8數(shù)學(xué)思想與方法課件

2022/12/101第八講數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)思想與方法概述18世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法公理化數(shù)學(xué)機(jī)械化2022/12/101第八講數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)思想2022/12/102一、數(shù)學(xué)思想與方法概述

數(shù)學(xué)思想：關(guān)于數(shù)學(xué)概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)自身規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中所運(yùn)用的具體手段（或途徑）。數(shù)學(xué)思想方法：人們混用數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法，有時(shí)不一定要嚴(yán)格區(qū)分，合稱(chēng)數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，重大數(shù)學(xué)成果的取得，往往與數(shù)學(xué)思想方法的突破分不開(kāi)。我們不只是為了了解、理解一些具體的數(shù)學(xué)思想方法，更著眼于在認(rèn)識(shí)論、世界觀和方法論等方面有所提高。2022/12/102一、數(shù)學(xué)思想與方法概述數(shù)學(xué)思想：關(guān)于2022/12/103數(shù)學(xué)思想方法比具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更重要數(shù)學(xué)在其漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，不僅建立了嚴(yán)密的知識(shí)體系，而且形成了一整套行之有效的思想和方法．日本數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在從事多年的數(shù)學(xué)教育研究之后，說(shuō)過(guò)這樣一段話(huà)：“學(xué)生們?cè)诔踔谢蚋咧兴鶎W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門(mén)后不到一兩年就忘掉了．然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用”。在提高人的素質(zhì)中發(fā)揮重要作用的是在長(zhǎng)期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步形成的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，而不是具體數(shù)學(xué)知識(shí)．2022/12/103數(shù)學(xué)思想方法比具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更重要數(shù)學(xué)2022/12/104蘊(yùn)含的思想與抽象出來(lái)的思想數(shù)學(xué)思想，包括蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中的思想以及從中抽象出來(lái)的成為規(guī)律性的思想[美]M．克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》（MathematicalThoughtfromAncienttoModernTime）（4冊(cè)）蘇聯(lián)亞歷山大洛夫等于1956年發(fā)表的著作《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》，當(dāng)屬前一類(lèi)思想國(guó)內(nèi)，徐利治等一批數(shù)學(xué)家和教育家的工作屬后者。2022/12/104蘊(yùn)含的思想與抽象出來(lái)的思想數(shù)學(xué)思想，包2022/12/105數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)度包裝今天，學(xué)生們的數(shù)學(xué)知識(shí)，主要是從數(shù)學(xué)課程中獲得的。通常的數(shù)學(xué)課程給出的是一個(gè)系統(tǒng)的邏輯敘述，這些課程經(jīng)過(guò)編纂者的錘煉，成為“完美”的典范。這就使學(xué)生們淹沒(méi)在成串的定理中，并產(chǎn)生一種幻象：數(shù)學(xué)就是從定義到定理，數(shù)學(xué)家們都是無(wú)堅(jiān)不克的英雄。2022/12/105數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)度包裝今天，學(xué)生們的數(shù)學(xué)知2022/12/106歷史卻恰恰相反“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過(guò)程的斗爭(zhēng)、挫折，以及在建立一個(gè)可觀的結(jié)構(gòu)之前，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長(zhǎng)的道路。學(xué)生一旦知道這一點(diǎn)，他將不僅獲得真知灼見(jiàn)，還將獲得頑強(qiáng)地追究他所攻問(wèn)題的勇氣，并且不會(huì)因?yàn)樗约旱墓ぷ鞑⒎峭昝罒o(wú)缺而感到頹喪。實(shí)在說(shuō)，敘述數(shù)學(xué)家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進(jìn)，并且如何零零碎碎得到他們的成果，應(yīng)能使搞研究工作的任一新手鼓起勇氣?！?022/12/106歷史卻恰恰相反“課本中的字斟句酌的敘述2022/12/107二、18世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法提出了許多具體的方法，以解決數(shù)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出了公理方法，將大量的、零散的幾何知識(shí)系統(tǒng)化，并由歐幾里得等人完成了《幾何原本》。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽提出了“割圓術(shù)”，以解決長(zhǎng)期存在的、圓周率計(jì)算不精確的問(wèn)題，其中包含著極限思想方法的萌芽。英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)方法，以解決天文觀測(cè)及貿(mào)易中存在的繁重的數(shù)字計(jì)算問(wèn)題。2022/12/107二、18世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法提出了許多2022/12/108法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡確立了數(shù)學(xué)歸納法，以解決數(shù)學(xué)論證中存在的不嚴(yán)密的問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾提出了坐標(biāo)法、用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，并從而開(kāi)創(chuàng)了不同數(shù)學(xué)分支相結(jié)合的思想方法。英國(guó)的牛頓與德國(guó)的萊布尼茨創(chuàng)立了無(wú)窮小量方法。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日共同建立了變分法，以解決“等周問(wèn)題”、“最速降線問(wèn)題”等長(zhǎng)期解決不了的極大與極小問(wèn)題等。2022/12/108法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡確立了數(shù)學(xué)歸納法，以解2022/12/109三、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想與方法創(chuàng)立了一批具有突破性、系統(tǒng)性的思想方法，促使數(shù)學(xué)的某些分支發(fā)生了革命性的變革；

主要體現(xiàn)在代數(shù)學(xué)、分析學(xué)分支以及公理化體系、數(shù)學(xué)機(jī)械化等領(lǐng)域。2022/12/109三、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想與方法創(chuàng)立了一批具有2022/12/10101.代數(shù)學(xué)中群論的思想方法。19世紀(jì)以來(lái)，人們?cè)谔角笪宕魏臀宕我陨洗鷶?shù)方程的代數(shù)解法問(wèn)題上，打破了百余年來(lái)毫無(wú)進(jìn)展的僵局。首先由挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了五次方程代數(shù)解法的不可能性。其次，又由法國(guó)青年數(shù)學(xué)家伽羅華提出了“群”的概念，后發(fā)展為一整套群論的思想方法，徹底地解決了五次及五次以上方程的求解問(wèn)題。2022/12/10101.代數(shù)學(xué)中群論的思想方法。2022/12/1011數(shù)學(xué)是研究相互關(guān)系的學(xué)問(wèn)不僅如此，群論的思想方法，在代數(shù)學(xué)的其他分支、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論乃至數(shù)學(xué)以外的許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。由于群論的誕生，使傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象由具體的“數(shù)”擴(kuò)充為更加抽象的“量”，由量之間的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系發(fā)展為更為一般的關(guān)系，從而使代數(shù)這門(mén)學(xué)科發(fā)生了轉(zhuǎn)折性的變化。2022/12/1011數(shù)學(xué)是研究相互關(guān)系的學(xué)問(wèn)不僅如此，群2022/12/10122.分析學(xué)中的極限與集合論的思想方法19世紀(jì)30年代至50年代，法國(guó)的柯西與德國(guó)的魏爾斯特拉斯等人，在給出函數(shù)、極限等概念以精確化描述的基礎(chǔ)上，又通過(guò)嚴(yán)格化了的極限思想方法與實(shí)數(shù)理論改造了微積分，并使其嚴(yán)密化和標(biāo)準(zhǔn)化。這是微積分學(xué)科發(fā)展史上的一個(gè)重要里程碑。1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出了集合論思想，建立起無(wú)限集的勢(shì)、序型等概念以及無(wú)限集合論和超限數(shù)理論，證明了代數(shù)集合可以和整數(shù)集合一一對(duì)應(yīng)，所有實(shí)數(shù)集合不可數(shù)性，發(fā)展了無(wú)限集合勢(shì)的比較原理，引入了連續(xù)公理即康托爾公理等，并從而創(chuàng)立了集合論的理論。這一理論的創(chuàng)立，不僅為微積分的理論奠定了穩(wěn)固的基礎(chǔ)，而且對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，尤其對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探討，也具有巨大而深遠(yuǎn)的促進(jìn)作用。2022/12/10122.分析學(xué)中的極限與集合論的思想方2022/12/10133.公理化思想這一時(shí)期，還形成了影響廣泛的數(shù)學(xué)公理化方法。到了19世紀(jì)末20世紀(jì)初，由于非歐幾何、無(wú)理數(shù)理論、集合論的建立，有力地促進(jìn)了數(shù)學(xué)公理化方法研究的開(kāi)展。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)表了“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”，提出用變換群的觀點(diǎn)，給出各種幾何學(xué)的綜合分類(lèi)，以統(tǒng)一整個(gè)幾何學(xué)。1899年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特出版了《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書(shū)（身前最后一版是第七版，1930年），給出歷史上第一個(gè)完備的歐幾里得幾何公理系統(tǒng)（相較于歐幾里得的《幾何原本》），預(yù)示了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的形式主義觀點(diǎn)，使公理化方法深入到數(shù)學(xué)的更多分支。1908年，集合論完成了公理化，本世紀(jì)20年代，又實(shí)現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的公理化，從而使公理化方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)各個(gè)分支。這場(chǎng)公理化運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)的影響是前所未有的。2022/12/10133.公理化思想這一時(shí)期，還形成了影響2022/12/10144.模糊數(shù)學(xué)方法模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。所謂模糊性，主要是指客觀事物的差異在中介過(guò)渡時(shí)所呈現(xiàn)的“亦此亦彼”的特征。在社會(huì)、自然現(xiàn)象中，確實(shí)存在著不少“非此即彼”的現(xiàn)象，一是一、二是二，絕對(duì)不能混淆，這也是康托爾集合的特點(diǎn)。但也有一些對(duì)立概念之間沒(méi)有絕對(duì)分明的界限，如：高個(gè)子與矮個(gè)子，優(yōu)秀與良好等。也就是說(shuō)，這些概念都沒(méi)有絕對(duì)明確的外延。沒(méi)有明確外延的概念，叫做模糊概念。模糊概念不能用康托爾集合論來(lái)刻劃，于是產(chǎn)生了刻劃模糊概念的模糊集合論，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)。2022/12/10144.模糊數(shù)學(xué)方法模糊數(shù)學(xué)是研究和處理2022/12/1015模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是以數(shù)學(xué)的精確性，研究和處理現(xiàn)象的模糊性。它和概率論同屬不確定數(shù)學(xué)，但概率論的研究對(duì)象是事物的偶然現(xiàn)象，模糊數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是事物的模糊現(xiàn)象，它們之間有深刻的聯(lián)系，又有本質(zhì)的不同。人腦能很便捷地處理模糊信息，如對(duì)事物的辨識(shí)、用力的平衡等。計(jì)算機(jī)的模糊識(shí)別與人工智能是計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展方向之一。2022/12/1015模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是以數(shù)學(xué)2022/12/1016馬克思和恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)思想的闡發(fā)馬克思和恩格斯在自己的著作，尤其是《數(shù)學(xué)手稿》和《自然辯證法》中，闡發(fā)了極其豐富的數(shù)學(xué)思想，從思想方法角度論述了數(shù)學(xué)發(fā)展史上若干重大成果和著名數(shù)學(xué)家。馬克思曾指出:“一門(mén)科學(xué)只有成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)時(shí),才算真正達(dá)到了完善的地步。”恩格斯在評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)在哲學(xué)上的重要地位時(shí)說(shuō)：“要確立辯證的同時(shí)又是唯物主義的自然觀，需要具備數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的知識(shí)。”恩格斯在論及微積分以及“無(wú)限”的現(xiàn)實(shí)原形時(shí)指出：物質(zhì)是按質(zhì)量的相對(duì)的大小分成一系列較大的、容易分清的組，使每一組的各個(gè)組成部分互相間在質(zhì)量方面都有確定的、有限的比值，但對(duì)于臨近的組的各個(gè)組成部分則具有在數(shù)學(xué)意義下的無(wú)限大或無(wú)限小的比值。恩格斯這里所說(shuō)的各個(gè)“組”，指的就是物質(zhì)的不同數(shù)量層次。2022/12/1016馬克思和恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)思想的闡發(fā)馬克思2022/12/1017馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》，是一部卓越的數(shù)學(xué)哲學(xué)著作，是自然辯證法的珍貴歷史文獻(xiàn)。在此著作中，馬克思運(yùn)用唯物辯證法的基本觀點(diǎn)，考察了數(shù)學(xué)，特別是微積分學(xué)思想的歷史演變，揭示了數(shù)學(xué)某些內(nèi)容的辯證實(shí)質(zhì)，分析了方法的轉(zhuǎn)化在微分學(xué)建立中的重要意義，總結(jié)了學(xué)術(shù)觀點(diǎn)的論爭(zhēng)對(duì)于微分學(xué)發(fā)展的積極作用。因此有著深刻的方法論意義。馬克思盡一切可能收集、閱讀有關(guān)文獻(xiàn)資料，細(xì)心地作出內(nèi)容提要和撰寫(xiě)札記。完成《論導(dǎo)函數(shù)概念》、《論微分》等論文的寫(xiě)作。2022/12/1017馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》馬克思的《數(shù)學(xué)手2022/12/1018馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》馬克思自十九世紀(jì)五十年代開(kāi)始，一直到1883年3月14日逝世為止，始終堅(jiān)持微分學(xué)思想史的研究工作。1882年11月22日，馬克思在身患重病離逝世不到四個(gè)月的情況下，仍寫(xiě)信給思格斯討論微分方法的歷史演變。他概括地指出，“微分方法本身的演變進(jìn)程是始于牛頓和萊布尼茨的神秘方法，繼之以達(dá)朗貝爾和歐拉的唯理論方法，終于拉格朗日的嚴(yán)格的代數(shù)方法”。他又說(shuō)：“以后有機(jī)會(huì)還要回過(guò)頭來(lái)細(xì)談各種方法?！?/p>

