直線與平面垂直判定課件

2021/2/612021/2/61復(fù)習(xí)回顧：空間直線和平面有幾種位置關(guān)系？A2021/2/62復(fù)習(xí)回顧：空間直線和平面有幾種位置關(guān)系？A2021/2/62大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線與平面垂直的實例實例引入2021/2/63大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線與平面垂直的實例實例引入2021/2/642021/2/64

大漠孤煙直

2021/2/65

大漠孤煙直

2021/2/65AB2021/2/66AB2021/2/66AB2021/2/67AB2021/2/67AB2021/2/68AB2021/2/68AB2021/2/69AB2021/2/69AB2021/2/610AB2021/2/610AB2021/2/611AB2021/2/611AB2021/2/612AB2021/2/612AB2021/2/613AB2021/2/613CC1B1ABα內(nèi)過點B的直線AB所在直線內(nèi)不過點B的直線ααAB所在直線內(nèi)任意一條直線αAB所在直線⊥⊥⊥2021/2/614CC1B1ABα內(nèi)過點B的直線AB所在直線內(nèi)不過點B的直線α一、直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直.其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.A平面的垂線直線的垂面垂足2021/2/615一、直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面相交，并且和這LP直線和平面垂直的畫法:通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直。2021/2/616LP直線和平面垂直的畫法:通常把直線畫成和深入理解“線面垂直定義”判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉反例）1.如果一條直線與一個平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有的直線都垂直.（）2.如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么它與平面垂直.（）bαa2021/2/617深入理解“線面垂直定義”判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì).探索新知：但是，直接考察直線與平面內(nèi)所有直線都垂直是不可能的，這就有必要去尋找比定義法更簡捷、更可行的直線與平面垂直的方法!2021/2/618利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也探索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）2021/2/619探索新知：做一做ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？請同學(xué)們當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直．2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？探索新知：2021/2/620當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，A探索新知：由剛才分析可以知道，直線與平面垂直的判定需要哪幾個條件？你能根據(jù)剛才的分析歸納出直線與平面垂直判定定理嗎

(1)平面有兩條直線

(2)這兩條直線要相交(3)平面外的直線要與這兩條直線都垂直2021/2/621探索新知：由剛才分析可以知道，直線與平面垂直的判二、直線與平面垂直的判定定理：

線線垂直線面垂直mnP一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。一相交兩垂直2021/2/622二、直線與平面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直mn判斷下列命題是否正確？(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直()(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直()√√PP2021/2/623判斷下列命題是否正確？√√PP2021/2/623例1.在下圖的長方體中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？2021/2/624例1.在下圖的長方體中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1)AC⊥平面D1DBC1BD1ACA1DB12021/2/625例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1由異成直線所成的角知D1B⊥平面ACB12021/2/626C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥ACABCVK(1)連接VK,KB，由VA=VC,K為AC中點，由三線合一可知VK⊥AC,同理可得KB⊥AC，且VK∩KB=K

