三次樣條插值課件

引例2.7.1三次樣條插值函數(shù)的概念一背景二、樣條函數(shù)的定義

例2.13

定理2.8（3次樣條插值函數(shù)存在唯一）2.7.2三彎矩法邊界條件1（固支邊界）邊界條件2（簡(jiǎn)支邊界）邊界條件3（周期邊界）例2.14,2.152.7.3m關(guān)系式2.7.4三次樣條插值函數(shù)的性質(zhì)§2.7三次樣條插值引例2.7.1三次樣條插值函數(shù)的概念一背景二、樣條函1引例:y=sinx

在區(qū)間[0，]上的插值逼近

1.二次插值

2.兩點(diǎn)埃爾米特插值3.分段埃爾米特插值x 0 /2

Sinx 0 1 0Cosx 1 0 –1x 0

Sinx 0 0Cosx 1 –1引例:y=sinx在區(qū)間[0，]上的插值逼近2高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值）Hermite插值分段插值但分段線(xiàn)性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑分段Hermite插值但導(dǎo)數(shù)值不容易提?。ㄕ业剑駷榈玫焦饣雀?、應(yīng)用方便的插值函數(shù),我們引入樣條插值函數(shù)?！皹訔l”名詞來(lái)源于工程中船體、汽車(chē)、飛機(jī)等的外形設(shè)計(jì)：給出外形曲線(xiàn)上的一組離散點(diǎn)(樣點(diǎn))，如(xi,yi)，i=0,1,2,…,n,將有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條或鋼條(樣條)在樣點(diǎn)上固定，使其在其它地方自由彎曲，這樣樣條所表示的曲線(xiàn)，稱(chēng)為樣條曲線(xiàn)(函數(shù))。一背景2.7.1三次樣條插值函數(shù)的概念高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值）Hermite插值分3x=-5:5;y=1./(1+x.^2);plot(x,y,x,y,'o')x=-5:5;y=1./(1+x.^2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,'b',x,y,'ro')被插值函數(shù):-5≤x≤53/18x=-5:5;x=-5:5;被插值函數(shù):-5≤x≤54x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0];y=[0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0];n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,'o')x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,5相同數(shù)據(jù)3次樣條插值與Lagrange插值效果比較CubicSplineInterpolationLagrangeInterpolation三次樣條插值課件6下面介紹應(yīng)用最廣且只有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條函數(shù)．在數(shù)學(xué)上，三次樣條曲線(xiàn)表現(xiàn)為近似于一條分段的三次多項(xiàng)式，它要求在節(jié)點(diǎn)處具有一階和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。二、樣條函數(shù)的定義定義2.8（三次樣條函數(shù)）在每一個(gè)小區(qū)間上是次數(shù)多項(xiàng)式。，即具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。滿(mǎn)足下述條件：如果函數(shù)設(shè)有對(duì)[a,b]的剖分的一個(gè)3次樣條函數(shù)。為關(guān)于剖分則稱(chēng)下面介紹應(yīng)用最廣且只有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條函7定義2.8*給定區(qū)間[a,b]上的一個(gè)分劃:a=x0<x1<…<xn=b已知

f(xj)=yj(j=0,1,···,n),如果滿(mǎn)足:(1)S(x)在[xj，xj+1]上為三次多項(xiàng)式;(2)S”(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù);(3)S(xj)=yj

(j=0,1,···,n).則稱(chēng)

S(x)為三次樣條插值函數(shù).定義2.8*給定區(qū)間[a,b]上的一個(gè)分劃:滿(mǎn)足:(8注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而Hermite插值依賴(lài)于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x9三次樣條插值課件10①插值條件:S(xj)=yj

(j=0,1,···,n)n+1個(gè)②連續(xù)性條件:S(xj+0)=S(xj-0)

(j=1,···,n-1)S'(xj+0)=S'

(xj-0)

(j=1,···,n-1)S'

'

(xj+0)=S'

'

(xj-0)

(j=1,···,n-1)3(n-1)個(gè)共可建立方程(4n-2)個(gè)?。》匠虜?shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)？？①插值條件:S(xj)=yj(j=0,1,11

