近世代數(shù)基本概念課件

近世代數(shù)基礎(chǔ)(Abstractalgebra)高度的抽象是近世代數(shù)的顯著特點(diǎn),它的基本概念:群、環(huán)、域,對(duì)初學(xué)者也是很抽象的概念,因此,在本課程的學(xué)習(xí)中,大家要多注意實(shí)例,以加深對(duì)概念的正確理解。近世代數(shù)的習(xí)題,因抽象也都有一定的難度,但習(xí)題也是鞏固和加深理解不可缺少的環(huán)節(jié),因此,應(yīng)適當(dāng)做一些習(xí)題,為克服做習(xí)題的困難,應(yīng)注意教材內(nèi)容和方法以及習(xí)題課內(nèi)容。2018/11/25近世代數(shù)基礎(chǔ)(Abstractalgebra)1引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源1)代數(shù)方程的解兩千多年之前古希臘時(shí)代數(shù)學(xué)家就能夠利用開方法解二次方程ax2+b+e=0。16世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期之后,求解高次方程成為歐洲代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)中心問題。1545年意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano(卡爾達(dá)諾)在他的著作《大術(shù)》中給出了三、四次多項(xiàng)式的求根公式,此后的將近三個(gè)世紀(jì)中人們力圖發(fā)現(xiàn)五次方程的一般求解方法,但是都失敗了。直到1824年一位年青的挪威數(shù)學(xué)家NAbe才證明五次和五次以上的一般代數(shù)方程沒有求根公式。但是人們?nèi)匀徊恢朗裁礂l件之下一個(gè)已知的多項(xiàng)式能借助加、減、乘、除2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源2引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源有理運(yùn)算以及開方的方法求出它的所有根,什么條件之下不能求根。最終解決這一問題的是法國年青數(shù)學(xué)家Galois(18111832),Galois引入了擴(kuò)域以及群的概念,并采用了一種全新的理論方法發(fā)現(xiàn)了高次代數(shù)方程可解的法則。在Galois之后群與域的理論逐漸成為現(xiàn)代化數(shù)學(xué)研究的重要領(lǐng)域,這是近世代數(shù)產(chǎn)生的一個(gè)最重要的來源。2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源3引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源被譽(yù)為天才數(shù)學(xué)家的伽羅瓦是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答,解決了困擾數(shù)學(xué)羅家們長達(dá)數(shù)百年之久的問題。群論開辟了全全新的研究領(lǐng)域,以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算,把從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式,并把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類,使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支,對(duì)近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源4引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源2)Hamilton四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)長期以來人們對(duì)于虛數(shù)的意義存在不同的看法,后來發(fā)現(xiàn)可以把復(fù)數(shù)看成二元數(shù)(ab)=+b,其中產(chǎn)=-1。二元數(shù)按(4b)±(4=(士eb士,(b)c,=(ad+bege-bd的法則進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,二元數(shù)具有直觀的幾何意義;與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。二元數(shù)理論產(chǎn)生的一個(gè)直接問題是:是否存在三元數(shù)?經(jīng)過長時(shí)間探索,力圖尋求三元數(shù)的努力失敗了。但是愛愛爾蘭數(shù)學(xué)家W.Hamilton(1805-1865于1843年2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源5引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源成功地發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。四元數(shù)系與實(shí)數(shù)系、復(fù)數(shù)系一樣可以作加減乘除四則運(yùn)算,但與以前的數(shù)系相比,四元數(shù)是一個(gè)乘法不交換的數(shù)系。從這點(diǎn)來說四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)使人們對(duì)于數(shù)系的代數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)提高了一大步。四元數(shù)代數(shù)也成為抽象代數(shù)研究的一個(gè)新的起點(diǎn),它是近世代數(shù)的另個(gè)重要理論來源。2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源6第一章基本概念§1.