MATLAB程序設計課件第9章

MATLAB程序設計及應用第9章MATLAB在工程中的應用

MATLAB程序設計及應用第9章MATLAB在工程中的應1第9章MATLAB在工程中的應用

cc由于MATLAB的使用非常方便，并且提供了數(shù)值計算、圖形繪制、數(shù)據(jù)處理、圖像處理等方面的強大功能，因此許多工程領域專家在MATLAB的基礎上為他們擅長的領域寫了一些專用的應用程序集，稱之為工具箱（Toolbox）。第9章MATLAB在工程中的應用cc由于MAT2第9章MATLAB在工程中的應用

cc

MATLAB中含有豐富的專門用于控制系統(tǒng)分析與設計的函數(shù)，可以實現(xiàn)對線性系統(tǒng)的建模、時域或頻域分析與設計，利用的是控制系統(tǒng)工具箱中的各種算法程序，而這些算法程序大部分都是M函數(shù)文件，可以直接調用。9.1MATLAB在自動控制中的應用第9章MATLAB在工程中的應用ccMATLA39.1MATLAB在自動控制中的應用

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型通常是指動態(tài)數(shù)學模型。自動控制系統(tǒng)中最基本也是最重要的數(shù)學模型是微分方程，它反映了部件或系統(tǒng)的動態(tài)運行規(guī)律。應用拉氏變換將線性微分方程轉化為傳遞函數(shù)，以及基于傳遞函數(shù)的圖形化形式——系統(tǒng)結構圖，都是自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型。MATLAB處理的是數(shù)組對象，而其控制系統(tǒng)工具箱處理的系統(tǒng)是線性時不變（LTI）系統(tǒng)。在MATLAB中，可以用4種數(shù)學模型表示自動控制系統(tǒng)，其中前3種是用數(shù)學表達式描述。每種數(shù)學模型都有連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)兩個類別。MATLAB中的Simulink結構圖是第4種數(shù)學模型。9.1MATLAB在自動控制中的應用9.1.14

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

1.控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB實現(xiàn)

LTI對象可以是連續(xù)時間系統(tǒng)，也可以是離散時間系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)一般是由微分方程來描述的。而線性系統(tǒng)又是以線性微分方程來描述的。假設系統(tǒng)的輸入、輸出信號分別為和，則系統(tǒng)的微分方程可寫成 （9.1）其中，和為常數(shù)。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)5

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

對應的傳遞函數(shù)定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比 （9.2）

對于離散時間系統(tǒng)，常常以定常系數(shù)線性差分方程來描述。單輸入單輸出（SISO）的LTI系統(tǒng)的差分方程為

（9.3）其中，和為常數(shù)。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)6

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

對應的脈沖傳遞函數(shù)為 （9.4）

無論是連續(xù)時間系統(tǒng)還是離散時間系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分子、分母多項式均按‘s’或‘z’的降冪排列，都可以直接用分子、分母多項式系數(shù)構成的兩個向量num和den表示系統(tǒng)，即 （9.5）9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)7

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB中，分別用一維“行”數(shù)組（向量）表示完分子、分母多項式系數(shù)后，再利用控制系統(tǒng)工具箱的函數(shù)tf就可以用一個變量表示傳遞函數(shù)模型。tf函數(shù)的調用格式為 sys=tf(num,den) sys=tf(num,den,T)【說明】

在第1種格式中，輸出宗量sys為連續(xù)時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型；輸入宗量num和den分別為系統(tǒng)的分子與分母多項式系數(shù)向量。在第2種格式中，輸出宗量sys為離散時間系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)模型；輸入宗量num和den含義同上；T為采樣周期，當T=-1或T=[]時，系統(tǒng)的采樣周期未定義。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)8

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)需要注意的是：當多項式的某項系數(shù)為0時，千萬不能忽略不寫。如果忽略，多項式將降階。

對于已知的傳遞函數(shù)模型，其分子與分母多項式系數(shù)向量可以分別用指令sys.num{1}和sys.den{1}求出。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)9

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)如果連續(xù)時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)用系統(tǒng)零點、極點和增益來表示，稱為系統(tǒng)的零極點增益模型，即有

（9.6）其中，k為系統(tǒng)增益；-z1，-z2，…，-zm為系統(tǒng)零點；-p1，-p2，…，-pn為系統(tǒng)極點（下同）。

離散時間系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)也可用系統(tǒng)零點、極點和增益來表示，有

（9.7）9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)10

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

無論是連續(xù)時間系統(tǒng)還是離散時間系統(tǒng)，都可以直接用列向量z，p和k構成的向量組來表示，即有 （9.8）在MATLAB中，用函數(shù)zpk來建立控制系統(tǒng)的零極點增益模型。zpk函數(shù)的調用格式為 sys=zpk(z,p,k) sys=zpk(z,p,k,T)9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)11

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)【說明】

第1種格式中，輸出宗量sys為連續(xù)系統(tǒng)的零極點增益模型；輸入宗量z，p和k分別為系統(tǒng)的零點、極點和增益。

第2種格式中，輸出宗量sys為離散系統(tǒng)的零極點增益模型；輸入宗量z，p和k含義同上；T為采樣周期，當T=-1或T=[]時，系統(tǒng)的采樣周期未定義。

對于已知的零極點增益模型，其零點與極點系數(shù)向量及增益可以分別用指令sys.z{1}，sys.p{1}和sys.k求出。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)12

