2023屆廣東省汕頭市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆廣東省汕頭市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】試題分析：由題意得，所以在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點為在第二象限．故選B．【解析】復(fù)數(shù)的運算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義.2．已知M，N都是實數(shù)，則“”是“”的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】用定義法進行判斷.【詳解】充分性：取，滿足.但是無意義，所以充分性不滿足；必要性：當(dāng)成立時，則有,所以.所以必要性滿足.故選：B3．的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式和恒等變換公式即可計算得出結(jié)果.【詳解】故選：A4．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和”，如.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.在“2，3，5，7，11”這5個素數(shù)中，任取兩個不同的素數(shù)，其和仍為素數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得5個數(shù)中任取2個數(shù)，總可能性，再求得符合題意的可能性，代入概率公式，即可得答案.【詳解】由題意得，5個數(shù)中任取2個數(shù)，可能為（2和3）、（2和5）、（2和7）、（2和11）、（3和5）、（3和7）、（3和11）、（5和7）、（5和11）、（7和11）共10種可能，2個素數(shù)之和仍為素數(shù)，則可能為（2和3）、（2和5）、（2和11）共有3種可能，所求概率.故選：B5．已知數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】在等式中，令，可得，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項和公差均為，因為，故，所以，，則，因此，.故選：C.6．已知的外接圓圓心為O,且,則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用向量的運算法則將已知等式化簡得到，進而得到為正三角形，從而得到結(jié)論.【詳解】如圖，由知O為BC的中點，又∵O為的外接圓圓心，又為正三角形，，在上的投影向量為.故選：A.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的含義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的運算法則，本題是基本知識與技能考查題，主要考查了向量運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章第術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如下圖所示的“曲池”，其高為3，底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，長度為長度的3倍，且線段，則該“曲池”的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)弧長與半徑的關(guān)系，將兩個弧所對應(yīng)的半徑求出，再根據(jù)圓柱的體積公式求出曲池的體積.【詳解】設(shè)對應(yīng)半徑為R，對應(yīng)半徑為r，根據(jù)弧長公式可知，，因為兩個扇環(huán)相同，長度為長度的3倍，所以，因為，所以，所以曲池體積為.故選：D8．已知定義在上的函數(shù)，滿足為奇函數(shù)且為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為 B．函數(shù)的周期為C． D．【答案】C【分析】推導(dǎo)出，，可推導(dǎo)出函數(shù)的周期，可判斷AB選項的正誤；利用函數(shù)的周期性和對稱性可判斷CD選項的正誤.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，令，則，所以，對任意的，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，令，可得，所以，對任意的，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以，，則，所以，函數(shù)的周期為，AB都錯；對任意的，，令，可得，，的值不確定，C對D錯.故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：對稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點和點對稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點對稱，則函數(shù)的周期為.在推導(dǎo)周期時，解答時要注意能夠根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)進行代換，從而推導(dǎo)出函數(shù)的周期.二、多選題9．給出下列命題，其中正確命題為（

）.A．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為4B．回歸方程為時，變量與具有負的線性相關(guān)關(guān)系C．隨機變量服從正態(tài)分布，，則D．相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，值越大，說明模型的擬合效果越好【答案】BD【分析】根據(jù)線性變化后新舊數(shù)據(jù)方差的關(guān)系，線性回歸方程的性質(zhì)，正態(tài)分布，相關(guān)指數(shù)與擬合度的關(guān)系判斷各選項．【詳解】A、若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故A錯誤；B、回歸方程為，可知，則變量與具有負的線性相關(guān)關(guān)系，B正確；C、隨機變量服從正態(tài)分布，，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，所以，∴C錯誤；D、相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，值越大，說明模型的擬合效果越好，因此D正確.