2020高中數(shù)學 階段質(zhì)量檢測（一）解三角形（含解析）5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE14學必求其心得，業(yè)必貴于專精階段質(zhì)量檢測（一）解三角形(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求）1．在△ABC中,已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積等于(）A．9B．18C．9eq\r(3)D．18eq\r（3）解析：選C在△ABC中，由正弦定理，得eq\f（AC,sinB）＝eq\f(BC,sinA),∴AC＝eq\f（BC·sinB，sinA）＝eq\f（6×sin120°，sin30°）＝6eq\r（3）.又∵C＝180°－120°－30°＝30°，∴S△ABC＝eq\f（1,2）×6eq\r(3)×6×eq\f(1,2）＝9eq\r（3）。2．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1,則最短邊長為（)A.eq\f(\r（6）,2)B。eq\f（\r（6），3）C.eq\f（1，2）D.eq\f(\r(3），2）解析：選BA＝180°－（60°＋45°)＝75°,故最短邊為b,由正弦定理可得eq\f(b，sinB）＝eq\f（c,sinC)，即b＝eq\f（csinB,sinC)＝eq\f（1×sin45°,sin60°）＝eq\f(\r(6),3),故選B.3．已知△ABC的內(nèi)角A,B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＝eq\r(3）（1－cosB），則sinA的值為()A.eq\f(\r(2)，4）B.eq\f（\r（3)，4)C.eq\f(\r(6)，4）D.eq\f（\r(3)，2)解析：選C由sinB＝eq\r（3）(1－cosB),得sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（B＋\f(π,3）））＝eq\f（\r(3），2)。又0<B<π，得B＝eq\f(π，3),由eq\f(\r(2），sinA）＝eq\f（2,sin\f(π，3))?sinA＝eq\f（\r(6），4）。4．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝eq\r（2)，角A的平分線AD＝eq\r（3)，則AC＝()A．1B．2C。eq\r（6）D．2eq\r(2）解析：選C如圖，在△ABD中，由正弦定理，得eq\f(AD，sin∠B)＝eq\f(AB,sin∠ADB），∴sin∠ADB＝eq\f(\r(2)，2）。由題意知0°<∠ADB〈60°,∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，BC＝AB＝eq\r(2）。在△ABC中,由正弦定理，得eq\f（AC,sin∠B)＝eq\f(BC，sin∠BAC）,∴AC＝eq\r（6),故選C。5．在△ABC中，A〉B，則以下不等式正確的個數(shù)為(）①sinA〉sinB；②cosA〈cosB；③sin2A>sin2B④cos2A〈cos2BA．0個B．1個C．2個D．3個解析：選D由題意知,sinA>sinB，cosA<cosB均正確,由sinA〉sinB〉0可知sin2A〉sin2B∴cos2A<cos2B.故正確個數(shù)為3個，∴選6．在△ABC中,b＝2，B＝45°，若這樣的三角形有兩個,則邊a的取值范圍為(）A．a(chǎn)〉2B．2<a<3C．2〈a〈2eq\r（3)D．2<a<2eq\r（2）解析：選D由題意得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（b〈a，，sinA＝\f(asinB，b)<1，）)?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a>2，,\f（\f（\r(2),2)a，2)〈1，）)?2<a〈2eq\r(2），故選D。7．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinBcosC，則△A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：選D由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2?而由sinA＝2sinBcosC,可得sin(B＋C)＝2sinBcosC，整理得sinBcosC＝cosBsinC，即sin（B－C)＝0，故B＝C.綜合上述，B＝C＝eq\f（π,4），A＝eq\f(π,2).即△ABC為等腰直角三角形．8．在△ABC中，a＝4,b＝5,c＝6,則eq\f（sin2A,sinC）＝（)A．4B．1C。eq\f(1，2）D.eq\f（1,3）解析：選B由正弦定理得eq\f（sinA，sinC)＝eq\f(a，c)，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc),∵a＝4，b＝5，c＝6，∴eq\f（sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC）＝2·eq\f(sinA，sinC）·cosA＝2×eq\f(a,c）×eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＝2×eq\f(4,6）×eq\f（52＋62－42，2×5×6）＝1,故選B.9．飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標C的俯角為30°,向前飛行10000米，到達B處，此時測得目標C的俯角為75°，這時飛機與地面目標C的距離為(）A．5000米 B．