M02n第二章初等模型

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3雙層玻璃窗的功效2.4汽車剎車距離2.5劃艇比賽的成績2.6動(dòng)物的身長和體重2.7

實(shí)物交換2.8

核軍備競(jìng)賽2.9

啟帆遠(yuǎn)航2.10量綱分析與無量綱化M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!2.1公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個(gè)系學(xué)生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10,6,4席.因?qū)W生轉(zhuǎn)系,三系人數(shù)為103,63,34,如何分配20席?若代表會(huì)議增加1席，如何分配21席?比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!背景Hamilton(比例加慣例)方法------1792年美國國會(huì)用于分配各州眾議員名額已知:m方人數(shù)分別為p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N.記qi=Npi/P,稱為第i方的份額(i=1,2,…,m)各方先分配qi的整數(shù)部分[qi],總余額為記ri=qi-[qi],則第i方的分配名額ni為要求已知份額向量q=(q1,…,qm),找一個(gè)整數(shù)分配向量n=(n1,…,nm),使n與q最接近.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!Hamilton方法的不公平性1.p1,p2,…,pm不變,N的增加會(huì)使某個(gè)ni減少(上例).2.N不變,pi比pj的增長率大,會(huì)使ni減少nj增加(例1).3.p1,p2,…,pm不變,m增加1,N的增加會(huì)使某個(gè)ni增加而某個(gè)ni減少(例2).pinii=110310i=2636i=3344總和20020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215qi10.605.863.5420ni116320pi10363346206qi10.506.423.470.6121ni1163121例1例2M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席,若增加1席,問應(yīng)分給A,還是B?不妨設(shè)分配開始時(shí)p1/n1>p2/n2，即對(duì)A不公平.~對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位計(jì)算該席給Q值最大的一方Q

值方法(Huntington)“公平”分配方法M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!模型的公理化研究Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的公理(1974)份額qi=Npi/P,分配名額ni

=ni(N,p1,…,pm)已知p1,p2,…,pm,P,N1)[qi]ni

[qi]+1

(i=1,2,…m)~公平分配性2)ni

(N,p1,,…pm)ni

(N+1,p1,…,pm)~名額單調(diào)性3)若pi<pi'

,pj=pj'(ji),則ni

(N,p1,…)ni'

(N,p1',…)

~人口單調(diào)性4)ni,nj的轉(zhuǎn)讓不能使得它們更接近qi,qj~接近份額性M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!“比例加慣例”方法滿足公理1，但不滿足公理2.Q值方法滿足公理2,但不滿足公理1.模型的公理化研究pi9521716151000qi95.21.71.61.5100ni94222100i=1i=2i=3i=4不存在滿足上述公理的席位分配方法(1982)M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間的關(guān)系.思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？2.2

錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途經(jīng)試驗(yàn)，一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分鐘，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061.觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!模型假設(shè)錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)v；計(jì)數(shù)器讀數(shù)n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)m成正比，記m=kn；錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)w；空右輪盤半徑記作r；時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目的建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的數(shù)量關(guān)系.（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即模型建立3.考察t到t+dt錄像帶運(yùn)動(dòng)的長度，等于在右輪盤上纏繞的一段圓弧，即思考：比較方法3與方法1,2，分析微積分與初等數(shù)學(xué)在解決問題的思路上有什么本質(zhì)區(qū)別?M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!參數(shù)估計(jì)另一種確定參數(shù)的方法——測(cè)試分析將模型改記作只需估計(jì)a,b.理論上，已知t=184,n=6061,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可.實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合.現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途日常生活中的問題(錄制節(jié)目)數(shù)學(xué)建模全過程的典型示例觀察現(xiàn)象(讀數(shù)增長越來越慢)建模準(zhǔn)備(了解工作原理)模型建立(多種方法)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图僭O(shè)參數(shù)估計(jì)(測(cè)試分析)模型應(yīng)用M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失.結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2極低,而這要求空氣非常干燥、不流通.房間通過天花板、墻壁、…損失的熱量更多.實(shí)際上雙層窗的功效不會(huì)如此之大!M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!問題分析常識(shí)：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(shí)(16km/h)車速下2秒鐘行駛29英尺(9m)>>車身的平均長度15英尺(=4.6m)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同.剎車距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈敏性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候…最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng).車速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!反應(yīng)時(shí)間t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒.參數(shù)估計(jì)利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k.模型最小二乘法k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速(英里/小時(shí))(英尺/秒)實(shí)際剎車距離（英尺）2029.342（44）3044.073.5（78）4058.7116（124）5073.3173（186）6088.0248（268）70102.7343（372）80117.3464（506）計(jì)算剎車距離（英尺）剎車時(shí)間（秒）43.91.582.51.8132.12.1192.22.5263.83.0346.53.6439.54.3M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!2.5劃艇比賽的成績賽艇2000m成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(m)(m)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)槳手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對(duì)四種賽艇(單人、雙人、四人、八人)4次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系.試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l/b,w0/n

