2023屆福建省福州第三中學(xué)高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆福建省福州第三中學(xué)高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先分別求出集合，再求交集即可.【詳解】,所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題，集合求交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．已知復(fù)數(shù)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由求出即可得出.【詳解】由，可得，解得或0，所以是的充分不必要條件.故選：A.3．把120個(gè)面包全部分給5個(gè)人，使每人所得面包個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且較大的三份之和是較小的兩份之和的7倍，則最小一份的面包個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．5 C．6 D．11【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的基本量和，列等式，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由條件可知，，，即，即，解得：，，所以最小一份的面包個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A4．為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行．若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2個(gè)階段，且主題班會(huì)、主題團(tuán)日安排的階段相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．12種 B．28種 C．20種 D．16種【答案】C【分析】分中心組學(xué)習(xí)在第1階段和第2階段分別求解，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可．【詳解】若中心組學(xué)習(xí)安排在第1階段，則其余四種活動(dòng)的安排方法有（種）；若中心組學(xué)習(xí)安排在第2階段，則主題班會(huì)、主題團(tuán)日可安排在第3，4階段或者第4，5階段，專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日分別安排在剩下的2個(gè)階段，不同的安排方法有（種）．故共有種不同的安排方案，故選：C．5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到在上單調(diào)遞增，則，然后再逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，令，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，而，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，而，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿足，而，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以D正確，故選：D6．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓錐側(cè)面積公式推得，再由側(cè)面展開圖的圓心角公式推得，由此得到兩圓錐高分別為與，從而求得兩圓錐體積的比值.【詳解】依題意，不妨設(shè)甲圓錐的底面半徑為，高為，乙圓錐底面半徑為，高為，兩者母線長(zhǎng)為，則，由得，故，因?yàn)閭?cè)面展開圖的圓心角之和為，所以，故，所以，，所以.故選：A..7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)題意可得三點(diǎn)共線，設(shè)，則，在中，分別求得，再利用余弦定理可得的齊次式，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以為等邊三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故選：B.8．若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷兩點(diǎn)分別在分段函數(shù)的兩段解析式上，再由對(duì)稱推得且，構(gòu)造函數(shù)，則，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性及最值，從而求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋诟髯缘亩x域上單調(diào)遞增，所以存在的關(guān)于直線對(duì)稱的這兩點(diǎn)不可能都在同一個(gè)解析式上，不妨設(shè)這兩點(diǎn)為，且在上，在上，則，，，且，所以，，，由得，即，故，又由得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)椋?，?故選：B.二、多選題9．假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的智能手機(jī)中，市場(chǎng)占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表：品牌甲乙其他市場(chǎng)占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率80%90%70%在該市場(chǎng)中任意買一部智能手機(jī)，用，，分別表示買到的智能手機(jī)為甲品牌?乙品牌?其他品牌，B表示買到的是優(yōu)質(zhì)品，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合條件概率公式、全概率公式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)橐移放剖袌?chǎng)占有率為30%，所以，因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)B不正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)樗赃x項(xiàng)D正確，故選：ACD10．已知圓，則（