所以AC⊥平面VKB(判定定理)(2)由(1)可知，AC⊥平面VKB又因為VB平面VKB

所以VB⊥AC(定義)2021/2/627例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系．AVBCEFK例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥AC2、在1的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，對嗎？2021/2/628變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點，試判斷EBCＰDAFE2021/2/629BCＰDAFE2021/2/629直線與平面垂直的性質(zhì)2021/2/630直線與平面垂直的性質(zhì)2021/2/630如圖,點Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是點P到平面的垂線段pQ過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影；這點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。一.斜線在平面內(nèi)的射影１.垂線、斜線、射影(１)垂線點P在平面內(nèi)的射影線段PQ2021/2/631如圖,點Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿pQ過一點向平面引垂線，（2）斜線一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線．斜線和平面的交點叫做斜足。從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段PR2021/2/632（2）斜線一條直線和一個平面相交，但不和這個如圖：＿＿＿＿是斜線AC在內(nèi)的射影，線段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影．(３)射影直線BC斜線段AC在內(nèi)的射影2021/2/633如圖：＿＿＿＿是斜線ACACB過斜線上斜足以外的一點向平ACBFE說明：②斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。思考：斜線上的一個點在平面上的射影會在哪呢？2021/2/634ACBFE說明：②斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的思考：①從平面外一點向這個平面引的垂線段和斜線段，它們的射影和線段本身之間有什么關(guān)系？②從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？ACBDE垂線段比任何一條斜線段都短2021/2/635思考：ACBDE垂線段比任何2021/2/635如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理2021/2/636如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜線，C、B分別是垂足和斜足，a，a⊥BC。求證：a⊥ABAaCB線面垂直線線垂直三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它就和這條斜線垂直.2021/2/637例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜線,C、B分別是垂足和斜足，a，。a⊥AB三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條斜線垂直,那么這條直線就和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.求證:a⊥BC2021/2/638AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜線,a外中垂鞏固練習(xí)：2021/2/639外中垂鞏固練習(xí)：2021/2/639已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PC試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形ABC的外心2021/2/640已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PCPABCOOA已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的垂心DO2021/2/641已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判已知三棱錐P-ABC的頂點P到底面三角形ABC的三條邊的距離相等,試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的內(nèi)心OEF2021/2/642已知三棱錐P-ABC的頂點P到底面三角形ABC的三條邊的距離典型：四面體P-ABC的頂點P在平面上的射影為O(1)P到三頂點距離相等(3)P到三邊AB、BC、AC距離相等(2)側(cè)棱兩兩垂直PABCO外垂內(nèi)

O是ABC的心

O是ABC的心

O是ABC的心2021/2/643典型：四面體P-ABC的頂點P在平面上的射影為O(1)P到三對棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組對邊互相垂直，則另一組對邊必然垂直O(jiān)是垂心垂

O是ABC的心2021/2/644對棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組練習(xí)3.如果兩直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行．練習(xí)2.過一點只有一個平面和一條直線垂直．練習(xí)1.過一點只有一條直線和一個平面垂直．結(jié)論1.結(jié)論2.結(jié)論3.常用結(jié)論發(fā)散2021/2/645練習(xí)3.如果兩直線垂直于同一個平面,那么這練習(xí)2.過一點只有結(jié)論1：過一點有且只有一個平面和已知直線垂直。結(jié)論2：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。結(jié)論3：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。2021/2/646結(jié)論1：過一點有且只有一個平面和已知直線垂直。結(jié)論2：如果兩直線和平面垂直的判定例

求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。

已知：，。

求證：。

證明：方法1設(shè)是內(nèi)的任意一條直線。

2021/2/647直線和平面垂直的判定例求證：如果兩條平行直線中的√√√小試牛刀2021/2/648√√√小試牛刀2021/2/648線面垂直的性質(zhì)定理：符號語言：圖形語言：垂直于同一平面的兩直線互相平行.abα2021/2/649線面垂直的性質(zhì)定理：符號語言：圖形語言：垂直于同一平面的兩直例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.求證：b⊥α.（線面垂直線線垂直）（線線垂直線面垂直）2021/2/650例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.（線面垂直線線垂直）例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。求證：b⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知，直線a與這兩條相交直線是垂直的，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。ab閱讀P66頁的證明過程.2021/2/651例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行（）（3）平行于同一平面的兩條直線互相平行（）（4）垂直于同一平面的兩條直線互相平行（）×（1）平行于同一直線的兩條直線互相平行（）√五、過程設(shè)計(三)線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用小牛試刀2021/2/652√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線的兩條直線互(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的

.PABCO外心例4.關(guān)于三角形的四心問題

設(shè)O為三棱錐P—ABC的頂點P在底面上的射影.綜合練習(xí)：2021/2/653(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的.(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的_____點.中PABCO例4.關(guān)于三角形的四心問題綜合練習(xí)：2021/2/654(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的____垂心EFPABCO(3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂直,則O是△ABC的

.例4.關(guān)于三角形的四心問題綜合練習(xí)：2021/2/655垂心EFPABCO(3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂EFPABCO(5)若三條側(cè)棱與底面成相等的角，則O是△ABC的_____.