共有個(gè)條件,要唯一確定,還必須附加2個(gè)條件這兩個(gè)條件常在插值區(qū)間[a,b]的邊界點(diǎn)a,b處給出，稱(chēng)為邊界條件。邊界條件的類(lèi)型很多，常見(jiàn)的有：③附加2個(gè)條件，有多種給法.最常見(jiàn)的給法是:(a)固支邊界(b)簡(jiǎn)支邊界特別地,(自然邊界,三次自然樣條);(1)(2)注：一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一端是二階導(dǎo)數(shù)。共有個(gè)條件,要唯一確定,還必須附加212第3種邊界條件（周期邊界條件）：注意：上述②給出的個(gè)條件是問(wèn)題本身隱含的，①和③共個(gè)獨(dú)立條件須提供，故節(jié)點(diǎn)三次樣插值問(wèn)題只有個(gè)自由度.(請(qǐng)與分段三次Hermite插值比較!)第3種邊界條件（周期邊界條件）：注意：上述②給出的13且(1)如果是定義在上函數(shù)且已知函數(shù)表定理2.8（3次樣條插值函數(shù)存在唯一）唯一3次樣條插值函數(shù),且滿(mǎn)足(2)給定邊界條件，則于存在且(1)如果是定義在上函數(shù)且已知函數(shù)表定理2.14例2.13已知f(–1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求[–1，1]上的三次自然樣條(滿(mǎn)足自然邊界條件).解設(shè)

則有:S(-1)=–a1+b1–c1+d1=f(-1)=1,S(0)=d1=f(0)=0,S(1)=a2+b2+c2+d2=f(1)=1,

S(0-0)=d1=S(0+0)=d2,S'-(0)=c1=S'+(0)=c2,S''-(0)=b1=S''+(0)=b2

由自然邊界條件:S''(0)=–6a1+2b1=0,S'(1)=6a2+2b2=0解方程組,得a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0例2.13已知f(–1)=1,f(0)=15問(wèn)題的解

x=[-1,0,1];y=[1,0,1];f1=inline('0.5*x.^3+1.5*x.^2');f2=inline('-0.5*x.^3+1.5*x.^2');t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,'o',[t1,t2],[p1,p2],’r’)Holdon,plot([t1,t2],[t1,t2].^2)y=x2問(wèn)題的解x=[-1,0,1];y=[1,0,1];y=x16三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達(dá)式，有時(shí)用二階導(dǎo)數(shù)值表示時(shí)，使用更方便。在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個(gè)彎矩有關(guān)，故稱(chēng)用表示的算法為三彎矩算法。2.7.2

構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的三彎矩法

------三次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達(dá)式，有17由兩點(diǎn)拉格朗日插值可表示為參數(shù)對(duì)上式積分,得再積分,得由兩點(diǎn)拉格朗日插值可表示為參數(shù)對(duì)上式積分,得再積分,得18由條件，確定積分常數(shù)由條件，確定積分常數(shù)19將上式代入(2.48)得到三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式由上討論可知,只要確定Mj(j=0,1,…n)這n+1個(gè)值,就可定出三次樣條插值函數(shù)S(x)。為了確定Mj(j=0,1,…n),對(duì)S(x)求導(dǎo)得將上式代入(2.48)得到三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式由上20三次樣條插值課件21三次樣條插值課件22（2.55）

上式兩邊同乘以,即得方程

若記

（2.56）（2.55）上式兩邊同乘以,即得方程若記23所得方程可簡(jiǎn)寫(xiě)成（2.58）

即

（2.57）——三彎矩方程所得方程可簡(jiǎn)寫(xiě)成（2.58）即（2.57）——三彎矩方24這是一個(gè)含有n+1個(gè)未知數(shù)、n-1個(gè)方程的線(xiàn)性方程組.要完全確定Mi(i=0,1,…,n)的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件,這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，根據(jù)插值區(qū)間a,b的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來(lái)補(bǔ)充。這是一個(gè)含有n+1個(gè)未知數(shù)、n-1個(gè)方程的線(xiàn)性方程組25由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，則令j=0，令j=n，邊界條件1（固支邊界）-----由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，則令j26對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角帶狀矩陣對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角帶狀矩陣27(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1個(gè)方程邊界條件2（簡(jiǎn)支邊界）-----對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角帶狀矩陣(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1個(gè)方程邊28(3)對(duì)第三類(lèi)邊界條件：兩邊同除以(j=n)(j=n)(j=0)邊界條件3（周期邊界）-----(3)對(duì)第三類(lèi)邊界條件：兩邊同除以(j=29令得又由,三彎矩方程可寫(xiě)為令得又由,三彎矩方程可寫(xiě)為30小結(jié)：在三個(gè)邊界條件下的三彎矩方程小結(jié)：在三個(gè)邊界條件下的三彎矩方程31說(shuō)明：（1）方程組(2.59)~(2.61)系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，因此方程組(2.59)~(2.61)有唯一解（2）Mj在力學(xué)上為細(xì)梁在xj處截面處的彎矩,且彎矩與相鄰的兩個(gè)彎矩有關(guān),故方程組(2.59)~(2.61)稱(chēng)為三彎矩方程。Mj在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為曲率。