集合§6.分配律§2映射■§7.一一映射、變換§3.代數(shù)運(yùn)算§8.同態(tài)§4.結(jié)合律§9.同構(gòu)、自同構(gòu)§5.交換律§10.等價(jià)關(guān)系與集合的分類2018/11/25第一章基本概念7§1集合集合若干個(gè)固定事物的全體.組成集合的對(duì)象稱為集合的元素。集合一般用大寫字母A,B,C,…來表示。集合的元素一般用小寫字母a,b,c,….表示。集合與元素的關(guān)系:若a是A的一個(gè)元素,則說a屬于A,或說A包含a,記為a∈A;若a不屬于A,或說A不包含a,記為a∈A.空集合一個(gè)沒有元素的集合,記為0。子集若集合B的每一個(gè)元素都屬于集合A,則說B是的子集,記為BcA:否則,B不是A的子集,記為BgAAcB今Vx,x∈A→x∈B.2018/11/25§1集合8§1集合真子集若B是的子集,且至少有一個(gè)A的元素不屬于B,則說B是A的真子集,記為BcA.集合相等:A=B臺(tái)→AB,且BcA以集合A的所有子集為元素的集合,稱為A的冪集,記為P(A).如果集合包含有無窮多個(gè)元素,則記為A=∞如果集合包含n個(gè)元素,則記為|4=m且P()=2A和B的交集:A∩B={a∈A并且a∈B并集:A∪B={aa∈A或a∈B§1集合9§1集合兩個(gè)集的并與交的概念可以推廣到任意n個(gè)集合上去。設(shè)A1,A2,…,An是給定的集合.由A1,A2,…,An的一切元素所成的集合叫做A1,A2…,An的并;由A1,A2,…,A,的切公共元素所成的集合叫做A1,A2…,A的交A,A2,…,An的并和交分別記為:UA=AUA2U…UA,∩A=A∩A2n…nAx∈∪A分A,x∈Ax∈∩A分VA,x∈A2018/11/25§1集合10近世代數(shù)基本概念課件11近世代數(shù)基本概念課件12近世代數(shù)基本概念課件13近世代數(shù)基本概念課件14近世代數(shù)基本概念課件15近世代數(shù)基本概念課件16近世代數(shù)基本概念課件17近世代數(shù)基本概念課件18近世代數(shù)基本概念課件19近世代數(shù)基本概念課件20近世代數(shù)基本概念課件21近世代數(shù)基本概念課件22近世代數(shù)基本概念課件23近世代數(shù)基本概念課件24近世代數(shù)基本概念課件25近世代數(shù)基本概念課件26近世代數(shù)基本概念課件27近世代數(shù)基本概念課件28近世代數(shù)基本概念課件29近世代數(shù)基本概念課件30近世代數(shù)基本概念課件31近世代數(shù)基本概念課件32近世代數(shù)基本概念課件33近世代數(shù)基本概念課件34近世代數(shù)基本概念課件35近世代數(shù)基本概念課件36近世代數(shù)基本概念課件37近世代數(shù)基本概念課件38近世代數(shù)基本概念課件39近世代數(shù)基本概念課件40近世代數(shù)基本概念課件41近世代數(shù)基本概念課件42近世代數(shù)基本概念課件43近世代數(shù)基本概念課件44近世代數(shù)基本概念課件45近世代數(shù)基本概念課件46近世代數(shù)基本概念課件47近世代數(shù)基本概念課件48近世代數(shù)基本概念課件49近世代數(shù)基本概念課件50近世代數(shù)基本概念課件51近世代數(shù)基本概念課件52近世代數(shù)基本概念課件53近世代數(shù)基本概念課件54近世代數(shù)基本概念課件55近世代數(shù)基礎(chǔ)(Abstractalgebra)高度的抽象是近世代數(shù)的顯著特點(diǎn),它的基本概念:群、環(huán)、域,對(duì)初學(xué)者也是很抽象的概念,因此,在本課程的學(xué)習(xí)中,大家要多注意實(shí)例,以加深對(duì)概念的正確理解。近世代數(shù)的習(xí)題,因抽象也都有一定的難度,但習(xí)題也是鞏固和加深理解不可缺少的環(huán)節(jié),因此,應(yīng)適當(dāng)做一些習(xí)題,為克服做習(xí)題的困難,應(yīng)注意教材內(nèi)容和方法以及習(xí)題課內(nèi)容。2018/11/25近世代數(shù)基礎(chǔ)(Abstractalgebra)56引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源1)代數(shù)方程的解兩千多年之前古希臘時(shí)代數(shù)學(xué)家就能夠利用開方法解二次方程ax2+b+e=0。16世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期之后,求解高次方程成為歐洲代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)中心問題。1545年意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano(卡爾達(dá)諾)在他的著作《大術(shù)》中給出了三、四次多項(xiàng)式的求根公式,此后的將近三個(gè)世紀(jì)中人們力圖發(fā)現(xiàn)五次方程的一般求解方法,但是都失敗了。直到1824年一位年青的挪威數(shù)學(xué)家NAbe才證明五次和五次以上的一般代數(shù)方程沒有求根公式。但是人們?nèi)匀徊恢朗裁礂l件之下一個(gè)已知的多項(xiàng)式能借助加、減、乘、除2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源57引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源有理運(yùn)算以及開方的方法求出它的所有根,什么條件之下不能求根。最終解決這一問題的是法國年青數(shù)學(xué)家Galois(18111832),Galois引入了擴(kuò)域以及群的概念,并采用了一種全新的理論方法發(fā)現(xiàn)了高次代數(shù)方程可解的法則。在Galois之后群與域的理論逐漸成為現(xiàn)代化數(shù)學(xué)研究的重要領(lǐng)域,這是近世代數(shù)產(chǎn)生的一個(gè)最重要的來源。