）A．若圓與軸相切，則B．若直線平分圓的周長(zhǎng)，則C．圓的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為D．圓與圓可能外切【答案】ACD【分析】由表達(dá)式求出圓心和半徑，對(duì)A，由圓與軸相切，可得，化簡(jiǎn)可求值；對(duì)B，可判斷圓心過(guò)直線，化簡(jiǎn)可求；對(duì)C，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)可求距離最值；對(duì)D，結(jié)合圓心距離與外切關(guān)系建立等式，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷.【詳解】對(duì)于圓，圓心為，半徑，對(duì)A，圓與軸相切，則，化簡(jiǎn)可得，故A正確；對(duì)B，若直線平分圓的周長(zhǎng)，說(shuō)明圓心過(guò)直線，將代入可得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，結(jié)合點(diǎn)到點(diǎn)距離公式可得圓的圓心到原點(diǎn)的距離，當(dāng)時(shí)取到最小值，故C正確；對(duì)D，圓的圓心為，半徑為，若圓與圓外切，則，令，函數(shù)顯然連續(xù)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必然存在，使得，故圓與圓可能外切，故D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足則（

）A．B．C．關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AD【分析】在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，由相反的函數(shù)值，得對(duì)稱中心，判斷A，由題意得出周期的范圍，即可求出的范圍，在上至多有3個(gè)完整周期，而在1個(gè)完整周期內(nèi)只有1解判斷C，由函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定周期的范圍從而得范圍，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間得出范圍后判斷D．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)且，，所以，故A正確；由在區(qū)間上單調(diào)，，得，所以，即，所以，故B錯(cuò)誤；所以在上至多有個(gè)完整周期，而在1個(gè)完整周期內(nèi)只有1解，故在上最多有個(gè)實(shí)數(shù)解，因此C錯(cuò)誤；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，又，即，即，所以，D正確．故選：AD．12．棱長(zhǎng)為4的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，若，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．二面角的正切值的取值范圍為C．當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面為等腰梯形D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)平面，得到到平面的距離為定值，可判斷A正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，得到二面角的平面角大于，可判斷B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí)，得到，可判斷C正確；在上取點(diǎn)H，使，連接，結(jié)合，列出方程，可判斷D正確.【詳解】可得G是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，又平面，點(diǎn)G到平面的距離為定值，所以三棱錐，故A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G和點(diǎn)C重合，此時(shí)二面角的平面角大于，如下圖所示，此時(shí)二面角的正切值小于0，故B不正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即點(diǎn)G為的中點(diǎn)，如下圖所示，連接，此時(shí)，在正方體，分別為棱，的中點(diǎn)，則且，在直角中，可得，同理可得，則四邊形為等腰梯形故C正確；對(duì)于D，如下圖所示，連接,交EF于J，則J為EF的中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接GH，則，平面，則，設(shè)三棱錐的外接球的球心為,則，，得點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且平行于的直線上，設(shè)，，，解得，，三棱錐的外接球的表面積為，則D正確.故選：ACD三、填空題13．已知，，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)正余弦的二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)求解即可【詳解】因?yàn)椋?，由正余弦的二倍角公式可得，又，所以，故，故答案為?．14．已知，是與方向相同的單位向量.若向量在方向上的投影向量是，則______.【答案】【分析】先求得在方向上的投影，再乘以與方向相同的單位向量，即得到投影向量，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得到的值.【詳解】設(shè)與的夾角為，則在方向上的投影為，所以向量在方向上的投影向量為，故，故.故答案為：.15．若對(duì)于圓上任意的點(diǎn)，直線上總存在不同兩點(diǎn)，，使得，則的最小值為______.【答案】10【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線上任意兩點(diǎn)為直徑的圓包含圓，結(jié)合直線上與圓最近的點(diǎn)，與圓上點(diǎn)距離的范圍，即可確定的最小值.【詳解】由題設(shè)圓，故圓心，半徑為，所以到的距離，故直線與圓相離，故圓上點(diǎn)到直線的距離范圍為，圓上任意的點(diǎn)，直線上總存在不同兩點(diǎn)、，使，即以為直徑的圓包含圓，至少要保證直線上與圓最近的點(diǎn)，與圓上點(diǎn)距離最大值為半徑的圓包含圓，所以.故答案為：10四、雙空題16．如圖所示陰影部分是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正三角形的邊長(zhǎng)為4，取正三角形各邊的四等分點(diǎn)，，，作第2個(gè)正三角形，然后再取正三角形各邊的四等分點(diǎn)，，，作第3個(gè)正三角形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖陰影部分，設(shè)三角形面積為，后續(xù)各陰影三角形面積依次為，，…，，….則___________，數(shù)列的前項(xiàng)和__________【答案】