實(shí)際上,方程組(2.59)~(2.61)的系數(shù)矩陣是一類(lèi)特殊的矩陣，在后面線(xiàn)性方程組的解法中，將專(zhuān)門(mén)介紹這類(lèi)方程組的解法和性質(zhì)。

說(shuō)明：（1）方程組(2.59)~(2.61)系32.三次樣條插值課件33三次樣條插值課件34三次樣條插值課件35在本例中，將代入整理后可得：故所求三次樣條插值函數(shù)為：在本例中，將故所求三次樣條插值函數(shù)為：36例2.15

已知的函數(shù)值如下：

x1245

f(x)1342在區(qū)間1,5上求三次樣條插值函數(shù)S(x),使它滿(mǎn)足邊界條件

解:這是在第二種邊界條件下的插值問(wèn)題，故確定

的方程組形如（2.60）所示，由已知邊界條件,有

則得求解的方程組為

例2.15已知的函數(shù)值如下：在區(qū)間1,5上求三次樣條37根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出與根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出與38則得方程組解得

又

即得S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式,由式（2.51）知,S(x)在上的表達(dá)式為代入式(2.50)將代入上式化簡(jiǎn)后得

則得方程組解得又即得S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式代入式39同理S(x)在上的表達(dá)式為

S(x)在上的表達(dá)式為同理S(x)在上的表達(dá)式為S(x)在40故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間上的表達(dá)式為故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間上的表達(dá)式41練習(xí)設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，函數(shù)的值為，。試求三次樣條插值函數(shù)，滿(mǎn)足條件

解（1）是固支邊界，先求，再求解，可知練習(xí)設(shè)在節(jié)點(diǎn)42對(duì)第一類(lèi)邊界條件代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有對(duì)第一類(lèi)邊界條件代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)43（２）是簡(jiǎn)支條件，不過(guò)要注意的不同。由于和已知，故可以化簡(jiǎn)得代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有（２）是簡(jiǎn)支條件，不過(guò)要注意44由此解得。

將代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有由此解得45練習(xí)已知離散點(diǎn):

(1.1,0.4000),(1.2,0.8000),(1.4,1.6500),(1.5,1.8000),取自然邊界條件

M0=Mn=0,構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)，并計(jì)算

f(1.25).解

n=3.

∵

h0=x1-x0=0.1,h1=0.2,h2=0.1,因此，分段的三次樣條插值函數(shù)為,由（2.50）由(2.56)計(jì)算得練習(xí)已知離散點(diǎn):(1.1,0.4000),(1.246

上述三次樣條插值的基本思想和特點(diǎn)是：先利用一階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的連續(xù)性以及邊界條件,列出確定二階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性方程組（力學(xué)上稱(chēng)為三彎矩方組），由此解出，再用來(lái)表達(dá)S(x)。實(shí)際上，還可以通過(guò)別的途徑來(lái)求取三次樣條插值函數(shù)。如：可以先利用二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的連續(xù)性及邊界條件，列出確定一階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性方程組（力學(xué)上稱(chēng)為三轉(zhuǎn)角方程組），由此解出，再用表達(dá)S(x),在某些情況下，這種方法比前者更簡(jiǎn)單適用。上述三次樣條插值的基本思想和特點(diǎn)是：實(shí)際上，還可以通過(guò)別的途472.7.3m關(guān)系式——用一階導(dǎo)數(shù)表示的樣條插值函數(shù)

給定插值點(diǎn)

