概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題與答案

.PAGE.概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案習題四1.設(shè)隨機變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E〔X,E〔X2,E〔2X+3.[解]<1><2><3>2.已知100個產(chǎn)品中有10個次品,求任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學期望、方差.[解]設(shè)任取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)為X,則X的分布律為X012345P故3.設(shè)隨機變量X的分布律為X101Pp1p2p3且已知E〔X=0.1,E<X2>=0.9,求P1,P2,P3.[解]因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得4.袋中有N只球,其中的白球數(shù)X為一隨機變量,已知E〔X=n,問從袋中任取1球為白球的概率是多少？[解]記A={從袋中任取1球為白球},則5.設(shè)隨機變量X的概率密度為f〔x=求E〔X,D〔X.[解]故6.設(shè)隨機變量X,Y,Z相互獨立,且E〔X=5,E〔Y=11,E〔Z=8,求下列隨機變量的數(shù)學期望.〔1U=2X+3Y+1；〔2V=YZ4X.[解]<1><2>7.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立,且E〔X=E〔Y=3,D〔X=12,D〔Y=16,求E〔3X2Y,D〔2X3Y.[解]<1><2>8.設(shè)隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=試確定常數(shù)k,并求E〔XY.[解]因故k=2.9.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,其概率密度分別為fX〔x=fY〔y=求E〔XY.[解]方法一：先求X與Y的均值由X與Y的獨立性,得方法二：利用隨機變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨立,故聯(lián)合密度為于是10.設(shè)隨機變量X,Y的概率密度分別為fX〔x=fY〔y=求〔1E〔X+Y;〔2E〔2X3Y2.[解]從而<1><2>11.設(shè)隨機變量X的概率密度為f〔x=求〔1系數(shù)c;〔2E〔X;〔3D〔X.[解]<1>由得.<2><3>故12.袋中有12個零件,其中9個合格品,3個廢品.安裝機器時,從袋中一個一個地取出〔取出后不放回,設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機變量X,求E〔X和D〔X.[解]設(shè)隨機變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù),則X的可能取值為0,1,2,3.為求其分布律,下面求取這些可能值的概率,易知于是,得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X〔以年計服從指數(shù)分布,概率密度為f〔x=為確保消費者的利益,工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺設(shè)備,工廠獲利100元,而調(diào)換一臺則損失200元,試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學期望.[解]廠方出售一臺設(shè)備凈盈利Y只有兩個值：100元和200元故<元>.14.設(shè)X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量,且有E〔Xi=μ,D〔Xi=σ2,i=1,2,…,n,記,S2=.〔1驗證=μ,=；〔2驗證S2=；〔3驗證E〔S2=σ2.[證]<1><2>因故.<3>因,故同理因,故.從而15.對隨機變量X和Y,已知D〔X=2,D〔Y=3,Cov<X,Y>=1,計算：Cov〔3X2Y+1,X+4Y3.[解]<因常數(shù)與任一隨機變量獨立,故Cov<X,3>=Cov<Y,3>=0,其余類似>.16.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=試驗證X和Y是不相關(guān)的,但X和Y不是相互獨立的.[解]設(shè).同理E<Y>=0.而,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨立性,當|x|≤1時,當|y|≤1時,.顯然故X和Y不是相互獨立的.17.設(shè)隨機變量〔X,Y的分布律為XXY1011011/81/81/81/801/81/81/81/8驗證X和Y是不相關(guān)的,但X和Y不是相互獨立的.[解]聯(lián)合分布表中含有零元素,X與Y顯然不獨立,由聯(lián)合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律如下表..X101PY101PXY101P..由期望定義易得E〔X=E〔Y=E〔XY=0.從而E<XY>=E<X>·E<Y>,再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0,從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨立的.18.設(shè)二維隨機變量〔X,Y在以〔0,0,〔0,1,〔1,0為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布,求Cov〔X,Y,ρXY.[解]如圖,SD=,故〔X,Y的概率密度為題18圖從而同理而所以.從而19.設(shè)〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求協(xié)方差Cov〔X,Y和相關(guān)系數(shù)ρXY.[解]從而同理又故20.已知二維隨機變量〔X,Y的協(xié)方差矩陣為,試求Z1=X2Y和Z2=2XY的相關(guān)系數(shù).[解]由已知知：D<X>=1,D<Y>=4,Cov<X,Y>=1.從而故21.對于兩個隨機變量V,W,若E〔V2,E〔W2存在,證明：［E〔VW］2≤E〔V2E〔W2.這一不等式稱為柯西許瓦茲〔CouchySchwarz不等式.[證]令顯然可見此關(guān)于t的二次式非負,故其判別式Δ≤0,即故22.假設(shè)一設(shè)備開機后無故障工作的時間X服從參數(shù)λ=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時開機,出現(xiàn)故障時自動關(guān)機,而在無故障的情況下工作2小時便關(guān)機.試求該設(shè)備每次開機無故障工作的時間Y的分布函數(shù)F〔y.[解]設(shè)Y表示每次開機后無故障的工作時間,由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時間X~E<λ>,E<X>==5.依題意Y=min<X,2>.對于y<0,f<y>=P{Y≤y}=0.對于y≥2,F<y>=P<X≤y>=1.