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．如圖所示的直角坐標系中，求出這條拋物線表示的函數的解析式.OACDByx20mh解：設該拱橋形成的拋物線的解析式為y=ax2.∵該拋物線過(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04.∴y=-0.04x2.鞏固練習有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m，拱頂距利用二次函數解決運動中拋物線形問題素養(yǎng)考點2探究新知利用二次函數解決運動中拋物線形問題素養(yǎng)考點2探究新知例2

如圖，一名運動員在距離籃球圈中心4m（水平距離）遠處跳起投籃，籃球準確落入籃圈，已知籃球運行的路線為拋物線，當籃球運行水平距離為2.5m時，籃球達到最大高度，且最大高度為3.5m，如果籃圈中心距離地面3.05m，那么籃球在該運動員出手時的高度是多少米？探究新知2.5m4m3.5m3.05m例2如圖，一名運動員在距離籃球圈中心4m（水平距離）遠處解：如圖，建立直角坐標系.則點A的坐標是（1.5，3.05），籃球在最大高度時的位置為B（0，3.5）.以點C表示運動員投籃球的出手處.xyO設以y軸為對稱軸的拋物線的解析式為y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而點A，B在這條拋物線上，所以有

2.25a+k=3.05，

k=3.5，探究新知解：如圖，建立直角坐標系.xyO設以y軸為對稱軸的拋物線的解

鞏固練習

鞏固練習xy

鞏固練習xy

鞏固練習某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系．（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式；（2）王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內？（3）經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度．連接中考某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴解：（1）設水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=a（x﹣3）2+5（a≠0），將（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得25a+5=0，解得a=﹣0.2，∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）當y=1.8時，有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，因此為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內．（3）當x=0時，y=﹣0.2（x﹣3）2+5=3.2．設改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣0.2x2+bx+3.2，∵該函數圖象過點（16，0），∴0=﹣0.2×162+16b+3.2，解得b=3.∴改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為

y=﹣0.2x2+3x+3.2=﹣0.2（x﹣7.5）2+14.45．∴擴建改造后噴水池水柱的最大高度為14.45米．連接中考解：（1）設水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來表示，其中t(s)表示足球被踢出后經過的時間，則球在

s后落地.42.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度y(米）關于水平距離x(米）的函數解析式為，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為

米.xyO2課堂檢測基礎鞏固題1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=3.某公園草坪的防護欄是由100段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見，每段護欄需要間距0.4m加設一根不銹鋼的支柱，防護欄的最高點距底部0.5m（如圖），則這條防護欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為（）A.50mB.100mC.160mD.200mC課堂檢測3.某公園草坪的防護欄是由100段形狀相同的拋物線形組某工廠要趕制一批抗震救災用的大型活動板房．如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長為12m，拋物線拱高為5.6m．（1）在如圖所示的平面直角坐標系中，求拋物線的表達式．課堂檢測

解：（1）設拋物線的表達式為y=ax2.∵點B（6，﹣5.6）在拋物線的圖象上，∴﹣5.6=36a，∴拋物線的表達式為能力提升題某工廠要趕制一批抗震救災用的大型活動板房．如圖，板房一面的形（2）現需在拋物線AOB的區(qū)域內安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點到拋物線的水平距離至少為0.8m．請計算最多可安裝幾扇這樣的窗戶？

課堂檢測（2）設窗戶上邊所在直線交拋物線于C，D兩點，D點坐標為（k，t），已知窗戶高1.6m，∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4.∴

，解得k=

，即k1≈5.07，k2≈﹣5.07

.∴CD=5.07×2≈10.14（m）設最多可安裝n扇窗戶，∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．則最大的正整數為4．答：最多可安裝4扇窗戶.解：（2）現需在拋物線AOB的區(qū)域內安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在A懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主懸鋼索之間用垂直鋼索連接.已知兩端主塔之間的水平距離為900m,兩主塔塔頂距橋面的高度為81.5m,主懸鋼索最低點離橋面的高度為0.5m.(1)若以橋面所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，求這條拋物線對應的函數表達式；yxO-450450課堂檢測拓廣探索題懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，解：根據題意，得拋物線的頂點坐標為（0,0.5），對稱軸為y軸，設拋物線的函數表達式為y=ax2+0.5.拋物線經過點（450,81.5），代入上式，得81.5=a?4502+0.5.解得故所求表達式為yxO-450450課堂檢測解：根據題意，得拋物線的頂點坐標為（0,0.5），yxO-4(2)計算距離橋兩端主塔分別為100m,50m處垂直鋼索的長.yxO-450450