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)離散時間系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)模型還有一種以為因子的分子分母多項式的形式（即DSP形式），建立DSP形式脈沖傳遞函數(shù)模型的MATLAB函數(shù)為filt，其調用格式為 sys=filt(num,den) sys=filt(num,den,T)【說明】第1種格式用來建立一個采樣周期未指定的DSP形式脈沖傳遞函數(shù)。第2種格式用來建立一個采樣周期指定為T的DSP形式脈沖傳遞函數(shù)。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)13連續(xù)LTI系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

(9.9)其中，u(t)是系統(tǒng)控制輸入向量；x(t)是系統(tǒng)狀態(tài)向量；y(t)是系統(tǒng)輸出向量；A為系統(tǒng)矩陣（或稱狀態(tài)矩陣）；B為控制矩陣（或稱輸入矩陣）；C為輸出矩陣（或稱觀測矩陣）；D為輸入輸出矩陣（或稱直接傳輸矩陣）。

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)連續(xù)LTI系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為9.1.1控14

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

(9.10)其中，u(k)、x(k)和y(k)分別是離散時間系統(tǒng)的控制輸入向量、系統(tǒng)狀態(tài)向量和系統(tǒng)輸出向量；A，B，C和D的含義同上；k表示采樣點。

連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型都可以直接用二維數(shù)組（即矩陣）組表示。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)15

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB中，用函數(shù)ss來建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。ss函數(shù)的調用格式為 sys=ss(A,B,C,D) sys=ss(A,B,C,D,T)【說明】

第1種格式中，輸出宗量sys為連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

第2種格式中，輸出宗量sys為離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；T為采樣周期，當T=-1或T=[]時，系統(tǒng)的采樣周期未定義。

對于已知的狀態(tài)空間模型，其參數(shù)矩陣A,B,C和D可以分別用指令sys.a，sys.b，sys.c和sys.d求出。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)16

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)【例9.1】將傳遞函數(shù)模型輸入到MATLAB工作空間。編寫M腳本文件exam9_1.m如下：%exam9_1clearnum=[12,24,12,20];den=[2,4,6,2,2];sys=tf(num,den) %獲得系統(tǒng)的數(shù)學模型9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)17

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)exam9_1.m的運行結果【說明】

運行該程序后，在MATLAB的工作空間中可以看到一個變量，其值為一個1×1的傳遞函數(shù)。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)18

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)%exam9_2clearnum=[1.6,-5.8,3.9];den=[1,-0.7,2.4];sys=tf(num,den,0.1)sys1=filt(num,den,0.1)【例9.2】已知二階離散時間系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

試求采樣周期時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的DSP形式。編寫M腳本文件exam9_2.m如下：9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)19

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)exam9_2.m的運行結果9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)20

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)%exam9_3clearp=[-1;-2;-3;-4];%注意應使用列向量z=[-5;-2+2i;-2-2i];sys=zpk(z,p,6)【例9.3】將零極點增益模型輸入到MATLAB工作空間。編寫M腳本文件exam9_3.m如下：9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)21

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)exam9_3.m的運行結果【說明】

在MATLAB的零極點增益模型顯示中，如果有復數(shù)零極點存在，則用二階多項式來表示兩個因式，而不直接展開成一階復數(shù)因式。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)22

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

不一定非要有用數(shù)學表達式描述的數(shù)學模型，才能對系統(tǒng)進行研究。MATLAB中特有的另外一種數(shù)學模型就是Simulink模型窗（叫做“untitled”窗）里的動態(tài)結構圖。只要在Simulink工作窗里，按其規(guī)則（參見第8章）畫出動態(tài)結構圖，就是對系統(tǒng)建立了數(shù)學模型。再按規(guī)則將結構圖的參數(shù)用實際系統(tǒng)的數(shù)據(jù)進行設置，就可以直接、方便地對系統(tǒng)進行各種仿真。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)23

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

2.LTI對象模型之間的相互轉換LTI對象模型之間的相互轉換是指連續(xù)時間系統(tǒng)（或離散時間系統(tǒng)）的傳遞函數(shù)模型、零極點增益模型和狀態(tài)空間模型之間的相互轉換。直接應用函數(shù)tf,zpk和ss即可以完成。需要指出的是，此類轉換從理論上講是不存在轉換誤差的。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)24

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)【例9.4】已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求其等效的傳遞函數(shù)模型和零極點增益模型。編寫M腳本文件exam9_4.m如下：9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)25%exam9_4clearA=[0.3,0.1,0.05;1,0.1,0;1.5,8.9,0.05];B=[2;0;4];C=[1,2,3];D=0;sys_ss=ss(A,B,C,D);sys_tf=tf(sys_ss)sys_zpk=zpk(sys_tf)exam9_4.m的運行結果

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)即傳遞函數(shù)模型為%exam9_4exam9_4.m的運行結果9.126

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

3.連續(xù)時間模型與離散時間模型之間的相互轉換MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱還提供實現(xiàn)連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)之間相互轉換的函數(shù)。這些函數(shù)對于傳遞函數(shù)模型、零極點增益模型和狀態(tài)空間模型均適用。需要指出的是，此類轉換從理論上講是存在轉換誤差的。

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)27

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)如果有連續(xù)時間系統(tǒng)模型sysc，將其轉換為離散時間系統(tǒng)模型的指令格式為 sysd=c2d(sysc,T,‘method’)【說明】

輸出宗量sysd為轉換后離散時間模型對象；輸入宗量sysc為連續(xù)時間模型對象；T為采樣周期，單位為sec；method用來指定離散化采用的方法（缺省時，method=zoh）： zoh 采用零階保持器； foh 采用一階保持器； imp 采用脈沖響應不變法； tustin采用雙線性變換法（Tustin法） prewarp 采用改進的Tustin法； matched 采用SISO系統(tǒng)的零極點根匹配法。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)28