基本不變M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號(hào)：艇速v,浸沒面積s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,槳手?jǐn)?shù)n,槳手功率p,槳手體重w,艇重W.艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比槳手的特征模型建立f

sv2,p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3,A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9npfv,M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!劃艇比賽的成績對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題.利用物理基本知識(shí)分析問題.模型假設(shè)比較粗糙.利用合適的物理定律及簡單的比例方法建模(只考慮各種艇的相對(duì)速度).模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合(巧合！)M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!假設(shè)與建模1.軀干為圓柱體，長度l,直徑d,斷面面積s.2.圓柱體為彈性梁，四肢為支架.3.動(dòng)物在自身體重f作用下，軀干最大下垂為b(梁的最大彎曲).4.彈性力學(xué)的已有結(jié)果：dlbf

5.由f

sl,得b/l是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!動(dòng)物的身長和體重將動(dòng)物軀干類比為彈性梁——充滿想像力的大膽假設(shè)!把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為有確切研究成果的彈性梁在自重下的撓曲問題.類比法是數(shù)學(xué)建模的一種常用方法.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度,即p1,p2對(duì)甲是無差別的.MN將所有與p1,p2無差別的點(diǎn)連接起來,得到一條無差別曲線MN.線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛程度.N1M1P3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無差別曲線M1N1上,于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!xyOg(x,y)=c2c2乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）.雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O'x'y'g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x'O'y',且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P'

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上!因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p',(雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p.兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB分析與建模M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!2.8核軍備競(jìng)賽冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全,實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”,核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí).隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束,雙方通過了一系列核裁軍協(xié)議.在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無限擴(kuò)張,而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài).當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí),平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化.估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響.背景與問題M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!圖的模型y=f(x)~甲有x枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線)x=g(y)~乙有y枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(甲安全線)當(dāng)x=0時(shí)y=y0，y0~乙方的威懾值xyy00y0~甲方實(shí)行次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P~平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!

a~交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比)x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威懾值s~殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡.s變大，y減小，曲線變平.xy0y0x<y,y=y0+(1-s)xx=yx=2yy<x<2y,M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架.乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x0不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解釋甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少.PP′M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!核軍備競(jìng)賽對(duì)“核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過程.提出安全曲線概念，給出它的一般形式.通過更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值和殘存率，給出安全線的分析表達(dá)式.利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!模型分析風(fēng)(通過帆)對(duì)船的推力w風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設(shè)

w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且s1遠(yuǎn)大于

s2.f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!2)令=/2,

v1=k1[w(1-cos)/2

-pcos]cos求使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)當(dāng)固定時(shí)求使f1最大f1=w[cos(-2)-cos]/2=/2時(shí)f1=w(1-cos)/2最大=k1(f1-p1)cosf1=w1sin=wsinsin(-)p1=pcos求,,使v1最大模型建立v1=vcos

wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!2.10量綱分析與無量綱化物理量的量綱長度l的量綱記L=[l]質(zhì)量m的量綱記M=[m]時(shí)間t的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a的量綱[a]=LT-2力f的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)k的量綱[k]對(duì)無量綱量，[]=1(=L0M0T0)2.10.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!對(duì)x,y,z的兩組量測(cè)值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式?設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為量綱齊次原則單擺運(yùn)動(dòng)M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià),F未定.Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r個(gè)基本解，記作為m-r個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量,且則M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r個(gè)無量綱量量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!量綱分析法的評(píng)注物理量的選取基本量綱的選取基本解的構(gòu)造結(jié)果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解.方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識(shí).M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!按一定尺寸比例造模型船，量測(cè)f，可算出f1~物理模擬例:航船阻力的物理模擬M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨(dú)立參數(shù)r,v,g的量綱用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無量綱變量如利用新變量將被簡化令M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!3）令為無量綱量2）令為無量綱量用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!2)3)忽略項(xiàng)不能忽略項(xiàng)忽略項(xiàng)1)2)3)的重要差別無量綱化方法M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!為什么3)能忽略項(xiàng)，得到原問題近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為v/g,高度為v2/2g,大體上具有單位尺度項(xiàng)可以忽略項(xiàng)不能忽略無量綱化方法M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5實(shí)際上右面對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖然左右兩種情況的絕對(duì)不公平度相同.若p1/n1>p2/n2，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況:初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B“公平”分配方法M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席Q2,Q3同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席,乙系6席,丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!“比例加慣例”方法滿足公理1，但不滿足公理2.Q值方法滿足公理2,但不滿足公理1.模型的公理化研究pi9521716151000qi95.21.71.61.5100ni94222100i=1i=2i=3i=4n=[1111];%從一開始就用p=[952,17,16,15];whilesum(n)<=100q=p.^2./(n.*(n+1));[mq,imq]=max(q);n(imq)=n(imq)+1;endM02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!公平的席位分配建立“公平分配席位”模型的關(guān)鍵是建立衡量公平程度的數(shù)量指標(biāo).在以相對(duì)不公平度為衡量指標(biāo)的前提下,Q值方法比“比例加慣例”方法更加公平.如果采用公理化方法——提出公平分配席位的理想化原則，那么該問題尚未解決——已證明不存在滿足一組公理的席位分配方法.

