直線(xiàn)與平面垂直判定課件

2021/2/612021/2/61復(fù)習(xí)回顧：空間直線(xiàn)和平面有幾種位置關(guān)系？A2021/2/62復(fù)習(xí)回顧：空間直線(xiàn)和平面有幾種位置關(guān)系？A2021/2/62大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線(xiàn)與平面垂直的實(shí)例實(shí)例引入2021/2/63大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線(xiàn)與平面垂直的實(shí)例實(shí)例引入2021/2/642021/2/64

大漠孤煙直

2021/2/65

大漠孤煙直

2021/2/65AB2021/2/66AB2021/2/66AB2021/2/67AB2021/2/67AB2021/2/68AB2021/2/68AB2021/2/69AB2021/2/69AB2021/2/610AB2021/2/610AB2021/2/611AB2021/2/611AB2021/2/612AB2021/2/612AB2021/2/613AB2021/2/613CC1B1ABα內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)AB所在直線(xiàn)內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)ααAB所在直線(xiàn)內(nèi)任意一條直線(xiàn)αAB所在直線(xiàn)⊥⊥⊥2021/2/614CC1B1ABα內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)AB所在直線(xiàn)內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)α一、直線(xiàn)和平面垂直的定義如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直.其中直線(xiàn)叫做平面的垂線(xiàn)，平面叫做直線(xiàn)的垂面.交點(diǎn)叫做垂足.A平面的垂線(xiàn)直線(xiàn)的垂面垂足2021/2/615一、直線(xiàn)和平面垂直的定義如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，并且和這LP直線(xiàn)和平面垂直的畫(huà)法:通常把直線(xiàn)畫(huà)成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直。2021/2/616LP直線(xiàn)和平面垂直的畫(huà)法:通常把直線(xiàn)畫(huà)成和深入理解“線(xiàn)面垂直定義”判斷下列語(yǔ)句是否正確：（若不正確請(qǐng)舉反例）1.如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有的直線(xiàn)都垂直.（）2.如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都垂直，那么它與平面垂直.（）bαa2021/2/617深入理解“線(xiàn)面垂直定義”判斷下列語(yǔ)句是否正確：（若不正確請(qǐng)舉利用定義，我們得到了判定線(xiàn)面垂直的最基本方法，同時(shí)也得到了線(xiàn)面垂直的最基本的性質(zhì).探索新知：但是，直接考察直線(xiàn)與平面內(nèi)所有直線(xiàn)都垂直是不可能的，這就有必要去尋找比定義法更簡(jiǎn)捷、更可行的直線(xiàn)與平面垂直的方法!2021/2/618利用定義，我們得到了判定線(xiàn)面垂直的最基本方法，同時(shí)也探索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？請(qǐng)同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個(gè)試驗(yàn)：過(guò)三角形的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）2021/2/619探索新知：做一做ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？請(qǐng)同學(xué)們當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線(xiàn)與桌面所在平面垂直．2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？探索新知：2021/2/620當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，A探索新知：由剛才分析可以知道，直線(xiàn)與平面垂直的判定需要哪幾個(gè)條件？你能根據(jù)剛才的分析歸納出直線(xiàn)與平面垂直判定定理嗎

(1)平面有兩條直線(xiàn)

(2)這兩條直線(xiàn)要相交(3)平面外的直線(xiàn)要與這兩條直線(xiàn)都垂直2021/2/621探索新知：由剛才分析可以知道，直線(xiàn)與平面垂直的判二、直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：

線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直mnP一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。一相交兩垂直2021/2/622二、直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直mn判斷下列命題是否正確？(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直()(2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直()√√PP2021/2/623判斷下列命題是否正確？√√PP2021/2/623例1.在下圖的長(zhǎng)方體中，請(qǐng)列舉與平面ABCD垂直的直線(xiàn)。并說(shuō)明這些直線(xiàn)有怎樣的位置關(guān)系？2021/2/624例1.在下圖的長(zhǎng)方體中，請(qǐng)列舉與平面ABCD垂直的直線(xiàn)。并說(shuō)例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1)AC⊥平面D1DBC1BD1ACA1DB12021/2/625例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1由異成直線(xiàn)所成的角知D1B⊥平面ACB12021/2/626C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點(diǎn)。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥ACABCVK(1)連接VK,KB，由VA=VC,K為AC中點(diǎn)，由三線(xiàn)合一可知VK⊥AC,同理可得KB⊥AC，且VK∩KB=K