外心例4.關(guān)于三角形的四心問題綜合練習(xí)：2021/2/656EFPABCO(5)若三條側(cè)棱與底面成相等的例1、已知直角△ABC所在平面外有一點P，且PA=PB=PC，D是斜邊AB的中點，求證：PD⊥平面ABC.ABCPD證明：PA=PB，D為AB中點∴PD⊥AB，連接CD，∵D為Rt△ABC斜邊的中點∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC2021/2/657例1、已知直角△ABC所在平面外有一點P，且PA=PB=PC例2、如圖平面α、β相交于PQ，線段OA、OB分別垂直平面α、β，求證：PQ⊥ABPQOAB證明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ

又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB

而AB平面OAB∴PQ⊥AB2021/2/658例2、如圖平面α、β相交于PQ，PQOAB證明：∵OA⊥αSABCH2021/2/659SABCH2021/2/659SABCH2021/2/660SABCH2021/2/6601.如圖,已知點M是菱形ABCD所在平面外一點，且MA=MC求證：AC⊥平面BDMMABCDO2021/2/6611.如圖,已知點M是菱形ABCD所在平面外一點，且MA=MCABCD證明：E

2.在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：對角線ACBD。CEAEEBD,,,連接的中點取ACBDACEAC^\ì,平面Q=?`ACEBDECEAE^\,,平面又QBDCEDCBC^\=,,QBDAEADAB^\=,,Q2021/2/662ABCD證明：E2.在空間四邊形ABCD中，AB=AD，PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC2021/2/663PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓典例平面內(nèi)有一個三角形ABC，平面外有一點P，自P向平面作斜線PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若點O是△ABC的外心，求證：PO⊥平面ABC.2021/2/664典例平面內(nèi)有一個三角形ABC，平面外有一點P，自P向平面【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點D，E，連接PD，PE，OD，OE.因為PA＝PB＝PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC，因為O是△ABC的外心，所以O(shè)D⊥AB，OE⊥BC，又因為PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，從而推得PO⊥平面ABC.2021/2/665【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點D，E，連接PD，P中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線的交點垂心:三條高的交點外心:三條垂直平分線的交點(到△三個頂點的距離相等)內(nèi)心:三角平分線的交點中心:正△的重心、垂心、內(nèi)心、外心重合的點2021/2/666中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線的交點2021/2/666鞏固練習(xí)VABC2021/2/667鞏固練習(xí)VABC2021/2/667直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

解題分析:2021/2/668直線與平面垂直的判定與性質(zhì)解題分析:2021/2/6682021/2/6692021/2/669解題小結(jié):2021/2/670解題小結(jié):2021/2/6702022/12/11例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線

和斜線，C、B分別是垂足和斜足，a

α，

a⊥BC．求證：a⊥AB．

ACBaα射影垂直，斜線垂直2021/2/6712022/12/11例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的2022/12/11例2：如圖，∠BAC在平面α內(nèi)，P為平面α外一

點，∠PAB＝∠PAC．求證：點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．

ACBPαOEF2021/2/6722022/12/11例2：如圖，∠BAC在平面α內(nèi)，P為平面例1如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,AC=BC=1,PA⊥面ABC,且PA=,

求(1)PB與面ABC所成的角

(2)PB與面PAC所成的角.BCAP2021/2/673例1如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,BCAP20鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點P，且PA=PB=PC=PD，求證：點P與平行四邊形對角線交點O的連線PO垂直于AB、AD.CABDOP2021/2/674鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點P，且PA=2022/12/11例2：如圖，在棱長為1的正方體中．(1)求B1D

與平面ABCD所成的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求A1C1

與平面ABC1D1所成的角；(3)求BB1

與平面A1BC1所成的角的正切．MH2021/2/6752022/12/11例2：如圖，在棱長為1的正方體中．ABC2022/12/11例5：⊿ABC的定點在平面α內(nèi)，點A、C在平面α的同側(cè)，AB、BC與α所成角分別是300和450．若AB＝3，BC＝4√2，AC＝5，求AC