5000eq\r(2)米C．4000米 D．4000eq\r（2)米解析：選B如圖，在△ABC中，AB＝10000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°。根據(jù)正弦定理,BC＝eq\f（AB·sinA,sinC）＝eq\f(10000×\f(1，2），\f（\r(2)，2））＝5000eq\r(2）(米)．10．在△ABC中，邊a，b，c分別是角A，B，C的對邊,且滿足bcosC＝（3a－c）cosB．若b＝4eq\r(2），則ac的值為（）A．9B．10C．11D．12解析:選D由正弦定理及已知bcosC＝（3a－c）cosB得sinBcosC＝(3sinA－sinC)cosB，化簡得sinB·cosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，即sin（B＋C）＝3sinA·cosB，即sinA＝3sinAcosB，得cosB＝eq\f（1，3）.由11．在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對邊分別是a,b，c，已知c＝1,C＝eq\f（π，3）。若sinC＋sin（A－B）＝3sin2B，則△ABC的面積為（)A.eq\f（15\r（3)，4） B.eq\f（15,4）C。eq\f(21\r(3）,4)或eq\f（\r(3），6） D.eq\f（3\r(3),28）或eq\f（\r（3）,6）解析：選D由題意,得sin(A＋B）＋sin（A－B）＝2sinA·cosB＝6sinBcosB，∴cosB＝0或sinA＝3sinB，∴B＝eq\f(π,2)或a＝3b.若B＝eq\f（π,2)，則A＝eq\f(π,6），S＝eq\f（1,2)c·ctanA＝eq\f(\r(3）,6)；若a＝3b,由余弦定理，得a2＋b2－ab＝1，得b2＝eq\f（1,7)，∴S＝eq\f（1，2)absinC＝eq\f（3\r(3），28).12．在銳角三角形ABC中，a，b,c分別為角A，B，C所對的邊,且滿足acosB＝b(1＋cosA),S△ABC＝2，則（c＋a－b)（c＋b－a）的取值范圍是（）A．(0,8) B．(0，8eq\r（2）)C．（8，8eq\r(2）＋8) D．（8eq\r(2）－8，8）解析：選D根據(jù)正弦定理,acosB＝b(1＋cosA）可化為sinAcosB＝sinB(1＋cosA)，即sin（A－B）＝sinB．由于△ABC為銳角三角形，故A－B＝B，即A＝2B，所以A＋B＝3B∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2），\f（3π,4））），C∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,4），\f(π,2)))，所以tanC＝eq\f(2tan\f（C,2),1－tan2\f(C，2))〉1，解得－1＋eq\r（2)<taneq\f（C，2)<1。由S△ABC＝eq\f（1,2）absinC＝2，得absinC＝4.由余弦定理，得(c＋a－b）·(c＋b－a)＝(c＋a－b)[c－（a－b）］＝c2－（a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－2abcosC＝2ab（1－cosC）＝eq\f（8，sinC）（1－cosC)＝8taneq\f（C,2)∈(8eq\r(2)－8,8）．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．在△ABC中，內(nèi)角A,B，C所對的邊分別為a,b，c.A＝60°，c∶b＝8∶5，△ABC的面積為40eq\r(3）,則△ABC外接圓的半徑為________．解析：∵S△ABC＝eq\f(1，2）bc·sinA＝40eq\r(3）,∴bc＝160.∵c∶b＝8∶5,∴c＝16，b＝10.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝196，∴a＝14.設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理，得2R＝eq\f(a，sinA）＝eq\f(14，\f（\r（3）,2）)，∴R＝eq\f（14\r（3），3)。答案：eq\f（14\r（3),3）14．已知△ABC的面積S＝eq\r(3),A＝eq\f(π，3），則AB→·AC→＝________。解析：S△ABC＝eq\f(1，2）·｜AB|·｜AC｜·sinA，即eq\r(3）＝eq\f(1,2)·｜AB|·｜AC｜·eq\f(\r（3）,2)，所以｜AB|·｜AC|＝4，＝4×eq\f（1,2）＝2。答案：215．在△ABC中，a＝14，A＝60°，b∶c＝8∶5,則該三角形的面積為________．解析：設(shè)這兩邊長分別為8x和5x,則cos60°＝eq\f(64x2＋25x2－142,80x2）,解得x＝2,則b＝16，c＝10，∴S△ABC＝eq\f（1,2）bcsinA＝eq\f（1,2)×16×10sin60°＝40eq\r(3）.答案：40eq\r（3）16．等腰三角形的底邊長為a，腰長為2a，解析:如圖，AB＝AC＝2a，BC＝a設(shè)BC中點為D，連接AD，則AD⊥BC。在Rt△ABD中，cosB＝eq\f（BD，BA)＝eq\f(\f（1,2）a，2a)＝eq\f(1,4）。設(shè)AB中點為點E，連接CE,則在△BEC中，BE＝BC＝a，由余弦定理CE2＝CB2＋BE2－2CB·BE·cosB＝a2＋a2－2a2·eq\f（1,4）＝2a2－eq\f(1,2)a2＝eq\f(3，2）a2，∴CE＝eq\f（\r(6），2)a.答案：eq\f（\r（6）,2)a三、解答題(共70分）17．(本小題10分)在△ABC中,BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩個根，且2cos(A＋B）＝1.