623 向量的數(shù)乘運(yùn)算

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過實(shí)例分析、掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義.了解平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.通過向量數(shù)乘運(yùn)算知識的形成過程，體會數(shù)學(xué)抽象在概念及性質(zhì)的產(chǎn)生發(fā)展過程中的作用，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)知識探究教材知識探究*情境引入一根細(xì)繩東西方向擺放，一只螞蟻在細(xì)繩上做勻速直線運(yùn)動，如果螞蟻向東運(yùn)動1秒鐘的位移對應(yīng)的向量為打，那么它在同一方向上運(yùn)動4秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是4a嗎？螞蟻向西運(yùn)動4秒鐘的位移對應(yīng)的向量又怎樣表示？是一4a嗎？你能用圖形表示嗎？問題類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算“i+i+i+i=4i”你能猜想實(shí)例中a+a+a+a的結(jié)果嗎？提示a+a+a+a=4a，結(jié)果為向量.>新知椅理向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算⑴定義：規(guī)定實(shí)數(shù)A與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作:也，它的長度和方向規(guī)定如下：Ual=l4llal；當(dāng)A>0時，癡的方向與a的方向相同;當(dāng)A<0時，癡的方向與a的方向相反.由①可知，當(dāng)A=0時，扃=0；由①②知，（一1）a=—a.（2）運(yùn)算律：設(shè)4,/為任意實(shí)數(shù)，則有：①吐（妃）=（加）a；

（久+如=m+她;加+b）=加+雅；特別地，有（一久）a—（加）=久（一a）；X（a—b'）=^g—Xb.（3）向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量的線性運(yùn)算結(jié)果仍是向量.對于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)久，u1,u2，恒有^（u1a±u2b）=iu^±Au2b.共線向量定理三點(diǎn)共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題向量a（a尹0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)久，使b=a.也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個韭零回量表示.教材拓展補(bǔ)遺［微判斷］若向量b與a共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)久使b=如（X）2.若b=a，則a與b共線（其中久為實(shí)數(shù)）.（"）3.若如=0，則a=0（其中久為實(shí)數(shù)）.（X）提示1.當(dāng)b=0,a=0時，實(shí)數(shù)久不唯一.當(dāng)a=0,b尹0時，不存在實(shí)數(shù)久.2.由共線向量定理可知其正確.若如=0,則a=0或久=0.［微訓(xùn)練］1.已知非零向量1.已知非零向量a，b滿足a=4b則（A.lal=lblC.a與A.lal=lblC.a與b的方向相同Da與b的方向相反解析Va=4b,4>0,lal=4lbl.V4b與b的方向相同，.*.a與b的方向相同.答案C2.在2.在ABCD中，AB=2a，AD=3b，則AC等于（）B.a—bA.a＋bC.2a＋3bD.2a—3b解析AC=AB+ADB.a—bC.2a＋3b答案C一一.，—?一—3.已知AB=a+4b，BC=2b—aCD=2(a+b)，則()A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,D三點(diǎn)共線C.A,C,D三點(diǎn)共線D.B,C,D三點(diǎn)共線解析?「BC+CD一一.，—?一—3.已知AB=a+4b，BC=2b—aCD=2(a+b)，則()又?.?兩向量有公共點(diǎn)B,:.A,B,D三點(diǎn)共線.答案B[微思考]實(shí)數(shù)與向量可以相乘，那么能否相加或相減呢？提示不能進(jìn)行加減，像a+4,a—4都是沒有意義的.若向量a是非零向量，則向量各與向量a有什么關(guān)系？iai提示因為向量a是非零向量，所以lal>0,根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義可知：旨是與向量a同向的單位向量.向量的共線定理：向量a(a尹0)與向量b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實(shí)數(shù)4,使得b=4a.其中“當(dāng)且僅當(dāng)”是怎樣理解的？提示(1)對于向量a(a尹0)與向量b，如果有一個實(shí)數(shù)4，使得b=4a，則根據(jù)向量數(shù)乘的定義可知a，b共線；(2)反之，如果向量a(a尹0)與向量b共線，則存在一個實(shí)數(shù)4，使得b=4a.題型一向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算類似于多項式的運(yùn)算，主要是合并同類項，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)【例1】(1)3(6a+b)-9(a+|bj=；⑵若2&—3“]—?(c+b-3/)+b=0,其中a,b,c為已知向量，則未知向量y=.解析(1)3(6a+b)—9J+3b]=18a+3b—9a—3b=9a.(2)將原等式變形為

