電磁學(xué)第1章剖析課件

電磁場電磁場電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件二、場的基本概念1.什么是場？重力場、溫度場、電磁場、……

a.從數(shù)學(xué)角度：場是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個(gè)特定量的特性。比如：T是溫度場中的物理量，T就是溫度場

b.從物理角度：場是遍及一個(gè)被界定的或無限擴(kuò)展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應(yīng)的特殊的物質(zhì)，場是具有能量的。二、場的基本概念1.什么是場？2.場的分類

a.按物理量的性質(zhì)分：

標(biāo)量場：描述場的物理量是標(biāo)量。

矢量場：描述場的物理量是矢量。

b.按場量與時(shí)間的關(guān)系分：

靜態(tài)場：場量不隨時(shí)間發(fā)生變化的場。

動(dòng)態(tài)場：場量隨時(shí)間的變化而變化的場。動(dòng)態(tài)場也稱為時(shí)變場。2.場的分類第1章矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義二、矢量的運(yùn)算法則三、矢量微分元：線元，面元，體元四、標(biāo)量場的梯度六、矢量場的旋度五、矢量場的散度七、重要的場論公式第1章矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義二、矢量的運(yùn)算法則三、一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場等如：溫度T、長度L等一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢例1：在直角坐標(biāo)系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：力的圖示法：例1：在直角坐標(biāo)系中，x方向的大小為6的矢量如何表示二、矢量的運(yùn)算法則1.加法:矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：二、矢量的運(yùn)算法則1.加法:矢量加法是矢量的幾何和,服從平三個(gè)方向的單位矢量用表示。根據(jù)矢量加法運(yùn)算：所以：在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:其中：三個(gè)方向的單位矢量用表示。根矢量：模的計(jì)算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算：

矢量：模的計(jì)算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：和的模相等3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量的點(diǎn)積含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義：

標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)例2：求：中的標(biāo)量a、b、c。解：則：設(shè)例2：求：中的標(biāo)量a、b、c。解：則：設(shè)例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。例3：已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：和稱為微分元。1.直角坐標(biāo)系點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

空間任一點(diǎn)是三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)：三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx線元：面元：體元：xyz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元odzdydx2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)是如下三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)：的圓柱面、包含z軸并與xz平面構(gòu)成夾角為的半平面、的平面。2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)2.圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：2.圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)是如下三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)：球心在原點(diǎn)、半徑的球面；頂點(diǎn)在原點(diǎn)、軸線與z軸重合且半頂角的正圓錐面；包含z軸并與xz平面構(gòu)成夾角為半平面。3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)線元：面元：體元：球坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元線元：面元：體元：球坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件四、標(biāo)量場的梯度1.標(biāo)量場的等值面可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。以溫度場為例：熱源等溫面四、標(biāo)量場的梯度1.標(biāo)量場的等值面可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是b.梯度定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達(dá)式：2.標(biāo)量場的梯度a.方向?qū)?shù)：空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。標(biāo)量場的場函數(shù)為b.梯度定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，數(shù)計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中：所以：梯度也可表示：計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中：所以：梯度也可表示：在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的五、矢量場的散度1.矢線（場線）：在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。2.通量：定義：如果在該矢量場中取一曲面S，通過該曲面的矢線量稱為通量。表達(dá)式：若曲面為閉合曲面：+-矢量場的通量五、矢量場的散度1.矢線（場線）：在矢量場中，討論：a.

如果閉合曲面上的總通量說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b.

如果閉合曲面上的總通量說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。c.