所以AC⊥平面VKB(判定定理)(2)由(1)可知，AC⊥平面VKB又因?yàn)閂B平面VKB

所以VB⊥AC(定義)2021/2/627例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系．AVBCEFK例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點(diǎn)。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥AC2、在1的條件下，有人說(shuō)“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，對(duì)嗎？2021/2/628變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EBCＰDAFE2021/2/629BCＰDAFE2021/2/629直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)2021/2/630直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)2021/2/630如圖,點(diǎn)Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是點(diǎn)P到平面的垂線(xiàn)段pQ過(guò)一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影；這點(diǎn)與垂足間的線(xiàn)段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線(xiàn)段。一.斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影１.垂線(xiàn)、斜線(xiàn)、射影(１)垂線(xiàn)點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影線(xiàn)段PQ2021/2/631如圖,點(diǎn)Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿pQ過(guò)一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，（2）斜線(xiàn)一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線(xiàn)叫做這個(gè)平面的斜線(xiàn)．斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)叫做斜足。從平面外一點(diǎn)向平面引斜線(xiàn)，這點(diǎn)與斜足間的線(xiàn)段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線(xiàn)段PR2021/2/632（2）斜線(xiàn)一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)如圖：＿＿＿＿是斜線(xiàn)AC在內(nèi)的射影，線(xiàn)段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)垂足和斜足的直線(xiàn)叫做斜線(xiàn)在這個(gè)平面上的射影．垂足與斜足間的線(xiàn)段叫做這點(diǎn)到平面的斜線(xiàn)段在這個(gè)平面上的射影．(３)射影直線(xiàn)BC斜線(xiàn)段AC在內(nèi)的射影2021/2/633如圖：＿＿＿＿是斜線(xiàn)ACACB過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平ACBFE說(shuō)明：②斜線(xiàn)上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線(xiàn)的射影上。思考：斜線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)在平面上的射影會(huì)在哪呢？2021/2/634ACBFE說(shuō)明：②斜線(xiàn)上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線(xiàn)的思考：①?gòu)钠矫嫱庖稽c(diǎn)向這個(gè)平面引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段，它們的射影和線(xiàn)段本身之間有什么關(guān)系？②從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？ACBDE垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短2021/2/635思考：ACBDE垂線(xiàn)段比任何2021/2/635如果兩條直線(xiàn)同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。3.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理2021/2/636如果兩條直線(xiàn)同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)和斜線(xiàn)，C、B分別是垂足和斜足，a，a⊥BC。求證：a⊥ABAaCB線(xiàn)面垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直三垂線(xiàn)定理:在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直,那么它就和這條斜線(xiàn)垂直.2021/2/637例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)和斜AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)和斜線(xiàn),C、B分別是垂足和斜足，a，。a⊥AB三垂線(xiàn)定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直,那么這條直線(xiàn)就和這條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.求證:a⊥BC2021/2/638AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)和斜線(xiàn),a外中垂鞏固練習(xí)：2021/2/639外中垂鞏固練習(xí)：2021/2/639已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PC試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形ABC的外心2021/2/640已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PCPABCOOA已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的垂心DO2021/2/641已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P到底面三角形ABC的三條邊的距離相等,試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的內(nèi)心OEF2021/2/642已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P到底面三角形ABC的三條邊的距離典型：四面體P-ABC的頂點(diǎn)P在平面上的射影為O(1)P到三頂點(diǎn)距離相等(3)P到三邊AB、BC、AC距離相等(2)側(cè)棱兩兩垂直P(pán)ABCO外垂內(nèi)

O是ABC的心

O是ABC的心

O是ABC的心2021/2/643典型：四面體P-ABC的頂點(diǎn)P在平面上的射影為O(1)P到三對(duì)棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組對(duì)邊互相垂直，則另一組對(duì)邊必然垂直O(jiān)是垂心垂

O是ABC的心2021/2/644對(duì)棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組練習(xí)3.如果兩直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線(xiàn)平行．練習(xí)2.過(guò)一點(diǎn)只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直．練習(xí)1.過(guò)一點(diǎn)只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直．結(jié)論1.結(jié)論2.結(jié)論3.常用結(jié)論發(fā)散2021/2/645練習(xí)3.如果兩直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面,那么這練習(xí)2.過(guò)一點(diǎn)只有結(jié)論1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線(xiàn)垂直。結(jié)論2：如果兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面。結(jié)論3：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。2021/2/646結(jié)論1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線(xiàn)垂直。結(jié)論2：如果兩直線(xiàn)和平面垂直的判定例