?2113_,2y—3?—2^—2^+^^+^—0,211^721…1—3a—2c+2。=0,尹=3”一]b+]c答案(1)9a(2)2ya—7b+7c2。11)2。11)4?7=7頃—2b+2c戶并7"17c.規(guī)律方法向量的初等運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，其化簡的方法與代數(shù)式的化簡類似，可以進(jìn)行加、減、數(shù)乘等運(yùn)算，也滿足運(yùn)算律，可以進(jìn)行去括號、移項、合并同類項等變形手段.【訓(xùn)練1】化簡下列各式：2125(a—b)—3(2a+4b)+妥(2a+13b)；⑵(2m—n)a—mb—(m—n)(a—b)(m，n為實(shí)數(shù)).(224),(24,26\解(1)原式—5—3+13*+[—5—3+正b=0.原式=2ma—na—mb—m(a—b)+n(a—b)=2ma—na—mb—ma+mb+na—nb=ma—nb.題型二向量共線的判定及應(yīng)用向量共線的判定(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷是否共線【例2】設(shè)a,b是不共線的兩個非零向量.⑴若OA=2a—b,OB=3a+b,OC=a—3b，求證：A,B,C三點(diǎn)共線;⑵若8a+kb與ka+2b共線，求實(shí)數(shù)k的值.⑴證明yAB=dB—dA=(3a+b)—(2a—b)=a+2b,―?―?―?一,一一,一一―?WBC=OC—OB=(a—3b)—(3a+b)=—(2a+4b)=—2AB,??.疝與無共線，且有公共點(diǎn)B,「.A,B,C三點(diǎn)共線.⑵解...8a+kb與ka+2b共線，存在實(shí)數(shù)4,使得8a+kb=4(ka+2b),即(8—M)a+儂一24)8=0.?.?&與b不共線，,J8—M=0,\k-24=0,解得4=±2,.*.k=24=±4.規(guī)律方法1.證明或判斷三點(diǎn)共線的方法一般來說，要判定A,B,C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)4,使得疝=4AC(或BC=4AB等)即可.利用結(jié)論：若A,B,C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)存在實(shí)數(shù)尤，y,使OA=xOB+yOC且x+y=1.2.利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求4,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得4的值.題型三用已知向量表示其他向量利用已知向量表示未知向量時要善于運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則，還應(yīng)重視平面幾何定理的應(yīng)用【例3】如圖所示，四邊形OADB是以向量OA=a,oB=b為鄰邊的平行四邊形.又bm=\bc，CN=3cD，試用a，b表示OM，ON,MN.OpA解因為BM=|bC=1BA=6((9A—oB)=^(a—b),所以O(shè)M=OB+BM=b+§a--1b=6a+6b.因為cn=3cd=：od,所以oN=oC+CN=2oD+}oD=2OD=2(OA+OB)=2(a+b).V-ZJJJ

MN=ON—C^M=|(a+^)—ga—|b=|a—?.【遷移1】在例3中，試用a,b表示（M.解CM=—2BM=—2X|(a—b)=—3a+3，.【遷移2】在例3中，若CD=a,AB=b,其他條件不變，試用a,b表示亦.解]MN=CN—(CM=la—13b.規(guī)律方法用已知向量表示其他向量的兩種方法⑴直接法批合國毋的特征.把持求向堂盤在、【二＞‘匚甫那就平我時辿書中JL［詁備，■的三籬彬法則就平有四邊/〔旗示）一形法則及向量暴嵯定浬用已加向黃