對于0≤y<2,當x≥0時,在<0,x>內(nèi)無故障的概率分布為P{X≤x}=1eλx,所以F<y>=P{Y≤y}=P{min<X,2>≤y}=P{X≤y}=1ey/5.23.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后,求：〔1乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學期望；〔2從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.[解]〔1Z的可能取值為0,1,2,3,Z的概率分布為,Z=k0123Pk因此,<2>設(shè)A表示事件"從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品",根據(jù)全概率公式有24.假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X〔毫米服從正態(tài)分布N〔μ,1,內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品,其余為合格品.銷售每件合格品獲利,銷售每件不合格品虧損,已知銷售利潤T〔單位：元與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系T=問：平均直徑μ取何值時,銷售一個零件的平均利潤最大？[解]故得兩邊取對數(shù)有解得<毫米>由此可得,當u=10.9毫米時,平均利潤最大.25.設(shè)隨機變量X的概率密度為f<x>=對X獨立地重復(fù)觀察4次,用Y表示觀察值大于π/3的次數(shù),求Y2的數(shù)學期望.〔2002研考[解]令則.因為及,所以,從而26.兩臺同樣的自動記錄儀,每臺無故障工作的時間Ti<i=1,2>服從參數(shù)為5的指數(shù)分布,首先開動其中一臺,當其發(fā)生故障時停用而另一臺自動開啟.試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T=T1+T2的概率密度fT<t>,數(shù)學期望E〔T及方差D〔T.[解]由題意知：因T1,T2獨立,所以fT<t>=f1<t>*f2<t>.當t<0時,fT<t>=0;當t≥0時,利用卷積公式得故得由于Ti~E<5>,故知E<Ti>=,D<Ti>=<i=1,2>因此,有E<T>=E<T1+T2>=.又因T1,T2獨立,所以D〔T=D〔T1+T2=.27.設(shè)兩個隨機變量X,Y相互獨立,且都服從均值為0,方差為1/2的正態(tài)分布,求隨機變量|XY|的方差.[解]設(shè)Z=XY,由于且X和Y相互獨立,故Z~N〔0,1.因而,所以.28.某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為p<0<p<1>,各產(chǎn)品合格與否相互獨立,當出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時,即停機檢修.設(shè)開機后第一次停機時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為X,求E〔X和D〔X.[解]記q=1p,X的概率分布為P{X=i}=qi1p,i=1,2,…,故又所以題29圖29.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布在點〔0,1,〔1,0及〔1,1為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布.〔如圖,試求隨機變量U=X+Y的方差.[解]D<U>=D<X+Y>=D<X>+D<Y>+2Cov<X,Y>=D<X>+D<Y>+2[E<XY>E<X>·E<Y>].由條件知X和Y的聯(lián)合密度為從而因此同理可得于是30.設(shè)隨機變量U在區(qū)間[2,2]上服從均勻分布,隨機變量X=Y=試求〔1X和Y的聯(lián)合概率分布；〔2D〔X+Y.[解]〔1為求X和Y的聯(lián)合概率分布,就要計算〔X,Y的4個可能取值<1,1>,<1,1>,<1,1>及<1,1>的概率.P{x=1,Y=1}=P{U≤1,U≤1}P{X=1,Y=1}=P{U≤1,U>1}=P{}=0,P{X=1,Y=1}=P{U>1,U≤1}.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.<2>因,而X+Y及〔X+Y2的概率分布相應(yīng)為,.從而所以31.設(shè)隨機變量X的概率密度為f<x>=,〔∞<x<+∞<1>求E〔X及D〔X；〔2求Cov<X,|X|>,并問X與|X|是否不相關(guān)？〔3問X與|X|是否相互獨立,為什么？[解]<1><2>所以X與|X|互不相關(guān).<3>為判斷|X|與X的獨立性,需依定義構(gòu)造適當事件后再作出判斷,為此,對定義域∞<x<+∞中的子區(qū)間〔0,+∞上給出任意點x0,則有所以故由得出X與|X|不相互獨立.32.已知隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布N〔1,32和N〔0,42,且X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=1/2,設(shè)Z=.〔1求Z的數(shù)學期望E〔Z和方差D〔Z；〔2求X與Z的相關(guān)系數(shù)ρXZ；〔3問X與Z是否相互獨立,為什么？[解]<1>而所以<2>因所以<3>由,得X與Z不相關(guān).又因,所以X與Z也相互獨立.33.將一枚硬幣重復(fù)擲n次,以X和Y表示正面向上和反面向上的次數(shù).試求X和Y的相關(guān)系數(shù).[解]由條件知X+Y=n,則有D〔X+Y=D〔n=0.再由X~B<n,p>,Y~B<n,q>,且p=q=,從而有所以故=1.34.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YYX101010.070.180.150.080.320.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ.[解]由已知知E<X>=0.6,E<Y>=0.2,而XY的概率分布為YX101P0.080.720.2所以E〔XY=0.08+0.2=0.12Cov<X,Y>=E<XY>E<X>·E<Y>=0.120.6×0.2=0從而=035.對于任意兩事件A和B,0<P<A><1,0<P<B><1,則稱ρ=為事件A和B的相關(guān)系數(shù).試證：〔1事件A和B獨立的充分必要條件是ρ=0；〔2|ρ|≤1.[證]〔1由ρ的定義知,ρ=0當且僅當P<AB>P<A>·P<B>=0.而這恰好是兩事件A、B獨立的定義,即ρ=0是A和B獨立的充分必要條件.<2>引入隨機變量X與Y為由條件知,X和Y都服從01分布,即從而有E<X>=P<A>,E<Y>=P<B>,D<X>=P<A>·P<>,D<Y>=P<B>·P<>,Cov<X,Y>=P<AB>P<A>·P<B>所以,事件A和B的相關(guān)系數(shù)就是隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù).于是由二元隨機變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可得|ρ|≤1.36.設(shè)隨機變量X的概率密度為fX<x>=令Y=X2,F