人教B版必修第四冊(cè) 11.1.4 棱錐與棱臺(tái) 學(xué)案

類型一 棱錐及其有關(guān)概念【典例】1.下面圖形所表示的幾何體中,不是棱錐的為

( )2.所有棱長(zhǎng)都相等的正四棱錐和正三棱錐的一個(gè)面重合后暴露的面的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè).1.看是否同時(shí)滿足以下兩點(diǎn):(1)有一個(gè)面是多邊形.(2)其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.2.注意到有兩個(gè)正三角形面合并成一個(gè)平行四邊形面.【解析】1.選

A.選項(xiàng)

A

中的幾何體不滿足有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形

,所以不是棱錐;選項(xiàng)

B,C,D

中的幾何體是棱錐.2.如圖(1)(2)所示分別是所有棱長(zhǎng)都相等的正四棱錐和正三棱錐.圖(3)是它們拼接而成的一個(gè)幾何體.故暴露的面數(shù)為

5

個(gè).答案:5【內(nèi)化·悟】提示:解決與棱錐概念有關(guān)的問(wèn)題主要從棱錐的側(cè)面、側(cè)棱、底面、頂點(diǎn)、高等方面考慮.2.正棱錐中的幾個(gè)重要的直角三角形:如圖所示,正棱錐

S-ABCDE

中,點(diǎn)

O

是

CD

均是直角三角形,很明顯,△SMC,△SMD,△OMC

【類題·通】判斷棱錐形狀的兩種方法（1）直接法:利用棱錐的定義,看是否只有一個(gè)多邊形,此面為底面,些說(shuō)法不正確.【習(xí)練·破】1.三棱錐的四個(gè)面中可以作為底面的有 ( )A.1

個(gè) B.2

個(gè) C.3

個(gè) D.4

個(gè)【解析】選

D.三棱錐的每一個(gè)面均可作為底面.2.正四

棱錐

的側(cè)棱

長(zhǎng)是

底面

邊長(zhǎng)的

k

倍,則

k

的取

值范

圍是( )A.(0,+∞) B.C.( ,+∞) D.【解析】選

D.由正四棱錐的定義知,在正四棱錐

S-ABCD

中,S

在底面

ABCD

內(nèi)的射影

O

為正方形的中心,而

SA>OA=

AB,所以 >

.【加練·固】1.在下列多面體中,有

5

個(gè)面的是 ( )A.四棱錐 B.五棱錐 C.四棱柱 D.五棱柱【解析】選

A.從側(cè)面和底面去考慮.2.具有下列性質(zhì)的三棱錐中,哪一個(gè)是正棱錐 ( )A.頂點(diǎn)在底面上的射影到底面各頂點(diǎn)的距離相等B.底面是正三角形,且側(cè)面都是等腰三角形C.相鄰兩條側(cè)棱間的夾角相等D.三條側(cè)棱長(zhǎng)相等,且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心【解析】選

D.A

錯(cuò),由已知能推出頂點(diǎn)在底面上的射影是三角形的外心,但底面三角形不一定是正三角形;B錯(cuò),側(cè)面是等腰三角形,不能說(shuō)明側(cè)棱長(zhǎng)一定相等,可能有一個(gè)側(cè)面是側(cè)棱和一底邊長(zhǎng)相等

,此時(shí)推不出正棱錐;C錯(cuò),相鄰兩條側(cè)棱間的夾角相等,但側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等,此時(shí)顯然不可能推出正棱錐;D正確,由側(cè)棱長(zhǎng)相等保證了頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的外心

,而內(nèi)心、外心合一的三角形一定是正三角形.類型二 棱臺(tái)及其有關(guān)概念【典例】1.下列幾何體是棱臺(tái)的是________

(寫出所有滿足題意的序號(hào)).2.在正四棱臺(tái)內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接棱錐,該棱錐以這個(gè)棱臺(tái)的上底面正方形為

a

和

b,棱臺(tái)和這個(gè)內(nèi)接棱錐的側(cè)面積相等,求這個(gè)內(nèi)接棱錐的高,以及本題有解的限制條件.【思維·引】1.看是否同時(shí)滿足以下兩點(diǎn)

:(1)是由棱錐截得的,(2)截面平行于底面.2.可以根據(jù)側(cè)面積相等建立方程,解方程或者根據(jù)方程判斷解的情況即可得出結(jié)論.【解析】1.①③都不是由棱錐截得的,不符合棱臺(tái)的定義,故①③不滿足題意;②中的截面不平行于底面,不符合棱臺(tái)的定義,故②不滿足題意;④符合棱臺(tái)的定義.答案:④2.設(shè)內(nèi)接棱錐的高為

x,則棱錐的斜高

h

=h

=

,棱臺(tái)的斜高.由棱臺(tái)和內(nèi)接棱錐的側(cè)面積相等可得關(guān)于

x

的方程·4a· = ·

4(a+b)

· .解方程可得x= .答:這個(gè)內(nèi)接棱錐的高為

a,b

滿足

0<a<b<

a

時(shí),本題有解.【內(nèi)化·悟】提示:解決與棱臺(tái)概念有關(guān)的問(wèn)題主要從側(cè)面、側(cè)棱、上底面、下底面、頂點(diǎn)、高等方面考慮.角梯形

E

ECC

和

E

EBB

,由斜高、高構(gòu)成的直角梯形

O

E

EO,由高、側(cè) 棱構(gòu)成的直角梯形

O

OCC

. 【類題·通】判斷是否為棱臺(tái)的兩種方法下底面,再看其他面與面的交線是否相交于同一點(diǎn).些說(shuō)法不正確.【習(xí)練·破】1.棱臺(tái)不具有的性質(zhì)是