與平面α所成的角．

AαBCA1C1E2021/2/6762022/12/11例5：⊿ABC的定點在平面α內(nèi)，點A、C2022/12/11例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點，

PA⊥平面ABCD，AE⊥PD，PA＝3AB．求直線AC與平面ABE所成角的正弦值．

PABCDE2021/2/6772022/12/11例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外【5】如圖,AB為平面α的一條斜線,B為斜足,AO⊥平面α,垂足為O,直線BC在平面α內(nèi),已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,則斜線AB和平面α所成的角是_______.ACODBα45°設(shè)OB=2,補充練習(xí)2021/2/678【5】如圖,AB為平面α的一條斜線,B為斜引課我們知道,當(dāng)直線和平面垂直時,該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直,是不是也該給它取個名字呢?此時又該如何刻畫直線和平面的這種關(guān)系呢?直線與平面所成的角2021/2/679引課我們知道,當(dāng)直線和平面垂直時,該直線叫做平面的垂線。如果1.平面的斜線如圖,若一條直線PA和一個平面α相交,但不垂直,那么這條直線就叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足。PA斜足斜線2021/2/6801.平面的斜線如圖,若一條直線PA和一個平面α相交,但不垂直A1B1C1D1ABCD例1、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直線A1B和平面 BCC1B1所成的角。（2）直線A1B和平面A1B1CD所成的角。O例題示范,鞏固新知分析:找出直線A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內(nèi)的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。閱讀教科書P67上的解答過程2021/2/681A1B1C1D1ABCD例1、如圖，正方體ABCD-A1B1AGFEDCBHHC與平面ABCD所成的角是？BG和EA與平面ABCD所成的角分別是？∠GBC與∠EAB∠HCDEC和EG與平面ABCD所成的角分別是？∠ACE練習(xí):正方體ABCD－EFGH中2021/2/682AGFEDCBHHC與平面ABCD所成的角是？BG和EA與2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB鞏固練習(xí)2021/2/683A1D1C1B1ADCB鞏固練習(xí)2021/2/6832.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBO線段B1O鞏固練習(xí)2021/2/684A1D1C1B1ADCBO線段B1O鞏固練習(xí)2021/2/62.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBE線段B1E鞏固練習(xí)2021/2/685A1D1C1B1ADCBE線段B1E鞏固練習(xí)2021/2/62.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB線段C1D鞏固練習(xí)2021/2/686A1D1C1B1ADCB線段C1D鞏固練習(xí)2021/2/683.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB0o鞏固練習(xí)2021/2/687A1D1C1B1ADCB0o鞏固練習(xí)2021/2/6873.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB90o鞏固練習(xí)2021/2/688A1D1C1B1ADCB90o鞏固練習(xí)2021/2/6883.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB45o鞏固練習(xí)2021/2/689A1D1C1B1ADCB45o鞏固練習(xí)2021/2/6893.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCBE30o鞏固練習(xí)2021/2/690A1D1C1B1ADCBE30o鞏固練習(xí)2021/2/690線線垂直相交垂直（共面垂直）異面垂直2021/2/691線線垂直相交垂直（共面垂直）異面垂直2021/2/6912021/2/6922021/2/61復(fù)習(xí)回顧：空間直線和平面有幾種位置關(guān)系？A2021/2/693復(fù)習(xí)回顧：空間直線和平面有幾種位置關(guān)系？A2021/2/62大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線與平面垂直的實例實例引入2021/2/694大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線與平面垂直的實例實例引入2021/2/6952021/2/64

