2020高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE25-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精模塊復(fù)習(xí)課一、正、余弦定理及其應(yīng)用1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A,B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c,R為△ABC外接圓半徑,則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容（1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f（c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA;b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形（3）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（4）sinA＝eq\f(a，2R),sinB＝eq\f（b，2R)，sinC＝eq\f（c,2R）；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；（6）asinB＝bsinA,bsinC＝csinB，asinC＝csinA（7)cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2，2ac）；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab)2。在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1，2)a·ha(ha表示邊a上的高)；（2)S＝eq\f（1，2）absinC＝eq\f（1，2)acsin_B＝eq\f(1，2)bcsin_A；(3）S＝eq\f(1，2）r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑）．二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等差數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d．3．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí),A叫做a與b的等差中項(xiàng)．4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d（n，m∈N*)．（2）若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），則ak＋al＝am＋an．（3）若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d．（4)若｛an｝，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn｝也是等差數(shù)列．（5）若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak＋m,ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(6）數(shù)列Sm,S2m－Sm，S3m－S2m,…構(gòu)成等差數(shù)列．5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2）或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1),2）d．6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f（d,2）n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))）n。數(shù)列{an｝是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn（A，B為常數(shù))7．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列{an｝中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1,公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1·qn－1（a1≠0,q≠0)．3．等比中項(xiàng)如果在a與b中插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列,那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，eq\f（G，a）＝eq\f（b，G），G2＝ab,G＝±eq\r(ab)，稱G為a，b的等比中項(xiàng)．4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m（n，m∈N＊）．(2）若｛an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＊)，則ak·al＝am·an．(3）若{an｝，{bn｝（項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛λan}(λ≠0),eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(1，an））)，{aeq\o\al（2,n）｝,{an·bn｝，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（an，bn）)）仍是等比數(shù)列．5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an｝的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn)，1－q)＝eq\f(a1－anq，1－q).6．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．四、數(shù)列求和的常用方法1．公式法直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式求和．2．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列,再求解．3．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．常見的裂項(xiàng)公式（1）eq\f(1,n（n＋1））＝eq\f（1，n)－eq\f(1，n＋1)；(2)eq\f（1,（2n－1）（2n＋1））＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2n－1）－\f（1，2n＋1)））;(3）eq\f(1,\r(n）＋\r（n＋1）)＝eq\r（n＋1）－eq\r(n)。4．倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．5．錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和．6．并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1）nf(n）類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．五、不等關(guān)系與不等式1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1）作差法eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞b，,a－b＝0?a＝b,a－b＜0?a＜b。))(a，b∈R），(2）作商法eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(\f(a，b）＞1?a＞b，，\f（a,b)＝1?a＝b,\f(a,b）＜1?a＜b.))(a∈R，b＞0)，2．不等式的基本性質(zhì)(1）對(duì)稱性：a＞b?b＜a．(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c．（3）可加性:a＞b?a＋c＞b＋c．(4)可乘性:eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a＞b，c＞0))?ac＞bc。eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a＞b,c＜0)）?ac＜bc.（5）同向可加性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，c＞d）)?a＋c＞b＋d．（6)同向可乘性:eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a＞b＞0，c＞d＞0))?ac＞bd．(7)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)．（8）可開方性：a＞b＞0?eq\r（n，a）＞eq\r（n,b)(n∈N，n≥2）．3．不等式的一些常用性質(zhì)（1）倒數(shù)的性質(zhì)①a＞b，ab＞0?eq\f（1,a）＜eq\f(1,b）.②a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f（1,b）.③a＞b＞0,0＜c＜d?eq\f（a,c)＞eq\f（b，d)。④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?eq\f（1，b)＜eq\f（1,x）＜eq\f(1,a）。（2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a＞b＞0，m＞0，則①eq\f（b，a)＜eq\f（b＋m,a＋m)；eq\f（b，a）＞eq\f（b－m，a－m)(b－m＞0)．②eq\f（a,b）＞eq\f（a＋m,b＋m）;eq\f(a,b）＜eq\f(a－m,b－m)（b－m＞0)．六、一元二次不等式及其解法1．