求證：如果兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。

已知：，。

求證：。

證明：方法1設(shè)是內(nèi)的任意一條直線(xiàn)。

2021/2/647直線(xiàn)和平面垂直的判定例求證：如果兩條平行直線(xiàn)中的√√√小試牛刀2021/2/648√√√小試牛刀2021/2/648線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：垂直于同一平面的兩直線(xiàn)互相平行.abα2021/2/649線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：垂直于同一平面的兩直例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.求證：b⊥α.（線(xiàn)面垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直）（線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直）2021/2/650例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.（線(xiàn)面垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直）例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。求證：b⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線(xiàn)，由直線(xiàn)與平面垂直的定義可知，直線(xiàn)a與這兩條相交直線(xiàn)是垂直的，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線(xiàn)也垂直，從而可證直線(xiàn)與平面垂直。ab閱讀P66頁(yè)的證明過(guò)程.2021/2/651例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行（）（3）平行于同一平面的兩條直線(xiàn)互相平行（）（4）垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)互相平行（）×（1）平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行（）√五、過(guò)程設(shè)計(jì)(三)線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用小牛試刀2021/2/652√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的

.PABCO外心例4.關(guān)于三角形的四心問(wèn)題

設(shè)O為三棱錐P—ABC的頂點(diǎn)P在底面上的射影.綜合練習(xí)：2021/2/653(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的.(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的_____點(diǎn).中PABCO例4.關(guān)于三角形的四心問(wèn)題綜合練習(xí)：2021/2/654(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的____垂心EFPABCO(3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂直,則O是△ABC的

.例4.關(guān)于三角形的四心問(wèn)題綜合練習(xí)：2021/2/655垂心EFPABCO(3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂EFPABCO(5)若三條側(cè)棱與底面成相等的角，則O是△ABC的_____.

外心例4.關(guān)于三角形的四心問(wèn)題綜合練習(xí)：2021/2/656EFPABCO(5)若三條側(cè)棱與底面成相等的例1、已知直角△ABC所在平面外有一點(diǎn)P，且PA=PB=PC，D是斜邊AB的中點(diǎn)，求證：PD⊥平面ABC.ABCPD證明：PA=PB，D為AB中點(diǎn)∴PD⊥AB，連接CD，∵D為Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC2021/2/657例1、已知直角△ABC所在平面外有一點(diǎn)P，且PA=PB=PC例2、如圖平面α、β相交于PQ，線(xiàn)段OA、OB分別垂直平面α、β，求證：PQ⊥ABPQOAB證明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ

又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB

而AB平面OAB∴PQ⊥AB2021/2/658例2、如圖平面α、β相交于PQ，PQOAB證明：∵OA⊥αSABCH2021/2/659SABCH2021/2/659SABCH2021/2/660SABCH2021/2/6601.如圖,已知點(diǎn)M是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且MA=MC求證：AC⊥平面BDMMABCDO2021/2/6611.如圖,已知點(diǎn)M是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且MA=MCABCD證明：E

2.在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：對(duì)角線(xiàn)ACBD。CEAEEBD,,,連接的中點(diǎn)取ACBDACEAC^\ì,平面Q=?`ACEBDECEAE^\,,平面又QBDCEDCBC^\=,,QBDAEADAB^\=,,Q2021/2/662ABCD證明：E2.在空間四邊形ABCD中，AB=AD，PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC2021/2/663PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓典例平面內(nèi)有一個(gè)三角形ABC，平面外有一點(diǎn)P，自P向平面作斜線(xiàn)PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若點(diǎn)O是△ABC的外心，求證：PO⊥平面ABC.2021/2/664典例平面內(nèi)有一個(gè)三角形ABC，平面外有一點(diǎn)P，自P向平面【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，連接PD，PE，OD，OE.因?yàn)镻A＝PB＝PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC，因?yàn)镺是△ABC的外心，所以O(shè)D⊥AB，OE⊥BC，又因?yàn)镻D∩DO＝D，OE∩PE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，從而推得PO⊥平面ABC.2021/2/665【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，連接PD，P中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線(xiàn)的交點(diǎn)垂心:三條高的交點(diǎn)外心:三條垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)(到△三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等)內(nèi)心:三角平分線(xiàn)的交點(diǎn)中心:正△的重心、垂心、內(nèi)心、外心重合的點(diǎn)2021/2/666中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線(xiàn)的交點(diǎn)2021/2/666鞏固練習(xí)VABC2021/2/667鞏固練習(xí)VABC2021/2/667直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)