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)如果有離散時間系統(tǒng)模型sysd，將其轉換為連續(xù)時間系統(tǒng)模型的指令格式為 sysc=d2c(sysd,‘method’)【說明】

輸出宗量sysc為轉換后連續(xù)時間模型對象；輸入宗量sysd為離散時間模型對象；method用來指定離散化采用的方法（缺省時，method=zoh）： zoh 采用零階保持器； tustin 采用雙線性變換法（Tustin法） prewarp 采用改進的Tustin法； matched 采用SISO系統(tǒng)的零極點根匹配法。在該函數(shù)調用中無需再申明采樣周期信息，因為該信息已包含在離散模型sysd中。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)29

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

【例9.5】已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為試分別對系統(tǒng)采用零階保持器和雙線性變換法求其離散化狀態(tài)空間模型（設采樣周期T=1sec）。編寫M腳本文件exam9_5.m如下：9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)30%exam9_5clearnum=[1];den=[1,3,2];sys_continuous=tf(num,den);t=1;%將連續(xù)傳遞函數(shù)轉換成脈沖傳遞函數(shù)（zoh）disp('DiscreteSystem--usingc2dwithzoh')sys_discrete_zoh=c2d(sys_continuous,t);%將脈沖傳遞函數(shù)轉換成狀態(tài)空間模型sys_zoh=ss(sys_discrete_zoh)%采用雙線性變換法

disp('DiscreteSystem--usingc2dwithtustin')sys_discrete_tustin=c2d(sys_continuous,t,'tustin');sys_tustin=ss(sys_discrete_tustin)

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)%exam9_59.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換31

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)exam9_5.m的運行結果（上半部）DiscreteSystem--usingc2dwithzoha=x1x2x10.5032-0.1991x20.250b=u1x10.5x20c=x1x2y10.39960.588d=u1y10Samplingtime:1Discrete-timemodel.9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)32

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)exam9_5.m的運行結果（下半部）DiscreteSystem--usingc2dwithtustina=x1x2x10.33330x210b=u1x10.5x20c=x1x2y10.38890.1667d=u1y10.08333Samplingtime:1Discrete-timemodel.9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)33

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)即采用零階保持器和雙線性變換法的離散化狀態(tài)空間模型分別為9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)34

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

4.環(huán)節(jié)方框圖模型的化簡

自動控制系統(tǒng)是由被控對象與控制裝置組成的，即系統(tǒng)有多個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)又是由多個元件構成的。環(huán)節(jié)在MATLAB中又叫做模塊。自動控制的對象可以是一個元件，一個環(huán)節(jié)，也可以是一個模塊，一個裝置，甚至是一個系統(tǒng)。這要根據(jù)討論問題的實際情況來確定。系統(tǒng)方框圖的化簡同樣適用于環(huán)節(jié)的、模塊的、裝置的方框圖模型的化簡。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)35

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

環(huán)節(jié)串聯(lián)是指一個環(huán)節(jié)的輸出為相鄰的下一個環(huán)節(jié)的輸入，其余依此類推（圖9.1為兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)）。將串聯(lián)的多個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方框依次串聯(lián)畫出即成為系統(tǒng)方框圖模型?？刂葡到y(tǒng)的環(huán)節(jié)串聯(lián)及其化簡就是模塊方框圖模型的串聯(lián)及其化簡。圖9.1

當n個模塊方框圖模型sys1，sys2，…，sysn串聯(lián)連接時，其等效的方框圖模型為：sys=sys1*sys2*…*sysn。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)36

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

當n個模塊方框圖模型sys1，sys2，…，sysn并聯(lián)連接時，其等效的方框圖模型為：sys=sys1±sys2±…±sysn（取“+”或“-”由系統(tǒng)結構圖決定）。

環(huán)節(jié)并聯(lián)是指多個環(huán)節(jié)的輸入信號相同，所有環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和為其總輸出。兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)如圖9.2所示。圖9.29.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)37

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

MATLAB中的函數(shù)feedback可以將兩個環(huán)節(jié)反饋連接后求其等效傳遞函數(shù)。feedback函數(shù)的調用格式為 sys=feedback(sys1,sys2,sign)【說明】feedback函數(shù)將兩個環(huán)節(jié)按反饋方式連接起來；sys1為圖9.3中的G(s)；sys2為H(s)（單位反饋時，sys2=1，且不能省略）；sign是反饋極性（缺省時，默認為負反饋，即sign=-1）。

兩個環(huán)節(jié)的反饋連接如圖9.3所示。

圖9.39.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)38

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)

【例9.6】圖9.4是晶閘管—直流電機轉速負反饋單閉環(huán)調速系統(tǒng)的系統(tǒng)方框圖，求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖9.4編寫M腳本文件exam9_6.m如下：9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)39

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)%exam9_6clearn1=[1];d1=[0.017,1];s1=tf(n1,d1);n2=[1];d2=[0.075,0];s2=tf(n2,d2);s=s1*s2;sys1=feedback(s,1);%求小閉環(huán)的傳遞函數(shù)n3=[0.049,1];d3=[0.088,0];s3=tf(n3,d3);n4=[44];d4=[0.00167,1];s4=tf(n4,d4);n5=1;d5=0.01925;s5=tf(n5,d5);%比例環(huán)節(jié)也要寫成分子、分母多項式形式n6=0.01178;d6=1;s6=tf(n6,d6);sysq=sys1*s3*s4*s5;sys=feedback(sysq,s6)9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)40

