概率統(tǒng)計(jì)學(xué)-隨機(jī)變量及其分布

第二章隨機(jī)變量及其分布

為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果例

拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來(lái)描述例電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量X

來(lái)描述1§2.1隨機(jī)變量的概念定義設(shè)E是一隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是它的樣本空間，則稱Ω上的單值實(shí)值函數(shù)X()為隨機(jī)變量若

隨機(jī)變量的概念2隨機(jī)變量是上的映射，這個(gè)映射具有如下的特點(diǎn)：定義域:

Ω

隨機(jī)性

:隨機(jī)變量X

的可能取值不止一個(gè)，試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值概率特性:X

以一定的概率取某個(gè)值或某些值3隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量—其中一種重要的類型為

連續(xù)性隨機(jī)變量

任何隨機(jī)現(xiàn)象可被隨機(jī)變量描述

借助微積分方法深入討論引入隨機(jī)變量重要意義4隨機(jī)變量的分布函數(shù)5定義設(shè)X為隨機(jī)變量,對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x,隨機(jī)事件的概率定義了一個(gè)x的實(shí)值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)，記為F(x),即分布函數(shù)的性質(zhì)6

F(x)單調(diào)不減，即（為什么）且

F(x)右連續(xù)，即（]ab]]（]7利用分布函數(shù)可以計(jì)算例8設(shè)

隨機(jī)變量

X的分布函數(shù)：計(jì)算解§2.3離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義若隨機(jī)變量X

的可能取值是有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè)，則稱X

為離散型隨機(jī)變量描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即離散型隨機(jī)變量的概念10概率分布的性質(zhì)11

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值

xk處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度

pk離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)12?1?2??k?k+1?o?1?o?o?oF(X)13例設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的途中需經(jīng)過(guò)4盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈獨(dú)立地以概率p允許汽車通過(guò)。令

X

表示首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，求X

的概率分布與p=0.4時(shí)的分布函數(shù)。出發(fā)地目的地解14?0?1?2?3?4xx]]]?]??kpk012340.60.4*0.60.42*0.60.43*0.60.4415?0?1?2?3?4xF(x)o?o?1?o?o?o16概率分布或分布函數(shù)可用來(lái)計(jì)算有關(guān)事件的概率例在上例中，分別用概率分布與分布函數(shù)計(jì)算下述事件的概率：1718Poisson定理說(shuō)明：若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小，而適中，則可以用近似公式(2)二項(xiàng)分布背景：n

重Bernoulli試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)感興趣的事件A

在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)——X是一離散型隨機(jī)變量若P(A)=p,則二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見(jiàn),當(dāng)

時(shí)，分布取得最大值此時(shí)的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?820設(shè).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見(jiàn),當(dāng)時(shí)，分布取得最大值0.22

?21

二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)則稱為最可能出現(xiàn)的次數(shù)22當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時(shí)，在k=[(n+1)p]與

[(n+1)p]–1處的概率取得最大值對(duì)固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對(duì)稱分布；固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對(duì)稱23例獨(dú)立射擊5000次，每次的命中率為0.001,求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；

(2)命中次數(shù)不少于2次的概率.(2)令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)解

(1)

k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=524其中通過(guò)MatLab計(jì)算：cdf('bino',1,5000,0.001)=0.0404或計(jì)算和：pdf('bino',1,5000,0.001)=0.0336cdf('bino',0,5000,0.001)=0.0067Possion定理則對(duì)固定的

k設(shè)Poisson定理說(shuō)明：若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小，而適中，則可以用近似公式26解令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)令利用Poisson定理再求例

(2)27此結(jié)果也可通過(guò)MatLab計(jì)算Poisson分布pdf('poiss',0,5)=0.0067pdf('poiss',1,5)=0.0337得到在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n

=20,p=0.05時(shí)，可用上述公式近似計(jì)算；而當(dāng)n

=100,p=0.01時(shí),精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二項(xiàng)分布按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01λ=np=128解

(1)設(shè)需要配備N

個(gè)維修工人,設(shè)X

為90臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則X~B(90,0.01)

設(shè)有同類型設(shè)備90臺(tái)，每臺(tái)工作相互獨(dú)立，每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障可由一個(gè)人獨(dú)立維修，每人同時(shí)也只能維修一臺(tái)設(shè)備.問(wèn)至少要配備多少維修工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?(2)問(wèn)3個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)還是3個(gè)人各自獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率低？例29令則30通過(guò)MatLab計(jì)算得到如果N=4:如果N=3:pdf('poiss',0,0.9)=0.4066pdf('poiss',1,0.9)=0.3659pdf('poiss',2,0.9)=0.1647pdf('poiss',3,0.9)=0.0494pdf('poiss',4,0.9)=0.0111…cdf('poiss',3,0.9)=0.9865cdf('poiss',4,0.9)=0.9977三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為32設(shè)30臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為

Y~B(30,0.01)設(shè)每個(gè)人獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備，第i個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件Ai

則三個(gè)人各獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件故

三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好！33在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機(jī)變量的概率分布—Poisson分布34(3)Poisson分布或或若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布，記作在一定時(shí)間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；大賣場(chǎng)的顧客數(shù)；應(yīng)用場(chǎng)合電話總機(jī)接到的電話次數(shù)；35一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流,若它們滿足一定的條件，則稱為