2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源58引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源被譽(yù)為天才數(shù)學(xué)家的伽羅瓦是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答,解決了困擾數(shù)學(xué)羅家們長達(dá)數(shù)百年之久的問題。群論開辟了全全新的研究領(lǐng)域,以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算,把從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式,并把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類,使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支,對(duì)近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源59引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源2)Hamilton四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)長期以來人們對(duì)于虛數(shù)的意義存在不同的看法,后來發(fā)現(xiàn)可以把復(fù)數(shù)看成二元數(shù)(ab)=+b,其中產(chǎn)=-1。二元數(shù)按(4b)±(4=(士eb士,(b)c,=(ad+bege-bd的法則進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,二元數(shù)具有直觀的幾何意義;與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。二元數(shù)理論產(chǎn)生的一個(gè)直接問題是:是否存在三元數(shù)?經(jīng)過長時(shí)間探索,力圖尋求三元數(shù)的努力失敗了。但是愛愛爾蘭數(shù)學(xué)家W.Hamilton(1805-1865于1843年2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源60引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源成功地發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。四元數(shù)系與實(shí)數(shù)系、復(fù)數(shù)系一樣可以作加減乘除四則運(yùn)算,但與以前的數(shù)系相比,四元數(shù)是一個(gè)乘法不交換的數(shù)系。從這點(diǎn)來說四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)使人們對(duì)于數(shù)系的代數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)提高了一大步。四元數(shù)代數(shù)也成為抽象代數(shù)研究的一個(gè)新的起點(diǎn),它是近世代數(shù)的另個(gè)重要理論來源。2018/11/25引言近世代數(shù)理論的兩個(gè)來源61第一章基本概念§1.集合§6.分配律§2映射■§7.一一映射、變換§3.代數(shù)運(yùn)算§8.同態(tài)§4.結(jié)合律§9.同構(gòu)、自同構(gòu)§5.交換律§10.等價(jià)關(guān)系與集合的分類2018/11/25第一章基本概念62§1集合集合若干個(gè)固定事物的全體.組成集合的對(duì)象稱為集合的元素。集合一般用大寫字母A,B,C,…來表示。集合的元素一般用小寫字母a,b,c,….表示。集合與元素的關(guān)系:若a是A的一個(gè)元素,則說a屬于A,或說A包含a,記為a∈A;若a不屬于A,或說A不包含a,記為a∈A.空集合一個(gè)沒有元素的集合,記為0。子集若集合B的每一個(gè)元素都屬于集合A,則說B是的子集,記為BcA:否則,B不是A的子集,記為BgAAcB今Vx,x∈A→x∈B.2018/11/25§1集合63§1集合真子集若B是的子集,且至少有一個(gè)A的元素不屬于B,則說B是A的真子集,記為BcA.集合相等:A=B臺(tái)→AB,且BcA以集合A的所有子集為元素的集合,稱為A的冪集,記為P(A).如果集合包含有無窮多個(gè)元素,則記為A=∞如果集合包含n個(gè)元素,則記為|4=m且P()=2A和B的交集:A∩B={a∈A并且a∈B并集:A∪B={aa∈A或a∈B§1集合64§1集合兩個(gè)集的并與交的概念可以推廣到任意n個(gè)集合上去。設(shè)A1,A2,…,An是給定的集合.由A1,A2,…,An的一切元素所成的集合叫做A1,A2…,An的并;由A1,A2,…,A,的切公共元素所成的集合叫做A1,A2…,A的交A,A2,…,An的并和交分別記為:UA=AUA2U…UA,∩A=A∩A2n…nAx∈∪A分A,x∈Ax∈∩A分VA,x∈A2018/11/25§1集合65近世代數(shù)基本概念課件66近世代數(shù)基本概念課件67近世代數(shù)基本概念課件68近世代數(shù)基本概念課件69近世代數(shù)基本概念課件70近世代數(shù)基本概念課件71近世代數(shù)基本概念課件72近世代數(shù)基本概念課件73近世代數(shù)基本概念課件74近世代數(shù)基本概念課件75近世代數(shù)基本概念課件76近世代數(shù)基本概念課件77近世代數(shù)基本概念課件78近世代數(shù)基本概念課件79近世代數(shù)基本概念課件80近世代數(shù)基本概念課件81近世代數(shù)基本概念課件82近世代數(shù)基本概念課件83近世代數(shù)基本概念課件84近世代數(shù)基本概念課件85近世代數(shù)基本概念課件86近世代數(shù)基本概念課件87近世代數(shù)基本概念課件88近世代數(shù)基本概念課件89近世代數(shù)基本概念課件90近世代數(shù)基