M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理主動(dòng)輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向主動(dòng)輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)右輪盤半徑增大計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長變慢錄像帶速度是常數(shù)問題分析右輪轉(zhuǎn)速越來越慢M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長度vt,即思考：這個(gè)結(jié)果能否解釋“計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢”?M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋.模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法.模型建立M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問題：由模型算得n=4450時(shí)t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目.揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì)a,b即可.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流.T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài).材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.3雙層玻璃窗的功效雙層單層M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!2.4

汽車剎車距離美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時(shí)，后車與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長度.實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡便辦法是“2秒準(zhǔn)則”：后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何.判斷“2秒準(zhǔn)則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和.2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比.3.剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車的質(zhì)量m成正比.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為“t秒準(zhǔn)則”模型車速(英里/小時(shí))剎車時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時(shí)）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!問題分析前進(jìn)阻力~浸沒部分與水的摩擦力前進(jìn)動(dòng)力~槳手的劃槳功率分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定:劃槳功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)阻力漿手?jǐn)?shù)量艇重浸沒面積

對(duì)槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定.運(yùn)用合適的物理定律建立模型.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!模型檢驗(yàn)n

t17.2126.8846.3285.84線性最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對(duì)模型t

n

–1/9進(jìn)行檢驗(yàn).tn12487.216.886.325.84????與模型吻合！M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!2.6

動(dòng)物的身長和體重背景與問題研究四足動(dòng)物軀干的長度與體重的關(guān)系.家畜收購站(屠宰場(chǎng))希望從軀干長度估計(jì)體重.不陷入各種動(dòng)物生理結(jié)構(gòu)的研究.問題分析將動(dòng)物軀干類比為圓柱形的彈性梁，四肢為支架，借助彈性力學(xué)的已有結(jié)果進(jìn)行分析.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!在長期進(jìn)化過程中每種動(dòng)物的b/l已經(jīng)達(dá)到最合適的數(shù)值，即b/l=常數(shù)(與動(dòng)物尺寸無關(guān)).b/l太大，四肢無法支撐；b/l太小，四肢的尺寸超過支撐軀干的需要，不合乎生物進(jìn)化論.對(duì)于一種四足動(dòng)物(如生豬)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定系數(shù)k.l3

d2f

sl,sd2,l3

d2軀干的相對(duì)下垂度b/l

l

3/d2dlbf假設(shè)與建模f

l4f=kl4可以從軀干長度l估計(jì)動(dòng)物體重f.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案.yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y).xyyo0xo??2.7實(shí)物交換M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：單調(diào)減(x增加,y減小)下凸(凸向原點(diǎn))互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的x換取較少的y.甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）甲的無差別曲線M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!AB交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價(jià)交換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)的連線CD.AB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a,Y單價(jià)b,則等價(jià)交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..xp.M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；己方在經(jīng)受次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.在任一方實(shí)施次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地.摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定.模型假設(shè)M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!分析模型乙方殘存率

s~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率.sx個(gè)基地未被摧毀，y–x個(gè)基地未被攻擊.x<y甲方以x枚導(dǎo)彈攻擊乙方y(tǒng)個(gè)基地中的x個(gè),y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個(gè)基地被攻擊2次,s2(x–y)個(gè)未被摧毀;y–(x–y)=2y–x個(gè)被攻擊1次,s(2y–x)個(gè)未被摧毀.y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值y0變大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí).（其他因素不變）乙安全線y=f(x)上移模型解釋平衡點(diǎn)PP′M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).(x

,y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值x0,y0和殘存率s均減小.y0減小

y下移且變平xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s變小y增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析.模型解釋乙安全線y=f(x)M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.簡化問題AB

風(fēng)向北航向帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向，帆以及帆的朝向.2.9啟帆遠(yuǎn)航M02n第二章初等模型共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!w1=wsin(-)f1=w1sin=wsinsin(-)p1=pcos模型假設(shè)

wpw1w2f1f2p2p1

w2與帆面平行，可忽略.

f2,p2垂直于船身，可由舵抵消.模型建立w=ks1,p=ks2船在正東方向速度分量v1=vcos航向速度v與力f=f1-p1成正比.v=