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)exam9_6.m的運行結果9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)41

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)5.利用Simulink模型求取系統(tǒng)的數(shù)學模型將Simulink模型和編程相結合，可以直接求出系統(tǒng)的數(shù)學模型。

【例9.7】對于圖9.4晶閘管—直流電機轉速負反饋單閉環(huán)調速系統(tǒng)的系統(tǒng)方框圖，利用Simulink模型求其閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖9.49.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)42

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)（1）建模的基本思路本例的系統(tǒng)數(shù)學模型是通過形象直觀的方框圖和各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)給出的。這特別便于用Simulink的傳遞函數(shù)模塊建模。（2）構造“用于系統(tǒng)傳遞函數(shù)計算”的Simulink模型根據(jù)題給方框圖和各環(huán)節(jié)的具體傳遞函數(shù)構造Simulink模型（exam9_7_mdl.mdl），如圖9.5所示。圖9.59.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)43

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)（3）系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取編寫M腳本文件exam9_7.m如下：%exam9_7clear[A,B,C,D]=linmod2('exam9_7_mdl');%從Simulink模型得到狀態(tài)空間模型sys_tf=tf(ss(A,B,C,D))%將狀態(tài)空間模型轉化為傳遞函數(shù)模型9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)44

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)exam9_7.m的運行結果9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)45

9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)【說明】

函數(shù)linmod2用于獲取系統(tǒng)的線性化模型。本例獲得的傳遞函數(shù)模型不一定是狀態(tài)空間模型的最小實現(xiàn)。如果要得到最小實現(xiàn)的傳遞函數(shù)模型，則最后一條指令應改為：

sys_tf=tf(minreal(ss(A,B,C,D)))其中，函數(shù)minreal用于去除相消零極點對應的狀態(tài)變量。本例所得結果與【例9.6】所得的計算結果在形式上不一樣。這是因為MATLAB自動對分母多項式的最高項系數(shù)進行了“標幺化”處理。事實上，如果將【例9.6】所得的計算結果的各項系數(shù)同時除以3.607e-9，則與本例結果完全相同。9.1.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及轉換的MATLAB實現(xiàn)469.1MATLAB在自動控制中的應用

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB數(shù)值解方法有兩種：一種是在MATLAB的函數(shù)方式下進行；另一種是利用Simulink動態(tài)結構圖進行時域仿真（參見第8章）。1.線性系統(tǒng)的階躍響應和脈沖響應利用MATLAB所提供的求取系統(tǒng)的單位階躍響應函數(shù)step和dstep，單位脈沖響應函數(shù)impulse和dimpulse，可以求出其對應的響應。9.1MATLAB在自動控制中的應用9.1.247

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)

step函數(shù)的調用格式為 step(sys) step(sys,t) [y,t]=step(sys) [y,t,x]=step(sys)【說明】

LTI對象的sys可以是由函數(shù)tf，zpk和ss中任何一個建立的連續(xù)時間系統(tǒng)模型。9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)48

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)

第1種格式為無輸出宗量的格式，函數(shù)在當前圖形窗中直接繪制出系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。第2種格式用于計算系統(tǒng)的單位階躍響應并繪制出對應的曲線。其中，t可以指定為一個仿真終止時間，此時t為一標量；也可以設置為一個時間向量（例如，用指令t=0:dt:Tfinal）；函數(shù)中的t也可以沒有。對于離散系統(tǒng)階躍響應函數(shù)dstep，時間間隔dt必須與采樣周期匹配。第3種格式為帶有輸出宗量引用的函數(shù)，計算系統(tǒng)單位階躍響應的輸出數(shù)據(jù)，而不繪制曲線。輸出宗量y為系統(tǒng)的響應向量，t為取積分值的時間向量。9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)第49

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)第4種格式為帶有輸出宗量引用的函數(shù)，計算系統(tǒng)單位階躍響應的輸出數(shù)據(jù)，而不繪制曲線。輸出宗量y為系統(tǒng)的響應向量，t為取積分值的時間向量，x為系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡數(shù)據(jù)。需要注意的是：輸出宗量[y,t,x]三個元素的順序不能錯。這種格式通常用于以函數(shù)ss建立的系統(tǒng)模型。如果想同時繪制出多個系統(tǒng)的階躍響應曲線，則可以仿照plot指令給出系統(tǒng)階躍響應指令，例如，step(sys1,'-',sys2,'-.',sys3,':r')。上述4種格式離散系統(tǒng)階躍響應函數(shù)dstep同樣適用。單位脈沖響應函數(shù)impulse和dimpulse的調用格式相同。9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)第50

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)

【例9.8】單位反饋系統(tǒng)前向通道的傳遞函數(shù)為試作出其單位階躍響應曲線。編寫M腳本文件exam9_8.m如下：%exam9_8clearsys_tf=tf(80,[1,2,0]);closys=feedback(sys_tf,1);step(closys)9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)51

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)exam9_8.m的運行結果圖9.6（a）9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)exa52

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)圖9.6（b）exam9_8.m的運行結果

在自動繪制的系統(tǒng)單位階躍響應曲線上，若單擊曲線上的某點，可以顯示出該點對應的時間信息和相應的幅值信息，如圖9.6（b）所示。通過這樣的方法就可以很容易地分析系統(tǒng)階躍響應的情況。9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)圖9.53