“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0）的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0）的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜(\a\vs4\al\co1(x≠－\f（b，2a））)））{x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0)的解集｛x｜x1＜x＜x2｝??2.常用結(jié)論(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b）＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a）·（x－b）＞0｛x｜x＜a或x＞b}{x｜x≠a}｛x|x＜b或x＞a｝(x－a)·(x－b)＜0{x｜a＜x＜b｝?｛x|b＜x＜a}口訣：大于取兩邊,小于取中間．3．常見分式不等式的解法（1）eq\f(f（x）,g(x)）＞0（＜0）?f（x)·g(x)＞0(＜0)．（2)eq\f(f(x）,g（x）)≥0(≤0)?f（x）·g(x)≥0(≤0）且g（x)≠0.以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式．七、二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域（1）一般地,二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域．我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界直線．當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線．(2)對(duì)于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn),把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號(hào)都相同,所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0）作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax0＋By0＋C的符號(hào)即可斷定Ax＋By＋C〉0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．2．線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x,y的一次不等式（或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題八、基本不等式及其應(yīng)用1．基本不等式：eq\r(ab）≤eq\f（a＋b,2）(1）基本不等式成立的條件:a＞0，b＞0．（2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．2．幾個(gè)重要的不等式（1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)（2)eq\f（b,a)＋eq\f（a,b)≥2（a，b同號(hào)）．(3）ab≤eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a＋b，2)）)eq\s\up20(2）（a，b∈R）．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a＋b，2）))eq\s\up20（2)(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b。3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b，2),幾何平均數(shù)為eq\r（ab),基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0,則（1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí),x＋y有最小值2eq\r（p）．(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2）如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f（p2，4）．(簡(jiǎn)記：和定積最大)1．在△ABC中,若sinA＞sinB，則A＞B.（√）2．當(dāng)b2＋c2－a2＞0時(shí)，三角形ABC為銳角三角形．(×)［提示]只能保證A為銳角，但不能保證三角形為銳角三角形．3．在△ABC中,eq\f(a，sinA）＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC）。(√)4．在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．（√）5．若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．（×)[提示］“常數(shù)”必須強(qiáng)調(diào)為“同一個(gè)常數(shù)”．6．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．（√）7．?dāng)?shù)列｛an｝為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（√）8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q（其中p，q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．（√)9．滿足an＋1＝qan（n∈N＊，q為常數(shù))的數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列．(×）［提示]必須強(qiáng)調(diào)q≠0。10．G為a,b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.（×)[提示]G2＝ab不能得出G是a，b的等比中項(xiàng)，如G＝0,a＝0,b＝1。11．如果數(shù)列{an｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛lnan}是等差數(shù)列．（×)［提示]當(dāng)an＞0時(shí)，結(jié)論才能成立．12．?dāng)?shù)列｛an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(a（1－an），1－a）.（×)[提示］公式成立的條件是a≠0，且a≠1.13．若eq\f（a，b）＞1,則a＞b。(×）[提示］若eq\f(a,b）＞1，則a＞b成立的條件是b＞0。14．一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變．(×）［提示］不等式兩邊所乘的應(yīng)是同一個(gè)正數(shù)．15．a(chǎn)＞b＞0，c＞d＞0?eq\f（a，d）＞eq\f(b，c）。(√）16．若ab＞0,則a＞b?eq\f（1,a）＜eq\f（1,b）.（√）17．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪（x2，＋∞）,則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根是x1和x2.（√)18．若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.（×）［提示]當(dāng)a＞0或a＝0，b＝0且c＞0時(shí)，結(jié)論才能成立．19．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)［提示]當(dāng)a＝0，b＝0且c≤0時(shí),不等式在R上也是恒成立的．20．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(√)21．點(diǎn)（x1,y1),(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是（Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C）＞0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)（Ax2＋By2＋C)＜0。（√）22．第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy＜0表示．（√）23．線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的．（×)[提示］線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可以有多個(gè)，也可以有無限多個(gè)．24．最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．(√）25．函數(shù)y＝x＋eq\f(1，x)的最小值是2.(×)［提示］當(dāng)x＞0時(shí)，x＋eq\f(1，x）的最小值是2。26．函數(shù)f(x)＝cosx＋eq\f(4,cosx），x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2）)）的最小值等于4.(×)[提示］cosx≠eq\f(4，cosx)。27．“x＞0且y＞0”是“eq\f(x,y）＋eq\f（y,x)≥2”的充要條件．（×)[提示］eq\f（x,y)＋eq\f（y,x）≥2D?/x＞0且y＞0，如x＝－4，y＝－1。28．若a＞0，則a3＋eq\f（1，a2)的最小值為2eq\r(a）.(×）[提示]2eq\r（a)不是定值．29．不等式a2＋b2≥2ab與eq\f（a＋b,2）≥eq\r(ab）有相同的成立條件．（×)[提示]a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R。eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是a＞0，b＞0.30．兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．(√）1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2，4)，則C＝（）A．eq\f（π,2）B．eq\f（π,3)C．eq\f(π,4）D．eq\f(π，6）C[因?yàn)镾△ABC＝eq\f(1，2)absinC，所以eq\f（a2＋b2－c2,4）＝eq\f(1,2）absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，C＝eq\f（π,4）.