求:(1)角C的大小;(2）AB的長度．解:（1)在△ABC中，cosC＝cos[π－（A＋B)]＝－cos(A＋B）＝－eq\f（1，2),又0°〈C〈180°,∴C＝120°。（2)由題設(shè),得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3),，ab＝2，）)∴由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b）2－ab＝（2eq\r(3)）2－2＝10，∴AB＝eq\r（10).18．（本小題12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝x，BC＝1，對角線AC與BD的夾角∠BOC＝45°，記直線AB與CD的距離為h(x）．請求出h（x)的表達式，并寫出x的取值范圍．解：在△BOC中，由余弦定理,得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OCcos∠BOC,所以O(shè)B2＋OC2－eq\r(2)OB·OC＝1.①在△ABO中，由余弦定理，得BA2＝OB2＋OA2－2OB·OAcos∠BOA,所以O(shè)B2＋OA2＋eq\r(2）OB·OA＝x2。②又OC＝OA，從而由②－①,得OB·OA＝eq\f（x2－1，2\r（2))，所以S△OBA＝eq\f(1，2）OB·OAsin135°＝eq\f(\r(2)，4）OB·OA＝eq\f（x2－1,8）.又S△OBA＝eq\f（1，2)AB×eq\f（1,2)h（x），所以h（x)＝eq\f(x2－1，2x)。易知0＜h(x)≤1,所以可解得1＜x≤eq\r（2）＋1。綜上所述,所求h(x）＝eq\f(x2－1,2x）,x的取值范圍為(1，eq\r（2)＋1]．19．（本小題12分)△ABC的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(a,bc)＋eq\f(c,ab)－eq\f(b，ac)＝eq\f(1，acosC＋ccosA)。（1）求角B；(2）若△ABC的面積為eq\f（3\r（3),2),其外接圓半徑為eq\r(3），且c〉a，求c.解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,ac）＝2cosB，∴eq\f（a，bc)＋eq\f（c,ab）－eq\f（b,ac)＝eq\f(a2,abc)＋eq\f（c2,abc)－eq\f(b2，abc)＝eq\f(a2＋c2－b2，abc）＝eq\f(2cosB,b）?！鄀q\f(2cosB,b）＝eq\f（1，acosC＋ccosA)。由正弦定理，得eq\f(2cosB，sinB)＝eq\f(1,sinAcosC＋sinCcosA）＝eq\f(1，sinA＋C)。又∵A＋C＝π－B，∴2cosBsinB＝sinB。又∵sinB≠0,∴cosB＝eq\f(1，2）?！連∈（0，π），∴B＝eq\f（π,3).（2）由題意,得eq\f(b,sinB)＝2eq\r(3),∴b＝3.由△ABC的面積為eq\f（3\r（3），2），得eq\f(1，2）acsinB＝eq\f(\r(3)，4)ac＝eq\f（3\r（3)，2)，∴ac＝6。由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2＋c2－6＝9，∴a2＋c2＝15.解eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＋c2＝15，，ac＝6，）)得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2\r（3）,，c＝\r(3）））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\r（3），,c＝2\r（3).)）又∵c>a，∴a＝eq\r(3），c＝2eq\r(3)。20．(本小題12分）在△ABC中，已知（1）求證:tanB＝3tanA；(2）若cosC＝eq\f（\r(5），5），求A的值．解:(1）證明：∵∴AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB,即ACcosA＝3BCcosB.由正弦定理，得eq\f（AC，sinB)＝eq\f（BC,sinA），∴sinBcosA＝3sinAcosB。又∵0<A＋B〈π，∴cosA〉0，cosB〉0，∴eq\f(sinB,cosB）＝3×eq\f(sinA,cosA）,即tanB＝3tanA。(2）∵cosC＝eq\f(\r（5），5），0<C〈π,∴sinC＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（5），5））)\s\up12（2）)＝eq\f(2\r（5)，5），∴tanC＝2。即taneq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（π－（A＋B）)）＝2，即tan(A＋B)＝－2，∴eq\f（tanA＋tanB,1－tanAtanB）＝－2.由（1)得eq\f(4tanA,1－3tan2A）＝－2，解得tanA＝1或tanA＝－eq\f（1，3)，∵tanA>0,∴tanA＝1，∴A＝eq\f（π，4)。21.(本小題12分）某工程隊在某海域進行填海造地工程,欲在邊長為1千米的正三角形島礁ABC的外圍選擇一點D（D在平面ABC內(nèi)),建設(shè)一條軍用飛機跑道AD.在點D測得B，C兩點的視角∠BDC＝60°，如圖所示,記∠CBD＝θ，如何設(shè)計θ，使得飛機跑道AD最長？解:在△BCD中，BC＝1，∠BDC＝60°,∠CBD＝θ.由正弦定理得eq\f（BC,sin60°）＝eq\f（BD,sin120°－θ）,∴BD＝eq\f（sin120°－θ，sin60°）＝c