(xi,yi),設(shè)S'(xi)=mi,

i=0,1,2,…,n,則[xi,xi+1]上的三次Hermite插值為

令

hi=xi+1-xi,∵S(x)∈C2[a,b],對(duì)(2.62)求二階導(dǎo)數(shù)2.7.3m關(guān)系式——用一階導(dǎo)數(shù)表示的樣條插值函數(shù)48

令

xi+=xi+0,在[xi,xi+1]上得到xi點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，

同理，在[xi-1,xi]上構(gòu)造三次樣條插值

S(x),在[xi-1,xi]上得點(diǎn)xi的左導(dǎo)數(shù)，令xi+=xi+0,在[xi,xi+1]49三種邊界條件：

三種邊界條件：50由此可解得m1,m2,…,mn-1，從而得S(x)的表達(dá)式.（2.66）①對(duì)于邊界條件(1),兩個(gè)方程則m1,m2,…,mn-1滿(mǎn)足方程組

由此可解得m1,m2,…,mn-1，從而得S(x)的表51①對(duì)于邊界條件(2),可導(dǎo)出兩個(gè)方程:(2.67)①對(duì)于邊界條件(2),可導(dǎo)出兩個(gè)方程:(2.67)52若令則（2.65）和（2.67）可合并成矩陣形式（2.68）可解出從而得S(x)的表達(dá)式.若令則（2.65）和（2.67）可合并成矩陣形式（2.68）53由(2.65)和(2.6)可解出，方程組的矩陣形式為③對(duì)于邊界條件（3），可得（2.69）其中（2.70）由(2.65)和(2.6)可解出54在實(shí)際應(yīng)用中，如果不需要規(guī)定內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，那么使用三次樣條插值函數(shù)會(huì)得到很好的效果。三次樣條插值函數(shù)不僅在內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，而且逼近具有很好的收斂性，也是數(shù)值穩(wěn)定的。下面給出三次樣條插值函數(shù)的一些重要性質(zhì)。2.7.4三次樣條插值函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中，如果不需要規(guī)定內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，那么使55值函數(shù),則有估計(jì)式定理2.9設(shè)函數(shù)記則對(duì)任意滿(mǎn)足邊界條件（2.44）或（2.45）的三次樣條插（2.69）其中由于誤差估計(jì)與收斂性定理的證明比較復(fù)雜，下面只給出誤差估計(jì)的結(jié)論。值函數(shù),則有估計(jì)式定理2.9設(shè)函數(shù)記56

誤差估計(jì)式（2.69）除可以用于誤差估計(jì)外,它進(jìn)一步表明，當(dāng)時(shí)，在插值區(qū)間上，對(duì)于滿(mǎn)足邊界條件（2.44）或（2..45）的插值函數(shù)，不僅一致收斂于，而且一致收斂于，一致收斂于。用三次樣條繪制的曲線(xiàn)不僅有很好的光滑度，而且當(dāng)節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，其函數(shù)值在整體上能很好地逼近被插函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不會(huì)發(fā)生龍格現(xiàn)象。因此三次樣條在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。誤差估計(jì)式（2.69）除可以用于誤差估計(jì)外,它進(jìn)一步57

插值名稱(chēng)

插值條件

構(gòu)造方法優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算方法

缺點(diǎn)L-插值先求基函數(shù)再求插值函數(shù)對(duì)稱(chēng)秦九韶算法(1)計(jì)算量大(2)數(shù)值不穩(wěn)定、不收斂(Runge現(xiàn)象)本章內(nèi)容：H-插值一、同上二、利用牛頓插值

收斂同上高次有Runge現(xiàn)象分段插值基函數(shù)法收斂

同上

光滑性差三次樣條插值基函數(shù)法收斂同上光滑性有改進(jìn)改進(jìn)方法：列維爾算法、埃特金算法、牛頓法注：分段插值中乍看上去沒(méi)有構(gòu)造插值基函數(shù)，但實(shí)際上線(xiàn)性插值用了線(xiàn)性L(fǎng)-插值基函數(shù)，三次樣條插值的基函數(shù)可為：插值插值構(gòu)造優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算方法58引例2.7.1三次樣條插值函數(shù)的概念一背景二、樣條函數(shù)的定義