故選C.］2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2）＝eq\f(\r(5），5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝(）A．4eq\r(2）B．eq\r（30）C．eq\r(29）D．2eq\r（5)A［因?yàn)閏oseq\f(C，2)＝eq\f(\r（5)，5），所以cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×(eq\f（\r（5)，5））2－1＝－eq\f（3，5）。于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×(－eq\f（3，5)）＝32,所以AB＝4eq\r(2）.故選A.]3．(2017·全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)x,y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤3，，x－y≥1，,y≥0,))則z＝x＋y的最大值為（)A．0B．1C．2D．3D[根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示,由z＝x＋y得y＝－x＋z。作出直線y＝－x，并平移該直線，當(dāng)直線y＝－x＋z過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．由圖知A（3，0），故zmax＝3＋0＝3.故選D。]4．（2017·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a,b，c。已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0,a＝2，c＝eq\r(2），則C＝(）A．eq\f(π，12）B．eq\f(π，6）C．eq\f（π，4)D．eq\f（π，3)B[因?yàn)閍＝2,c＝eq\r(2），所以由正弦定理可知，eq\f（2，sinA）＝eq\f（\r（2）,sinC）,故sinA＝eq\r（2)sinC.又B＝π－（A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C）＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA）sinC＝0.又C為△ABC的內(nèi)角，故sinC≠0，則sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1。又A∈（0，π），所以A＝eq\f(3π，4)。從而sinC＝eq\f(1,\r(2）)sinA＝eq\f（\r（2）,2)×eq\f(\r(2)，2）＝eq\f(1，2)。由A＝eq\f(3π，4）知C為銳角，故C＝eq\f(π，6)。故選B.］5．（2018·全國(guó)卷Ⅱ）若x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，，x－2y＋3≥0，，x－5≤0,）)則z＝x＋y的最大值為________．9［法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y可化為y＝－x＋z,作出直線y＝－x，并平移，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),z取得最大值．聯(lián)立，得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x－2y＋3＝0，，x－5＝0，）)解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝5,,y＝4，））所以B（5，4)，故zmax＝5＋4＝9.法二：畫圖（圖略)知可行域是封閉的三角形區(qū)域，易求得可行域的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，2），(5,4)，（5，0)，依次代入目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y可求得z的值是3，9,5，故zmax＝9.］6．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________．eq\f(2\r（3）,3)［由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC,因?yàn)閟inBsinC≠0，所以sinA＝eq\f(1,2).因?yàn)閎2＋c2－a2＝8，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc），所以bc＝eq\f(8\r(3),3),所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2）×eq\f（8\r（3),3）×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r（3)，3）.］7．（2016·全國(guó)卷Ⅰ）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1。5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0。3kg,用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為________元．216000[設(shè)出產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的產(chǎn)量,列出產(chǎn)品A,B的產(chǎn)量滿足的約束條件，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解．設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件，產(chǎn)品By件，則eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(1.5x＋0。5y≤150，，x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*,,y≥0，y∈N*.)）目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y。作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分（包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（60，100)，(0,200），（0，0），（90，0）．當(dāng)直線z＝2100x＋900y經(jīng)過點(diǎn)(60，100)時(shí)，z取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．］8．（2017·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a,b，c,若2bcosB＝acosC＋ccosA,則B＝________．eq\f（π,3）[法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B?！?sinBcosB＝sin（π－B)＝sinB。又sinB≠0，∴cosB＝eq\f（1,2）。∴B＝eq\f（π,3）。法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝eq\f(1,2）。又0＜B＜π,∴B＝eq\f(π，3)。]9．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1,nan＋1＝2(n＋1）an.設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1）求b1,b2，b3;（2）判斷數(shù)列｛bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由；(3)求{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)由條件可得an＋1＝eq\f(2（n＋1），n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以,a2＝4.將n＝2代入得,a3＝3a2，所以，a3＝12.從而b1＝1,b2＝2，b3＝4.（2）{bn｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得eq\f（an＋1,n＋1)＝eq\f（2an，n）,即bn＋1＝2bn,又b1＝1，所以｛bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列．(3)由（2)可得eq\f(an，n）＝2n－1，所以an＝n·2n－1。10．（2018·全國(guó)卷Ⅲ）等比數(shù)列{an｝中，a1＝1,a5＝4a3.（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；(2）記Sn為｛an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m。[解]（1）設(shè)｛an}的公比為q,由題設(shè)得an＝qn－1。由已知得q4＝4q2，解得q＝0（舍去),q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1。（2)若an＝（－2）n－1，則Sn＝eq\f（1－（－2）n,3）.由Sm＝63得(－2）m＝－188,此方程沒有正整數(shù)解．若an＝2n－1，則Sn＝2n－1。由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.11．（2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋（2n－1)an＝2n.（1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；（2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f（an，2n＋1)))的前n項(xiàng)和．[解］（1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋（2n－3)an－1＝2(n－1）,兩式相減得（2n－1）an＝2,所以an＝eq