解題分析:2021/2/668直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)解題分析:2021/2/6682021/2/6692021/2/669解題小結(jié):2021/2/670解題小結(jié):2021/2/6702022/12/11例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)

和斜線(xiàn)，C、B分別是垂足和斜足，a

α，

a⊥BC．求證：a⊥AB．

ACBaα射影垂直，斜線(xiàn)垂直2021/2/6712022/12/11例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的2022/12/11例2：如圖，∠BAC在平面α內(nèi)，P為平面α外一

點(diǎn)，∠PAB＝∠PAC．求證：點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線(xiàn)上．

ACBPαOEF2021/2/6722022/12/11例2：如圖，∠BAC在平面α內(nèi)，P為平面例1如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,AC=BC=1,PA⊥面ABC,且PA=,

求(1)PB與面ABC所成的角

(2)PB與面PAC所成的角.BCAP2021/2/673例1如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,BCAP20鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點(diǎn)P，且PA=PB=PC=PD，求證：點(diǎn)P與平行四邊形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)O的連線(xiàn)PO垂直于AB、AD.CABDOP2021/2/674鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點(diǎn)P，且PA=2022/12/11例2：如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中．(1)求B1D

與平面ABCD所成的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求A1C1

與平面ABC1D1所成的角；(3)求BB1

與平面A1BC1所成的角的正切．MH2021/2/6752022/12/11例2：如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中．ABC2022/12/11例5：⊿ABC的定點(diǎn)在平面α內(nèi)，點(diǎn)A、C在平面α的同側(cè)，AB、BC與α所成角分別是300和450．若AB＝3，BC＝4√2，AC＝5，求AC

與平面α所成的角．

AαBCA1C1E2021/2/6762022/12/11例5：⊿ABC的定點(diǎn)在平面α內(nèi)，點(diǎn)A、C2022/12/11例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，

PA⊥平面ABCD，AE⊥PD，PA＝3AB．求直線(xiàn)AC與平面ABE所成角的正弦值．

PABCDE2021/2/6772022/12/11例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外【5】如圖,AB為平面α的一條斜線(xiàn),B為斜足,AO⊥平面α,垂足為O,直線(xiàn)BC在平面α內(nèi),已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,則斜線(xiàn)AB和平面α所成的角是_______.ACODBα45°設(shè)OB=2,補(bǔ)充練習(xí)2021/2/678【5】如圖,AB為平面α的一條斜線(xiàn),B為斜引課我們知道,當(dāng)直線(xiàn)和平面垂直時(shí),該直線(xiàn)叫做平面的垂線(xiàn)。如果直線(xiàn)和平面不垂直,是不是也該給它取個(gè)名字呢?此時(shí)又該如何刻畫(huà)直線(xiàn)和平面的這種關(guān)系呢?直線(xiàn)與平面所成的角2021/2/679引課我們知道,當(dāng)直線(xiàn)和平面垂直時(shí),該直線(xiàn)叫做平面的垂線(xiàn)。如果1.平面的斜線(xiàn)如圖,若一條直線(xiàn)PA和一個(gè)平面α相交,但不垂直,那么這條直線(xiàn)就叫做這個(gè)平面的斜線(xiàn),斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。PA斜足斜線(xiàn)2021/2/6801.平面的斜線(xiàn)如圖,若一條直線(xiàn)PA和一個(gè)平面α相交,但不垂直A1B1C1D1ABCD例1、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直線(xiàn)A1B和平面 BCC1B1所成的角。（2）直線(xiàn)A1B和平面A1B1CD所成的角。O例題示范,鞏固新知分析:找出直線(xiàn)A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內(nèi)的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。閱讀教科書(shū)P67上的解答過(guò)程2021/2/681A1B1C1D1ABCD例1、如圖，正方體ABCD-A1B1AGFEDCBHHC與平面ABCD所成的角是？BG和EA與平面ABCD所成的角分別是？∠GBC與∠EAB∠HCDEC和EG與平面ABCD所成的角分別是？∠ACE練習(xí):正方體ABCD－EFGH中2021/2/682AGFEDCBHHC與平面ABCD所成的角是？BG和EA與2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB鞏固練習(xí)2021/2/683A1D1C1B1ADCB鞏固練習(xí)2021/2/6832.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBO線(xiàn)段B1O鞏固練習(xí)2021/2/684A1D1C1B1ADCBO線(xiàn)段B1O鞏固練習(xí)2021/2/62.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBE線(xiàn)段B1E鞏固練習(xí)2021/2/685A1D1C1B1ADCBE線(xiàn)段B1E鞏固練習(xí)2021/2/62.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB線(xiàn)段C1D鞏固練習(xí)2021/2/686A1D1C1B1ADCB線(xiàn)段C1D鞏固練習(xí)2021/2/683.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB0o鞏固練習(xí)2021/2/687A1D1C1B1ADCB0o鞏固練習(xí)2021/2/6873.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB90o鞏固練習(xí)2021/2/688A1D1C1B1ADCB90o鞏固練習(xí)2021/2/6883.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB45o鞏固練習(xí)2021/2/689A1D1C1B1ADCB45o鞏固練習(xí)2021/2/6893.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCBE30o鞏固練習(xí)2021/2/690A1D1C1B1ADCBE30o鞏固練習(xí)2021/2/690線(xiàn)線(xiàn)垂直相交垂直（共面垂直）異面垂直2021/2/691線(xiàn)線(xiàn)垂直相交垂直（共面垂直）異面垂直2021/2/6912021/2/6922021/2/61復(fù)習(xí)回顧：空間直線(xiàn)和平面有幾種位置關(guān)系？A2021/2/693復(fù)習(xí)回顧：空間直線(xiàn)和平面有幾種位置關(guān)系？A2021/2/62大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線(xiàn)與平面垂直的實(shí)例實(shí)例引入2021/2/694大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線(xiàn)與平面垂直的實(shí)例實(shí)例引入2021/2/6952021/2/64

