流體力學(xué)NS方程推導(dǎo)過程

-.z.流體力學(xué)NS方程簡易推導(dǎo)過程小菜鳥0引言流體力學(xué)的NS方程對于整個(gè)流體力學(xué)以及空氣動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域的作用非常顯著，不過其公式繁瑣，推導(dǎo)思路不容易理順，最近重新整理了一下NS方程的推導(dǎo)，記錄一下整個(gè)推導(dǎo)過程，供自己學(xué)習(xí)，也可以供大家交流和學(xué)習(xí)。1根本假設(shè)空氣是由大量分子組成，分子做著無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，我們可以想象，隨著觀察尺度的逐漸降低，微觀情況下流體的速度密度和溫度等物理量不可能與宏觀情況一樣，其物理量存在連續(xù)的現(xiàn)象，例如我們在空間中取出一塊控制體，當(dāng)控制體中存在分子時(shí)，該控制體的密度等量較大，不存在時(shí)就會(huì)為0，這在微觀尺度下是常見。不過隨著觀察尺度增加，在宏觀情況下，控制體積內(nèi)包含大量分子，控制體積的壓力密度溫度速度等物理量存在統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果，這個(gè)結(jié)果是穩(wěn)定的，例如流場變量的壓力密度和溫度滿足理想氣體狀態(tài)方程。自然界中宏觀情況的流體運(yùn)動(dòng)畢竟占據(jù)大多數(shù)，NS方程限定了自己的適用條件為宏觀運(yùn)動(dòng)，采用稍微專業(yè)一點(diǎn)難度術(shù)語是流體滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的意思就是說，我們在流場中隨意取出流體微團(tuán)，這個(gè)流體微團(tuán)在宏觀上是無窮小的，因此整個(gè)流場的物理量可以進(jìn)展數(shù)學(xué)上的極限微分積分等運(yùn)算；同時(shí)，這個(gè)流體微團(tuán)在微觀上是無窮大的，微團(tuán)中包含了大量分子，以至于可以進(jìn)展分子層面的統(tǒng)計(jì)平均，獲得我們通常見到的流場變量。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立需要滿足：所研究流體問題的最小空間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分子平均運(yùn)動(dòng)自由程〔標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的平均分子自由程在十分之一微米的量級，具體值可以參考分子運(yùn)動(dòng)理論〕，這在大多數(shù)宏觀情況下都是成立的，也是NS方程能夠廣泛采用的根底，即使在湍流中，也是成立的，因此才保證NS方程也適用于描述湍流。有些情況下連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不成立，存在哪些情況？第一種是空間尺度特別小，例如熱線風(fēng)速儀的金屬絲，直徑通常在1~5微米量級，最小流體微團(tuán)已經(jīng)接近分子平均運(yùn)動(dòng)自由程，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不能直接使用，類似情況還包括激波，激波面受到壓縮，其尺度也較小，為幾個(gè)分子平均自由程量級，不過采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)進(jìn)展激波內(nèi)流場計(jì)算時(shí)，計(jì)算結(jié)果仍然可以得到比擬合理，并且與實(shí)際情況相符，這也給激波問題的研究和解決帶來了根底性的保證；第二種是分子平均運(yùn)動(dòng)自由程特別大，分子平均運(yùn)動(dòng)自由程是指兩個(gè)分子之間碰撞距離的平均值，這個(gè)結(jié)果與分子有效直徑，分子運(yùn)動(dòng)速度等相關(guān)，宏觀上來講，溫度越高、壓力越大，分子平均運(yùn)動(dòng)自由程越大，而在高空情況下，壓力非常低，自由程可能很大，并且大到與飛行器尺度相近，于是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效，此時(shí)必須考慮稀薄氣體效應(yīng)。