河北省衡水中學2023屆高三上學期一調考試數(shù)學試卷

河北省衡水中學2023屆上學期高三年級一調考試數(shù)學本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。共4頁，總分150分，考試時間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．(1，3)2．若，，，則的大小關系為A． B． C． D．3．設，則使成立的一個充分不必要條件是A． B． C． D．4．我國古代數(shù)學家李善蘭在《對數(shù)探源》中利用尖錐術理論來制作對數(shù)表，他通過“對數(shù)積”求得，由此可知的近似值為A．-1.519 B．-1.726 C．-1.609 D．-1.3165．已知關于的函數(shù)圖象如圖所示，則實數(shù)滿足的關系式可以是A． B．C． D．6．已知函數(shù)是定義在R上的單調函數(shù)．若對任意，都有，則A．9 B．15 C．17 D．337．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則A．3 B．4C．6 D．與值有關8．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為A．1 B．2 C．4 D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知集合為全集，集合均為的子集．若，，，則A． B．C． D．10．已知定義域為的偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，且，使，則下列函數(shù)中符合上述條件的是A． B．C． D．11．記的三邊長分別為，且，則下列結論正確的是A． B．C． D．12．某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限、勞累程度勞動動機相關，并建立了數(shù)學模型已知甲、乙為該公司的員工，下列結論正確的是A．若甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長、勞累程度弱，則甲比乙工作效率高B．若甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長、勞動動機高，則甲比乙工作效率低C．若甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高、工作年限短，則甲比乙勞累程度弱D．若甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高、勞動動機低，則甲比乙勞累程度強第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題．每小題5分，共20分。13．若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值為．14．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名了“高斯函數(shù)”．設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，已知，則函數(shù)的值域為．15．已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則=.16．已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)(1)判斷的奇偶性，并說明理由；(2)若關于的方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）設為正實數(shù)，且.證明：(1)；(2)20．（12分）已知函數(shù)(1)已知的圖象存在對稱中心的充要條件是的圖象關于原點中心對稱，證明：的圖象存在對稱中心，并求出該對稱中心的坐標；(2)若對任意，都存在及實數(shù)，使得，求實數(shù)的最大值．21．（12分）經過市場調研發(fā)現(xiàn)，某企業(yè)生產的某種時令商品在未來一個月（30天）內的日銷售量（單位：百件）與時間第天的關系如下表所示：第天1310…30日銷售量／百件236.5…16.5未來30天內，受市場因素影響，前15天此商品每天每件的利潤（單位：元）與時間第天的函數(shù)關系式為，且，而后15天此商品每天每件的利潤（單位：元）與時間第天的函數(shù)關系式為，且(1)現(xiàn)給出以下兩類函數(shù)模型：①為常數(shù)）；②為常數(shù)，，且）．分析表格中的數(shù)據(jù)，請說明應選擇哪類函數(shù)模型，并求出該函數(shù)模型的解析式；(2)若這30天內該企業(yè)此商品的日銷售利潤均未能超過40000元，則考慮轉型．請判斷該企業(yè)是否需要考慮轉型，并說明理由．22．（12分）已知函數(shù)(1)當，且時，求的取值范圍；(2)是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.數(shù)學參考答案一、選擇題1．B【解析】由題意得集合，，所以2．A【解析】因為，，，所以3．B【解析】對于，故A不符合題意；對于B，，故B符合題意；對于C，，不一定能推出，故C不符合題意；對于D，，若，則，故D不符合題意．4．C【解析】因為，所以，所以，所以5．A【解析】對于A，由，得，所以，即，所以．