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)exam9_8.m的運行結果圖9.7線性系統(tǒng)的階躍響應通常采用一些定量的性能指標來描述，如系統(tǒng)的超調量、上升時間、調節(jié)時間等。在MATLAB自動繪制的階躍響應曲線中，如果想要得出這些性能指標，只需在得到的圖上右擊鼠標鍵，則將得出如圖9.7所示的菜單。點擊Characteristics（特征）項，從中選取合適的分析內(nèi)容，就可以得出系統(tǒng)的階躍響應指標，如圖9.7所示。若想獲得某個性能指標的具體值，單擊曲線上的對應點即可。9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)exa54

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)

值得一提的是：step函數(shù)中的上升時間（RiseTime）不是一般自控原理的教科書中提到的“階躍響應曲線第1次達到穩(wěn)態(tài)值的時間”，而是“階躍響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間”。9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)55

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)2.線性系統(tǒng)的零輸入響應零輸入響應是系統(tǒng)初始狀態(tài)引發(fā)的動態(tài)過程。此時，系統(tǒng)無輸入信號作用，響應只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)、結構及參數(shù)有關。零輸入響應函數(shù)initial的調用格式為 initial(sys,x0) initial(sys,x0,t) [y,t]=initial(sys,x0) [y,t,x]=initial(sys,x0)【說明】x0為初始狀態(tài)；sys必須是狀態(tài)空間模型；其余均與step函數(shù)完全一致。離散時間系統(tǒng)零輸入響應函數(shù)dinitial調用格式基本相同。9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)56

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)

【例9.9】系統(tǒng)模型如圖9.4所示，繪制初始狀態(tài)為x0=[1,0,0,0]T時的輸入響應曲線。編寫M腳本文件exam9_9.m如下：%exam9_9clear[A,B,C,D]=linmod2('exam9_7_mdl');x0=[1,0,0,0]';initial(ss(A,B,C,D),x0)9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)57圖9.8

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)exam9_9.m的運行結果圖9.89.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB58

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)3.任意輸入下系統(tǒng)的響應

如果輸入信號由其它數(shù)學模型描述，或輸入信號的數(shù)學模型未知，則需要借助于函數(shù)lsim和dlsim來繪制系統(tǒng)的時域響應曲線。lsim函數(shù)的調用格式與step等函數(shù)的調用格式相類似。所不同的是，需要提供有關輸入信號的函數(shù)值。lsim函數(shù)的調用格式為 lsim(sys,u,t) lsim(sys,u,t,x0) [y]=lsim(sys,u,t) [y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0)【說明】u和t用于描述輸入信號，u中的點對應于各個時間點處的輸入信號值。離散時間系統(tǒng)任意輸入響應函數(shù)dlsim的調用格式基本相同。9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)59

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)

【例9.10】某二階系統(tǒng)的數(shù)學模型為試繪制系統(tǒng)對99點隨機噪聲的響應曲線。編寫M腳本文件exam9_10.m如下：%exam9_10clearnum=[2,-6.8,3.6];den=[3,-4.3,1.75];u=rand(99,1);dlsim(num,den,u); %在dlsim函數(shù)中直接使用系統(tǒng)模型參數(shù)title('隨機噪聲響應')xlabel('時間');ylabel('振幅');grid9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)60圖9.9

9.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB實現(xiàn)exam9_10.m的運行結果圖9.99.1.2控制系統(tǒng)時域響應的MATLAB619.1MATLAB在自動控制中的應用

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)在自動控制系統(tǒng)特性分析中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是最重要的指標。如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則可以進一步分析系統(tǒng)的其它性能；反之，系統(tǒng)不能直接應用，需要引入控制器來使得系統(tǒng)穩(wěn)定。對系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析通常是通過代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)、根軌跡圖和頻率特性圖來進行的。對于后兩種方法，MATLAB提供便捷的作圖和分析結果；對于第一種方法，MATLAB則是通過求出系統(tǒng)特征值的數(shù)值解而完全取代了傳統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。9.1MATLAB在自動控制中的應用9.1.362

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)1.線性系統(tǒng)特征根的求取

MATLAB中與求取系統(tǒng)特征根相關的常用函數(shù)的調用格式為 p=eig(sys) pzmap(sys) pole(sys) zero(sys)【說明】LTI對象的sys可以是由函數(shù)tf，zpk和ss中任何一個建立的系統(tǒng)模型，且無論系統(tǒng)是連續(xù)的還是離散的。第1種格式返回系統(tǒng)的全部特征根。第2種格式用圖形的方式繪制出系統(tǒng)所有零極點在s平面（或z平面）上的位置。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)63

第3種格式求出系統(tǒng)的所有極點。第4種格式求出系統(tǒng)的所有零點?！纠?.11】假設離散時間系統(tǒng)（采樣周期T

=0.1sec）的被控對象和控制器的模型分別為 ，試分析單位反饋下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。編寫M腳本文件exam9_11.m如下：

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)第3種格式求出系統(tǒng)的所有極點?！纠?.11】假64

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)%exam9_11clearnum1=[6,-0.6,-0.12];den1=[1,-1,0.25,0.25,-0.125];h=tf(num1,den1,0.1);num2=[0.3,-0.3*0.6];den2=[1,0.8];g=tf(num2,den2,0.1);sys=h*g;closys=feedback(sys,1);abs(eig(closys)')%求出系統(tǒng)特征值的模pzmap(closys)9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)%65

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)exam9_11的運行結果圖9.10

由于前兩個特征根的模均大于1，所以判定閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這一點從圖9.10也可看出（系統(tǒng)存在單位圓外的極點）。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)66