例2.13

定理2.8（3次樣條插值函數(shù)存在唯一）2.7.2三彎矩法邊界條件1（固支邊界）邊界條件2（簡(jiǎn)支邊界）邊界條件3（周期邊界）例2.14,2.152.7.3m關(guān)系式2.7.4三次樣條插值函數(shù)的性質(zhì)§2.7三次樣條插值引例2.7.1三次樣條插值函數(shù)的概念一背景二、樣條函59引例:y=sinx

在區(qū)間[0，]上的插值逼近

1.二次插值

2.兩點(diǎn)埃爾米特插值3.分段埃爾米特插值x 0 /2

Sinx 0 1 0Cosx 1 0 –1x 0

Sinx 0 0Cosx 1 –1引例:y=sinx在區(qū)間[0，]上的插值逼近60高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值）Hermite插值分段插值但分段線(xiàn)性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑分段Hermite插值但導(dǎo)數(shù)值不容易提?。ㄕ业剑駷榈玫焦饣雀摺?yīng)用方便的插值函數(shù),我們引入樣條插值函數(shù)?！皹訔l”名詞來(lái)源于工程中船體、汽車(chē)、飛機(jī)等的外形設(shè)計(jì)：給出外形曲線(xiàn)上的一組離散點(diǎn)(樣點(diǎn))，如(xi,yi)，i=0,1,2,…,n,將有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條或鋼條(樣條)在樣點(diǎn)上固定，使其在其它地方自由彎曲，這樣樣條所表示的曲線(xiàn)，稱(chēng)為樣條曲線(xiàn)(函數(shù))。一背景2.7.1三次樣條插值函數(shù)的概念高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值）Hermite插值分61x=-5:5;y=1./(1+x.^2);plot(x,y,x,y,'o')x=-5:5;y=1./(1+x.^2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,'b',x,y,'ro')被插值函數(shù):-5≤x≤53/18x=-5:5;x=-5:5;被插值函數(shù):-5≤x≤562x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0];y=[0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0];n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,'o')x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,63相同數(shù)據(jù)3次樣條插值與Lagrange插值效果比較CubicSplineInterpolationLagrangeInterpolation三次樣條插值課件64下面介紹應(yīng)用最廣且只有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條函數(shù)．在數(shù)學(xué)上，三次樣條曲線(xiàn)表現(xiàn)為近似于一條分段的三次多項(xiàng)式，它要求在節(jié)點(diǎn)處具有一階和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。二、樣條函數(shù)的定義定義2.8（三次樣條函數(shù)）在每一個(gè)小區(qū)間上是次數(shù)多項(xiàng)式。，即具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。滿(mǎn)足下述條件：如果函數(shù)設(shè)有對(duì)[a,b]的剖分的一個(gè)3次樣條函數(shù)。為關(guān)于剖分則稱(chēng)下面介紹應(yīng)用最廣且只有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條函65定義2.8*給定區(qū)間[a,b]上的一個(gè)分劃:a=x0<x1<…<xn=b已知

f(xj)=yj(j=0,1,···,n),如果滿(mǎn)足:(1)S(x)在[xj，xj+1]上為三次多項(xiàng)式;(2)S”(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù);(3)S(xj)=yj

(j=0,1,···,n).則稱(chēng)

S(x)為三次樣條插值函數(shù).定義2.8*給定區(qū)間[a,b]上的一個(gè)分劃:滿(mǎn)足:(66注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而Hermite插值依賴(lài)于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x67三次樣條插值課件68①插值條件:S(xj)=yj

(j=0,1,···,n)n+1個(gè)②連續(xù)性條件:S(xj+0)=S(xj-0)

(j=1,···,n-1)S'(xj+0)=S'

(xj-0)

(j=1,···,n-1)S'

'

(xj+0)=S'

'

(xj-0)

(j=1,···,n-1)3(n-1)個(gè)共可建立方程(4n-2)個(gè)??！方程數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)？？①插值條件:S(xj)=yj(j=0,1,69