他們的論述是數(shù)學(xué)思想方法研究的珍貴財(cái)富。但遺憾的是，這些論述未能在當(dāng)時(shí)發(fā)表和發(fā)揮其應(yīng)有的作用。2022/12/1018馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》馬克思自十九世紀(jì)2022/12/1019恩格斯的《自然辯證法》數(shù)學(xué):哲學(xué)的工具和表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)上的所謂公理是數(shù)學(xué)需要用作自己的出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。一切理論成就中未必再有像17世紀(jì)后半期微積分的發(fā)明那樣被看作人類(lèi)精神的最高勝利了。微積分大體上是由牛頓,萊布尼茲完成的,但不是他們發(fā)明的?！皵?shù)學(xué)的應(yīng)用：在剛體力學(xué)中是絕對(duì)的，在氣體力學(xué)中是近似的，在液體力學(xué)中就已經(jīng)比較困難了；在物理學(xué)中是實(shí)驗(yàn)性的和相對(duì)的；在化學(xué)中是最簡(jiǎn)單的一次方程式;在生物學(xué)中等于零?！?022/12/1019恩格斯的《自然辯證法》數(shù)學(xué):哲學(xué)的2022/12/1020概括：近代數(shù)學(xué)中的思想與方法數(shù)學(xué)思想：代數(shù)、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、或然與必然等思想。數(shù)學(xué)方法：待定系數(shù)法、換元法、配方法、割補(bǔ)法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等。2022/12/1020概括：近代數(shù)學(xué)中的思想與方法數(shù)學(xué)思想2022/12/1021概括：現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本思想方法符號(hào)化思想：從記號(hào)到符號(hào)，“驚人的方式縮短思維”（萊布尼茨）算法化思想：對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行算法編程----機(jī)械化集合思想：數(shù)學(xué)思想的現(xiàn)代語(yǔ)言，在精確地認(rèn)識(shí)無(wú)限的基礎(chǔ)上，重新認(rèn)識(shí)和解釋數(shù)學(xué)的思想極限思想：是有限和無(wú)限的辯證統(tǒng)一，是從有限進(jìn)入無(wú)限的鑰匙變量思想：解析幾何、微積分思想（線性化、統(tǒng)計(jì)思想：以掌握事物總體的數(shù)量特征和規(guī)律為目標(biāo)，它所關(guān)心的乃是某些規(guī)定的總體或集合，而不是構(gòu)成總體的各別元素或個(gè)體。

