線性代數(shù)課件：第七章 線性空間與線性變換（第三講）

§3坐標(biāo)與坐標(biāo)變換

3.1向量的坐標(biāo)

在上一節(jié)中,我們知道:n維線性空間中任一向量都可以由V的基唯一地線性表示.由此引出了坐標(biāo)的概念．

定義3.1

設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間,ε1,ε2,···,εn是V的一個基.對于V中任一向量α,則有數(shù)域F

中唯一的一組數(shù)a1，a2,···,an,使得稱有序數(shù)組a1,a2

,···,an為向量α在基ε1,ε2,···,εn下的坐標(biāo)，記為第七章機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

借用矩陣乘法的形式，記則α的坐標(biāo)可以方便地用一個n維列向量(數(shù)組向量)表達(dá)出來：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

顯然,在取定的基ε1,ε2,···,εn之下,V中向量與其坐標(biāo)是相互惟一決定的.或者說,在取定基之下,V中向量與數(shù)域V中上的n維列向量(數(shù)組向量)是一一對應(yīng)的．

例3.1

求數(shù)域F上的線性空間F2×2中向量在基下的坐標(biāo).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則得到α在這組基下的坐標(biāo)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

解給出向量

在基E11,E12,E21,E22

下的線性表示在基E11，E12，E21，E22下的坐標(biāo)為

注意,如果基的排列次序變?yōu)镋11,E21,E12,E22,則例3.1中向量α的坐標(biāo)中各分量亦要相應(yīng)的隨之改變,而有

請大家記住，基與坐標(biāo)都是嚴(yán)格有序的概念.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可知，F(xiàn)2×2中向量

一般地，線性空間R[x]n中向量在基下的坐標(biāo)為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

例3.2

線性空間R[x]3中的向量在基1,x,x2下的坐標(biāo)為

例3.3

設(shè)V是集合{(a,0,b)|a,b∈R}對于通常數(shù)組向量加法與數(shù)乘運算下所成的實數(shù)域R上線性空間,求V中向量α=(2,0,-3)在基ε1=(1,0,0),ε2=(0,0,1)下的坐標(biāo)

解由即知

例3.4

設(shè)V是二階實對稱矩陣全體的集合對于通常矩陣加法與矩陣數(shù)乘運算所成的實數(shù)域R上的線性空間.求V中向量在基下的坐標(biāo).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

解因為所以A在基ε1,ε2

,ε3下的坐標(biāo)為

我們已經(jīng)知道了在取定基之下,向量與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系.下面的三個定理將進(jìn)一步揭示這種對應(yīng)關(guān)系的深刻內(nèi)涵.

定理3.1在n維線性空間中,對于任一基,向量α為零向量的充分必要條件是α的坐標(biāo)為(0,0,···,0)T.

定理3.1的成立是明顯的.它表明:向量與其坐標(biāo)保持著為零（或非零）的一致性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

定理3.2

設(shè)V是數(shù)域F上的

n維線性空間.在基ε1,ε2,···,εn下,如果α的坐標(biāo)為β的坐標(biāo)為

則1）α+β的坐標(biāo)為2）kα的坐標(biāo)為

證明設(shè)即有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束于是可見α+β的坐標(biāo)為又對任意k∈F

，有故知kα的坐標(biāo)恰是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

定理3.2可推廣為：在基ε1,ε2,···,εn之下,若向量組α1,α2,···,αs的坐標(biāo)為，

則對數(shù)域F上的任意數(shù)k1,k2,···,k

s,向量k1α1+k2α2+···+ksαs的坐標(biāo)為

以上結(jié)果說明：向量與其坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系保持加法，保持?jǐn)?shù)乘，從而保持線性組合的關(guān)系式.