當x=450﹣50=400（m）時，得課堂檢測(2)計算距離橋兩端主塔分別為100m,50m處垂直鋼索的長轉化回歸（二次函數的圖象和性質）拱橋問題運動中的拋物線問題（實物中的拋物線形問題）建立恰當的直角坐標系能夠將實際距離準確的轉化為點的坐標；選擇運算簡便的方法實際問題數學模型轉化的關鍵課堂小結轉化回歸（二次函數的圖象和性質）拱橋問題運動中的拋物線問題（作業(yè)內容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業(yè)作業(yè)教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業(yè)22.3實際問題與二次函數（第3課時）人教版數學九年級上冊22.3實際問題與二次函數人教版數學九年級上冊導入新知導入新知如圖是一個二次函數的圖象，現在請你根據給出的坐標系的位置，說出這個二次函數的解析式類型.xyxyxy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO導入新知如圖是一個二次函數的圖象，現在請你根據給出的坐標系的3.能運用二次函數的圖象與性質進行決策．1.掌握二次函數模型的建立，會把實際問題轉化為二次函數問題．

2.利用二次函數解決拱橋及運動中的有關問題．素養(yǎng)目標3.能運用二次函數的圖象與性質進行決策．1.掌握二次函數模型

如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋的跨度是4.9米，水面寬是4米時，拱頂離水面2米.現在想了解水面寬度變化時，拱頂離水面的高度怎樣變化．你能想出辦法來嗎？探究新知建立平面直角坐標系解答拋物線形問題知識點如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋建立函數模型.這是什么樣的函數呢？

拱橋的縱截面是拋物線，所以應當是個二次函數.你能想出辦法來嗎？探究新知【合作探究】建立函數模型.這是什么樣的函數呢？拱橋的怎樣建立直角坐標系比較簡單呢？以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，如圖．從圖看出，什么形式的二次函數，它的圖象是這條拋物線呢？由于頂點坐標系是（0.0），因此這個二次函數的形式為探究新知怎樣建立直角坐標系比較簡單呢？以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為-2-421-2-1A如何確定a是多少？已知水面寬4米時，拱頂離水面高2米，因此點A（2，-2）在拋物線上，由此得出,因此，，其中｜x｜是水面寬度的一半，y是拱頂離水面高度的相反數，這樣我們就可以了解到水面寬度變化時，拱頂離水面高度怎樣變化．解得探究新知xyo-2-421-2-1A如何確定a是多少？已知水面寬4米時，拱由于拱橋的跨度為4.9米，因此自變量x的取值范圍是：水面寬3m時,從而因此拱頂離水面高1.125m.現在你能求出水面寬3米時，拱頂離水面高多少米嗎？探究新知由于拱橋的跨度為4.9米，因此自變量x的取值范圍是：水面寬3建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟是什么？實際問題建立二次函數模型利用二次函數的圖象和性質求解實際問題的解探究新知建立二次函數模型解決實際問題建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟是什么例1

圖中是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m時，水面寬度增加了多少？建立坐標系解答生活中的拋物線形問題素養(yǎng)考點1探究新知l=4m2ml=4m2m例1圖中是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，解法一:

如圖所示以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系.∴可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為y=ax2.當拱橋離水面2m時,水面寬4m.即拋物線過點(2,-2),∴這條拋物線所表示的二次函數為y=-0.5x2.∴-2=a×22,∴a=-0.5.當水面下降1m時,水面的縱坐標為y=-3,這時有

探究新知l=4m2m解法一:如圖所示以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y解法二:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系.因此可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為:y=ax2+2.此時,拋物線的頂點為(0,2)當拱橋離水面2m時,水面寬4m,即:拋物線過點(2,0),因此這條拋物線所表示的二次函數為:y=-0.5x2+2.當水面下降1m時,水面的縱坐標為y=-1,這時有:

0=a×22+2，a=-0.5.

