人教B版必修第四冊 11.1.4 棱錐與棱臺 學案

類型一 棱錐及其有關(guān)概念【典例】1.下面圖形所表示的幾何體中,不是棱錐的為

( )2.所有棱長都相等的正四棱錐和正三棱錐的一個面重合后暴露的面的個數(shù)為________個.1.看是否同時滿足以下兩點:(1)有一個面是多邊形.(2)其余各面都是有一個公共頂點的三角形.2.注意到有兩個正三角形面合并成一個平行四邊形面.【解析】1.選

A.選項

A

中的幾何體不滿足有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形

,所以不是棱錐;選項

B,C,D

中的幾何體是棱錐.2.如圖(1)(2)所示分別是所有棱長都相等的正四棱錐和正三棱錐.圖(3)是它們拼接而成的一個幾何體.故暴露的面數(shù)為

5

個.答案:5【內(nèi)化·悟】提示:解決與棱錐概念有關(guān)的問題主要從棱錐的側(cè)面、側(cè)棱、底面、頂點、高等方面考慮.2.正棱錐中的幾個重要的直角三角形:如圖所示,正棱錐

S-ABCDE

中,點

O

是

CD

均是直角三角形,很明顯,△SMC,△SMD,△OMC

【類題·通】判斷棱錐形狀的兩種方法（1）直接法:利用棱錐的定義,看是否只有一個多邊形,此面為底面,些說法不正確.【習練·破】1.三棱錐的四個面中可以作為底面的有 ( )A.1

個 B.2

個 C.3

個 D.4

個【解析】選

D.三棱錐的每一個面均可作為底面.2.正四

棱錐

的側(cè)棱

長是

底面

邊長的

k

倍,則

k

的取

值范

圍是( )A.(0,+∞) B.C.( ,+∞) D.【解析】選

D.由正四棱錐的定義知,在正四棱錐

S-ABCD

中,S

在底面

ABCD

內(nèi)的射影

O

為正方形的中心,而

SA>OA=

AB,所以 >

.【加練·固】1.在下列多面體中,有

5

個面的是 ( )A.四棱錐 B.五棱錐 C.四棱柱 D.五棱柱【解析】選

A.從側(cè)面和底面去考慮.2.具有下列性質(zhì)的三棱錐中,哪一個是正棱錐 ( )A.頂點在底面上的射影到底面各頂點的距離相等B.底面是正三角形,且側(cè)面都是等腰三角形C.相鄰兩條側(cè)棱間的夾角相等D.三條側(cè)棱長相等,且頂點在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心【解析】選

D.A

錯,由已知能推出頂點在底面上的射影是三角形的外心,但底面三角形不一定是正三角形;B錯,側(cè)面是等腰三角形,不能說明側(cè)棱長一定相等,可能有一個側(cè)面是側(cè)棱和一底邊長相等

,此時推不出正棱錐;C錯,相鄰兩條側(cè)棱間的夾角相等,但側(cè)棱長不一定相等,此時顯然不可能推出正棱錐;D正確,由側(cè)棱長相等保證了頂點在底面上的射影是底面三角形的外心

,而內(nèi)心、外心合一的三角形一定是正三角形.類型二 棱臺及其有關(guān)概念【典例】1.下列幾何體是棱臺的是________

(寫出所有滿足題意的序號).2.在正四棱臺內(nèi)作一個內(nèi)接棱錐,該棱錐以這個棱臺的上底面正方形為

a

和

b,棱臺和這個內(nèi)接棱錐的側(cè)面積相等,求這個內(nèi)接棱錐的高,以及本題有解的限制條件.【思維·引】1.看是否同時滿足以下兩點

:(1)是由棱錐截得的,(2)截面平行于底面.2.可以根據(jù)側(cè)面積相等建立方程,解方程或者根據(jù)方程判斷解的情況即可得出結(jié)論.【解析】1.①③都不是由棱錐截得的,不符合棱臺的定義,故①③不滿足題意;②中的截面不平行于底面,不符合棱臺的定義,故②不滿足題意;④符合棱臺的定義.答案:④2.設(shè)內(nèi)接棱錐的高為

x,則棱錐的斜高

h

=h

=

,棱臺的斜高.由棱臺和內(nèi)接棱錐的側(cè)面積相等可得關(guān)于

x

的方程·4a· = ·

4(a+b)

· .解方程可得x= .答:這個內(nèi)接棱錐的高為

a,b

滿足

0<a<b<

a

時,本題有解.【內(nèi)化·悟】提示:解決與棱臺概念有關(guān)的問題主要從側(cè)面、側(cè)棱、上底面、下底面、頂點、高等方面考慮.角梯形

E

ECC

和

E

EBB

,由斜高、高構(gòu)成的直角梯形

O

E

EO,由高、側(cè) 棱構(gòu)成的直角梯形

O

OCC

. 【類題·通】判斷是否為棱臺的兩種方法下底面,再看其他面與面的交線是否相交于同一點.些說法不正確.【習練·破】1.棱臺不具有的性質(zhì)是

( )A.兩底面相似 B.側(cè)面都是梯形C.側(cè)棱長都相等 D.側(cè)棱延長后交于一點【解析】選

C.棱臺是由平行于棱錐的底面的平面截棱錐得到的,棱錐的側(cè)棱長不一定相等,所以棱臺的側(cè)棱長也不一定相等.A,B,D選項都正確.2.一個幾何體的平面展開圖如圖所示.(1)該幾何體是哪種幾何體?面?【解析】(1)該幾何體是四棱臺.(2)與“?！泵嫦鄬Φ氖恰扒啊泵?與“你”面相對的是“程”面.【加練·固】1.如圖所示,從三棱臺

