《勾股定理》模型

《勾股定理》模型（八）一一垂美四邊形模型【結(jié)論】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線ACXBD，AC?BD貝。①AB2+CD2=AD2+BC2.②S四AC?BD【證明】①2②S四ABCD=BD22?a+BD?c=BD(a2②S四ABCD=BD典例1☆☆☆☆☆

定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形⑴概念理解;如圖1,在四邊形ABCD中，如果AB=AD,CB=CD,那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.⑵性質(zhì)探究：如圖2,垂美四邊形ABCD的兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想，并說明理由。圖1、圖N圖3⑶問題解決：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE,BG,GE①求證：△GAB^^CAE.②若AC=2,AB=5，貝。GE=?！窘馕觥克倪呅蜛BCD是垂美四邊形，理由如下：?.?AB=AD,..?點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，?.?CB=CD,..?點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，..?直線AC是線段BD的垂直平分線，AAC1BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形.AB2+CD2=BC2+AD2，理由如下：由勾股定理得AD2+由勾股定理得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,???AB2+CD2=BC2+AD2.(3)如圖，①連接CG,BE.8VZCAG=ZBAE=90°,AZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即/GAB=ZCAE.在△GAB和△CAE中，AG=AC,ZGAB=ZCAE,AB=AE,.?.△GAB￡^CAE(SAS).②?..△gab￡^cae,???Zabg=zaec,

又VZ又VZAEC+ZAME=90°ZBMC=ZAME,AZABG+ZBMC=90°?.ZBNC=90°，即CE±BG,A四邊形CGEB是垂美四邊形，?.?CG2+BE2=CB2+GE2V21V2V2?.?AC=2,AB=5,.?.BC=,CG=2,BE=5,V37???GE2=CG2+BE2-CB2=37,.??GE=,典例2☆☆☆☆☆如圖，^AOB和^COD都是等邊三角形，AO=BO=2,CO=DO=1求AC2+BD2M貌㈣叫姆物)■誑二如8*「部踮碗＞亡航g於CD=/t)1.(★★★★★)數(shù)學(xué)活動(dòng)：圖形的變化問題情境：如圖1,AABC為等腰直角三角形，/ACB=90°,E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與A,C不重合)，以CE為邊在^ABC外作等腰直角△ECD,ZECD=90°，連接BE,AD.猜想線段BE,AD之間的關(guān)系.(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)直接寫出線段BE,AD之間的關(guān)系.合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖1中的等腰直角△ECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，BE交AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O.(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由.拓展延伸：“科技”小組將⑵中的等腰直角△ABC改為Rt^ABC,ZACB=90°,AC=8,BC=6，將等腰直角△ECD改為Rt^ECD,ZECD=90°,CD=4,CE=3.試猜想BD2+AE2是否為定值，結(jié)合圖3說明理由.A1.在四邊形ABCD中，AC±BD，AB=7，CD=11，BC=13，則AD=.勾股定理是計(jì)算的工具，識(shí)別環(huán)境和了解模型背后約結(jié)論至關(guān)重要，等腰直角三角形手拉手全等模型容易出現(xiàn)垂美四邊形答案：小試牛刀1.解析(1)BE=AD，BE±AD.?「△ABC和^CDE都是等腰直角三角形，.\BC=AC,CE=CD,ZBCE=ZACD=90°,?..△BCE￡△ACD,..?BE=AD,ZCEB=ZCDA..\ZCBE+ZCEB=90°,AZCBE+ZCDA=90°,.\BE±AD.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由：「△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,?AC=BC.「△CDE是等腰直角三角形，ZECD=90°,..?CD=CE,??.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,??.ZBCE=ZACD,?..△BCE￡△ACD,..?BE=AD,ZCBE=ZCAD.VZBHC=ZAHO,ZCBH+ZBHC=90°,???ZCAD+ZAHO=90°,?ZAOH=90,.\BE±AD.是定值，理由：VZECD=90°，/ACB=90°,.\ZACB=ZECD,.\zacb+zace=zecd+zace,.\ZBCE=ZACD.VAC=8,BC=6,CD=4,CE=3,.\BC:AC=CE:CD=3:4,「.△bces^acd,.\ZCBE=ZCAD.VZBHC=ZAHO,ZCBH+ZBHC=90°,.\ZCAD+ZAHO=90°,AZAOH=90°,ABE±AD,AZBOD=ZAQE=90°,.\BD2=OB2+OD2,AE2=OA2+OE2,AB2=OA2+OB2,DE2=OE2+OD2,ABD2+AE2=OB2+OD2+OA2+OE2=AB2+DE2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,AAB?=100,在Rt^ECD中，ZECD