裊示未如向量，⑵方程法當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.【訓(xùn)練2】在AABC中，若點(diǎn)D滿足BCD=2DC,貝魅方等于（b.|ab—|acA1O,2CA.3AC+3AB1一—3AB-2c[1cD.|AC+|AB解析示意圖如圖所示，由題意可得ad=ab+bD=aB+|Bc=ab+|(ac—ab)=|ab+|ac.b.|ab—|ac1一—3AB核心素養(yǎng)IMIIIII全面提升IBM網(wǎng)|―、素養(yǎng)落地通過學(xué)習(xí)平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過學(xué)習(xí)兩個平面向量共線定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).核心素養(yǎng)實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如4+a,X~a是沒有意義的.勿幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的I刀倍，向量各表示與向量a同向的單位向量.lai共線向量定理是證明三點(diǎn)共線的重要工具，即三點(diǎn)共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題.二、素養(yǎng)訓(xùn)練下列各式計算正確的有()?(—7)6a=—42a；7(a+/)—8A=7a+15/；a—2，+a+2ft=2a；4(2a+/)=8a+4反A.1個B.2個C.3個D.4個解析①③④正確，②錯，7(a+b)—8b=7a+7b—8b=7a—b.答案C設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m=~e1+ke2(k^R)與向量n=e2~2e1共線，則()1A.k=0B.k=1C.k=2D.k=2解析由共線向量定理可知存在實(shí)數(shù)4,使m=Xn,即一e】+ke2=A(e2—2e1)=4e2—24e1，「fk=1f—1=—24,Jk2，又e1與e2是不共線向量，...，。解得[1[k=4,〔4=|.3.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB^AD=XAb，則4=解析..?四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O,\AB^Aj）=AC=2AO,.?以=2.答案24.如圖所示，已知Ap=|aB，用OA,OB表示OP.課后作業(yè)［鞏固提高ii基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.下列說法中正確的是（）加與a的方向不是相同就是相反（4為實(shí)數(shù)）若a，b共線，則b=4a（4為實(shí)數(shù)）若lbl=2lal，則b=±2a若b=±2a，則lbl=2lal解析顯然當(dāng)b=±2a時，必有l(wèi)bl=2lal.答案D2.3（2a-4b）等于（）A.5a+7bB.5a-7bC.6a+12bD.6a-12b解析利用向量數(shù)乘的運(yùn)算律，可得3（2a_4b）=6a_12b，故選D.答案D3.在△ABC中，已知D是AB邊上的一點(diǎn)，若AD=2DB，CD=*A+4CB，則4等于（）1C.23D-41A.3TOC\o"1-5"\h\z1.2解析?A,B,D三點(diǎn)共線，..3+4=1,4=3.1C.23D-4答案B4.設(shè)D,E,F分別為^ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，則eB+FC等于（.e1Ee1E^A.BCB.2ADC.ADD.2BC解析如圖，eb+FC=Ec+cB+fB+bC=Ec+fB1一|一1c一一=2（AC+AB）=2X2AD=AD.答案C已知P,A,B,C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且PA+pB+pC=AC，則下列向量一定共線的是()A.PC與PBB.PA與PBC.PA與PC?；ㄅc疝解析因為pa+pB+pC=ac,所以pa+pB+pC+ca=o,即一2pa=pB，所以PA與PB共線.答案B二、填空題如果實(shí)數(shù)p和非零向量a與b滿足pa+(p+1)b=0,則向量a和b(填“共線”或“不共線”).p+1解析由題知實(shí)數(shù)p尹0,則pa+(p+1)b=0可化為a=b,由向量共線定理可知a,b共線.答案共線

7.已知在AABC中，點(diǎn)M滿足MA^MB^MC=Q,若存在實(shí)數(shù)秫使得疝+成?=秫疝f成立，貝I]m=.解析?詭+協(xié)+辰=0,?.?點(diǎn)M是△ABC的重心..*.AB+AC=3AM,.頊=3.答案38.已知。，A,8是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線A8上，若亦=3房+尤施，則x=.解析因為點(diǎn)尸在直線A8上,所以AP=AAB,4ER,OP-dA=X(OB-Oi),(]—久—3即OP=XOB^r(l-^OA,所以七’所以x=~2.[A=x,答案一2三、解答題9.計算:2(3。+2萬)—^a—b⑴6(3〃一涉)+2(3。+2萬)—^a—b即+%)7(3)6(&—5+c)—4(打一2/+c)—2(—2a+c).解(1)原式—18a—12b—18“+9》=—3b.7(2)原式_7(3)原式=6a~6bJr6c~4a~\~Sb~4c~\-4a~2c=(6a—4a+4a)+(8,一6b)+(6c一4c_2c)=6a+2b.10.在ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NT,M為BC的中點(diǎn)，求疝V(用a,b表示).

解法一如圖所示，在ABCD中，AC交BD于O點(diǎn),則O平分AC和BD.?AN=3NC,/.2vC=1AC,???N為OC的中點(diǎn)，又M為BC的中點(diǎn)，?MN^?BO,■—1-^1—1-..MN=2BO=4BD=4（b—a）.」ii法二M法二MlN=MlB+BA+AN=^1b-a131、=—]b—a+4（a+b）=4（b—a）.能力提升11.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F,若AC=a,BD=b,貝修萬等于（）1,1A.,a1,1A.,a+2bC.ga+jbB.3a+3b,1D.^a+^bDFDE1解析?「△DEFsABEA,A岳=瓦=3,adf=|ab=|dc,aAf=Ad+2）F=AD+|Ab.?AC=AB^AD=a,BD=AD—AB=b,聯(lián)立得：AB=2（a-b）,AD=2（a+b）,"1,i…1/,、2|1..?入尸=2（“+萬）+6（"一力）=鏟+3反答案D12.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且1BN=^D.DD求證：M,N,C三點(diǎn)共線.證明設(shè)BA=a,BC=b,則由向量減法的三角形法則可知:11_CM=BM—BC=^BA—BC=a—b.又,:N在BD上且BN=BD,1—?1—>?.—