安徽省安慶市第九中學(xué)高一數(shù)學(xué)《34生活中的優(yōu)化問題舉例(第一課時)》教案(必修五)

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例（第一課時）授課目的：1．使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，領(lǐng)悟?qū)?shù)在解決實(shí)責(zé)問題中的作用2．提高將實(shí)責(zé)問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問題的能力授課重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．授課難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．授課過程：一．創(chuàng)立情況生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題平時稱為優(yōu)化問題．經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．二．新課解說導(dǎo)數(shù)在實(shí)質(zhì)生活中的應(yīng)用主若是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)責(zé)問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成真有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：優(yōu)化問題建立數(shù)學(xué)模型用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)模型作答優(yōu)化問題的答案用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題三．典例解析例1．海報版面尺寸的設(shè)計學(xué)校或班級舉行活動，平時需要張貼海報進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。怎樣設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最小？解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為128dm,此時四周空白面積為xS(x)(x4)(1282)1282x5128,x0。xx求導(dǎo)數(shù)，得'(x)2512Sx2。512令S'(x)20，解得x16(x16舍去）。x2于是寬為1281288。x16當(dāng)x(0,16)時，S'(x)<0；當(dāng)x(16,)時，S'(x)>0.因此，x16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。因此，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響某制造商制造并銷售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每銷售1mL的飲料，制造商可盈利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大多數(shù)徑為6cm問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？解：由于瓶子的半徑為r，因此每瓶飲料的利潤是yfr0.24r30.8r20.8r3r2,0r633令fr0.8(r22r)0解得r2（r0舍去）當(dāng)r0,2時，fr0；當(dāng)r2,6時，fr0．當(dāng)半徑r2時，fr0它表示fr單調(diào)遞加，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑r2時，fr0它表示fr單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低．（1）半徑為2cm時，利潤最小，這時f20，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值．2）半徑為6cm時，利潤最大．例3．磁盤的最大儲藏量問題問題：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的儲藏區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形地域．1）是不是r越小，磁盤的儲藏量越大？2）r為多少時，磁盤擁有最大儲藏量（最外面的磁道不儲藏任何信息）？解：由題意知：儲藏量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。設(shè)儲藏區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不儲藏任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)Rr。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大儲藏量，最內(nèi)一條磁道m(xù)2r必定裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)。因此，磁盤總儲藏量nf(r)Rr×2r2r(Rr)mnmn（1）它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的儲藏量越大．(2）為求f(r)的最大值，計算f(r)0．f(r)22rRmn令f(r)0，解得rR2R時，f(r)0；當(dāng)rR當(dāng)r時，f(r)0．22因此rR2R22時，磁盤擁有最大儲藏量。此時最大儲藏量為mn4例4．圓柱形金屬飲料罐的容積一準(zhǔn)時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣采用，才能使所用的資料最??？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得hV，則VR22V22S(R)=2πRR2+2πR=R+2πR令s(R)2V+4πR=0R2解得，R=3V，從而h=V=V=34V=23V2R2(3V)22即h=2R由于S(R)只有一個極值，因此它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用資料最省四．課堂練習(xí)1．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若是所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．

（高為

1.2m，最大容積

1.8m3）2．課本練習(xí)五．回顧總結(jié)1．利用