故選：BD.【點睛】本題考查線性變化后新舊數(shù)據(jù)方差的關(guān)系，回歸方程與正負相關(guān)性，正態(tài)分布的概率，相關(guān)指數(shù)與擬合程度關(guān)系，掌握相應(yīng)的概念，方法即可求解，屬于基礎(chǔ)題．10．對于定義在上的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列兩個條件：①在區(qū)間上為增函數(shù)；②當(dāng)時，函數(shù)值域也為，則稱是函數(shù)的一個“遞增黃金區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“遞增黃金區(qū)間”的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用題中定義可判斷AB選項；數(shù)形結(jié)合可判斷C選項；利用導(dǎo)數(shù)法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且當(dāng)時，，A不滿足條件；對于B選項，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，即函數(shù)存在“遞增黃金區(qū)間”，B滿足條件；對于C選項，假設(shè)函數(shù)存在“遞增黃金區(qū)間”，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)題意可得，所以，、為函數(shù)與函數(shù)的交點的橫坐標，如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，C滿足條件；對于D選項，假設(shè)函數(shù)存在“遞增黃金區(qū)間”，則，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)題意可得，所以，、為函數(shù)與函數(shù)的交點的橫坐標，事實上，令，其中，則，令可得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故，故方程無解，D不滿足條件.故選：BC.11．已知函數(shù)（）在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，給出下列四個結(jié)論，正確的是（

）A．在區(qū)間上有且僅有個不同的零點B．的最小正周期可能是C．的取值范圍是D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】根據(jù)三角函數(shù)對稱軸情況可得的取值范圍，進而判斷各選項.【詳解】解：由函數(shù)（），令，，則，，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，即有個整數(shù)符合，由，得，即，則，，，，即，，C正確；對于A，，，，當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有個不同的零點；當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有個不同的零點；故A錯誤；對于B，周期，由，則，，又，所以的最小正周期可能是，故B正確；對于D，，，又，又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：BC．12．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的離心率為，分別是雙曲線的左，右頂點，點是雙曲線的右支上位于第一象限的動點，記，的斜率分別為，則（

）A．雙曲線的焦點到其一條漸近線的距離為1時，雙曲線的方程為B．雙曲線的漸近線方程為C．為定值D．存在點，使得【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線C：(a>0，b>0)的離心率為，分別求得，驗證選項B，再由點到直線的距離求出c得雙曲線方程，驗證A，然后根據(jù)斜率公式和點P的坐標，驗證選項C，D.【詳解】因為雙曲線C：(a>0，b>0)的離心率為，所以，，漸近線方程為，故B錯誤；不妨設(shè)雙曲線的焦點到的距離為1，即，解得，又，故，所以雙曲線方程為，故A正確；因為，設(shè)，則，故C正確；，因為點P在第一象限，漸近線方程為，所以，則，所以，所以不存在點P，使得+=1，故錯誤.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的離心率推出，結(jié)合斜率公式、漸近線的斜率，是解決CD選項的關(guān)鍵所在，屬于中檔題.三、填空題13．的展開式中常數(shù)項是______．【答案】481【分析】首先進行變型，結(jié)合二項式展開式的通項公式求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】由得，，當(dāng)時，中的常數(shù)項為；當(dāng)時，中的常數(shù)項為；當(dāng)時，中的常數(shù)項是1，故的展開式中常數(shù)項為481．故答案為：48114．已知是函數(shù)圖象上的點，則到直線的最小距離為_____________．【答案】【分析】分析可知曲線在點處的切線與直線平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點的坐標，再利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)點到直線的距離最小時，曲線在點處的切線與直線平行，對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得，則，此時，點的坐標為，因此，到直線的最小距離為.故答案為：.15．如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別交，兩邊于M，N兩點，且，，則的最小值為___________.【答案】【分析】以為基底，由G是的重心和M，G，N三點共線，可得，利用基本不等式求最小值即可.【詳解】根據(jù)條件：，因為G是的重心，，，又M，G，N三點共線，.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號成立.的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了基底向量、向量的共線定理性質(zhì)運用、基本不等式的應(yīng)用等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.16．