共有個(gè)條件,要唯一確定,還必須附加2個(gè)條件這兩個(gè)條件常在插值區(qū)間[a,b]的邊界點(diǎn)a,b處給出，稱(chēng)為邊界條件。邊界條件的類(lèi)型很多，常見(jiàn)的有：③附加2個(gè)條件，有多種給法.最常見(jiàn)的給法是:(a)固支邊界(b)簡(jiǎn)支邊界特別地,(自然邊界,三次自然樣條);(1)(2)注：一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一端是二階導(dǎo)數(shù)。共有個(gè)條件,要唯一確定,還必須附加270第3種邊界條件（周期邊界條件）：注意：上述②給出的個(gè)條件是問(wèn)題本身隱含的，①和③共個(gè)獨(dú)立條件須提供，故節(jié)點(diǎn)三次樣插值問(wèn)題只有個(gè)自由度.(請(qǐng)與分段三次Hermite插值比較!)第3種邊界條件（周期邊界條件）：注意：上述②給出的71且(1)如果是定義在上函數(shù)且已知函數(shù)表定理2.8（3次樣條插值函數(shù)存在唯一）唯一3次樣條插值函數(shù),且滿(mǎn)足(2)給定邊界條件，則于存在且(1)如果是定義在上函數(shù)且已知函數(shù)表定理2.72例2.13已知f(–1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求[–1，1]上的三次自然樣條(滿(mǎn)足自然邊界條件).解設(shè)

則有:S(-1)=–a1+b1–c1+d1=f(-1)=1,S(0)=d1=f(0)=0,S(1)=a2+b2+c2+d2=f(1)=1,

S(0-0)=d1=S(0+0)=d2,S'-(0)=c1=S'+(0)=c2,S''-(0)=b1=S''+(0)=b2

由自然邊界條件:S''(0)=–6a1+2b1=0,S'(1)=6a2+2b2=0解方程組,得a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0例2.13已知f(–1)=1,f(0)=73問(wèn)題的解

x=[-1,0,1];y=[1,0,1];f1=inline('0.5*x.^3+1.5*x.^2');f2=inline('-0.5*x.^3+1.5*x.^2');t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,'o',[t1,t2],[p1,p2],’r’)Holdon,plot([t1,t2],[t1,t2].^2)y=x2問(wèn)題的解x=[-1,0,1];y=[1,0,1];y=x74三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達(dá)式，有時(shí)用二階導(dǎo)數(shù)值表示時(shí)，使用更方便。在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個(gè)彎矩有關(guān)，故稱(chēng)用表示的算法為三彎矩算法。2.7.2

構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的三彎矩法

------三次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達(dá)式，有75由兩點(diǎn)拉格朗日插值可表示為參數(shù)對(duì)上式積分,得再積分,得由兩點(diǎn)拉格朗日插值可表示為參數(shù)對(duì)上式積分,得再積分,得76由條件，確定積分常數(shù)由條件，確定積分常數(shù)77將上式代入(2.48)得到三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式由上討論可知,只要確定Mj(j=0,1,…n)這n+1個(gè)值,就可定出三次樣條插值函數(shù)S(x)。為了確定Mj(j=0,1,…n),對(duì)S(x)求導(dǎo)得將上式代入(2.48)得到三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式由上78三次樣條插值課件79三次樣條插值課件80（2.55）

上式兩邊同乘以,即得方程

若記

（2.56）（2.55）上式兩邊同乘以,即得方程若記81所得方程可簡(jiǎn)寫(xiě)成（2.58）

即

（2.57）——三彎矩方程所得方程可簡(jiǎn)寫(xiě)成（2.58）即（2.57）——三彎矩方82這是一個(gè)含有n+1個(gè)未知數(shù)、n-1個(gè)方程的線(xiàn)性方程組.要完全確定Mi(i=0,1,…,n)的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件,這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，根據(jù)插值區(qū)間a,b的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來(lái)補(bǔ)充。這是一個(gè)含有n+1個(gè)未知數(shù)、n-1個(gè)方程的線(xiàn)性方程組83由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，則令j=0，令j=n，邊界條件1（固支邊界）-----由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，則令j84對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角帶狀矩陣對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角帶狀矩陣85(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1個(gè)方程邊界條件2（簡(jiǎn)支邊界）-----對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角帶狀矩陣(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1個(gè)方程邊86(3)對(duì)第三類(lèi)邊界條件：兩邊同除以(j=n)(j=n)(j=0)邊界條件3（周期邊界）-----(3)對(duì)第三類(lèi)邊界條件：兩邊同除以(j=87令得又由,三彎矩方程可寫(xiě)為令得又由,三彎矩方程可寫(xiě)為88小結(jié)：在三個(gè)邊界條件下的三彎矩方程小結(jié)：在三個(gè)邊界條件下的三彎矩方程89說(shuō)明：（1）方程組(2.59)~(2.61)系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，因此方程組(2.59)~(2.61)有唯一解（2）Mj在力學(xué)上為細(xì)梁在xj處截面處的彎矩,且彎矩與相鄰的兩個(gè)彎矩有關(guān),故方程組(2.59)~(2.61)稱(chēng)為三彎矩方程。Mj在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為曲率。