模糊數(shù)學(xué)思想：以數(shù)學(xué)的精確性，研究和處理現(xiàn)象的模糊性2022/12/1021概括：現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本思想方法符號(hào)化思想2022/12/1022數(shù)學(xué)思想與方法研究數(shù)學(xué)家們一方面繼續(xù)創(chuàng)造各種數(shù)學(xué)思想方法，并用來(lái)推進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，另一方面，他們中的一部分，特別是一些著名數(shù)學(xué)家，集中精力從事數(shù)學(xué)思想方法理論的研究，并發(fā)表了一大批這方面的論著，形成一個(gè)研究方向：數(shù)學(xué)方法論。數(shù)學(xué)思想方法研究最早系統(tǒng)發(fā)表見(jiàn)解的要算德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特于1900年在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表會(huì)上的演講《數(shù)學(xué)問(wèn)題》。在這篇演講中，他精辟地闡述了重大數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)及其在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，并列舉了“希爾伯特23個(gè)問(wèn)題”。他的演講是一篇重要的數(shù)學(xué)方法論著作。2022/12/1022數(shù)學(xué)思想與方法研究數(shù)學(xué)家們一方面繼續(xù)2022/12/1023法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincare于1903年至1908年之間發(fā)表了《科學(xué)與假設(shè)》，《科學(xué)之價(jià)值》、《科學(xué)與方法》等著作(均有中譯本)，其中，討論了數(shù)學(xué)方法論的問(wèn)題。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾德發(fā)表了《數(shù)學(xué)方法論》一書(shū)，書(shū)中對(duì)數(shù)學(xué)中的演繹方法、歸納方法、公理方法與假設(shè)方法等進(jìn)行了系統(tǒng)的論述。除前面提到過(guò)的克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》、亞歷山大洛夫等《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》外，還有1954年，美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家教育家、斯坦福大學(xué)教授G·波利亞發(fā)表了《數(shù)學(xué)與猜想》一書(shū)。波利亞在自己的教育實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)常常是從估計(jì)、猜想開(kāi)始的，而這些估計(jì)、猜想經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，再經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證推理，最后獲得定理、公式等結(jié)論。之前，他還發(fā)表《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》等著作2022/12/1023法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincare于19032022/12/10242022/12/10242022/12/1025米山國(guó)藏：《數(shù)學(xué)的精神、思想與方法》1969年，日本著名數(shù)學(xué)家、教育家米山國(guó)藏發(fā)表了《數(shù)學(xué)的精神、思想與方法》。本書(shū)以數(shù)學(xué)中一些富有啟發(fā)性的實(shí)例為依據(jù)，系統(tǒng)地論述了貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)精神，一些重要數(shù)學(xué)思想與若干有效的數(shù)學(xué)方法。它是把著眼點(diǎn)放在培養(yǎng)人們數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造精神的一本理論專(zhuān)著。2022/12/1025米山國(guó)藏：《數(shù)學(xué)的精神、思想與方法》2022/12/1026國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)思想與方法研究近些年來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治十分注重?cái)?shù)學(xué)方法論的研究。他陸續(xù)發(fā)表了《淺談數(shù)學(xué)方法論》、《數(shù)學(xué)方法論選講》和《數(shù)學(xué)抽象度概念與抽象度分析法》等論著。張奠宙、過(guò)伯祥的《數(shù)學(xué)方法論稿》，《現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想講話(huà)》等黃耀樞的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的歷史與現(xiàn)狀》，鄭毓信的《數(shù)學(xué)直覺(jué)淺析》、《數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論》等。解恩澤、趙樹(shù)智：《數(shù)學(xué)思想方法縱橫論》、徐本順、解恩澤：《數(shù)學(xué)猜想——它的思想與方法》，《關(guān)于數(shù)學(xué)猜想的幾個(gè)問(wèn)題》朱梧槚、肖奚安的《數(shù)學(xué)方法論ABC》，2022/12/1026國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)思想與方法研究近些年來(lái)，我國(guó)2022/12/1027四、公理化方法所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題，建立起一個(gè)演繹系統(tǒng)的方法。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。希爾伯特說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的公理方法和邏輯推理就象天文學(xué)家手中的望遠(yuǎn)鏡那樣重要，是不能丟棄的?！惫砘椒芟到y(tǒng)的總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)、清楚地揭示數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，有利于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支的本質(zhì)異同，促進(jìn)新數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展。現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一，就是科學(xué)理論的數(shù)學(xué)化，而公理化是科學(xué)理論成熟和數(shù)學(xué)化的一個(gè)主要特征2022/12/1027四、公理化方法所謂公理化方法，就是指2022/12/1028幾何基礎(chǔ)公理化方法發(fā)展的第一階段是由亞里斯多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問(wèn)世。大約在公元前3世紀(jì)，希臘哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德總結(jié)了幾何學(xué)與邏輯學(xué)的豐富資料，系統(tǒng)地研究了三段論，以數(shù)學(xué)及其它演繹的學(xué)科為例，把完全三段論作為公理，由此推導(dǎo)出其它所有三段論法，從而使三段論體系成為一個(gè)公理系統(tǒng)．因此亞里斯多德在歷史上提出了第一個(gè)成文的公理系統(tǒng)．歐幾里得把邏輯學(xué)的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作《幾何原本》．2022/12/1028幾何基礎(chǔ)公理化方法發(fā)展的第一階段是由2022/12/1029邏輯學(xué)的三段論三段論是由兩個(gè)直言判斷作為前提和一個(gè)直言判斷作為結(jié)論而構(gòu)成的推理，其中包含有（而且只有）三個(gè)不同的項(xiàng)。例如：凡科學(xué)都是有用的凡社會(huì)科學(xué)都是科學(xué)所以，凡社會(huì)科學(xué)都是有用的2022/12/1029邏輯學(xué)的三段論三段論是由兩個(gè)直言判斷2022/12/1030公理化方法發(fā)展3階段與相應(yīng)的理論體系典范公理化方法的發(fā)展大致經(jīng)歷了這樣三個(gè)階段：實(shí)質(zhì)（或?qū)嶓w）公理化階段：《幾何原本》形式公理化階段：《幾何基礎(chǔ)》純形式公理化階段，ZFC公理系統(tǒng)2022/12/1030公理化方法發(fā)展3階段與相應(yīng)的理論體系2022/12/1031《幾何原本》的不足《幾何原本》雖然開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化方法的先河，然而它的公理系統(tǒng)還有許多不夠完善的地方，其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多余的；(3)有些定理的證明過(guò)程依賴(lài)于圖形的直觀；(4)第五公設(shè)(即平行公設(shè))內(nèi)容復(fù)雜，陳述累贅，缺乏說(shuō)服力，并不自明2022/12/1031《幾何原本》的不足《幾何原本》雖然開(kāi)2022/12/1032公理化與非歐幾何非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義，標(biāo)志著人們對(duì)空間形式的認(rèn)識(shí)發(fā)生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間．在建立非歐幾何的過(guò)程中，公理化方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善．2022/12/1032公理化與非歐幾何非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)2022/12/1033德國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯(MoritzPasch，1843-1930)第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想他通過(guò)對(duì)射影幾何公理化基礎(chǔ)的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想．他認(rèn)為，幾何學(xué)如果要成為一門(mén)真正的演繹科學(xué)，最根本的是推導(dǎo)的進(jìn)行必須完全獨(dú)立于幾何概念的涵義，也必須不以圖形為依據(jù)．就是說(shuō)，一個(gè)公理系統(tǒng)必然要有本系統(tǒng)里不定義的概念，通過(guò)這些概念就可以給其它概念下定義，而不定義概念的全部特征必須由公理表達(dá)出來(lái)．公理可以說(shuō)是不定義概念的隱定義．有些公理雖然是由經(jīng)驗(yàn)提出來(lái)的，但當(dāng)選出一組公理之后，必須不再涉及經(jīng)驗(yàn)及物理意義．公理決不是自明的真理，而是用以產(chǎn)生任一特殊幾何的假定．帕斯的這些思想已經(jīng)表達(dá)了形式公理系統(tǒng)的特征．2022/12/1033德國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯(MoritzPas2022/12/1034形式公理系統(tǒng)的形成1899年希爾伯特《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書(shū)的發(fā)表，不僅給出了歐氏幾何的一個(gè)形式公理系統(tǒng)，而且解決了公理化方法的一系列邏輯理論問(wèn)題．這本著作成為形式公理學(xué)的奠基著作．希爾伯特被認(rèn)為是形式主義的奠基人。希爾伯特幾何公理系統(tǒng)，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術(shù)模型)，所以它是一個(gè)形式公理系統(tǒng)，可以把其初始概念和公理看成是沒(méi)有數(shù)學(xué)內(nèi)容的，初始概念和公理完全可以用形式語(yǔ)言來(lái)陳述．2022/12/1034形式公理系統(tǒng)的形成1899年希爾伯特2022/12/1035公理化方法的滲透公理化方法在幾何方面的成功，促使公理化方法滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，也包括其它科學(xué)領(lǐng)域。數(shù)理邏輯、抽象代數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等，以及理論力學(xué)（Banach,1940）相對(duì)論等。數(shù)理邏輯中的典型代表就是ZF公理系統(tǒng)，由策梅洛(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)等提出。ZF公理系統(tǒng)再加上選擇公理就構(gòu)成了ZFC公理系統(tǒng)2022/12/1035公理化方法的滲透公理化方法在幾何方面2022/12/1036公理化方法的意義與價(jià)值

當(dāng)一門(mén)科學(xué)積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認(rèn)識(shí)的時(shí)候，公理化方法便是一種有效的手段。公理化方法對(duì)建立科學(xué)理論體系，訓(xùn)練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授科學(xué)知識(shí)，以及推廣科學(xué)理論的應(yīng)用等方面起到有益的作用。公理化方法對(duì)于進(jìn)一步發(fā)展科學(xué)理論也有獨(dú)特的作用．例如在代數(shù)方面，由于公理化方法的應(yīng)用，在群論、域論、理想論等代數(shù)分支形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯(lián)系并導(dǎo)致了一系列深遠(yuǎn)的結(jié)果；在幾何方面，由于對(duì)平行公設(shè)的研究導(dǎo)致了非歐幾何的創(chuàng)立．因此，公理化方法也是在理論上探索事物發(fā)展規(guī)律，作出新的發(fā)現(xiàn)和預(yù)見(jiàn)的一種重要方法．2022/12/1036公理化方法的意義與價(jià)值當(dāng)一門(mén)科學(xué)積2022/12/1037泛函分析簡(jiǎn)介泛函分析（FunctionalAnalysis）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，隸屬于分析學(xué)，其研究的主要對(duì)象是函數(shù)構(gòu)成的空間。泛函分析是由對(duì)變換（如傅立葉變換等）的性質(zhì)的研究和對(duì)微分方程以及積分方程的研究發(fā)展而來(lái)的。使用泛函作為表述源自變分法，代表作用于函數(shù)的函數(shù)。巴拿赫（StefanBanach）、Hilbert是泛函分析理論的主要奠基人.2022/12/1037泛函分析簡(jiǎn)介泛函分析（Functio2022/12/1038泛函分析的公理化思想方法泛函分析主要研究定義在Banach空間上的線性映射與線性泛函的性質(zhì)Banach空間：完備的賦范線性空間賦范線性空間距離空間完備Hilbert空間2022/12/1038泛函分析的公理化思想方法泛函分析主要2022/12/1039曾遠(yuǎn)榮，我國(guó)泛函分析第一代數(shù)學(xué)家關(guān)肇直，中國(guó)泛函分析領(lǐng)路人田方增，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的籌建者2022/12/1039曾遠(yuǎn)榮，我國(guó)泛函分析第一代數(shù)學(xué)家關(guān)2022/12/1040五、數(shù)學(xué)機(jī)械化思想?yún)俏目『蛥欠椒?/p>

中國(guó)科學(xué)院院士第三世界科學(xué)院院士首屆國(guó)家最高科技獎(jiǎng)國(guó)家第一屆自然科學(xué)獎(jiǎng)最高獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)自動(dòng)推理的最高獎(jiǎng)Herbrand獎(jiǎng)

2006邵逸夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)2022/12/1040五、數(shù)學(xué)機(jī)械化思想?yún)俏目『蛥欠椒?022/12/10411997年．吳文俊獲得“赫布蘭自動(dòng)推理杰出成就獎(jiǎng)”，2006年，獲得“邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)”前者是國(guó)際自動(dòng)推理領(lǐng)域的最高獎(jiǎng)，而后者被譽(yù)為數(shù)學(xué)的“東方諾貝爾獎(jiǎng)”。我國(guó)唯一兩次獲得國(guó)家科學(xué)最高獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家谷超豪院士，另一位獲得國(guó)家最高科技獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家2022/12/10411997年．吳文俊獲得“赫布蘭自動(dòng)推2022/12/1042國(guó)家最高科技獎(jiǎng)2009年谷超豪（1926-，數(shù)學(xué)家）孫家棟（1929年-，運(yùn)載火箭與衛(wèi)星技術(shù)專(zhuān)家，中國(guó)科學(xué)院院士，國(guó)際宇航科學(xué)院院士。）2008年王忠誠(chéng)（1925--，神經(jīng)外科專(zhuān)家）徐光憲（1920--，化學(xué)家）2007年閔恩澤（1924—，石油化工催化劑專(zhuān)家）