大漠孤煙直

2021/2/696

大漠孤煙直

2021/2/65AB2021/2/697AB2021/2/66AB2021/2/698AB2021/2/67AB2021/2/699AB2021/2/68AB2021/2/6100AB2021/2/69AB2021/2/6101AB2021/2/610AB2021/2/6102AB2021/2/611AB2021/2/6103AB2021/2/612AB2021/2/6104AB2021/2/613CC1B1ABα內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)AB所在直線(xiàn)內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)ααAB所在直線(xiàn)內(nèi)任意一條直線(xiàn)αAB所在直線(xiàn)⊥⊥⊥2021/2/6105CC1B1ABα內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)AB所在直線(xiàn)內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)α一、直線(xiàn)和平面垂直的定義如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直.其中直線(xiàn)叫做平面的垂線(xiàn)，平面叫做直線(xiàn)的垂面.交點(diǎn)叫做垂足.A平面的垂線(xiàn)直線(xiàn)的垂面垂足2021/2/6106一、直線(xiàn)和平面垂直的定義如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，并且和這LP直線(xiàn)和平面垂直的畫(huà)法:通常把直線(xiàn)畫(huà)成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直。2021/2/6107LP直線(xiàn)和平面垂直的畫(huà)法:通常把直線(xiàn)畫(huà)成和深入理解“線(xiàn)面垂直定義”判斷下列語(yǔ)句是否正確：（若不正確請(qǐng)舉反例）1.如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有的直線(xiàn)都垂直.（）2.如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都垂直，那么它與平面垂直.（）bαa2021/2/6108深入理解“線(xiàn)面垂直定義”判斷下列語(yǔ)句是否正確：（若不正確請(qǐng)舉利用定義，我們得到了判定線(xiàn)面垂直的最基本方法，同時(shí)也得到了線(xiàn)面垂直的最基本的性質(zhì).探索新知：但是，直接考察直線(xiàn)與平面內(nèi)所有直線(xiàn)都垂直是不可能的，這就有必要去尋找比定義法更簡(jiǎn)捷、更可行的直線(xiàn)與平面垂直的方法!2021/2/6109利用定義，我們得到了判定線(xiàn)面垂直的最基本方法，同時(shí)也探索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？請(qǐng)同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個(gè)試驗(yàn)：過(guò)三角形的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）2021/2/6110探索新知：做一做ABCD1.折痕AD與桌面垂直嗎？請(qǐng)同學(xué)們當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線(xiàn)與桌面所在平面垂直．2.如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？探索新知：2021/2/6111當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，A探索新知：由剛才分析可以知道，直線(xiàn)與平面垂直的判定需要哪幾個(gè)條件？你能根據(jù)剛才的分析歸納出直線(xiàn)與平面垂直判定定理嗎

(1)平面有兩條直線(xiàn)