實(shí)際上,方程組(2.59)~(2.61)的系數(shù)矩陣是一類(lèi)特殊的矩陣，在后面線(xiàn)性方程組的解法中，將專(zhuān)門(mén)介紹這類(lèi)方程組的解法和性質(zhì)。

說(shuō)明：（1）方程組(2.59)~(2.61)系90.三次樣條插值課件91三次樣條插值課件92三次樣條插值課件93在本例中，將代入整理后可得：故所求三次樣條插值函數(shù)為：在本例中，將故所求三次樣條插值函數(shù)為：94例2.15

已知的函數(shù)值如下：

x1245

f(x)1342在區(qū)間1,5上求三次樣條插值函數(shù)S(x),使它滿(mǎn)足邊界條件

解:這是在第二種邊界條件下的插值問(wèn)題，故確定

的方程組形如（2.60）所示，由已知邊界條件,有

則得求解的方程組為

例2.15已知的函數(shù)值如下：在區(qū)間1,5上求三次樣條95根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出與根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出與96則得方程組解得

又

即得S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式,由式（2.51）知,S(x)在上的表達(dá)式為代入式(2.50)將代入上式化簡(jiǎn)后得

則得方程組解得又即得S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式代入式97同理S(x)在上的表達(dá)式為

S(x)在上的表達(dá)式為同理S(x)在上的表達(dá)式為S(x)在98故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間上的表達(dá)式為故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間上的表達(dá)式99練習(xí)設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，函數(shù)的值為，。試求三次樣條插值函數(shù)，滿(mǎn)足條件

解（1）是固支邊界，先求，再求解，可知練習(xí)設(shè)在節(jié)點(diǎn)100對(duì)第一類(lèi)邊界條件代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有對(duì)第一類(lèi)邊界條件代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)101（２）是簡(jiǎn)支條件，不過(guò)要注意的不同。由于和已知，故可以化簡(jiǎn)得代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有（２）是簡(jiǎn)支條件，不過(guò)要注意102由此解得。

將代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有由此解得103練習(xí)已知離散點(diǎn):

(1.1,0.4000),(1.2,0.8000),(1.4,1.6500),(1.5,1.8000),取自然邊界條件

M0=Mn=0,構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)，并計(jì)算

f(1.25).解

n=3.

∵

h0=x1-x0=0.1,h1=0.2,h2=0.1,因此，分段的三次樣條插值函數(shù)為,由（2.50）由(2.56)計(jì)算得練習(xí)已知離散點(diǎn):(1.1,0.4000),(1.2104

上述三次樣條插值的基本思想和特點(diǎn)是：先利用一階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的連續(xù)性以及邊界條件,列出確定二階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性方程組（力學(xué)上稱(chēng)為三彎矩方組），由此解出，再用來(lái)表達(dá)S(x)。實(shí)際上，還可以通過(guò)別的途徑來(lái)求取三次樣條插值函數(shù)。如：可以先利用二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的連續(xù)性及邊界條件，列出確定一階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性方程組（力學(xué)上稱(chēng)為三轉(zhuǎn)角方程組），由此解出，再用表達(dá)S(x),在某些情況下，這種方法比前者更簡(jiǎn)單適用。上述三次樣條插值的基本思想和特點(diǎn)是：實(shí)際上，還可以通過(guò)別的途1052.7.3m關(guān)系式——用一階導(dǎo)數(shù)表示的樣條插值函數(shù)

給定插值點(diǎn)

(xi,yi),設(shè)S'(xi)=mi,

i=0,1,2,…,n,則[xi,xi+1]上的三次Hermite插值為

令

hi=x