如果閉合曲面上的總通量說明穿入的通量等于穿出的通量。討論：a.如果閉合曲面上的總通量說明穿出閉合面3.散度：a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。b.表達(dá)式：c.散度的計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢量場表示為：3.散度：a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。在x方向上：計(jì)算穿過和面的通量為因?yàn)椋簞t：在x

方向上的總通量：在x方向上：計(jì)算穿過和面的通量為因?yàn)椋簞t：在z

方向上,穿過和面的總通量：整個(gè)封閉曲面的總通量：同理：在y方向上,穿過和面的總通量：在z方向上,穿過和面的總通量：整個(gè)封閉曲該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含散度定理是德國數(shù)學(xué)家高斯從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)導(dǎo)出的有關(guān)源發(fā)散的一個(gè)基本定理，又稱為高斯定理。對(duì)散度定理可證明如下：設(shè)將體積分割成N個(gè)體積元，表示第i個(gè)體積元右邊表示在各微分體積元的表面上的面積分的代數(shù)和。因相鄰體積元公共表面上的面元方向總是相反的，所以在累加過程中，相互抵消，最終僅剩下包圍體積的外表面上的面積分。散度定理是德國數(shù)學(xué)家高斯從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)導(dǎo)出的有關(guān)源發(fā)散的一個(gè)基電磁學(xué)第1章剖析課件柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：正交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：正交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：常用電磁學(xué)第1章剖析課件六、矢量場的旋度1.環(huán)量：在矢量場中，任意取一閉合曲線，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。六、矢量場的旋度1.環(huán)量：在矢量場中，任意取環(huán)量密度：環(huán)量是描述向量場的重要參數(shù)。某個(gè)區(qū)域中的環(huán)量不等于零，說明這個(gè)區(qū)域中的向量場表現(xiàn)出環(huán)繞某一點(diǎn)或某一區(qū)域旋轉(zhuǎn)的特性。旋度則是局部地描述這一特性的方法。為了描述一個(gè)向量場在一點(diǎn)附近的環(huán)量，將閉合曲線收小，使它包圍的面元的面積趨于零。向量場沿著的環(huán)量和面元的比值在趨于零時(shí)候的極限值：就是的環(huán)量密度（或稱為環(huán)量強(qiáng)度）。環(huán)量密度：環(huán)量是描述向量場的重要參數(shù)。某個(gè)區(qū)域中的環(huán)量不等于定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán)量密度的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場的旋度。表達(dá)式：2.旋度:定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán)量密度的法旋度計(jì)算：以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：場矢量：其中：為x方向的環(huán)量密度。旋度可用符號(hào)表示：旋度計(jì)算：以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：場矢量：其中其中：可得：同理：所以：旋度公式：其中：可得：同理：所以：旋度公式：為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式：對(duì)于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計(jì)算公式。為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:類似地，可以推導(dǎo)電磁學(xué)第1章剖析課件3.斯托克斯定理：物理含義：

一個(gè)矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。3.斯托克斯定理：物理含義：電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件七、重要的場論公式1.兩個(gè)零恒等式任何標(biāo)量場梯度的旋度恒為零。任何矢量場的旋度的散度恒為零。七、重要的場論公式1.兩個(gè)零恒等式任何標(biāo)量場梯度的旋度恒在圓柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在廣義正交曲線坐標(biāo)系中：2.拉普拉斯算子在直角坐標(biāo)系中：在圓柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在廣義正交曲線坐標(biāo)系中：3.常用的矢量恒等式3.常用的矢量恒等式電磁場電磁場電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件二、場的基本概念1.什么是場？重力場、溫度場、電磁場、……

a.從數(shù)學(xué)角度：場是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個(gè)特定量的特性。比如：T是溫度場中的物理量，T就是溫度場

b.從物理角度：場是遍及一個(gè)被界定的或無限擴(kuò)展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應(yīng)的特殊的物質(zhì)，場是具有能量的。二、場的基本概念1.什么是場？2.場的分類