如圖，正三棱柱的棱長均為2，點M是側(cè)棱的中點，過與平面垂直的平面與側(cè)面的交線為l，則直線l與直線所成角的余弦值為__________．【答案】【分析】取，的中點E，F(xiàn)，根據(jù)線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理證明平面平面，由此確定直線l，再確定直線l與直線所成角，解三角形求其大小.【詳解】依題意，分別取，的中點E，F(xiàn)，連接，，，，．因為正三棱柱的棱長均為2，所以四邊形為正方形，由點M是側(cè)棱的中點，得．因為平面，所以，，所以平面，所以平面平面，所以過點與平面垂直的平面與側(cè)面的交線l即為．又因為，可得直線l與直線所成角即與所成的角，在中，，，，，所以直線l與直線所成角的余弦值為．四、解答題17．的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積（1）證明：；（2）若，求.【答案】(1)證明見解析；(2)2【分析】（1）由三角形面積公式，結(jié)合題意，得到，化簡整理即可得出結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合（2）中數(shù)據(jù)，得到，再由余弦定理得到，解方程，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得．因為，所以，又因為，所以，因此．（2）由（1）得，所以由余弦定理得，所以，解得因此，即由（1）得，所以，故．【點睛】本題主要考查解三角形，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系，以及余弦定理即可，屬于?？碱}型.18．已知數(shù)列的前項和是，，點均在斜率為的直線上.數(shù)列、滿足.(1)求數(shù)列的通項、；(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后，余下的項按原來的順序組成數(shù)列，且數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）將點點代入直線的斜率可得數(shù)列為等差數(shù)列，然后可求出，再根據(jù)，作差可求出；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求分析出數(shù)列含有的項，最后套用等差和等比數(shù)列的求和公式即可.【詳解】（1）數(shù)列的前項和是，，點均在斜率為直線上，，數(shù)列是以首項，為公差的等差數(shù)列..當(dāng)時，，滿足上式，故數(shù)列、滿足時，，兩式相減得，，滿足上式，故.

（2）設(shè)數(shù)列中前項中有數(shù)列的項，則，，即求滿足的最大正整數(shù)，易得，所以數(shù)列中前106項有數(shù)列的6項，所以19．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面為長方形，且，是的中點，作交于點．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）先證明平面，可得，又，可證明平面，可得，又，即得證；（2）建立空間直角坐標系，由，可得，分別求解兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解【詳解】（1）證明：底面，平面，，由于底面為長方形，，而，平面，平面，，，為的中點，，，平面，，又，，平面．（2）由題意易知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，可得，，，設(shè)，則有，，，，，設(shè)平面的法向量，由，，則令，則，，-由（1）平面，為平面PBC的法向量，設(shè)二面角為，由圖知二面角為銳角則-所以二面角的余弦值為．20．新疆棉以絨長?品質(zhì)好?產(chǎn)量高著稱于世.現(xiàn)有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價為120元/件，總量中有30%將按照原價200元/件的價格銷售給非會員顧客，有50%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客.B類服裝為全棉服飾，成本價為160元/件，總量中有20%將按照原價300元/件的價格銷售給非會員顧客，有40%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客.這兩類服裝剩余部分將會在換季促銷時按照原價6折的價格銷售給顧客，并能全部售完.(1)通過計算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價成本）；(2)某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場A，B兩類服裝均以會員價銷售.假設(shè)每位來店購買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買了服裝的顧客中購買A類服裝的概率為.已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，Y為當(dāng)天銷售這兩類服裝帶來的總收益.求當(dāng)時，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.【答案】(1)B類服裝單件收益的期望更高(2)n可取的最大值為3，（元）【分析】（1）結(jié)合期望公式由單件總盈利減去成本即可計算；（2）由題知B類服裝的銷售件數(shù)符合二項分布，求出對應(yīng)，，……，的值，可確定的最大值；先列出這5件衣服總收益關(guān)于X的關(guān)系式，得，結(jié)合化簡即可求解.【詳解】（1）設(shè)A類服裝?B類服裝的單件收益分別為X1元，X2元，則，，，故B類服裝單件收益的期望更高；（2）由題意可知，，，，，，.因為，，所以當(dāng)時，n可取的最大值為3.（元），因為，所以（元）.21．已知橢圓的左、右焦點分別為，，半焦距為1，以線段為直徑的圓恰好過橢圓的上、下頂點.（1）求橢圓的方程；（2）若關(guān)于直線對稱的射線與分別與橢圓位于軸上方的部分交于，兩點，求證：直線過軸上一定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先求出，之間的等量關(guān)系，再結(jié)合，，間的關(guān)系即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理及已知即可得出，的關(guān)系，進而即可得到直線所過的定點坐標.【詳解】（1）以線段為直徑的圓恰好過