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)2.根軌跡分析的MATLAB實現(xiàn)根軌跡繪制的基本思路是：假設單變量系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，且設控制器的增益為K，整個控制系統(tǒng)是由單位負反饋構成的閉環(huán)系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根可以由下列方程求出

(9.11)從而化為多項式方程求根的問題。對于指定的K值，可以求出閉環(huán)系統(tǒng)的一組特征根。改變K的值可能得出另外的一組根。對K的不同取值，則可以繪制出每個特征根變化的曲線，即系統(tǒng)的根軌跡。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)67

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)

MATLAB中提供了函數(shù)rlocus，可以直接用于系統(tǒng)的根軌跡繪制。rlocus函數(shù)的調用方法類似于step函數(shù)，常用的調用格式為 rlocus(sys) rlocus(sys,k) [r,k]=rlocus(sys)【說明】

第1種格式不輸出宗量，自動繪制根軌跡曲線。第2種格式是根據(jù)給定的增益向量繪制根軌跡曲線。第3種格式輸出增益和對應的閉環(huán)特征根?？梢酝瑫r繪制出若干個系統(tǒng)的根軌跡。例如，rlocus(sys1,'-',sys2,'-.',sys3,':r')。上述3種格式對連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)均適用。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)68

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)繪制出系統(tǒng)的根軌跡曲線后，利用grid指令將在根軌跡曲線上疊印出等阻尼線和等自然頻率線，根據(jù)等阻尼線可以進行基于根軌跡的系統(tǒng)設計。

【例9.12】假設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡曲線，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性與增益的關系。編寫M腳本文件exam9_12.m如下：%exam9_12clearnum=[1,4,8];den=[1,18,120.5,357.5,478.5,306];sys=tf(num,den);rlocus(sys)9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)69

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)exam9_12的運行結果（圖9.11）

單擊根軌跡上的點，可以顯示出該點處的增益值和其它相關信息。從圖9.11可以看出，該系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的。單擊根軌跡與虛軸相交的點，可以得出該點處增益的臨界值約為779。可見，若系統(tǒng)的增益K>779，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)70

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)

前面介紹的都是繪制的負反饋系統(tǒng)的根軌跡曲線，而使用指令rlocus(-sys)可以直接繪制出正反饋系統(tǒng)的根軌跡曲線（即所謂“廣義根軌跡”）。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)71

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)3.頻域分析的MATLAB實現(xiàn)

頻域分析中主要用到兩種曲線（或叫圖）：Nyquist圖和Bode圖。它們就是頻域分析的兩種工具。Nyquist圖主要用于頻域穩(wěn)定性分析；Bode圖可以用于分析系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度、相位穩(wěn)定裕度、截止頻率、-180°穿越頻率、帶寬、擾動抑止及其穩(wěn)定性等，因而在頻域分析中有著重要的地位。

MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了函數(shù)nyquist，可以直接繪制系統(tǒng)的Nyquist圖。該函數(shù)常用的調用格式為 nyquist(sys) nyquist(sys,w) [re,im,w]=nyquist(sys)9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)72

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)【說明】

LTI對象的sys可以是由函數(shù)tf、zpk、ss中任何一個建立的系統(tǒng)模型，且無論系統(tǒng)是連續(xù)的還是離散的。第1種格式不輸出宗量，而自動繪制Nyquist曲線（默認的頻率ω的范圍為0→+∞，并且利用對稱性畫出了ω從-∞→0曲線的鏡像）。第2種格式是根據(jù)給定的頻率點繪制Nyquist曲線。如果要定義頻率范圍，w必須是[wmin,wmax]格式；如果定義的是頻率點，則必須是由所需要頻率點頻率構成的向量。第3種格式計算系統(tǒng)在頻率w處的頻率響應輸出數(shù)據(jù)，而不繪制曲線。輸出宗量re為頻率響應的實部；im為頻率響應的虛部；w是頻率點。可以同時繪制出若干個系統(tǒng)的Nyquist曲線。例如，nyquist(sys1,'-',sys2,'-.',sys3,':r')。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)【說73

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)

繪制出系統(tǒng)的Nyquist曲線后，利用grid指令將在Nyquist圖上疊印出等M圓?！纠?.13】假設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制其Nyquist圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。編寫M腳本文件exam9_13.m如下：9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)74

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)%exam9_13clearn1=2.7778;d1=[1,0];s1=tf(n1,d1);n2=[1];d2=[1,2,1];s2=tf(n2,d2);n3=[1,0.192,1.92];d3=[1,0.384,2.56];s3=tf(n3,d3);sys=s1*s2*s3;nyquist(sys)%為觀察(-1,j0)點附近Nyquist曲線走向，調整坐標范圍axis([-2.5,0,-1.5,1.5])grid9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)%75

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)exam9_13的運行結果（圖9.12）

單擊Nyquist曲線上的點，則可以顯示出在該點處頻率、實部和虛部等信息，如圖9.12所示。這種獲得附加信息的方法對后面介紹的函數(shù)bode和margin同樣適用。從圖9.12可以看出，盡管曲線的走向比較復雜，但整個Nyquist曲線并不包圍(-1,j0)點；同時，由于開環(huán)系統(tǒng)不含有不穩(wěn)定的極點，所以根據(jù)控制理論中的Nyquist判據(jù)可以斷定：閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)76

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供的函數(shù)bode，可以直接繪制系統(tǒng)的Bode圖。該函數(shù)常用的調用格式為 bode(sys) bode(sys,w) [mag,phase,w]=bode(sys)【說明】