a.按物理量的性質(zhì)分：

標(biāo)量場：描述場的物理量是標(biāo)量。

矢量場：描述場的物理量是矢量。

b.按場量與時(shí)間的關(guān)系分：

靜態(tài)場：場量不隨時(shí)間發(fā)生變化的場。

動(dòng)態(tài)場：場量隨時(shí)間的變化而變化的場。動(dòng)態(tài)場也稱為時(shí)變場。2.場的分類第1章矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義二、矢量的運(yùn)算法則三、矢量微分元：線元，面元，體元四、標(biāo)量場的梯度六、矢量場的旋度五、矢量場的散度七、重要的場論公式第1章矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義二、矢量的運(yùn)算法則三、一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場等如：溫度T、長度L等一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢例1：在直角坐標(biāo)系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：力的圖示法：例1：在直角坐標(biāo)系中，x方向的大小為6的矢量如何表示二、矢量的運(yùn)算法則1.加法:矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：二、矢量的運(yùn)算法則1.加法:矢量加法是矢量的幾何和,服從平三個(gè)方向的單位矢量用表示。根據(jù)矢量加法運(yùn)算：所以：在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:其中：三個(gè)方向的單位矢量用表示。根矢量：模的計(jì)算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算：

矢量：模的計(jì)算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：和的模相等3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量的點(diǎn)積含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義：

標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)例2：求：中的標(biāo)量a、b、c。解：則：設(shè)例2：求：中的標(biāo)量a、b、c。解：則：設(shè)例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。例3：已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：和稱為微分元。1.直角坐標(biāo)系點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

空間任一點(diǎn)是三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)：三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx線元：面元：體元：xyz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元odzdydx2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)是如下三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)：的圓柱面、包含z軸并與xz平面構(gòu)成夾角為的半平面、的平面。2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)2.圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：2.圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)是如下三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)：球心在原點(diǎn)、半徑的球面；頂點(diǎn)在原點(diǎn)、軸線與z軸重合且半頂角的正圓錐面；包含z軸并與xz平面構(gòu)成夾角為半平面。3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)線元：面元：體元：球坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元線元：面元：體元：球坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件電磁學(xué)第1章剖析課件四、標(biāo)量場的梯度1.標(biāo)量場的等值面可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。以溫度場為例：熱源等溫面四、標(biāo)量場的梯度1.標(biāo)量場的等值面可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是b.梯度定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達(dá)式：2.標(biāo)量場的梯度a.方向?qū)?shù)：空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。標(biāo)量場的場函數(shù)為b.梯度定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，數(shù)計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中：所以：梯度也可表示：計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中：所以：梯度也可表示：在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的五、矢量場的散度1.矢線（場線）：在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。2.通量：定義：如果在該矢量場中取一曲面S，通過該曲面的矢線量稱為通量。表達(dá)式：若曲面為閉合曲面：+-矢量場的通量五、矢量場的散度1.矢線（場線）：在矢量場中，討論：a.

如果閉合曲面上的總通量說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b.

如果閉合曲面上的總通量說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。c.

如果閉合曲面上的總通量說明穿入的通量等于穿出的通量。討論：a.如果閉合曲面上的總通量說明穿出閉合面3.散度：a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。b.表達(dá)式：c.散度的計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢量場表示為：3.散度：a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。在x方向上：計(jì)算穿過和面的通量為因?yàn)椋簞t：在x

方向上的總通量：在x方向上：計(jì)算穿過和面的通量為因?yàn)椋簞t：在z

方向上,穿過和面的總通量：整個(gè)封閉曲面的總通量：同理：在y方向上,穿過和面的總通量：在z方向上,穿過和面的總通量：整個(gè)封閉曲該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含散度定理是德國數(shù)學(xué)家高斯從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)導(dǎo)出的有關(guān)源發(fā)散的一個(gè)基本定理，又稱為高斯定理。對(duì)散度定理可證明如下：設(shè)將體積分割成N個(gè)體積元，表示第i個(gè)體積元右邊表示在各微分體積元的表面上的面積分的代數(shù)和。因相鄰體積元公共表面上的面元方向總是相反的，所以在累加過程中，相互抵消，最終僅剩下包圍體積的外表面上