在層流邊界層情況下，分子平均運(yùn)動(dòng)自由程與邊界層之間存在近似關(guān)系：從這個(gè)關(guān)系中，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)馬赫數(shù)非常大但是同時(shí)雷諾數(shù)非常小的時(shí)候，流場微小尺度才可能到達(dá)分子平均運(yùn)動(dòng)自由程lmd的程度?？梢韵胂笠幌拢诖蠖鄶?shù)我們能觀察到的情況下，上述公式的結(jié)果都是非常小的，滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，這個(gè)公式不成立的情況在大氣層外邊緣，此時(shí)大氣分子之間平均動(dòng)量交換降低，導(dǎo)致粘性變得非常小，雷諾數(shù)很高，因此公式計(jì)算結(jié)果急劇降低，導(dǎo)致連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效。前面討論了連續(xù)介質(zhì)建立成立的條件以及不成立的例子，下面討論的都是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)范圍內(nèi)的結(jié)果。2連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律的流體表達(dá)根據(jù)質(zhì)量守恒定律，我們知道，在流場取的控制體滿足如下物理規(guī)律：控制體的總質(zhì)量不隨著運(yùn)動(dòng)而變化的，在運(yùn)動(dòng)過程中控制體始終由一樣流體微團(tuán)組成，因此利用流場物理量將物理規(guī)律用數(shù)學(xué)公式表達(dá)可得：根據(jù)引論1中的內(nèi)容，上式左邊隨體導(dǎo)數(shù)可以采用兩種形式的偏導(dǎo)數(shù)表示：〔1〕微元體表達(dá)形式：根據(jù)引論1中微元體的隨體導(dǎo)數(shù)關(guān)系可以得到：或者〔2〕張量表達(dá)形式：3動(dòng)量方程：牛頓第二定律的流體表達(dá)根據(jù)牛頓第二定律，流場中取出控制體滿足如下規(guī)律：*一時(shí)刻，控制體中所有流體微團(tuán)的總動(dòng)量隨時(shí)間的變化率=控制體中所有流體微團(tuán)受到的合力?？刂企w受力主要包括外表力和體積力，外表力作用于物體外表，例如壓力等應(yīng)力，外表力可以分解為法向力和切向力，法向力通常為壓力，切向力通常為粘性力〔當(dāng)然這不是絕對，因?yàn)榉ㄏ蛄€包括流場可壓縮性引起的法向應(yīng)力〕；體積力作用于流場中每一個(gè)流體微團(tuán)，例如重力，電磁力等。因此，牛頓第二定律可以表達(dá)為：控制體總動(dòng)量隨時(shí)間變化率=控制體外表力合力+控制體體積力合力〔為了推導(dǎo)方便，下面將體積力忽略，在重力等法向力影響較大時(shí)，將該項(xiàng)參加即可〕。利用流場變量可以將上述定律表達(dá)為數(shù)學(xué)公式：其中根據(jù)引論1和引論2，可知方程左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，〔1〕微元體表達(dá)形式：根據(jù)引論2，上式左邊具有這兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式〔一種根據(jù)定義，一種引入質(zhì)量守恒關(guān)系〕：〔2〕張量表達(dá)形式：根據(jù)引論2，上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式〔一種定義，一種引入質(zhì)量守恒〕：〔3〕補(bǔ)充說明1：粘性應(yīng)力表達(dá)式上述公式中，我們將外表力表達(dá)為外表壓力+粘性力的形式，其中外表壓力為法向力，粘性力由流體粘性引起，包括法向力和切向力，根據(jù)各項(xiàng)同性假設(shè)，粘性應(yīng)力張量可以表達(dá)為：其中，\miu稱為動(dòng)力粘性系數(shù)。根據(jù)Stokes假設(shè)，在通常情況下，體積粘性系數(shù)，于是上述粘性應(yīng)力表達(dá)為：〔4〕補(bǔ)充說明2：粘性應(yīng)力的空間導(dǎo)數(shù)在動(dòng)量方程中，粘性應(yīng)力的空間導(dǎo)數(shù)可以表達(dá)為：如果流場為不可壓縮s=0并且粘性系數(shù)不隨空間改變，即溫度不變，可以簡化為：〔5〕補(bǔ)充說明3：動(dòng)力粘性系數(shù)表達(dá)式：該公式中動(dòng)力粘性系數(shù)是流體的根本變量，該系數(shù)表征流體分子之間動(dòng)量交換的快慢程度，與流場的溫度相關(guān)，與壓力等其他變量關(guān)系較小，在溫度為100到1900K范圍，可以采用Sutherland公式進(jìn)展表達(dá)：其中，Tref=110.3，T0和\miu0則可以采用任何溫度的結(jié)果，例如在常溫288K情況下，動(dòng)力粘性系數(shù)為1.7894*10-5。