大漠孤煙直

2021/2/696

大漠孤煙直

2021/2/65AB2021/2/697AB2021/2/66AB2021/2/698AB2021/2/67AB2021/2/699AB2021/2/68AB2021/2/6100AB2021/2/69AB2021/2/6101AB2021/2/610AB2021/2/6102AB2021/2/611AB2021/2/6103AB2021/2/612AB2021/2/6104AB2021/2/613CC1B1ABα內(nèi)過點B的直線AB所在直線內(nèi)不過點B的直線ααAB所在直線內(nèi)任意一條直線αAB所在直線⊥⊥⊥2021/2/6105CC1B1ABα內(nèi)過點B的直線AB所在直線內(nèi)不過點B的直線α一、直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直.其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.A平面的垂線直線的垂面垂足2021/2/6106一、直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面相交，并且和這LP直線和平面垂直的畫法:通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直。2021/2/6107LP直線和平面垂直的畫法:通常把直線畫成和深入理解“線面垂直定義”判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉反例）1.如果一條直線與一個平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有的直線都垂直.（）2.如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么它與平面垂直.（）bαa2021/2/6108深入理解“線面垂直定義”判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì).探索新知：但是，直接考察直線與平面內(nèi)所有直線都垂直是不可能的，這就有必要去尋找比定義法更簡捷、更可行的直線與平面垂直的方法!2021/2/6109利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也探索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）2021/2/6110探索新知：做一做ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？請同學(xué)們當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直．2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？探索新知：2021/2/6111當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，A探索新知：由剛才分析可以知道，直線與平面垂直的判定需要哪幾個條件？你能根據(jù)剛才的分析歸納出直線與平面垂直判定定理嗎

(1)平面有兩條直線

(2)這兩條直線要相交(3)平面外的直線要與這兩條直線都垂直2021/2/6112探索新知：由剛才分析可以知道，直線與平面垂直的判二、直線與平面垂直的判定定理：

線線垂直線面垂直mnP一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。一相交兩垂直2021/2/6113二、直線與平面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直mn判斷下列命題是否正確？(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直()(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直()√√PP2021/2/6114判斷下列命題是否正確？√√PP2021/2/623例1.在下圖的長方體中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？2021/2/6115例1.在下圖的長方體中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1)AC⊥平面D1DBC1BD1ACA1DB12021/2/6116例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1由異成直線所成的角知D1B⊥平面ACB12021/2/6117C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥ACABCVK(1)連接VK,KB，由VA=VC,K為AC中點，由三線合一可知VK⊥AC,同理可得KB⊥AC，且VK∩KB=K

所以AC⊥平面VKB(判定定理)(2)由(1)可知，AC⊥平面VKB又因為VB平面VKB

所以VB⊥AC(定義)2021/2/6118例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系．AVBCEFK例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥AC2、在1的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，對嗎？2021/2/6119變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點，試判斷EBCＰDAFE2021/2/6120BCＰDAFE2021/2/629直線與平面垂直的性質(zhì)2021/2/6121直線與平面垂直的性質(zhì)2021/2/630如圖,點Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是點P到平面的垂線段pQ過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影；這點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。一.斜線在平面內(nèi)的射影１.垂線、斜線、射影(１)垂線點P在平面內(nèi)的射影線段PQ2021/2/6122如圖,點Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿pQ過一點向平面引垂線，（2）斜線一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線．斜線和平面的交點叫做斜足。從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段PR2021/2/6123（2）斜線一條直線和一個平面相交，但不和這個如圖：＿＿＿＿是斜線AC在內(nèi)的射影，線段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影．(３)射影直線BC斜線段AC在內(nèi)的射影2021/2/6124如圖：＿＿＿＿是斜線ACACB過斜線上斜足以外的一點向平ACBFE說明：②斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。思考：斜線上的一個點在平面上的射影會在哪呢？2021/2/6125ACBFE說明：②斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的思考：①從平面外一點向這個平面引的垂線段和斜線段，它們的射影和線段本身之間有什么關(guān)系？②從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？ACBDE垂線段比任何一條斜線段都短2021/2/6126思考：ACBDE垂線段比任何2021/2/635如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理2021/2/6127如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜線，C、B分別是垂足和斜足，a，a⊥BC。求證：a⊥ABAaCB線面垂直線線垂直三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它就和這條斜線垂直.2021/2/6128例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜線,C、B分別是垂足和斜足，a，。a⊥AB三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條斜線垂直,那么這條直線就和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.求證:a⊥BC2021/2/6129AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線和斜線,a外中垂鞏固練習(xí)：2021/2/6130外中垂鞏固練習(xí)：2021/2/639已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PC試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形ABC的外心2021/2/6131已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PCPABCOOA已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的垂心DO2021/2/6132已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判已知三棱錐P-ABC的頂點P到底面三角形ABC的三條邊的距離相等,試判斷點P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的內(nèi)心OEF2021/2/6133已知三棱錐P-ABC的頂點P到底面三角形ABC的三條邊的距離典型：四面體P-ABC的頂點P在平面上的射影為O(1)P到三頂點距離相等(3)P到三邊AB、BC、AC距離相等(2)側(cè)棱兩兩垂直PABCO外垂內(nèi)

