4隱函數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)課件

第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第三章第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第三章1高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運動高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運動2定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為3設(shè)求解:依次類推,例1.思考:設(shè)問可得設(shè)求解:依次類推,例1.思考:設(shè)問可得4例2.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求例2.設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例35例4.

設(shè)求解:一般地,類似可證:例4.設(shè)求解:一般地,類似可證:6例5設(shè)求解令利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得一般地,……類似可得例5設(shè)求解令利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得一般地,……類似可得7例6設(shè)求解因為所以例6設(shè)求解因為所以8例7設(shè)求解……一般地,例7設(shè)求解……一般地,9例8設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例9設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例8設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例9設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得10例9

.設(shè)解:例9.設(shè)解:11例10.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)例10.設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)12規(guī)律高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茨(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)規(guī)律規(guī)律高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常13規(guī)律用數(shù)學歸納法可證規(guī)律用數(shù)學歸納法可證14例11.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得例11.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得15例12.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即由得例12.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即16第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三章第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三17一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對x求導(dǎo)(注意y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)的方程)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示18例1.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對x求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例1.求由方程在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對19例2.

求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即例2.求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x20解:設(shè)隱函數(shù)為求將兩端對求導(dǎo),即再將上式兩端對求導(dǎo),得解得將代入,得得例3.解:設(shè)隱函數(shù)為求將兩端對求導(dǎo),即再將上式兩端對求導(dǎo),得解得將21例4設(shè)求解兩邊都是冪指函數(shù)，兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo),得即故對例4設(shè)求解兩邊都是冪指函數(shù)，兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo),得即故22二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成x是y的函數(shù))關(guān)系,二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與23若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).24?例5.設(shè),且求已知解:注意:對誰求導(dǎo)?

?例5.設(shè),且求已知解:注意:對誰求導(dǎo)?25例6.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則例6.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動26拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t27三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化28例7.

一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對t求導(dǎo)已知

h=500m時,例7.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速29思考題:當氣球升至500m時停住,有一觀測者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:對t求導(dǎo)已知求思考題:當氣球升至500m時停住,有一觀測者以30試求當容器內(nèi)水例8.

有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內(nèi)注水,位等于錐高的一半時水面上升的速度.解:設(shè)時刻t容器內(nèi)水面高度為

x,水的兩邊對t

求導(dǎo)而故體積為V

,則試求當容器內(nèi)水例8.有一底半徑為Rcm,高為h31

作業(yè)P73習題3(3)P76習題2(1)，3（2），P80習題1(4),3(2),4(1)

作業(yè)32第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第三章第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第三章33高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運動高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運動34定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為35設(shè)求解:依次類推,例1.思考:設(shè)問可得設(shè)求解:依次類推,例1.思考:設(shè)問可得36例2.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求例2.設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例337例4.

設(shè)求解:一般地,類似可證:例4.設(shè)求解:一般地,類似可證:38例5設(shè)求解令利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得一般地,……類似可得例5設(shè)求解令利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得一般地,……類似可得39例6設(shè)求解因為所以例6設(shè)求解因為所以40例7設(shè)求解……一般地,例7設(shè)求解……一般地,41例8設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例9設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例8設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例9設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得42例9

.設(shè)解:例9.設(shè)解:43例10.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)例10.設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)44規(guī)律高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茨(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)規(guī)律規(guī)律高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常45規(guī)律用數(shù)學歸納法可證規(guī)律用數(shù)學歸納法可證46例11.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得例11.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得47例12.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即由得例12.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即48第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三章第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三49一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對x求導(dǎo)(注意y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)的方程)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示50例1.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對x求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例1.求由方程在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對51例2.

求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即例2.求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x52解:設(shè)隱函數(shù)為求將兩端對求導(dǎo),即再將上式兩端對求導(dǎo),得解得將代入,得得例3.解:設(shè)隱函數(shù)為求將兩端對求導(dǎo),即再將上式兩端對求導(dǎo),得解得將53例4設(shè)求解兩邊都是冪指函數(shù)，兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo),得即故對例4設(shè)求解兩邊都是冪指函數(shù)，兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo),得即故54二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成x是y的函數(shù))關(guān)系,二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與55若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).56?例5.設(shè),且求已知解:注意:對誰求導(dǎo)?

?例5.設(shè),且求已知解:注意:對誰求導(dǎo)?57例6.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則例6.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動58拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t59三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化60例7.

一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對t求導(dǎo)已知

h=500m時,例7.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速61思考題:當氣球升至500m時停住,有一觀測者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:對t求導(dǎo)已知求思考題:當氣球升至500m時停住,有一