吳征鎰（1919—，著名植物學(xué)家）2006年

李振聲（1931—，遺傳學(xué)家，小麥遠(yuǎn)緣雜交的奠基人）2005年葉篤正（1916—，世界著名氣象學(xué)家）

吳孟超（1922—，世界著名肝臟外科學(xué)家）2003年劉東生（1917—2008，著名地球環(huán)境科學(xué)家）王永志（1932—，著名航天技術(shù)專(zhuān)家）2002年金怡濂（1929—，高性能計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的著名專(zhuān)家）2001年王選（1937—2006，漢字激光照排系統(tǒng)創(chuàng)始人）黃昆（1919—2005，著名物理學(xué)家）2000年吳文?。?919—，世界著名數(shù)學(xué)家）袁隆平（1930—，雜交水稻之父）

2022/12/1042國(guó)家最高科技獎(jiǎng)2009年谷超豪（12022/12/1043中央電視臺(tái)《大家》欄目：

《吳文俊·我的不等式》片斷

2022/12/1043中央電視臺(tái)《大家》欄目：

《吳文俊·2022/12/1044什么是數(shù)學(xué)機(jī)械化

所謂機(jī)械化，無(wú)非是刻板化和規(guī)格化。數(shù)學(xué)問(wèn)題的機(jī)械化，就要求在運(yùn)算或證明過(guò)程中，每前進(jìn)一步之后，都有一個(gè)確定的、必須選擇的下一步，這樣沿著一條有規(guī)律的、刻板的道路，一直達(dá)到結(jié)論。使用一種機(jī)械化方法證明一類(lèi)定理，才真正體現(xiàn)了機(jī)械化定理證明。1977年，吳文俊給出了初等幾何一類(lèi)主要定理的機(jī)械化證明方法－“吳方法”。2022/12/1044什么是數(shù)學(xué)機(jī)械化所謂機(jī)械化，無(wú)2022/12/1045數(shù)學(xué)機(jī)械化：從設(shè)想到實(shí)現(xiàn)

笛卡爾萊布尼茨希爾伯特

2022/12/1045數(shù)學(xué)機(jī)械化：從設(shè)想到實(shí)現(xiàn)2022/12/1046數(shù)學(xué)機(jī)械化：從設(shè)想到實(shí)現(xiàn)

哥德?tīng)査够鹾茀俏目?022/12/1046數(shù)學(xué)機(jī)械化：從設(shè)想到實(shí)現(xiàn)2022/12/1047笛卡爾的設(shè)想

17世紀(jì)法國(guó)的數(shù)學(xué)家Descartes曾有過(guò)一個(gè)偉大的設(shè)想：“一切問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，一切數(shù)學(xué)問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題，一切代數(shù)問(wèn)題化為代數(shù)方程求解問(wèn)題。”

Descartes把問(wèn)題想得太簡(jiǎn)單了，如果他的設(shè)想真能實(shí)現(xiàn)，那就不僅是數(shù)學(xué)的機(jī)械化，而是全部科學(xué)的機(jī)械化。因?yàn)榇鷶?shù)方程求解是可以機(jī)械化的。但Descartes

沒(méi)有停留在空想，他所創(chuàng)立的解析幾何，在空間形式和數(shù)量關(guān)系之間架起了一座橋梁，實(shí)現(xiàn)了初等幾何問(wèn)題的代數(shù)化。2022/12/1047笛卡爾的設(shè)想17世紀(jì)法國(guó)的數(shù)2022/12/1048萊布尼茲之夢(mèng)

德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz

曾有過(guò)“推理機(jī)器”的設(shè)想。他研究過(guò)邏輯，設(shè)計(jì)并制造出能做乘法的計(jì)算機(jī)，進(jìn)而萌發(fā)了設(shè)計(jì)萬(wàn)能語(yǔ)言和造一臺(tái)通用機(jī)器的構(gòu)想。

他的努力促進(jìn)了Boole代數(shù)、數(shù)理邏輯以及計(jì)算機(jī)科學(xué)的研究，正是沿著這一方向，經(jīng)后人的努力，形成了機(jī)器定理證明的邏輯方法。

2022/12/1048萊布尼茲之夢(mèng)德國(guó)數(shù)學(xué)家Lei2022/12/1049希爾伯特的構(gòu)想

Hilbert在《幾何基礎(chǔ)》中提出了從公理化走向機(jī)械化的數(shù)學(xué)構(gòu)想。Hilbert計(jì)劃將數(shù)學(xué)知識(shí)納入嚴(yán)格的公理體系中，并著力在公理化基礎(chǔ)上尋找機(jī)械化的方法判定命題是否成立。Hilbert同時(shí)指出，定理的判定問(wèn)題應(yīng)當(dāng)是分類(lèi)解決的，解決方法要同時(shí)強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)單性和嚴(yán)格性。在Hilbert

的名著《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)中就提供了一條可以對(duì)一類(lèi)幾何命題進(jìn)行判定的定理—當(dāng)然，在那個(gè)時(shí)代，不僅Hilbert

本人，整個(gè)數(shù)學(xué)界都沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)。

2022/12/1049希爾伯特的構(gòu)想Hilbert在2022/12/1050哥德?tīng)柕闹Y(jié)果

G?del著名的不完全性定理指出一個(gè)不弱于初等數(shù)論的形式系統(tǒng)如果是無(wú)矛盾的，則是不完全的，即存在形式系統(tǒng)的一個(gè)命題，它和它的否定都不能由形式系統(tǒng)證明。因此，Hilbert的要求太高了。上述的G?del不完全性定理斷言：即使在初等數(shù)論的范圍內(nèi)，對(duì)所有命題進(jìn)行判定的機(jī)械化方法也是不存在的！2022/12/1050哥德?tīng)柕闹Y(jié)果G?del著名2022/12/1051塔斯基的判定法

波蘭數(shù)學(xué)家Tarski

在1950年推廣了關(guān)于代數(shù)方程實(shí)根數(shù)目的Sturm法則，由此證明了一個(gè)引人注目的定理：“一切初等幾何和初等代數(shù)范圍的命題，都可以用機(jī)械方法判定。”

Tarski得出的結(jié)論給定理證明機(jī)械化的研究帶來(lái)了曙光?？上姆椒ㄌ珡?fù)雜，即使用高速計(jì)算機(jī)也證明不了稍難的幾何定理。

2022/12/1051塔斯基的判定法波蘭數(shù)學(xué)家Ta2022/12/1052王浩：邁向數(shù)學(xué)機(jī)械化1959年，王浩設(shè)計(jì)了一個(gè)程序，用計(jì)算機(jī)證明了Russell、Whitehead的巨著《數(shù)學(xué)原理》中的幾百條有關(guān)命題邏輯的定理，僅用了9分鐘。王浩工作的意義在于宣告了用計(jì)算機(jī)進(jìn)行定理證明的可能性。在1960年的《IBM研究與發(fā)展年報(bào)》（IBMJournal），王浩發(fā)表了《邁向數(shù)學(xué)機(jī)械化》（TowardMechanicalMathematics），“數(shù)學(xué)機(jī)械化”一詞即出自此處。2022/12/1052王浩：邁向數(shù)學(xué)機(jī)械化19592022/12/1053吳文?。簷C(jī)器證明領(lǐng)域的新的一頁(yè)

1977年，吳文俊在《中國(guó)科學(xué)》上發(fā)表論文《初等幾何判定問(wèn)題與機(jī)械化問(wèn)題》。1984年，吳文俊的學(xué)術(shù)專(zhuān)著《幾何定理機(jī)器證明的基本原理》由科學(xué)出版社出版，這部專(zhuān)著著重闡明幾何定理機(jī)械化證明的基本原理。1985年，吳文俊的論文《關(guān)于代數(shù)方程組的零點(diǎn)》發(fā)表，具體討論了多項(xiàng)式方程組所確定的零點(diǎn)集。與國(guó)際上流行的代數(shù)理想論不同，明確提出了具有中國(guó)自己特色的、以多項(xiàng)式零點(diǎn)集為基本點(diǎn)的機(jī)械化方法。自此，“吳方法”宣告誕生，數(shù)學(xué)機(jī)械化研究揭開(kāi)了新的一幕。

2022/12/1053吳文俊：機(jī)器證明領(lǐng)域的新的一頁(yè)2022/12/1054對(duì)吳方法的評(píng)價(jià)吳方法遵循中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中幾何代數(shù)化的思想，與通?；跀?shù)理邏輯的方法根本不同，首次實(shí)現(xiàn)了高效的幾何定理自動(dòng)證明，顯現(xiàn)了無(wú)比的優(yōu)越性。他的工作被稱(chēng)為自動(dòng)推理領(lǐng)域的先驅(qū)性工作，并于1997年獲得“Herbrand自動(dòng)推理杰出成就獎(jiǎng)”。在授獎(jiǎng)辭中對(duì)他的工作給了這樣的介紹與評(píng)價(jià):“幾何定理自動(dòng)證明首先由赫伯特·格蘭特(HerbertGerlenter)于50年代開(kāi)始研究。雖然得到一些有意義的結(jié)果，但在吳方法出現(xiàn)之前的20年里，這一領(lǐng)域進(jìn)展甚微。在不多的自動(dòng)推理領(lǐng)域中，這種被動(dòng)局面是由一個(gè)人完全扭轉(zhuǎn)的。吳文俊很明顯是這樣一個(gè)人。他將幾何定理證明從一個(gè)不太成功的領(lǐng)域變?yōu)樽畛晒Φ念I(lǐng)域之一。”2022/12/1054對(duì)吳方法的評(píng)價(jià)吳方法遵循中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)2022/12/1055

2006年，著名數(shù)學(xué)家吳文俊榮獲邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)。邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)是一項(xiàng)國(guó)際性大獎(jiǎng)，它的評(píng)委是來(lái)自國(guó)際數(shù)學(xué)界的知名權(quán)威。吳文俊說(shuō)：這次邵逸夫獎(jiǎng)的評(píng)委都是國(guó)際上有影響的大家，他們宣布我獲得邵逸夫獎(jiǎng)，是因?yàn)槲业臄?shù)學(xué)機(jī)械化問(wèn)題的研究，這實(shí)際上是國(guó)際數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的承認(rèn)與肯定，它比獎(jiǎng)金重要得多。