4能量方程：能量守恒定律的流體表達(dá)根據(jù)能量守恒定律，流場中取出控制體滿足如下物理規(guī)律：控制體的總能量增加=控制體受到外力做功+外界向控制體熱傳導(dǎo)采用流場變量可以將該物理定律表達(dá)為數(shù)學(xué)形式(e=CvT表示流場內(nèi)能，內(nèi)能可以采用定容比熱乘以溫度得到)：其中，根據(jù)引論1和2可知，方程左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式：微元體表達(dá)形式：根據(jù)引論1和2可知上式具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式：〔2〕張量表達(dá)形式A:總能公式E=e+v2/2根據(jù)引論1和引論2，上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式：B:內(nèi)能公式e=E-v2/2將總能關(guān)系式代入上述公式可得：因此可得內(nèi)能關(guān)系式為：根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。C：焓公式h=e+p/rou將內(nèi)能關(guān)系式代入上式可得：根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。D：總焓公式h0=h+v2/2=E+p/rou注意上式中采用了引論2中的內(nèi)容，將焓關(guān)系式代入上式可得：于是可得總焓關(guān)系式為：根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。E：熵公式Tds=dh-dp/rou根據(jù)熵公式，可得熵的隨體導(dǎo)數(shù)為：根據(jù)引論1和引論2，上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。根據(jù)熵公式，可以知道，熵的增加主要來自兩個(gè)局部，一是粘性力引起，二是熱傳導(dǎo)引起，如果流場中粘性應(yīng)力和熱傳導(dǎo)都可以忽略，則流場滿足等熵關(guān)系?！?〕補(bǔ)充說明：粘性力耗散幾個(gè)公式中都存在粘性力的做功項(xiàng)，稱之為耗散項(xiàng)fai，該項(xiàng)具體表達(dá)式可以表示為：其中：5附件：隨體導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)〔控制體/微元體？包含密度？〕引論1：控制體和微元體的隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)式利用隨體導(dǎo)數(shù)物理定義和數(shù)學(xué)上導(dǎo)數(shù)定義〔求極限方法〕容易得到第一個(gè)公式，利用控制體積分量的隨體導(dǎo)數(shù)物理定義，也容易得到第二個(gè)公式，在流體力學(xué)教材中也很容易找到這兩種隨體導(dǎo)數(shù)的定義。為什么這么做，寫出這樣一個(gè)公式？因?yàn)殡S體導(dǎo)數(shù)是拉格朗日觀點(diǎn)，隨體導(dǎo)數(shù)非常符合物理思維，利用隨體導(dǎo)數(shù)很容易表達(dá)物理規(guī)律，例如牛頓第二定律F=ma，因此推導(dǎo)公式過程中經(jīng)常采用隨體導(dǎo)數(shù)。不過流場中物理量通常采用隨時(shí)間和空間變化的四維函數(shù)，直接利用該函數(shù)無法得到隨體導(dǎo)數(shù)，只能得到一些偏導(dǎo)數(shù)，需要根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的物理定義將隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)成合成偏導(dǎo)數(shù)形式。引論2：包含密度的控制體和微元體隨體導(dǎo)數(shù)在后續(xù)方程推導(dǎo)中經(jīng)常出現(xiàn)包含密度的隨體導(dǎo)數(shù)情況，將包含密度的隨體導(dǎo)數(shù)利用連續(xù)性方程進(jìn)展化簡，可以極大簡化推導(dǎo)難度。包含密度的隨體導(dǎo)數(shù)利用了引論1+連續(xù)性方程，也就是隨體導(dǎo)數(shù)定義和連續(xù)性方程兩個(gè)規(guī)律，具體推導(dǎo)如下：