A′B′C′-ABC

中截去三棱錐

A′-ABC,則剩余部分是 ( )A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.三棱臺【解析】選

B.剩余部分是四棱錐

2.判斷圖中的幾何體是否是棱臺,并說明為什么.【解析】

棱臺的兩個底面互相平行,且各側(cè)棱延長一定會交于一點

,本題可以利用此性質(zhì)延長各幾何體側(cè)棱

,從而判斷該幾何體是否是棱臺.(1)側(cè)棱延長后不交于一點,故不是棱臺;(2)上下兩個面不平行,故不是棱臺;(3)上下兩個面平行,側(cè)棱延長后交于一點,故是棱臺.類型三 棱錐、棱臺的有關(guān)計算問題角度

1 棱錐中的有關(guān)計算問題【典例】側(cè)面都是直角三角形的正棱錐,底面邊長為

a,則此棱錐的全面積是 ( )A. a B. aC. a D.以上都不對【思維·引】首先要搞清楚這個正棱錐只能是正三棱錐,再者側(cè)面應是等腰直角三角形.【解析】選

A.因為正棱錐的同一個頂點上的各側(cè)面頂角之和小于360°,所以該棱錐只能是正三棱錐,側(cè)面為等腰直角三角形,又因為底面邊長為a,所以側(cè)棱長為

a,側(cè)面積為3×

×

a=

a,而底面積為

a,所以全面積為

a.【素養(yǎng)·探】在棱錐的有關(guān)計算中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算

,通過對題設(shè)條件與所求結(jié)論的分析,選擇合適的計算公式,尋找合理的計算方法求解.例如:若正三棱錐的斜高是高的

倍,則棱錐的側(cè)面積是底面積的 ( )A.

倍 B.2

倍 C.

倍 D.3

倍【解析】選

B.由已知易求斜高與高的夾角為30°,進而求得對于同一底邊,側(cè)面三角形和底面三角形的高的比為2∶3,由此易得答案.角度

2 棱臺中的有關(guān)計算問題【典例】正四棱臺的高是

12

cm,兩底面邊長相差10

cm,表面積是

512cm,則兩底面的邊長分別是________.【思維·引】棱臺的表面積等于它各個面的面積之和,且各個側(cè)面是全等的等腰梯形.【解析】如圖所示,設(shè)正四棱臺的上底面邊長

A

B

=a

cm,則下底面邊長

AB=(a+10)cm,高 OO

=12

cm,所以斜高

EE

= = =13(cm).所以

a+(a+10)+

×4×(2a+10)×13=512.解得

a=2(a=-38

a+10=12,即下底面邊長為

12

cm,上底面邊長為

2

cm.答案:2

cm,12

cm【類題·通】1.解決棱錐表面積問題的兩個轉(zhuǎn)化一是空間幾何體的表面積運算

,一般先轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運算

;二是正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形,把問題轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)加以分析,求解相應的元素.2.解決棱臺表面積問題的兩個轉(zhuǎn)化一是空間幾何體的表面積運算

,一般先轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運算

;二是正棱臺的高、斜高、底面邊心距組成的直角梯形,高、側(cè)棱、底面中心與側(cè)棱端點的連線組成的直角梯形,把問題轉(zhuǎn)化到平面圖形內(nèi)加以分析,求解相應的元素.【習練·破】1.在正方體ABCD-A

B

C

D

中,以頂點A,C,B

,D

為頂點的正三棱錐的全 面積為

4A.

,則正方體的棱長為

(

)B.2

C.4

D.2【解析】選

A.設(shè)正方體的棱長為

a,側(cè)面的對角線長為

a,所

以

正

三

棱

錐 A-CB

D

的

棱

長

為 ·( a)=4 .

a,

它

的

表

面

積

為所以

a=2,即

a=

.2.如圖所示,正四棱錐底面正方形的邊長為

4

cm,高與斜高的夾角為30°,求該正四棱錐的側(cè)面積和表面積.【解析】正四棱錐的高PO,斜高

PE,底面邊心距

OE組成一個Rt△POE.因為

OE=2

cm,∠OPE=30°,所以

PE= =4(cm).因此

S

=

×4×AB×PE=

×4×4×4=32(cm),S

=S

+S

=32+4×4=48(cm).【加練·固】已知正六棱臺的兩底面邊長分別為

1

cm

和

2

cm,高是

1

cm,求它的側(cè)面積.【解析】如圖所示,是正六棱臺的一個側(cè)面及其高組成的一部分(其余部分省略),則側(cè)面ABB

A

為等腰梯形,OO

為高,且

OO

=1

cm,AB=1

cm,A

B

=2

AB

和 A

B

的中點

C,C

,連接

OC,CC

,O

C

CC

為正六棱臺的斜高且四邊形 OO

C

C