數(shù)學(xué)機(jī)械化得到國(guó)際數(shù)學(xué)界承認(rèn)

2022/12/10552006年，2022/12/1056《吳文俊·我的不等式》片斷

/v_show/id_XMTMxNzk5MDQ=.html2022/12/1056《吳文俊·我的不等式》片斷2022/12/1057三角形三條高線交于一點(diǎn)的代數(shù)證明

D是BC和CA上高線交點(diǎn)2022/12/1057三角形三條高線交于一點(diǎn)的代數(shù)證明2022/12/1058

定理的假設(shè)部分是,由吳方法，可得非退化條件是.定理的結(jié)論是CO經(jīng)過(guò)D點(diǎn).顯然在非退化條件下定理成立。2022/12/1058定理的假設(shè)部分是,由吳方法，可2022/12/1059Morley定理

任意三角形中，一個(gè)角的三等分線，與和它相鄰的角的三等分線相交，交點(diǎn)組成正三角形。2022/12/1059Morley定理任意三角形中，2022/12/1060機(jī)器方法容易證明Morley定理

任意三角形中，一個(gè)角的三等分線，與和它相鄰的角的三等分線相交，按一定的規(guī)則選取交點(diǎn)，共可組成27個(gè)三角形，在這27個(gè)三角形中，一定有18個(gè)是正三角形。用機(jī)器方法容易證明這個(gè)更一般的Morley定理。在證明過(guò)程中，多次出現(xiàn)關(guān)于12個(gè)變量的含有一千多項(xiàng)的多項(xiàng)式。2022/12/1060機(jī)器方法容易證明Morley定理2022/12/1061吳方法概要定理的假設(shè)相當(dāng)于一組多項(xiàng)式方程定理的結(jié)論相當(dāng)于一個(gè)多項(xiàng)式方程上面的諸Fi稱(chēng)為假設(shè)多項(xiàng)式，G稱(chēng)為終結(jié)多項(xiàng)式。2022/12/1061吳方法概要定理的假設(shè)相當(dāng)于一組多項(xiàng)式2022/12/1062吳方法概要（續(xù)）

吳方法是給出了一個(gè)機(jī)械化方法，在有限步內(nèi)給出一組非退化條件多項(xiàng)式D1,…,Dr

又根據(jù)這一機(jī)械化方法足以在有限步內(nèi)，判定在非退化條件

D1≠0,…,Dr≠0

下，G=0是否可從F1=0,…,Fs=0推出。

2022/12/1062吳方法概要（續(xù)）吳方法是給出了2022/12/1063平行四邊形對(duì)角線互相平分2022/12/1063平行四邊形對(duì)角線互相平分2022/12/1064題設(shè)和結(jié)論表成代數(shù)形式2022/12/1064題設(shè)和結(jié)論表成代數(shù)形式2022/12/1065吳方法的處理題設(shè)部分三角化，得到三個(gè)多項(xiàng)式：再把結(jié)論左邊的多項(xiàng)式除以f3，所得的余式除以f2，所得的余式除以f1，看最后所得的余式是不是恒等于零。2022/12/1065吳方法的處理題設(shè)部分三角化，得到三個(gè)2022/12/1066中國(guó)古代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)70年代初，吳文俊開(kāi)始研讀中國(guó)數(shù)學(xué)史。1975年，他撰寫(xiě)了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界文化的偉大貢獻(xiàn)》，文中詳細(xì)列舉在代數(shù)、幾何、三角、解析幾何和微積分等學(xué)科的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立過(guò)程中，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)所起的重大作用。吳文俊指出，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注意解方程，在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、極限概念等方面既有豐碩的成果，又有系統(tǒng)的理論。2022/12/1066中國(guó)古代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)70年代初2022/12/1067中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特色

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)構(gòu)造性和算法化，注意解決科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中提出的各類(lèi)問(wèn)題，往往把所得到的結(jié)論以各種原理的形式予以表述。在中國(guó)古代，求兩數(shù)最大公約數(shù)即等數(shù)用更相減損之術(shù)。如求24與15的等數(shù)，其逐步減損如下：

（24，15）（9，15）（9，6）（3，6）（3，3）

其理由不證自明。

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在從問(wèn)題出發(fā)以解決問(wèn)題為主旨的發(fā)展過(guò)程中建立了以構(gòu)造性與機(jī)械化為其特色的算法體系，《九章算術(shù)》與劉徽的《九章算術(shù)注》是這一機(jī)械化體系的代表作，這與西方數(shù)學(xué)以歐幾里得《幾何原本》為代表的所謂公理化演繹體系正好遙遙相對(duì)。

2022/12/1067中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特色中國(guó)2022/12/1068機(jī)械化思想是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的精髓

吳文俊把中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的思想概括為機(jī)械化思想，指出它是貫穿于中國(guó)古代數(shù)學(xué)的精髓。他列舉大量事實(shí)說(shuō)明，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的機(jī)械化思想為近代數(shù)學(xué)的建立和發(fā)展做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。這種機(jī)械化思想，不僅曾深刻影響了數(shù)學(xué)的歷史進(jìn)程，而且對(duì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀也正在發(fā)揚(yáng)它日益顯著的影響。2022/12/1068機(jī)械化思想是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的精髓2022/12/1069數(shù)學(xué)機(jī)械化的廣泛應(yīng)用

吳文俊特別重視數(shù)學(xué)機(jī)械化方法的應(yīng)用，明確提出“數(shù)學(xué)機(jī)械化方法的成功應(yīng)用，是數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的生命線”。他不斷開(kāi)拓新的應(yīng)用領(lǐng)域，如控制論、曲面拼接問(wèn)題、機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、化學(xué)平衡問(wèn)題、平面天體運(yùn)行的中心構(gòu)形等，還建立了解決全局優(yōu)化問(wèn)題的新方法。吳方法還被用于若干高科技領(lǐng)域，得到一系列國(guó)際領(lǐng)先的成果，包括曲面造型、機(jī)器人結(jié)構(gòu)的位置分析、智能計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)、信息傳輸中的圖像壓縮等。2022/12/1069數(shù)學(xué)機(jī)械化的廣泛應(yīng)用吳文俊特別2022/12/1070從開(kāi)普勒定律到牛頓定律

開(kāi)普勒定律為（1）行星繞太陽(yáng)以橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)為一焦點(diǎn)（2）太陽(yáng)到行星的向量在相同的時(shí)間掃過(guò)相同的面積牛頓定律為（3）行星的加速度與太陽(yáng)到行星的距離的平方成反比利用吳方法在微分域上的推廣，可以從開(kāi)普勒經(jīng)驗(yàn)公式自動(dòng)推導(dǎo)出牛頓定律。2022/12/1070從開(kāi)普勒定律到牛頓定律開(kāi)普勒定2022/12/1071機(jī)器人與連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

如圖，綠色的平臺(tái)是活動(dòng)平臺(tái)，下面的平臺(tái)是固定的，六根連桿長(zhǎng)度可變，求連桿長(zhǎng)度變化時(shí)平臺(tái)上一點(diǎn)的軌跡。2022/12/1071機(jī)器人與連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析如2022/12/1072機(jī)器人與連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

已知連桿機(jī)構(gòu)的構(gòu)成，求該機(jī)構(gòu)上某一點(diǎn)的軌跡及該點(diǎn)的位置與連桿機(jī)構(gòu)的關(guān)系，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為機(jī)械設(shè)計(jì)中的正解問(wèn)題。前面的例子就是一個(gè)正解問(wèn)題。反過(guò)來(lái)，求解連桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)使得連桿機(jī)構(gòu)上一點(diǎn)恰好位于空間指定位置的問(wèn)題稱(chēng)為機(jī)械設(shè)計(jì)中的逆解問(wèn)題。這兩類(lèi)問(wèn)題都可以看成方程求解問(wèn)題。吳文俊用特征集方法解決了一般PUMA型機(jī)器人的逆解問(wèn)題，研究了四連桿的設(shè)計(jì)問(wèn)題。2022/12/1072機(jī)器人與連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析已知2022/12/1073曲面連接問(wèn)題

在幾何設(shè)計(jì)中，有一大類(lèi)問(wèn)題要確定一給定次數(shù)的代數(shù)曲面按一定要求連接已給的若干代數(shù)曲面。這類(lèi)問(wèn)題可以用吳方法解決。左圖是一個(gè)連接三根管道的例子。2022/12/1073曲面連接問(wèn)題在幾何設(shè)計(jì)中，有一大類(lèi)2022/12/1074腦力勞動(dòng)的機(jī)械化

在新的正在到來(lái)的工業(yè)革命中，可以認(rèn)為是以某種設(shè)備代替人腦。這將使人類(lèi)艱苦思考的價(jià)值為之降低，是一種腦力勞動(dòng)的機(jī)械化。這種機(jī)械化由于上世紀(jì)中葉計(jì)算機(jī)的發(fā)明而有某種可能。數(shù)學(xué)是一種典型的腦力勞動(dòng)。由于數(shù)學(xué)思維具有其它思維方式所沒(méi)有的簡(jiǎn)潔、明確、嚴(yán)密、清晰等優(yōu)點(diǎn)，因而數(shù)學(xué)的機(jī)械化比之其它思維的機(jī)械化，應(yīng)有它的優(yōu)越性與優(yōu)先性，而且應(yīng)更為容易。吳方法在幾何定理證明方面機(jī)械化的成功，正好說(shuō)明確是如此。

2022/12/1074腦力勞動(dòng)的機(jī)械化在新的正在到來(lái)2022/12/1075機(jī)械化思想促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展