探究新知2ml=4mo解法二:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以解法三:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以其中的一個交點(如左邊的點)為原點，建立平面直角坐標系.因此可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為y=a(x-2)2+2.∵拋物線過點(0,0),∴0=a×(-2)2+2.∴a=-0.5.因此這條拋物線所表示的二次函數為y=-0.5(x-2)

2+2.此時,拋物線的頂點為(2,2).探究新知

2ml=4mo解法三:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以其1.理解問題;

回顧“最大利潤”和“橋梁建筑”解決問題的過程，你能總結一下解決此類問題的基本思路嗎？與同伴交流.2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系；3.用數學的方式表示出它們之間的關系;4.做數學求解;5.檢驗結果的合理性.【思考】“二次函數應用”的思路探究新知1.理解問題;回顧“最大利潤”和“橋梁建筑”解決有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．如圖所示的直角坐標系中，求出這條拋物線表示的函數的解析式.OACDByx20mh解：設該拱橋形成的拋物線的解析式為y=ax2.∵該拋物線過(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04.∴y=-0.04x2.鞏固練習有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m，拱頂距利用二次函數解決運動中拋物線形問題素養(yǎng)考點2探究新知利用二次函數解決運動中拋物線形問題素養(yǎng)考點2探究新知例2

如圖，一名運動員在距離籃球圈中心4m（水平距離）遠處跳起投籃，籃球準確落入籃圈，已知籃球運行的路線為拋物線，當籃球運行水平距離為2.5m時，籃球達到最大高度，且最大高度為3.5m，如果籃圈中心距離地面3.05m，那么籃球在該運動員出手時的高度是多少米？探究新知2.5m4m3.5m3.05m例2如圖，一名運動員在距離籃球圈中心4m（水平距離）遠處解：如圖，建立直角坐標系.則點A的坐標是（1.5，3.05），籃球在最大高度時的位置為B（0，3.5）.以點C表示運動員投籃球的出手處.xyO設以y軸為對稱軸的拋物線的解析式為y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而點A，B在這條拋物線上，所以有

2.25a+k=3.05，

k=3.5，探究新知解：如圖，建立直角坐標系.xyO設以y軸為對稱軸的拋物線的解

鞏固練習

鞏固練習xy

鞏固練習xy

鞏固練習某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系．（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式；（2）王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內？（3）經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度．連接中考某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴解：（1）設水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=a（x﹣3）2+5（a≠0），將（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得25a+5=0，解得a=﹣0.2，∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）當y=1.8時，有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，因此為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內．（3）當x=0時，y=﹣0.2（x﹣3）2+5=3.2．設改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣0.2x2+bx+3.2，∵該函數圖象過點（16，0），∴0=﹣0.2×162+16b+3.2，解得b=3.∴改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為

y=﹣0.2x2+3x+3.2=﹣0.2（x﹣7.5）2+14.45．∴擴建改造后噴水池水柱的最大高度為14.45米．連接中考解：（1）設水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來表示，其中t(s)表示足球被踢出后經過的時間，則球在

s后落地.42.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度y(米）關于水平距離x(米）的函數解析式為，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為

米.xyO2課堂檢測基礎鞏固題1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=3.某公園草坪的防護欄是由100段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見，每段護欄需要間距0.4m加設一根不銹鋼的支柱，防護欄的最高點距底部0.5m（如圖），則這條防護欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為（）A.50mB.100mC.160mD.200mC課堂檢測3.某公園草坪的防護欄是由100段形狀相同的拋物線形組某工廠要趕制一批抗震救災用的大型活動板房．如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長為12m，拋物線拱高為5.6m．（1）在如圖所示的平面直角坐標系中，求拋物線的表達式．課堂檢測

解：（1）設拋物線的表達式為y=ax2.∵點B（6，﹣5.6）在拋物線的圖象上，∴﹣5.6=36a，∴拋物線的表達式為能力提升題某工廠要趕制一批抗震救災用的大型活動板房．如圖