定理3.3

設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間.在V的一個基ε1,ε2,···,εn之下,向量組α1,α2,···,αs線性相關(guān)的充分必要條件是它們的坐標(biāo)(作為F上的n維數(shù)組向量)線性相關(guān).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束ⅰ)V中向量α1,α2,···,αs線性相關(guān)；ⅱ)有數(shù)域F中不全為零的數(shù)k1,k2,···,ks,使k1α1+k2α2+···+ksαs=0；ⅲ)有數(shù)域F中不全為零的數(shù)k1,k2,···,ks,使

這里,0=(0，0，···，0)T;ⅳ)數(shù)域F上的n維數(shù)組向量線性相關(guān).

定理3.3說明：向量組與其相應(yīng)的坐標(biāo)組保持著線性相關(guān)（線性無關(guān)）的一致性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

證明利用定理3.1及3.2，便知以下四種說法互為充分必要條件，從而本定理成立.

證明

已知1,x,x2是R[x]3的基,而g1,g2,g3在基1,x,x2下的坐標(biāo)為顯然線性無關(guān),故知g1,g2,g3亦線性無關(guān).再由本章定理2.1知,作為3維線性空間的3個線性無關(guān)向量,g1,g2,g3便是R[x]3的基.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

例3.5

對于線性空間R[x]3，證明是一個基.

3.2基變換與坐標(biāo)變換

例3.6

已知線性空間R3中的向量α=(1,2,-1)T.試求α在基以及在另一個基下的坐標(biāo).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

解顯然,α在基ε1,ε2

,ε3下的坐標(biāo)為(1,2,-1)T.(注意它在形式上和向量α一模一樣,但在概念上不能把空間中的向量與它們的坐標(biāo)相混淆).設(shè)α在基ε’1,ε’2

,ε’3下的坐標(biāo)為(x1,x

2,x

3)T,則應(yīng)有即解這個方程組得解畢.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束同一向量在不同基下的坐標(biāo)通常是不同的.

設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間.ε1,ε2,···,εn及ε’1,ε’2,···,

ε’n

是V的兩個基.并設(shè)（1）若令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則A中第i列恰是向量ε’i在基ε1,ε2,···

,εn下的坐標(biāo).顯然,矩陣A是惟一確定的,并且是可逆的.為了今后應(yīng)用的方便,我們把(1)式形式地表達(dá)為（2）

通常把(2)式稱為基變換公式,其中的n階矩陣A稱為由基ε1,ε2,···,εn到基ε’1,ε’2,···,ε’n的過渡矩陣(或稱變換矩陣).(2)式這種形式乘法還具有如下的結(jié)合律：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中A,B均為矩陣并且是可以相乘的.

在（2）式兩端同時右乘A-1，便得

這說明由基ε’1,ε’2,···,ε’

n到基ε1,ε2,···,εn的過渡矩陣恰是由基ε1,ε2,···,εn到基ε’1,ε’2,···,ε’n的過渡矩陣的逆矩陣.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束于是有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

下面研究同一向量在兩基下的坐標(biāo)間的關(guān)系.設(shè)基ε1,ε2,···,εn與基ε’1,ε’2,···,ε’n之間的關(guān)系如（2）式,向量在這兩個基下的坐標(biāo)分別為根據(jù)向量在取定基下坐標(biāo)的惟一性，得或?qū)懗桑?）機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)或(3)’叫做坐標(biāo)變換公式.我們看到:從本質(zhì)上說,是基變換決定了坐標(biāo)變換.總結(jié)以上結(jié)果得到下面定理.

定理3.4

設(shè)n維線性空間V中,向量α在基ε1,ε2,···,εn及ε’1,ε’2,···,ε’n之下的坐標(biāo)分別為(x1,x2,···,xn)T及(x1’,x2’,···,x

n’)T.如果兩基間的變換公式如(2),則坐標(biāo)變換公式為(3)或(3)’.

例3.7

在線性空間R3中，求出由基機動目錄上頁下頁返回結(jié)束到基的變換公式，并求向量ξ=(4,12,6)T在基α1,α2,α3下的坐標(biāo)(x1,x2,x3)T。

解首先容易得到由基ε1,ε2,ε3到基α1,α2,α3的變換公式為(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A，機動目錄上頁下頁