線性方程組求解中的消去法是機(jī)械化思想的杰作。即使是現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)研究中，機(jī)械化思想也一直發(fā)揮重大的作用。例如，希爾伯特倡導(dǎo)的數(shù)理邏輯為計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)原理作了準(zhǔn)備。H.Cartan關(guān)于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)同調(diào)群計(jì)算的工作可以看作是機(jī)械化思想的成功范例。運(yùn)用機(jī)械化思想考察數(shù)學(xué)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的不同側(cè)面，建立新的模式，活躍和啟迪數(shù)學(xué)家的思維，從而產(chǎn)生大量的原始創(chuàng)新。機(jī)械化可以使得大量繁復(fù)的事情交給計(jì)算機(jī)去做，而數(shù)學(xué)家將從事富有創(chuàng)造性的勞動(dòng)。2022/12/1075機(jī)械化思想促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展線性方程2022/12/1076展望數(shù)學(xué)機(jī)械化的未來(lái)

1981年吳文俊在《數(shù)學(xué)的機(jī)械化與機(jī)械化的數(shù)學(xué)》一文中指出：“我們的研究工作還只是一個(gè)開(kāi)端。如何繼續(xù)發(fā)揚(yáng)中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的機(jī)械特色，對(duì)數(shù)學(xué)各個(gè)不同領(lǐng)域探索實(shí)現(xiàn)機(jī)械化的數(shù)學(xué)，則是本世紀(jì)以致可能綿亙整個(gè)21世紀(jì)才能大體趨于完善的事?！苯?0多年來(lái),在吳文俊的積極倡導(dǎo)下，中國(guó)的數(shù)學(xué)機(jī)械化研究已初現(xiàn)豐富多彩之勢(shì)。進(jìn)入21世紀(jì)，我們有理由相信，機(jī)械化數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)機(jī)械化必將為數(shù)學(xué)以致整個(gè)科學(xué)注入新的活力。

2022/12/1076展望數(shù)學(xué)機(jī)械化的未來(lái)19812022/12/1077第八講數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)思想與方法概述18世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法公理化數(shù)學(xué)機(jī)械化2022/12/101第八講數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)思想2022/12/1078一、數(shù)學(xué)思想與方法概述

數(shù)學(xué)思想：關(guān)于數(shù)學(xué)概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)自身規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中所運(yùn)用的具體手段（或途徑）。數(shù)學(xué)思想方法：人們混用數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法，有時(shí)不一定要嚴(yán)格區(qū)分，合稱(chēng)數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，重大數(shù)學(xué)成果的取得，往往與數(shù)學(xué)思想方法的突破分不開(kāi)。我們不只是為了了解、理解一些具體的數(shù)學(xué)思想方法，更著眼于在認(rèn)識(shí)論、世界觀和方法論等方面有所提高。2022/12/102一、數(shù)學(xué)思想與方法概述數(shù)學(xué)思想：關(guān)于2022/12/1079數(shù)學(xué)思想方法比具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更重要數(shù)學(xué)在其漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，不僅建立了嚴(yán)密的知識(shí)體系，而且形成了一整套行之有效的思想和方法．日本數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在從事多年的數(shù)學(xué)教育研究之后，說(shuō)過(guò)這樣一段話(huà)：“學(xué)生們?cè)诔踔谢蚋咧兴鶎W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門(mén)后不到一兩年就忘掉了．然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用”。在提高人的素質(zhì)中發(fā)揮重要作用的是在長(zhǎng)期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步形成的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，而不是具體數(shù)學(xué)知識(shí)．2022/12/103數(shù)學(xué)思想方法比具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更重要數(shù)學(xué)2022/12/1080蘊(yùn)含的思想與抽象出來(lái)的思想數(shù)學(xué)思想，包括蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中的思想以及從中抽象出來(lái)的成為規(guī)律性的思想[美]M．克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》（MathematicalThoughtfromAncienttoModernTime）（4冊(cè)）蘇聯(lián)亞歷山大洛夫等于1956年發(fā)表的著作《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》，當(dāng)屬前一類(lèi)思想國(guó)內(nèi)，徐利治等一批數(shù)學(xué)家和教育家的工作屬后者。2022/12/104蘊(yùn)含的思想與抽象出來(lái)的思想數(shù)學(xué)思想，包2022/12/1081數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)度包裝今天，學(xué)生們的數(shù)學(xué)知識(shí)，主要是從數(shù)學(xué)課程中獲得的。通常的數(shù)學(xué)課程給出的是一個(gè)系統(tǒng)的邏輯敘述，這些課程經(jīng)過(guò)編纂者的錘煉，成為“完美”的典范。這就使學(xué)生們淹沒(méi)在成串的定理中，并產(chǎn)生一種幻象：數(shù)學(xué)就是從定義到定理，數(shù)學(xué)家們都是無(wú)堅(jiān)不克的英雄。2022/12/105數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)度包裝今天，學(xué)生們的數(shù)學(xué)知2022/12/1082歷史卻恰恰相反“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過(guò)程的斗爭(zhēng)、挫折，以及在建立一個(gè)可觀的結(jié)構(gòu)之前，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長(zhǎng)的道路。學(xué)生一旦知道這一點(diǎn)，他將不僅獲得真知灼見(jiàn)，還將獲得頑強(qiáng)地追究他所攻問(wèn)題的勇氣，并且不會(huì)因?yàn)樗约旱墓ぷ鞑⒎峭昝罒o(wú)缺而感到頹喪。實(shí)在說(shuō)，敘述數(shù)學(xué)家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進(jìn)，并且如何零零碎碎得到他們的成果，應(yīng)能使搞研究工作的任一新手鼓起勇氣?！?022/12/106歷史卻恰恰相反“課本中的字斟句酌的敘述2022/12/1083二、18世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法提出了許多具體的方法，以解決數(shù)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出了公理方法，將大量的、零散的幾何知識(shí)系統(tǒng)化，并由歐幾里得等人完成了《幾何原本》。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽提出了“割圓術(shù)”，以解決長(zhǎng)期存在的、圓周率計(jì)算不精確的問(wèn)題，其中包含著極限思想方法的萌芽。英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)方法，以解決天文觀測(cè)及貿(mào)易中存在的繁重的數(shù)字計(jì)算問(wèn)題。2022/12/107二、18世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法提出了許多2022/12/1084法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡確立了數(shù)學(xué)歸納法，以解決數(shù)學(xué)論證中存在的不嚴(yán)密的問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾提出了坐標(biāo)法、用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，并從而開(kāi)創(chuàng)了不同數(shù)學(xué)分支相結(jié)合的思想方法。英國(guó)的牛頓與德國(guó)的萊布尼茨創(chuàng)立了無(wú)窮小量方法。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日共同建立了變分法，以解決“等周問(wèn)題”、“最速降線問(wèn)題”等長(zhǎng)期解決不了的極大與極小問(wèn)題等。2022/12/108法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡確立了數(shù)學(xué)歸納法，以解2022/12/1085三、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想與方法創(chuàng)立了一批具有突破性、系統(tǒng)性的思想方法，促使數(shù)學(xué)的某些分支發(fā)生了革命性的變革；