O是ABC的心

O是ABC的心

O是ABC的心2021/2/6134典型：四面體P-ABC的頂點P在平面上的射影為O(1)P到三對棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組對邊互相垂直，則另一組對邊必然垂直O(jiān)是垂心垂

O是ABC的心2021/2/6135對棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組練習(xí)3.如果兩直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行．練習(xí)2.過一點只有一個平面和一條直線垂直．練習(xí)1.過一點只有一條直線和一個平面垂直．結(jié)論1.結(jié)論2.結(jié)論3.常用結(jié)論發(fā)散2021/2/6136練習(xí)3.如果兩直線垂直于同一個平面,那么這練習(xí)2.過一點只有結(jié)論1：過一點有且只有一個平面和已知直線垂直。結(jié)論2：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。結(jié)論3：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。2021/2/6137結(jié)論1：過一點有且只有一個平面和已知直線垂直。結(jié)論2：如果兩直線和平面垂直的判定例

求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。

已知：，。

求證：。

證明：方法1設(shè)是內(nèi)的任意一條直線。

2021/2/6138直線和平面垂直的判定例求證：如果兩條平行直線中的√√√小試牛刀2021/2/6139√√√小試牛刀2021/2/648線面垂直的性質(zhì)定理：符號語言：圖形語言：垂直于同一平面的兩直線互相平行.abα2021/2/6140線面垂直的性質(zhì)定理：符號語言：圖形語言：垂直于同一平面的兩直例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.求證：b⊥α.（線面垂直線線垂直）（線線垂直線面垂直）2021/2/6141例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.（線面垂直線線垂直）例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。求證：b⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知，直線a與這兩條相交直線是垂直的，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。ab閱讀P66頁的證明過程.2021/2/6142例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行（）（3）平行于同一平面的兩條直線互相平行（）（4）垂直于同一平面的兩條直線互相平行（）×（1）平行于同一直線的兩條直線互相平行（）√五、過程設(shè)計(三)線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用小牛試刀2021/2/6143√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線的兩條直線互(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的

.PABCO外心例4.關(guān)于三角形的四心問題

設(shè)O為三棱錐P—ABC的頂點P在底面上的射影.綜合練習(xí)：2021/2/6144(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的.(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的_____點.中PABCO例4.關(guān)于三角形的四心問題綜合練習(xí)：2021/2/6145(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的____垂心EFPABCO(3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂直,則O是△ABC的

.例4.關(guān)于三角形的四心問題綜合練習(xí)：2021/2/6146垂心EFPABCO(3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂EFPABCO(5)若三條側(cè)棱與底面成相等的角，則O是△ABC的_____.