將函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度得到題中所給圖象，故A正確；對于B，取，則由，得，與題中圖象不符，故B錯誤；由，得，其圖象是將函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度得到的，如圖：與題中所給的圖象不符，故C錯誤；由，得，該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，顯然與題中圖象不符，故D錯誤．6．C【解析】因為是R上的單調函數(shù)，所以存在唯一的，使由方程，得，則，所以設，則在R上是增函數(shù)，且3，所以，所以，故7．C【解析】由題意可知，令，則的定義域為，，所以為奇函數(shù)，所以，故8．B【解析】因為，所以．令，，易知在區(qū)間上單調遞增，故，即．又，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為2．二、選擇題9．AD【解析】如圖所示：由圖可得，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確．10．AC【解析】對于A，的定義域為R，，所以為偶函數(shù)．又在區(qū)間上單調遞增，故A符合；對于B，恒成立，故B不符合；對于C，的定義域為，所以為偶函數(shù)．又，在區(qū)間上單調遞增，故C符合；對于D，因為的定義域為，所以為奇函數(shù)，故D不符合.11．ABC【解析】對于A，，在中，，，則成立，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，當且僅當時等號成立，故C正確；對于D，當時，滿足，但，故D錯誤．12．AC【解析】設甲與乙的工作效率分別為，工作年限分別為，勞累程度分別為，勞動動機分別為，對于A，，，，所以，則，所以，即甲比乙工作效率高，故A正確；對于B，，，，所以，所以，則，所以，即甲比乙工作效率高，故B錯誤；對于C，，，，又，所以，所以，所以，即甲比乙勞累程度弱，故C正確；對于D，，，，則，又，所以，所以1，所以，即甲比乙勞累程度弱，故D錯誤.三、填空題13．【解析】由題知命題的否定“”是真命題．令，則解得，故實數(shù)的最大值為14．【解析】令，，即，故的值域為15．1【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以．又為偶函數(shù)，所以，則，故是以4為周期的函數(shù)，故16．【解析】令，則因為有三個零點，所以有兩個實數(shù)根，其中有兩個實數(shù)根，有且僅有一個實數(shù)根.①當時，的大致圖象如圖：令，得由，得，由圖可知直線與曲線有兩個交點．由，得，此時要使直線與曲線有且僅有一個交點，則解得所以；②當時，的大致圖象如圖.只有一個實數(shù)根，沒有三個實數(shù)根；③當時，的大致圖象如圖：令，得，由，得，由圖可知直線與曲線有兩個交點．由，得，此時要使直線與曲線有且僅有一個交點，則，解得所以④當時，的大致圖象如圖．只有一個實數(shù)根，沒有三個實數(shù)根.綜上，四、解答題17．解：(1)由，得，（1分）所以，即解得，（3分）所以不等式的解集為（4分）(2)由題知對任意，恒成立.令，當時，；（6分）當時，，（7分）所以的最小值為，所以，即，（9分）所以實數(shù)的取值范圍為（10分）18．解：(1)為奇函數(shù)，理由如下：由題意得解得，即函數(shù)的定義域為（-2，2）．（2分）又，故為奇函數(shù)．（4分）(2)由，得，所以，所以，故方程有兩個不同的實數(shù)根可轉化為方程在區(qū)間(-2，2)上有兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與在區(qū)間（-2，2）上的圖象有兩個交點．（7分）設則作出函數(shù)的圖象如圖所示．（9分）當時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，即關于的方程有兩個不同的實數(shù)根，故實數(shù)的取值范圍是(1，2)．（12分）19．證明：(1)，當且僅當時，等號成立．（6分）(2)，，，（10分）三式相加，得，即，當且僅當時，等號成立．（12分）20．解：(1)假設的圖象存在對稱中心，則的圖象關于原點中心對稱．（1分）因為的定義域為R，所以恒成立，即恒成立，（4分）所以解得所以的圖象存在對稱中心.（6分）(2)因為對任意，都存在及實數(shù)，使得，所以，即所以，即（8分）因為，所以因為，所以，所以即（10分）所以，所以故實數(shù)的最大值為2．（12分）21．解：(1)若選擇函數(shù)模型①，將(1，2)，(3，3)分別代入，得解得則經驗證，符合題意．（2分）若選擇模型②，將(1，2)，(3，3)分別代入，得解得則當時，，故此函數(shù)模型不符合題意．（4分）綜上，應選擇函數(shù)模型①，其解析式為（5分）(2)該企業(yè)需要考慮轉型．理由如下：記該企業(yè)此商品的日銷售利潤為（單位：元），當，且時，，當時，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸，故當時，取得最大值，且最大值為39200；（8分）當，且時，，當時，函數(shù)單調遞減，故當時，取得最大值，且最大值為37525，（11分）所以這30天內該企業(yè)此商品的日銷售利潤均未能超過40000元，該企業(yè)需要考慮轉型．（12分）22．解：(1)由題知在區(qū)間(0，1)上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，由，且，得，（1分）故令，則，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，即的取值范圍是（4分）(