主要體現(xiàn)在代數(shù)學(xué)、分析學(xué)分支以及公理化體系、數(shù)學(xué)機(jī)械化等領(lǐng)域。2022/12/109三、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想與方法創(chuàng)立了一批具有2022/12/10861.代數(shù)學(xué)中群論的思想方法。19世紀(jì)以來(lái)，人們?cè)谔角笪宕魏臀宕我陨洗鷶?shù)方程的代數(shù)解法問(wèn)題上，打破了百余年來(lái)毫無(wú)進(jìn)展的僵局。首先由挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了五次方程代數(shù)解法的不可能性。其次，又由法國(guó)青年數(shù)學(xué)家伽羅華提出了“群”的概念，后發(fā)展為一整套群論的思想方法，徹底地解決了五次及五次以上方程的求解問(wèn)題。2022/12/10101.代數(shù)學(xué)中群論的思想方法。2022/12/1087數(shù)學(xué)是研究相互關(guān)系的學(xué)問(wèn)不僅如此，群論的思想方法，在代數(shù)學(xué)的其他分支、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論乃至數(shù)學(xué)以外的許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。由于群論的誕生，使傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象由具體的“數(shù)”擴(kuò)充為更加抽象的“量”，由量之間的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系發(fā)展為更為一般的關(guān)系，從而使代數(shù)這門(mén)學(xué)科發(fā)生了轉(zhuǎn)折性的變化。2022/12/1011數(shù)學(xué)是研究相互關(guān)系的學(xué)問(wèn)不僅如此，群2022/12/10882.分析學(xué)中的極限與集合論的思想方法19世紀(jì)30年代至50年代，法國(guó)的柯西與德國(guó)的魏爾斯特拉斯等人，在給出函數(shù)、極限等概念以精確化描述的基礎(chǔ)上，又通過(guò)嚴(yán)格化了的極限思想方法與實(shí)數(shù)理論改造了微積分，并使其嚴(yán)密化和標(biāo)準(zhǔn)化。這是微積分學(xué)科發(fā)展史上的一個(gè)重要里程碑。1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出了集合論思想，建立起無(wú)限集的勢(shì)、序型等概念以及無(wú)限集合論和超限數(shù)理論，證明了代數(shù)集合可以和整數(shù)集合一一對(duì)應(yīng)，所有實(shí)數(shù)集合不可數(shù)性，發(fā)展了無(wú)限集合勢(shì)的比較原理，引入了連續(xù)公理即康托爾公理等，并從而創(chuàng)立了集合論的理論。這一理論的創(chuàng)立，不僅為微積分的理論奠定了穩(wěn)固的基礎(chǔ)，而且對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，尤其對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探討，也具有巨大而深遠(yuǎn)的促進(jìn)作用。2022/12/10122.分析學(xué)中的極限與集合論的思想方2022/12/10893.公理化思想這一時(shí)期，還形成了影響廣泛的數(shù)學(xué)公理化方法。到了19世紀(jì)末20世紀(jì)初，由于非歐幾何、無(wú)理數(shù)理論、集合論的建立，有力地促進(jìn)了數(shù)學(xué)公理化方法研究的開(kāi)展。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)表了“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”，提出用變換群的觀點(diǎn)，給出各種幾何學(xué)的綜合分類(lèi)，以統(tǒng)一整個(gè)幾何學(xué)。1899年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特出版了《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書(shū)（身前最后一版是第七版，1930年），給出歷史上第一個(gè)完備的歐幾里得幾何公理系統(tǒng)（相較于歐幾里得的《幾何原本》），預(yù)示了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的形式主義觀點(diǎn)，使公理化方法深入到數(shù)學(xué)的更多分支。1908年，集合論完成了公理化，本世紀(jì)20年代，又實(shí)現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的公理化，從而使公理化方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)各個(gè)分支。這場(chǎng)公理化運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)的影響是前所未有的。2022/12/10133.公理化思想這一時(shí)期，還形成了影響2022/12/10904.模糊數(shù)學(xué)方法模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。所謂模糊性，主要是指客觀事物的差異在中介過(guò)渡時(shí)所呈現(xiàn)的“亦此亦彼”的特征。在社會(huì)、自然現(xiàn)象中，確實(shí)存在著不少“非此即彼”的現(xiàn)象，一是一、二是二，絕對(duì)不能混淆，這也是康托爾集合的特點(diǎn)。但也有一些對(duì)立概念之間沒(méi)有絕對(duì)分明的界限，如：高個(gè)子與矮個(gè)子，優(yōu)秀與良好等。也就是說(shuō)，這些概念都沒(méi)有絕對(duì)明確的外延。沒(méi)有明確外延的概念，叫做模糊概念。模糊概念不能用康托爾集合論來(lái)刻劃，于是產(chǎn)生了刻劃模糊概念的模糊集合論，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)。2022/12/10144.模糊數(shù)學(xué)方法模糊數(shù)學(xué)是研究和處理2022/12/1091模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是以數(shù)學(xué)的精確性，研究和處理現(xiàn)象的模糊性。它和概率論同屬不確定數(shù)學(xué)，但概率論的研究對(duì)象是事物的偶然現(xiàn)象，模糊數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是事物的模糊現(xiàn)象，它們之間有深刻的聯(lián)系，又有本質(zhì)的不同。人腦能很便捷地處理模糊信息，如對(duì)事物的辨識(shí)、用力的平衡等。計(jì)算機(jī)的模糊識(shí)別與人工智能是計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展方向之一。2022/12/1015模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是以數(shù)學(xué)2022/12/1092馬克思和恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)思想的闡發(fā)馬克思和恩格斯在自己的著作，尤其是《數(shù)學(xué)手稿》和《自然辯證法》中，闡發(fā)了極其豐富的數(shù)學(xué)思想，從思想方法角度論述了數(shù)學(xué)發(fā)展史上若干重大成果和著名數(shù)學(xué)家。馬克思曾指出:“一門(mén)科學(xué)只有成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)時(shí),才算真正達(dá)到了完善的地步?！倍鞲袼乖谠u(píng)價(jià)數(shù)學(xué)在哲學(xué)上的重要地位時(shí)說(shuō)：“要確立辯證的同時(shí)又是唯物主義的自然觀，需要具備數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的知識(shí)?！倍鞲袼乖谡摷拔⒎e分以及“無(wú)限”的現(xiàn)實(shí)原形時(shí)指出：物質(zhì)是按質(zhì)量的相對(duì)的大小分成一系列較大的、容易分清的組，使每一組的各個(gè)組成部分互相間在質(zhì)量方面都有確定的、有限的比值，但對(duì)于臨近的組的各個(gè)組成部分則具有在數(shù)學(xué)意義下的無(wú)限大或無(wú)限小的比值。恩格斯這里所說(shuō)的各個(gè)“組”，指的就是物質(zhì)的不同數(shù)量層次。2022/12/1016馬克思和恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)思想的闡發(fā)馬克思2022/12/1093馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》，是一部卓越的數(shù)學(xué)哲學(xué)著作，是自然辯證法的珍貴歷史文獻(xiàn)。在此著作中，馬克思運(yùn)用唯物辯證法的基本觀點(diǎn)，考察了數(shù)學(xué)，特別是微積分學(xué)思想的歷史演變，揭示了數(shù)學(xué)某些內(nèi)容的辯證實(shí)質(zhì)，分析了方法的轉(zhuǎn)化在微分學(xué)建立中的重要意義，總結(jié)了學(xué)術(shù)觀點(diǎn)的論爭(zhēng)對(duì)于微分學(xué)發(fā)展的積極作用。因此有著深刻的方法論意義。馬克思盡一切可能收集、閱讀有關(guān)文獻(xiàn)資料，細(xì)心地作出內(nèi)容提要和撰寫(xiě)札記。完成《論導(dǎo)函數(shù)概念》、《論微分》等論文的寫(xiě)作。2022/12/1017馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》馬克思的《數(shù)學(xué)手2022/12/1094馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》馬克思自十九世紀(jì)五十年代開(kāi)始，一直到1883年3月14日逝世為止，始終堅(jiān)持微分學(xué)思想史的研究工作。1882年11月22日，馬克思在身患重病離逝世不到四個(gè)月的情況下，仍寫(xiě)信給思格斯討論微分方法的歷史演變。他概括地指出，“微分方法本身的演變進(jìn)程是始于牛頓和萊布尼茨的神秘方法，繼之以達(dá)朗貝爾和歐拉的唯理論方法，終于拉格朗日的嚴(yán)格的代數(shù)方法”。他又說(shuō)：“以后有機(jī)會(huì)還要回過(guò)頭來(lái)細(xì)談各種方法?！?/p>

他們的論述是數(shù)學(xué)思想方法研究的珍貴財(cái)富。但遺憾的是，這些論述未能在當(dāng)時(shí)發(fā)表和發(fā)揮其應(yīng)有的作用。2022/12/1018馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》馬克思自十九世紀(jì)2022/12/1095恩格斯的《自然辯證法》數(shù)學(xué):哲學(xué)的工具和表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)上的所謂公理是數(shù)學(xué)需要用作自己的出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。一切理論成就中未必再有像17世紀(jì)后半期微積分的發(fā)明那樣被看作人類(lèi)精神的最高勝利了。微積分大體上是由牛頓,萊布尼茲完成的,但不是他們發(fā)明的?！皵?shù)學(xué)的應(yīng)用：在剛體力學(xué)中是絕對(duì)的，在氣體力學(xué)中是近似的，在液體力學(xué)中就已經(jīng)比較困難了；在物理學(xué)中是實(shí)驗(yàn)性的和相對(duì)的；在化學(xué)中是最簡(jiǎn)單的一次方程式;在生物學(xué)中等于零。”2022/12/1019恩格斯的《自然辯證法》數(shù)學(xué):哲學(xué)的2022/12/1096概括：近代數(shù)學(xué)中的思想與方法數(shù)學(xué)思想：代數(shù)、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、或然與必然等思想。數(shù)學(xué)方法：待定系數(shù)法、換元法、配方法、割補(bǔ)法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等。2022/12/1020概括：近代數(shù)學(xué)中的思想與方法數(shù)學(xué)思想2022/12/1097概括：現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本思想方法符號(hào)化思想：從記號(hào)到符號(hào)，“驚人的方式縮短思維”（萊布尼茨）算法化思想：對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行算法編程----機(jī)械化集合思想：數(shù)學(xué)思想的現(xiàn)代語(yǔ)言，在精確地認(rèn)識(shí)無(wú)限的基礎(chǔ)上，重新認(rèn)識(shí)和解釋數(shù)學(xué)的思想極限思想：是有限和無(wú)限的辯證統(tǒng)一，是從有限進(jìn)入無(wú)限的鑰匙變量思想：解析幾何、微積分思想（線性化、統(tǒng)計(jì)思想：以掌握事物總體的數(shù)量特征和規(guī)律為目標(biāo)，它所關(guān)心的乃是某些規(guī)定的總體或集合，而不是構(gòu)成總體的各別元素或個(gè)體。