該函數(shù)的使用類似于函數(shù)nyquist。第3種格式的輸出宗量mag為頻率響應的幅值A(ω)；phase為頻率響應的相位φ

(ω)；w是頻率點。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)77

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)【例9.14】續(xù)【例9.13】，試繪制系統(tǒng)的Bode圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。編寫M腳本文件exam9_14.m如下：%exam9_14clearn1=2.7778;d1=[1,0];s1=tf(n1,d1);n2=[1];d2=[1,2,1];s2=tf(n2,d2);n3=[1,0.192,1.92];d3=[1,0.384,2.56];s3=tf(n3,d3);sys=s1*s2*s3;bode(sys,{0.1,10})%繪制ω從0.1→10的Bode圖,注意格式grid9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)78

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)exam9_14的運行結果和系統(tǒng)的單位階躍響應（圖9.13）點擊Bode圖上對數(shù)頻率特性曲線在0dB處的點，并查出對應頻率點處的相位值（約為-178°）?？梢姡洪]環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但由于穩(wěn)定裕度太小，其階躍響應的振蕩是很劇烈的。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)79

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)圖9.14

在得到的Bode圖上右擊鼠標鍵，則將得到如圖9.14所示的菜單。選擇Characteristics項，從中選取合適的分析內(nèi)容則得到如圖9.14所示的Bode圖。這個功能對函數(shù)nyquist也適用。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)圖980

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)

基于頻域分析的穩(wěn)定裕度是衡量系統(tǒng)穩(wěn)定情況的有效的定量指標。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了函數(shù)margin，可以直接用于系統(tǒng)的幅值和相位穩(wěn)定裕度的求取。該函數(shù)常用的調用格式為 margin(sys) [gm,Pm,wg,wc]=margin(sys)【說明】

第1種格式無輸出宗量，自動繪制系統(tǒng)的Bode圖，并在圖上標出系統(tǒng)的對數(shù)幅值穩(wěn)定裕度值Gm、相位穩(wěn)定裕度值Pm、-180°穿越頻率和截止頻率。若某個穩(wěn)定裕度為無窮大，則顯示Inf（下同）。第2種格式不繪制系統(tǒng)的Bode圖，輸出宗量為系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度值gm、相位穩(wěn)定裕度值Pm、截止頻率和-180°穿越頻率。幅值穩(wěn)定裕度值gm與對數(shù)幅值穩(wěn)定裕度Gm之間的關系為9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)81

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)

【例9.15】續(xù)【例9.14】，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。編寫M腳本文件exam9_15.m如下：%exam9_15clearn1=2.7778;d1=[1,0];s1=tf(n1,d1);n2=[1];d2=[1,2,1];s2=tf(n2,d2);n3=[1,0.192,1.92];d3=[1,0.384,2.56];s3=tf(n3,d3);sys=s1*s2*s3;[gm,Pm,wg,wc]=margin(sys)margin(sys)9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)82

9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)exam9_15的運行結果（圖9.15）gm=1.1050Pm=2.0985wg=0.9621wc=0.9261

系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度為1.1050（對應的對數(shù)幅值穩(wěn)定裕度為20*lg(1.1050)=0.8669dB），頻率（即-180°穿越頻率）為0.9621rad/sec；相位穩(wěn)定裕度為2.0985°，頻率（即截止頻率）為0.9261rad/sec。由于穩(wěn)定裕度較小，閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應將有劇烈振蕩。9.1.3控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB實現(xiàn)839.1MATLAB在自動控制中的應用

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介在經(jīng)典控制理論中，所謂系統(tǒng)設計，就是在給定的性能指標條件下，對于給定的對象模型，確定一個能夠完成給定任務的控制器（常稱為校正器或者補償器），即確定控制器的結構和參數(shù)。控制系統(tǒng)的設計又叫做控制系統(tǒng)的校正或者控制系統(tǒng)的校正設計。控制系統(tǒng)的校正設計的方法很多，利用MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中的眾多函數(shù)，可以大大地減少計算和繪制圖形的工作量，達到事半功倍的效果。9.1MATLAB在自動控制中的應用9.1.484

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介

【例9.16】已知單位反饋系統(tǒng)的被控對象為試設計串聯(lián)校正器，使得：①在單位斜坡信號的作用下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)Kv≥30sec-1；

②系統(tǒng)校正后的截止頻率ωc≥2.3rad/sec；③系統(tǒng)校正后的相位穩(wěn)定裕度Pm>40°。9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介85

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介

采用Bode圖法設計串聯(lián)校正器。

（1）確定K0被控對象為I型系統(tǒng)，單位斜坡響應的速度誤差系數(shù) Kv

=K=K0≥30sec-1其中，K0是系統(tǒng)的開環(huán)增益。取K0=30sec-1，則被控對象的傳遞函數(shù)為9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介86

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介（2）作原系統(tǒng)的Bode圖和階躍響應曲線，檢查是否滿足要求編寫M腳本文件exam9_16_1.m如下：%exam9_16_1cleark0=30;z=[];p=[0;-10;-5];sys0=zpk(z,p,k0*10*5);figure(1);margin(sys0)；grid %函數(shù)figure用來創(chuàng)建圖形窗口figure(2);step(feedback(sys0,1)),grid9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介87

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介exam9_16_1的運行結果（圖9.16）9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介e88

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介從圖9.16可以看出，未校正系統(tǒng)的頻域性能指標為： 對數(shù)幅值穩(wěn)定裕度Gm0=-6.02dB-180°穿越頻率ωg0=7.07rad/sec

相位穩(wěn)定裕度Pm0=-17.2°

截止頻率ωc0=9.77rad/sec對數(shù)幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度均為負值，這樣的系統(tǒng)根本無法工作。系統(tǒng)必須進行校正。9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介89