(2)這兩條直線(xiàn)要相交(3)平面外的直線(xiàn)要與這兩條直線(xiàn)都垂直2021/2/6112探索新知：由剛才分析可以知道，直線(xiàn)與平面垂直的判二、直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：

線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直mnP一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。一相交兩垂直2021/2/6113二、直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直mn判斷下列命題是否正確？(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直()(2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直()√√PP2021/2/6114判斷下列命題是否正確？√√PP2021/2/623例1.在下圖的長(zhǎng)方體中，請(qǐng)列舉與平面ABCD垂直的直線(xiàn)。并說(shuō)明這些直線(xiàn)有怎樣的位置關(guān)系？2021/2/6115例1.在下圖的長(zhǎng)方體中，請(qǐng)列舉與平面ABCD垂直的直線(xiàn)。并說(shuō)例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1)AC⊥平面D1DBC1BD1ACA1DB12021/2/6116例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1(1C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)D1B⊥平面ACB1由異成直線(xiàn)所成的角知D1B⊥平面ACB12021/2/6117C1BD1ACA1DB1例2、在正方體AC1中，求證：(2)例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點(diǎn)。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥ACABCVK(1)連接VK,KB，由VA=VC,K為AC中點(diǎn)，由三線(xiàn)合一可知VK⊥AC,同理可得KB⊥AC，且VK∩KB=K

所以AC⊥平面VKB(判定定理)(2)由(1)可知，AC⊥平面VKB又因?yàn)閂B平面VKB

所以VB⊥AC(定義)2021/2/6118例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系．AVBCEFK例3、三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點(diǎn)。（1）求證：AC⊥平面VKB （2）求證：VB⊥AC2、在1的條件下，有人說(shuō)“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，對(duì)嗎？2021/2/6119變式：1、在例3中若E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EBCＰDAFE2021/2/6120BCＰDAFE2021/2/629直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)2021/2/6121直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)2021/2/630如圖,點(diǎn)Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是點(diǎn)P到平面的垂線(xiàn)段pQ過(guò)一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影；這點(diǎn)與垂足間的線(xiàn)段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線(xiàn)段。一.斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影１.垂線(xiàn)、斜線(xiàn)、射影(１)垂線(xiàn)點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影線(xiàn)段PQ2021/2/6122如圖,點(diǎn)Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿pQ過(guò)一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，（2）斜線(xiàn)一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線(xiàn)叫做這個(gè)平面的斜線(xiàn)．斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)叫做斜足。從平面外一點(diǎn)向平面引斜線(xiàn)，這點(diǎn)與斜足間的線(xiàn)段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線(xiàn)段PR2021/2/6123（2）斜線(xiàn)一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)如圖：＿＿＿＿是斜線(xiàn)AC在內(nèi)的射影，線(xiàn)段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)垂足和斜足的直線(xiàn)叫做斜線(xiàn)在這個(gè)平面上的射影．垂足與斜足間的線(xiàn)段叫做這點(diǎn)到平面的斜線(xiàn)段在這個(gè)平面上的射影．(３)射影直線(xiàn)BC斜線(xiàn)段AC在內(nèi)的射影2021/2/6124如圖：＿＿＿＿是斜線(xiàn)ACACB過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平ACBFE說(shuō)明：②斜線(xiàn)上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線(xiàn)的射影上。思考：斜線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)在平面上的射影會(huì)在哪呢？2021/2/6125ACBFE說(shuō)明：②斜線(xiàn)上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線(xiàn)的思考：①?gòu)钠矫嫱庖稽c(diǎn)向這個(gè)平面引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段，它們的射影和線(xiàn)段本身之間有什么關(guān)系？②從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？ACBDE垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短2021/2/6126思考：ACBDE垂線(xiàn)段比任何2021/2/635如果兩條直線(xiàn)同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。3.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理2021/2/6127如果兩條直線(xiàn)同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)和斜線(xiàn)，C、B分別是垂足和斜足，a，a⊥BC。求證：a⊥ABAaCB線(xiàn)面垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直三垂線(xiàn)定理:在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直,那么它就和這條斜線(xiàn)垂直.2021/2/6128例2、如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)和斜AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)和斜線(xiàn),C、B分別是垂足和斜足，a，。a⊥AB三垂線(xiàn)定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直,那么這條直線(xiàn)就和這條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.求證:a⊥BC2021/2/6129AaCB變:如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)和斜線(xiàn),a外中垂鞏固練習(xí)：2021/2/6130外中垂鞏固練習(xí)：2021/2/639已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PC試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形ABC的外心2021/2/6131已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PCPABCOOA已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的垂心DO2021/2/6132已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P到底面三角形ABC的三條邊的距離相等,試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？PABCO為三角形ABC的內(nèi)心OEF2021/2/6133已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P到底面三角形ABC的三條邊的距離典型：四面體P-ABC的頂點(diǎn)P在平面上的射影為O(1)P到三頂點(diǎn)距離相等(3)P到三邊AB、BC、AC距離相等(2)側(cè)棱兩兩垂直P(pán)ABCO外垂內(nèi)