外心例4.關(guān)于三角形的四心問題綜合練習(xí)：2021/2/6147EFPABCO(5)若三條側(cè)棱與底面成相等的例1、已知直角△ABC所在平面外有一點P，且PA=PB=PC，D是斜邊AB的中點，求證：PD⊥平面ABC.ABCPD證明：PA=PB，D為AB中點∴PD⊥AB，連接CD，∵D為Rt△ABC斜邊的中點∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC2021/2/6148例1、已知直角△ABC所在平面外有一點P，且PA=PB=PC例2、如圖平面α、β相交于PQ，線段OA、OB分別垂直平面α、β，求證：PQ⊥ABPQOAB證明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ

又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB

而AB平面OAB∴PQ⊥AB2021/2/6149例2、如圖平面α、β相交于PQ，PQOAB證明：∵OA⊥αSABCH2021/2/6150SABCH2021/2/659SABCH2021/2/6151SABCH2021/2/6601.如圖,已知點M是菱形ABCD所在平面外一點，且MA=MC求證：AC⊥平面BDMMABCDO2021/2/61521.如圖,已知點M是菱形ABCD所在平面外一點，且MA=MCABCD證明：E

2.在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：對角線ACBD。CEAEEBD,,,連接的中點取ACBDACEAC^\ì,平面Q=?`ACEBDECEAE^\,,平面又QBDCEDCBC^\=,,QBDAEADAB^\=,,Q2021/2/6153ABCD證明：E2.在空間四邊形ABCD中，AB=AD，PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC2021/2/6154PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓典例平面內(nèi)有一個三角形ABC，平面外有一點P，自P向平面作斜線PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若點O是△ABC的外心，求證：PO⊥平面ABC.2021/2/6155典例平面內(nèi)有一個三角形ABC，平面外有一點P，自P向平面【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點D，E，連接PD，PE，OD，OE.因為PA＝PB＝PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC，因為O是△ABC的外心，所以O(shè)D⊥AB，OE⊥BC，又因為PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，從而推得PO⊥平面ABC.2021/2/6156【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點D，E，連接PD，P中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線的交點垂心:三條高的交點外心:三條垂直平分線的交點(到△三個頂點的距離相等)內(nèi)心:三角平分線的交點中心:正△的重心、垂心、內(nèi)心、外心重合的點2021/2/6157中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線的交點2021/2/666鞏固練習(xí)VABC2021/2/6158鞏固練習(xí)VABC2021/2/667直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

解題分析:2021/2/6159直線與平面垂直的判定與性質(zhì)解題分析:2021/2/6682021/2/61602021/2/669解題小結(jié):2021/2/6161解題小結(jié):2021/2/6702022/12/11例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線

和斜線，C、B分別是垂足和斜足，a

α，

a⊥BC．求證：a⊥AB．

ACBaα射影垂直，斜線垂直2021/2/61622022/12/11例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的2022/12/11例2：如圖，∠BAC在平面α內(nèi)，P為平面α外一

點，∠PAB＝∠PAC．求證：點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．

ACBPαOEF2021/2/61632022/12/11例2：如圖，∠BAC在平面α內(nèi)，P為平面例1如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,AC=BC=1,PA⊥面ABC,且PA=,

求(1)PB與面ABC所成的角

(2)PB與面PAC所成的角.BCAP2021/2/6164例1如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,BCAP20鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點P，且PA=PB=PC=PD，求證：點P與平行四邊形對角線交點O的連線PO垂直于AB、AD.CABDOP2021/2/6165鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點P，且PA=2022/12/11例2：如圖，在棱長為1的正方體中．(1)求B1D

與平面ABCD所成的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求A1C1

與平面ABC1D1所成的角；(3)求BB1

與平面A1BC1所成的角的正切．MH2021/2/61662022/12/11例2：如圖，在棱長為1的正方體中．ABC2022/12/11例5：⊿ABC的定點在平面α內(nèi)，點A、C在平面α的同側(cè)，AB、BC與α所成角分別是300和450．若AB＝3，BC＝4√2，AC＝5，求AC

與平面α所成的角．

AαBCA1C1E2021/2/61672022/12/11例5：⊿ABC的定點在平面α內(nèi)，點A、C2022/12/11例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點，

PA⊥平面ABCD，AE⊥PD，PA＝3AB．求直線AC與平面ABE所成角的正弦值．

PABCDE2021/2/61682022/12/11例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外【5】如圖,AB為平面α的一條斜線,B為斜足,AO⊥平面α,垂足為O,直線BC在平面α內(nèi),已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,則斜線AB和平面α所成的角是_______.ACOD