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介（3）求校正器的傳遞函數(shù)由于給定的開環(huán)截止頻率ωc≥2.3rad/sec，遠小于ωc0=9.77rad/sec，可以通過壓縮頻帶寬度來改善相位裕度，因此采用串聯(lián)滯后校正是合理的。令校正器的傳遞函數(shù)為顯然，應有β>1。9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介90

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介

①確定新的開環(huán)截止頻率ωc希望的相位穩(wěn)定裕度Pm>40°，所以根據(jù)滯后校正的設計方法，應有其中，（2°~5°）是附加相位補償角。取其等于5°，則有于是，有9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介91

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介

從圖9.16（a）的對數(shù)相頻特性圖上可以取得對應于-135°的ω為2.77rad/sec，即有。9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介92

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介

②計算高頻衰減率β從圖9.16（a）的對數(shù)幅頻特性圖上可以取得對應于的L為19.2dB，于是，有從而9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介93

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介③計算兩個轉折頻率ω1和ω2所以，校正器的傳遞函數(shù)為校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介94

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介（4）校驗系統(tǒng)校正后的頻域性能是否滿足要求編寫M腳本文件exam9_16_2.m如下：%exam9_16_2clear,clck0=30;z=[];p=[0,-10,-5];sys0=zpk(z,p,k0*10*5);n=[3.6,1];d=[32.9,1];sys1=tf(n,d);sys=tf(sys0)*sys1;figure(1);margin(sys);grid figure(2);step(feedback(sys,1)),grid9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介95

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介exam9_16_2的運行結果（圖9.17）9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介e96

9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介從圖9.17可以看出，校正后系統(tǒng)的頻率性能指標為：

對數(shù)幅值穩(wěn)定裕度Gm=12.5dB-180°穿越頻率ωg=6.8rad/sec

相位穩(wěn)定裕度Pm=40.3° 截止頻率ωc=2.78rad/sec顯然，系統(tǒng)校正后的相位穩(wěn)定裕度和截止頻率均滿足給定的要求。9.1.4經(jīng)典控制的MATLAB輔助設計簡介979.1MATLAB在自動控制中的應用

9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介現(xiàn)代控制理論的基本設計方法是狀態(tài)反饋控制器設計，包括狀態(tài)反饋增益矩陣的設計和狀態(tài)觀測器增益矩陣的設計，如圖9.18所示。圖9.189.1MATLAB在自動控制中的應用9.1.598

9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介

開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

(9.12)由圖9.18，將代入上式中，則在狀態(tài)反饋增益矩陣K下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可寫為 (9.13)如果開環(huán)系統(tǒng)完全可控，則選擇合適的K矩陣，可以將閉環(huán)系統(tǒng)矩陣（A-BK）的特征值配置到任意地方（當然，還要滿足共軛復數(shù)的約束）。

9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介99

9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介在極點配置過程中，假設了系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可被量測并用于反饋。然而在實際情況中，并非所有狀態(tài)都可被直接量測，這就需要對不可直接量測的狀態(tài)進行估計。對不可量測的狀態(tài)進行估計稱為狀態(tài)觀測，觀測狀態(tài)變量的裝置（或計算機程序）稱為狀態(tài)觀測器。根據(jù)現(xiàn)代控制理論，狀態(tài)觀測器滿足的誤差狀態(tài)方程為 (9.14)其中，。只要開環(huán)系統(tǒng)是完全可觀的，可以將矩陣（A-LC）的特征值配置到任意地方，從而可以使觀測出的狀態(tài)可以逼近原系統(tǒng)的狀態(tài)（只要將該矩陣的特征值全部配置在左半s平面上）。9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介100

9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介將（9.12）式代入(9.14)式，并將觀測出的狀態(tài)作為輸出反饋量，則得觀測器滿足的狀態(tài)空間模型為 （9.15）

令則有

（9.16）9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介101

9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介

MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供了一系列函數(shù)，可用于狀態(tài)反饋控制器的輔助設計。它們常用的調用格式為 ctrb(sys) obsv(sys) K=place(A,B,p) L=place(A',C',p)【說明】

以上函數(shù)要求對象模型sys為狀態(tài)空間模型。第1種格式求出系統(tǒng)的可控性矩陣。第2種格式求出系統(tǒng)的可觀性矩陣。第3種格式求出狀態(tài)反饋增益矩陣。A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸入矩陣；p為指定的閉環(huán)系統(tǒng)極點；輸出宗量K為狀態(tài)反饋增益矩陣。9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介102

9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介

第4種格式求出狀態(tài)觀測器增益矩陣。A'為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A的轉置；C'為系統(tǒng)的觀測矩陣C的轉置；p為指定的閉環(huán)系統(tǒng)極點；輸出宗量L為狀態(tài)觀測器增益矩陣。【例9.17】已知某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷系統(tǒng)的可控性并求狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得系統(tǒng)的閉環(huán)極點為：，。在系統(tǒng)的閉環(huán)極點不變的情況下，計算狀態(tài)觀測器增益矩陣L。以狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器構成閉環(huán)回路完成單位階躍仿真。9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介103

9.1.5現(xiàn)代控制的MATLAB輔助設計簡介

（1）判別系統(tǒng)的可控性并求出狀態(tài)反饋增益矩陣K編寫M腳本文件exam9_17_1.m如下：%exam9_17_1cleark=10;z=[];p=[-1;-2;-3];s=zpk(z,p,k);sys=ss(s);A=sys.a;B=sys.b;C=sys