O是ABC的心

O是ABC的心

O是ABC的心2021/2/6134典型：四面體P-ABC的頂點(diǎn)P在平面上的射影為O(1)P到三對(duì)棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組對(duì)邊互相垂直，則另一組對(duì)邊必然垂直O(jiān)是垂心垂

O是ABC的心2021/2/6135對(duì)棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體P-ABC中，若三棱錐有兩組練習(xí)3.如果兩直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線(xiàn)平行．練習(xí)2.過(guò)一點(diǎn)只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直．練習(xí)1.過(guò)一點(diǎn)只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直．結(jié)論1.結(jié)論2.結(jié)論3.常用結(jié)論發(fā)散2021/2/6136練習(xí)3.如果兩直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面,那么這練習(xí)2.過(guò)一點(diǎn)只有結(jié)論1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線(xiàn)垂直。結(jié)論2：如果兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面。結(jié)論3：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。2021/2/6137結(jié)論1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線(xiàn)垂直。結(jié)論2：如果兩直線(xiàn)和平面垂直的判定例

求證：如果兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。

已知：，。

求證：。

證明：方法1設(shè)是內(nèi)的任意一條直線(xiàn)。

2021/2/6138直線(xiàn)和平面垂直的判定例求證：如果兩條平行直線(xiàn)中的√√√小試牛刀2021/2/6139√√√小試牛刀2021/2/648線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：垂直于同一平面的兩直線(xiàn)互相平行.abα2021/2/6140線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：垂直于同一平面的兩直例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.求證：b⊥α.（線(xiàn)面垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直）（線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直）2021/2/6141例2.如圖，已知a∥b、a⊥α.（線(xiàn)面垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直）例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。求證：b⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線(xiàn)，由直線(xiàn)與平面垂直的定義可知，直線(xiàn)a與這兩條相交直線(xiàn)是垂直的，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線(xiàn)也垂直，從而可證直線(xiàn)與平面垂直。ab閱讀P66頁(yè)的證明過(guò)程.2021/2/6142例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。例題示范,鞏固新知分析：在平√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行（）（3）平行于同一平面的兩條直線(xiàn)互相平行（）（4）垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)互相平行（）×（1）平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行（）√五、過(guò)程設(shè)計(jì)(三)線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用小牛試刀2021/2/6143√×１、判斷下列命題的正誤。（2）垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的

.PABCO外心例4.關(guān)于三角形的四心問(wèn)題

設(shè)O為三棱錐P—ABC的頂點(diǎn)P在底面上的射影.綜合練習(xí)：2021/2/6144(1)若PA=PB=PC，則O是△ABC的.(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的_____點(diǎn).中PABCO例4.關(guān)于三角形的四心問(wèn)題綜合練習(xí)：2021/2/6145(2)若PA=PB=PC,∠C=900,則O是AB的____垂心EFPABCO(3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂直,則O是△ABC的

.例4.關(guān)于三角形的四心問(wèn)題綜合練習(xí)：2021/2/6146垂心EFPABCO(3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂EFPABCO(5)若三條側(cè)棱與底面成相等的角，則O是△ABC的_____.

外心例4.關(guān)于三角形的四心問(wèn)題綜合練習(xí)：2021/2/6147EFPABCO(5)若三條側(cè)棱與底面成相等的例1、已知直角△ABC所在平面外有一點(diǎn)P，且PA=PB=PC，D是斜邊AB的中點(diǎn)，求證：PD⊥平面ABC.ABCPD證明：PA=PB，D為AB中點(diǎn)∴PD⊥AB，連接CD，∵D為Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC2021/2/6148例1、已知直角△ABC所在平面外有一點(diǎn)P，且PA=PB=PC例2、如圖平面α、β相交于PQ，線(xiàn)段OA、OB分別垂直平面α、β，求證：PQ⊥ABPQOAB證明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ

又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB

而AB平面OAB∴PQ⊥AB2021/2/6149例2、如圖平面α、β相交于PQ，PQOAB證明：∵OA⊥αSABCH2021/2/6150SABCH2021/2/659SABCH2021/2/6151SABCH2021/2/6601.如圖,已知點(diǎn)M是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且MA=MC求證：AC⊥平面BDMMABCDO2021/2/61521.如圖,已知點(diǎn)M是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且MA=MCABCD證明：E

2.在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：對(duì)角線(xiàn)ACBD。CEAEEBD,,,連接的中點(diǎn)取ACBDACEAC^\ì,平面Q=?`ACEBDECEAE^\,,平面又QBDCEDCBC^\=,,QBDAEADAB^\=,,Q2021/2/6153ABCD證明：E2.在空間四邊形ABCD中，AB=AD，PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC2021/2/6154PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓典例平面內(nèi)有一個(gè)三角形ABC，平面外有一點(diǎn)P，自P向平面作斜線(xiàn)PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若點(diǎn)O是△ABC的外心，求證：PO⊥平面ABC.2021/2/6155典例平面內(nèi)有一個(gè)三角形ABC，平面外有一點(diǎn)P，自P向平面【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，連接PD，PE，OD，OE.因?yàn)镻A＝PB＝PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC，因?yàn)镺是△ABC的外心，所以O(shè)D⊥AB，OE⊥BC，又因?yàn)镻D∩DO＝D，OE∩PE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，從而推得PO⊥平面ABC.2021/2/6156【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，連接PD，P中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線(xiàn)的交點(diǎn)垂心:三條高的交點(diǎn)外心:三條垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)(到△三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等)內(nèi)心:三角平分線(xiàn)的交點(diǎn)中心:正△的重心、垂心、內(nèi)心、外心重合的點(diǎn)2021/2/6157中外垂ＰＡＣＢ重心:三條中線(xiàn)的交點(diǎn)2021/2/666鞏固練習(xí)VABC2021/2/6158鞏固練習(xí)VABC2021/2/667直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)

解題分析:2021/2/6159直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)解題分析:2021/2/6682021/2/61602021/2/669解題小結(jié):2021/2/6161解題小結(jié):2021/2/6702022/12/11例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的垂線(xiàn)

和斜線(xiàn)，C、B分別是垂足和斜足，a

α，

a⊥BC．求證：a⊥AB．

ACBaα射影垂直，斜線(xiàn)垂直2021/2/61622022/12/11例1：如圖，已知AC、AB分別是平面α的2022/12/11例2：如圖，∠BAC在平面α內(nèi)，P為平面α外一

點(diǎn)，∠PAB＝∠PAC．求證：點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線(xiàn)上．

ACBPαOEF2021/2/61632022/12/11例2：如圖，∠BAC在平面α內(nèi)，P為平面例1如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,AC=BC=1,PA⊥面ABC,且PA=,

求(1)PB與面ABC所成的角

(2)PB與面PAC所成的角.BCAP2021/2/6164例1如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90o,BCAP20鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點(diǎn)P，且PA=PB=PC=PD，求證：點(diǎn)P與平行四邊形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)O的連線(xiàn)PO垂直于AB、AD.CABDOP2021/2/6165鞏固練習(xí)1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點(diǎn)P，且PA=2022/12/11例2：如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中．(1)求B1D

與平面ABCD所成的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求A1C1

與平面ABC1D1所成的角；(3)求BB1

與平面A1BC1所成的角的正切．MH2021/2/61662022/12/11例2：如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中．ABC2022/12/11例5：⊿ABC的定點(diǎn)在平面α內(nèi)，點(diǎn)A、C在平面α的同側(cè)，AB、BC與α所成角分別是300和450．若AB＝3，BC＝4√2，AC＝5，求AC

與平面α所成的角．

AαBCA1C1E2021/2/61672022/12/11例5：⊿ABC的定點(diǎn)在平面α內(nèi)，點(diǎn)A、C2022/12/11例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，

PA⊥平面ABCD，AE⊥PD，PA＝3AB．求直線(xiàn)AC與平面ABE所成角的正弦值．

PABCDE2021/2/61682022/12/11例6：如圖，P是正方形ABCD所在平面外【5】如圖,AB為平面α的一條斜線(xiàn),B為斜足,AO⊥平面α,垂足為O,直線(xiàn)BC在平面α內(nèi),已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,則斜線(xiàn)AB和平面α所成的角是_______.ACOD