( )A.兩底面相似 B.側(cè)面都是梯形C.側(cè)棱長(zhǎng)都相等 D.側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)【解析】選

C.棱臺(tái)是由平行于棱錐的底面的平面截棱錐得到的,棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等,所以棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)也不一定相等.A,B,D選項(xiàng)都正確.2.一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示.(1)該幾何體是哪種幾何體?面?【解析】(1)該幾何體是四棱臺(tái).(2)與“?！泵嫦鄬?duì)的是“前”面,與“你”面相對(duì)的是“程”面.【加練·固】1.如圖所示,從三棱臺(tái)

A′B′C′-ABC

中截去三棱錐

A′-ABC,則剩余部分是 ( )A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.三棱臺(tái)【解析】選

B.剩余部分是四棱錐

2.判斷圖中的幾何體是否是棱臺(tái),并說(shuō)明為什么.【解析】

棱臺(tái)的兩個(gè)底面互相平行,且各側(cè)棱延長(zhǎng)一定會(huì)交于一點(diǎn)

,本題可以利用此性質(zhì)延長(zhǎng)各幾何體側(cè)棱

,從而判斷該幾何體是否是棱臺(tái).(1)側(cè)棱延長(zhǎng)后不交于一點(diǎn),故不是棱臺(tái);(2)上下兩個(gè)面不平行,故不是棱臺(tái);(3)上下兩個(gè)面平行,側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn),故是棱臺(tái).類型三 棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題角度

1 棱錐中的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題【典例】側(cè)面都是直角三角形的正棱錐,底面邊長(zhǎng)為

a,則此棱錐的全面積是 ( )A. a B. aC. a D.以上都不對(duì)【思維·引】首先要搞清楚這個(gè)正棱錐只能是正三棱錐,再者側(cè)面應(yīng)是等腰直角三角形.【解析】選

A.因?yàn)檎忮F的同一個(gè)頂點(diǎn)上的各側(cè)面頂角之和小于360°,所以該棱錐只能是正三棱錐,側(cè)面為等腰直角三角形,又因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為a,所以側(cè)棱長(zhǎng)為

a,側(cè)面積為3×

×

a=

a,而底面積為

a,所以全面積為

a.【素養(yǎng)·探】在棱錐的有關(guān)計(jì)算中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算

,通過(guò)對(duì)題設(shè)條件與所求結(jié)論的分析,選擇合適的計(jì)算公式,尋找合理的計(jì)算方法求解.例如:若正三棱錐的斜高是高的

倍,則棱錐的側(cè)面積是底面積的 ( )A.

倍 B.2

倍 C.

倍 D.3

倍【解析】選

B.由已知易求斜高與高的夾角為30°,進(jìn)而求得對(duì)于同一底邊,側(cè)面三角形和底面三角形的高的比為2∶3,由此易得答案.角度

2 棱臺(tái)中的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題【典例】正四棱臺(tái)的高是

12

cm,兩底面邊長(zhǎng)相差10

cm,表面積是

512cm,則兩底面的邊長(zhǎng)分別是________.【思維·引】棱臺(tái)的表面積等于它各個(gè)面的面積之和,且各個(gè)側(cè)面是全等的等腰梯形.【解析】如圖所示,設(shè)正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)

A

B

=a

cm,則下底面邊長(zhǎng)

AB=(a+10)cm,高 OO

=12

cm,所以斜高

EE

= = =13(cm).所以

a+(a+10)+

×4×(2a+10)×13=512.解得

a=2(a=-38

a+10=12,即下底面邊長(zhǎng)為

12

cm,上底面邊長(zhǎng)為

2

cm.答案:2

cm,12

cm【類題·通】1.解決棱錐表面積問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化一是空間幾何體的表面積運(yùn)算

,一般先轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運(yùn)算

;二是正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)加以分析,求解相應(yīng)的元素.2.解決棱臺(tái)表面積問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化一是空間幾何體的表面積運(yùn)算

,一般先轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運(yùn)算

;二是正棱臺(tái)的高、斜高、底面邊心距組成的直角梯形,高、側(cè)棱、底面中心與側(cè)棱端點(diǎn)的連線組成的直角梯形,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面圖形內(nèi)加以分析,求解相應(yīng)的元素.【習(xí)練·破】1.在正方體ABCD-A

B

C

D

中,以頂點(diǎn)A,C,B

,D

為頂點(diǎn)的正三棱錐的全 面積為

4A.

,則正方體的棱長(zhǎng)為

(

)B.2

C.4

D.2【解析】選

A.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為

a,側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為

a,所

以

正

三

棱

錐 A-CB

D

的

棱

長(zhǎng)

為 ·( a)=4 .

a,

它

的

表

面

積

為所以

a=2,即

a=

.2.如圖所示,正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為

4

cm,高與斜高的夾角為30°,求該正四棱錐的側(cè)面積和表面積.【解析】正四棱錐的高PO,斜高

PE,底面邊心距

OE組成一個(gè)Rt△POE.因?yàn)?/p>

OE=2

cm,∠OPE=30°,所以

PE= =4(cm).因此

S

=

×4×AB×PE=

×4×4×4=32(cm),S

=S

+S

=32+4×4=48(cm).【加練·固】已知正六棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為

1

cm

和

2

cm,高是

1

cm,求它的側(cè)面積.【解析】如圖所示,是正六棱臺(tái)的一個(gè)側(cè)面及其高組成的一部分(其余部分省略),則側(cè)面ABB

A

為等腰梯形,OO

為高,且

OO

=1

cm,AB=1

cm,A

B

=2

AB

和 A

B

的中點(diǎn)

C,C

,連接

OC,CC

,O

C

CC

為正六棱臺(tái)的斜高且四邊形 OO

C

C