【分析】設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正三角形邊長(zhǎng)依次為，，…，，進(jìn)而由余弦定理得，在結(jié)合三角形面積公式得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求即可.【詳解】設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正三角形邊長(zhǎng)依次為，，…，，由題意，，由于，所以，于是數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列故答案為：；五、解答題17．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，整理可得數(shù)列的遞推公式，利用累乘法，可得答案；（2）利用分組求和法以及等差數(shù)列求和公式，可得答案.【詳解】（1）由是公差為的等差數(shù)列，且，則，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，整理可得，故，將代入上式，，故的通項(xiàng)公式為.（2）由，則.18．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，且.(1)求證：平面平面；(2)若，，求直線PB與平面ADP所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知，根據(jù)條件先推導(dǎo)，然后再根據(jù)，所以，結(jié)合，使用線面垂直的判定定理證明平面，然后再使用面面垂直的判定定理證明面面垂直即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解出平面的法向量，然后借助求解直線PB與平面ADP所成角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，所以平面平?得證.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為坐標(biāo)軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令可得平面的法向量為，設(shè)直線PB與平面ADP所成角為，則.直線PB與平面ADP所成角的正弦值為.19．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再借助余弦定理計(jì)算作答.（2）利用正弦定理將周長(zhǎng)表示為角C的函數(shù)，由（1）及銳角三角形條件結(jié)合三角函數(shù)變換和性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理及得：，整理得：，由余弦定理得：，而，解得，所以.（2）由（1）知，即，因?yàn)殇J角三角形，即，解得，由正弦定理得：，則，當(dāng)時(shí)，，，而，即，因此，，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍是.20．某學(xué)校為鼓勵(lì)家校互動(dòng)，與某手機(jī)通訊商合作，為教師辦理流量套餐．為了解該校教師手機(jī)流量使用情況，通過(guò)抽樣，得到100位教師近2年每人手機(jī)月平均使用流量L（單位：M）的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如下：若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量，并將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題．(1)從該校教師中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至多有1人手機(jī)月使用流量不超過(guò)300M的概率；(2)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：套餐名稱月套餐費(fèi)/元月套餐流量/MA20300B30500C38700這三款套餐都有如下附加條款：套餐費(fèi)月初一次性收取，手機(jī)使用流量一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充值200M流量，資費(fèi)20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值200M流量，資費(fèi)20元，以此類推，如果當(dāng)月流量有剩余，系統(tǒng)將自動(dòng)清零，無(wú)法轉(zhuǎn)入次月使用．學(xué)校欲訂購(gòu)其中一款流量套餐，為教師支付月套餐費(fèi)，并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%，其余部分由教師個(gè)人承擔(dān)，問(wèn)學(xué)校訂購(gòu)哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)？說(shuō)明理由．【答案】(1)0.784(2)學(xué)校訂購(gòu)B套餐最經(jīng)濟(jì)，理由見解析【分析】（1）設(shè)這3人中手機(jī)月使用流量不超過(guò)300M的人數(shù)為X，由圖可求出教師手機(jī)月使用流量不超過(guò)300M的概率P，則其服從二項(xiàng)分布，則所求概率為；（2）對(duì)每種套餐，求出學(xué)?？赡艹袚?dān)的月費(fèi)用及其對(duì)應(yīng)的概率，則可求月費(fèi)用的期望，比較即可【詳解】（1）記“從該校隨機(jī)抽取1位教師，該教師手機(jī)月使用流量不超過(guò)300M”為事件D．依題意，．從該校教師中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中手機(jī)月使用流量不超過(guò)300M的人數(shù)為X，則，所以從該校教師中隨機(jī)抽取3人，至多有1人手機(jī)月使用流量不超過(guò)300M的概率為．（2）依題意，從該校隨機(jī)抽取1位教師，該教師手機(jī)月使用流量的概率為，的概率為．當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)A套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為元，則的所有可能取值為20，35，50，且，，，所以的分布列為203550P0.30.60.1所以（元）．當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)B套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為元，則的所有可能取值為30，45，且，，所以的分布列為3045P0.90.1所以（元）．當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)C套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為元，則的所有可能取值為38，且，所以（元）．因?yàn)?，所以學(xué)校訂購(gòu)B套餐最經(jīng)濟(jì)．21．已知橢圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）由題意可得，，求出，從而可得橢圓方程，（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討