模糊數(shù)學(xué)思想：以數(shù)學(xué)的精確性，研究和處理現(xiàn)象的模糊性2022/12/1021概括：現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本思想方法符號(hào)化思想2022/12/1098數(shù)學(xué)思想與方法研究數(shù)學(xué)家們一方面繼續(xù)創(chuàng)造各種數(shù)學(xué)思想方法，并用來(lái)推進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，另一方面，他們中的一部分，特別是一些著名數(shù)學(xué)家，集中精力從事數(shù)學(xué)思想方法理論的研究，并發(fā)表了一大批這方面的論著，形成一個(gè)研究方向：數(shù)學(xué)方法論。數(shù)學(xué)思想方法研究最早系統(tǒng)發(fā)表見(jiàn)解的要算德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特于1900年在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表會(huì)上的演講《數(shù)學(xué)問(wèn)題》。在這篇演講中，他精辟地闡述了重大數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)及其在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，并列舉了“希爾伯特23個(gè)問(wèn)題”。他的演講是一篇重要的數(shù)學(xué)方法論著作。2022/12/1022數(shù)學(xué)思想與方法研究數(shù)學(xué)家們一方面繼續(xù)2022/12/1099法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincare于1903年至1908年之間發(fā)表了《科學(xué)與假設(shè)》，《科學(xué)之價(jià)值》、《科學(xué)與方法》等著作(均有中譯本)，其中，討論了數(shù)學(xué)方法論的問(wèn)題。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾德發(fā)表了《數(shù)學(xué)方法論》一書(shū)，書(shū)中對(duì)數(shù)學(xué)中的演繹方法、歸納方法、公理方法與假設(shè)方法等進(jìn)行了系統(tǒng)的論述。除前面提到過(guò)的克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》、亞歷山大洛夫等《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》外，還有1954年，美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家教育家、斯坦福大學(xué)教授G·波利亞發(fā)表了《數(shù)學(xué)與猜想》一書(shū)。波利亞在自己的教育實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)常常是從估計(jì)、猜想開(kāi)始的，而這些估計(jì)、猜想經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，再經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證推理，最后獲得定理、公式等結(jié)論。之前，他還發(fā)表《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》等著作2022/12/1023法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincare于19032022/12/101002022/12/10242022/12/10101米山國(guó)藏：《數(shù)學(xué)的精神、思想與方法》1969年，日本著名數(shù)學(xué)家、教育家米山國(guó)藏發(fā)表了《數(shù)學(xué)的精神、思想與方法》。本書(shū)以數(shù)學(xué)中一些富有啟發(fā)性的實(shí)例為依據(jù)，系統(tǒng)地論述了貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)精神，一些重要數(shù)學(xué)思想與若干有效的數(shù)學(xué)方法。它是把著眼點(diǎn)放在培養(yǎng)人們數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造精神的一本理論專(zhuān)著。2022/12/1025米山國(guó)藏：《數(shù)學(xué)的精神、思想與方法》2022/12/10102國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)思想與方法研究近些年來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治十分注重?cái)?shù)學(xué)方法論的研究。他陸續(xù)發(fā)表了《淺談數(shù)學(xué)方法論》、《數(shù)學(xué)方法論選講》和《數(shù)學(xué)抽象度概念與抽象度分析法》等論著。張奠宙、過(guò)伯祥的《數(shù)學(xué)方法論稿》，《現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想講話(huà)》等黃耀樞的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的歷史與現(xiàn)狀》，鄭毓信的《數(shù)學(xué)直覺(jué)淺析》、《數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論》等。解恩澤、趙樹(shù)智：《數(shù)學(xué)思想方法縱橫論》、徐本順、解恩澤：《數(shù)學(xué)猜想——它的思想與方法》，《關(guān)于數(shù)學(xué)猜想的幾個(gè)問(wèn)題》朱梧槚、肖奚安的《數(shù)學(xué)方法論ABC》，2022/12/1026國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)思想與方法研究近些年來(lái)，我國(guó)2022/12/10103四、公理化方法所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題，建立起一個(gè)演繹系統(tǒng)的方法。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。希爾伯特說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的公理方法和邏輯推理就象天文學(xué)家手中的望遠(yuǎn)鏡那樣重要，是不能丟棄的?！惫砘椒芟到y(tǒng)的總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)、清楚地揭示數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，有利于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支的本質(zhì)異同，促進(jìn)新數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展?，F(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一，就是科學(xué)理論的數(shù)學(xué)化，而公理化是科學(xué)理論成熟和數(shù)學(xué)化的一個(gè)主要特征2022/12/1027四、公理化方法所謂公理化方法，就是指2022/12/10104幾何基礎(chǔ)公理化方法發(fā)展的第一階段是由亞里斯多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問(wèn)世。大約在公元前3世紀(jì)，希臘哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德總結(jié)了幾何學(xué)與邏輯學(xué)的豐富資料，系統(tǒng)地研究了三段論，以數(shù)學(xué)及其它演繹的學(xué)科為例，把完全三段論作為公理，由此推導(dǎo)出其它所有三段論法，從而使三段論體系成為一個(gè)公理系統(tǒng)．因此亞里斯多德在歷史上提出了第一個(gè)成文的公理系統(tǒng)．歐幾里得把邏輯學(xué)的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作《幾何原本》．2022/12/1028幾何基礎(chǔ)公理化方法發(fā)展的第一階段是由2022/12/10105邏輯學(xué)的三段論三段論是由兩個(gè)直言判斷作為前提和一個(gè)直言判斷作為結(jié)論而構(gòu)成的推理，其中包含有（而且只有）三個(gè)不同的項(xiàng)。例如：凡科學(xué)都是有用的凡社會(huì)科學(xué)都是科學(xué)所以，凡社會(huì)科學(xué)都是有用的2022/12/1029邏輯學(xué)的三段論三段論是由兩個(gè)直言判斷2022/12/10106公理化方法發(fā)展3階段與相應(yīng)的理論體系典范公理化方法的發(fā)展大致經(jīng)歷了這樣三個(gè)階段：實(shí)質(zhì)（或?qū)嶓w）公理化階段：《幾何原本》形式公理化階段：《幾何基礎(chǔ)》純形式公理化階段，ZFC公理系統(tǒng)2022/12/1030公理化方法發(fā)展3階段與相應(yīng)的理論體系2022/12/10107《幾何原本》的不足《幾何原本》雖然開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化方法的先河，然而它的公理系統(tǒng)還有許多不夠完善的地方，其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多余的；(3)有些定理的證明過(guò)程依賴(lài)于圖形的直觀；(4)第五公設(shè)(即平行公設(shè))內(nèi)容復(fù)雜，陳述累贅，缺乏說(shuō)服力，并不自明2022/12/1031《幾何原本》的不足《幾何原本》雖然開(kāi)2022/12/10108公理化與非歐幾何非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義，標(biāo)志著人們對(duì)空間形式的認(rèn)識(shí)發(fā)生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間．在建立非歐幾何的過(guò)程中，公理化方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善．2022/12/1032公理化與非歐幾何非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)2022/12/10109德國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯(MoritzPasch，1843-1930)第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想他通過(guò)對(duì)射影幾何公理化基礎(chǔ)的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想．他認(rèn)為，幾何學(xué)如果要成為一門(mén)真正的演繹科學(xué)，最根本的是推導(dǎo)的進(jìn)行必須完全獨(dú)立于幾何概念的涵義，也必須不以圖形為依據(jù)．就是說(shuō)，一個(gè)公理系統(tǒng)必然要有本系統(tǒng)里不定義的概念，通過(guò)這些概念就可以給其它概念下定義，而不定義概念的全部特征必須由公理表達(dá)出來(lái)．公理可以說(shuō)是不定義概念的隱定義．有些公理雖然是由經(jīng)驗(yàn)提出來(lái)的，但當(dāng)選出一組公理之后，必須不再涉及經(jīng)驗(yàn)及物理意義．公理決不是自明的真理，而是用以產(chǎn)生任一特殊幾何的假定．帕斯的這些思想已經(jīng)表達(dá)了形式公理系統(tǒng)的特征．2022/12/1033德國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯(MoritzPas2022/12/10110形式公理系統(tǒng)的形成1899年希爾伯特《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書(shū)的發(fā)表，不僅給出了歐氏幾何的一個(gè)形式公理系統(tǒng)，而且解決了公理化方法的一系列邏輯理論問(wèn)題．這本著作成為形式公理學(xué)的奠基著作．希爾伯特被認(rèn)為是形式主義的奠基人。希爾伯特幾何公理系統(tǒng)，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術(shù)模型)，所以它是一個(gè)形式公理系統(tǒng)，可以把其初始概念和公理看成是沒(méi)有數(shù)學(xué)內(nèi)容的，初始概念和公理完全可以用形式語(yǔ)言來(lái)陳述．2022/12/1034形式公理系統(tǒng)的形成1899年希爾伯特2022/12/10111公理化方法的滲透公理化方法在幾何方面的成功，促使公理化方法滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，也包括其它科學(xué)領(lǐng)域。數(shù)理邏輯、抽象代數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等，以及理論力學(xué)（Banach,1940）相對(duì)論等。數(shù)理邏輯中的典型代表就是ZF公理系統(tǒng)，由策梅洛(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)等提出。ZF公理系統(tǒng)再加上選擇公理就構(gòu)成了ZFC公理系統(tǒng)2022/12/1035公理化方法的滲透公理化方法在幾何方面2022/12/10112公理化方法的意義與價(jià)值

當(dāng)一門(mén)科學(xué)積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認(rèn)識(shí)的時(shí)候，公理化方法便是一種有效的手段。公理化方法對(duì)建立科學(xué)理論體系，訓(xùn)練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授科學(xué)知識(shí)，以及推廣科學(xué)理論的應(yīng)用等方面起到有益的作用。公理化方法對(duì)于進(jìn)一步發(fā)展科學(xué)理論也有獨(dú)特的作用．例如在代數(shù)方面，由于公理化方法的應(yīng)用，在群論、域論、理想論等代數(shù)分支形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯(lián)系并導(dǎo)致了一系列深遠(yuǎn)的結(jié)果；在幾何方面，由于對(duì)平行公設(shè)的研究導(dǎo)致了非歐幾何的創(chuàng)立．因此，公理化方法也是在理論上探索事物發(fā)展規(guī)律，作出新的發(fā)現(xiàn)和預(yù)見(jiàn)的一種重要方法．2022/12/1036公理化方法的意義與價(jià)值當(dāng)一門(mén)科學(xué)積2022/12/10113泛函分析簡(jiǎn)介泛函分析（FunctionalAnalysis）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，隸屬于分析學(xué)，其研究的主要對(duì)象是函數(shù)構(gòu)成的空間。泛函分析是由對(duì)變換（如傅立葉變換等）的性質(zhì)的研究和對(duì)微分方程以及積分方程的研究發(fā)展而來(lái)的。使用泛函作為表述源自變分法，代表作用于函數(shù)的函數(shù)。巴拿赫（StefanBanach）、Hilbert是泛函分析理論的主要奠基人.2022/12/1037泛函分析簡(jiǎn)介泛函分析（Functio2022/12/10114泛函分析的公理化思想方法泛函分析主要研究定義在Banach空間上的線性映射與線性泛函的性質(zhì)Banach空間：完備的賦范線性空間賦范線性空間距離空間完備Hilbert空間2022/12/1038泛函分析的公理化思想方法泛函分析主要2022/12/10115曾遠(yuǎn)榮，我國(guó)泛函分析第一代數(shù)學(xué)家關(guān)肇直，中國(guó)泛函分析領(lǐng)路人田方增，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的籌建者2