從概率分布函數(shù)的抽樣課件

MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)3.5舍選抽樣法(acceptance-rejectionsampling)MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(S13.5舍選抽樣法（acceptance-rejectionsampling)直接抽樣法的困難：許多隨機變量的累積分布函數(shù)無法用解析函數(shù)給出;有些隨機變量的累積分布函數(shù)的反函數(shù)不存在或難以求出；即使反函數(shù)存在，但計算困難舍選抽樣法(vonNeumann)：抽取隨機變量x的一個隨機序列xi,i=1,2,…,按一定的舍選規(guī)則從中選出一個子序列，使其滿足給定的概率分布.3.5舍選抽樣法（acceptance-rejection2MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)3.5舍選抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡單舍選抽樣法改進的舍選抽樣法典型的例子MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(S31.簡單舍選抽樣法舍選法抽樣步驟：產生[a,b]區(qū)間內均勻分布的隨機數(shù)x:x=(b-a)r1+a,r1

U[0,1];產生[0,c]區(qū)間內均勻分布的隨機數(shù)y:y=cr2,r2

U[0,1];當yf(x)時，接受x為所需的隨機數(shù)，否則，返回到第一步重新抽取一對(x,y).VonNeumannrejectionmethodorHit-and-missmethod設隨機變量x的取值區(qū)間為x[a,b],其概率密度函數(shù)f(x)有界，即抽取r1,r2

U[0,1]x=a+(b-a)r1y=cr2y

f(x)X=x>1.簡單舍選抽樣法舍選法抽樣步驟：產生[a,b]區(qū)間內均41.簡單舍選抽樣法abxf(x)c幾何解釋:在二維圖上，隨機選取位于矩形abef內的點[x,y]；選取位于曲線f(x)下的那些點，則這些點將服從概率密度為f(x)的分布ef1.簡單舍選抽樣法abxf(x)c幾何解釋:在二維圖上，隨51.簡單舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率：abxf(x)cefx和y的概率密度函數(shù)分別為聯(lián)合概率密度函數(shù)為即d的概率函數(shù)為f(x)d1.簡單舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率：61.簡單舍選抽樣法抽樣效率:對舍選抽樣法：欲產生m個隨機變量x的值需產生n對(x,y)，顯然，mn如果選出某特定分布的一個隨機數(shù)平均地需要n個隨機數(shù)r1

U[0,1]，則抽樣效率定義為abxf(x)cefd1.簡單舍選抽樣法抽樣效率:對舍選抽樣法：欲產生m個隨機變7MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)3.5舍選抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡單舍選抽樣法改進的舍選抽樣法典型的例子MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(S82.改進的舍選抽樣法改進的舍選抽樣法簡單舍選抽樣法的問題：如果f(x)曲線下的面積占矩形面積的比例很小，則抽樣效率很低，這是因為隨機數(shù)x和y是在區(qū)間[a,b]和[0,c]內均勻分布，所產生的大部分投點不會落在f(x)曲線下xcf(x)改進方法：構造一個新的概率密度函數(shù)g(x)，使它的形狀接近f(x),且有式中Cg為常數(shù)，而g(x)的抽樣相對比較容易。Cgg(x)2.改進的舍選抽樣法改進的舍選抽樣法簡單舍選抽樣法的問題92.改進的舍選抽樣法抽樣方法：1.產生兩個隨機數(shù)產生分布為g(x)的隨機數(shù)x，x[a,b];產生[0,Cgg(x)]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)y，y=Cgg(x)

,U[0,1].2.接收或舍棄取樣值

x.如果

y>f(x)，舍棄，返回到1,重復上述過程;否則，接受;2.改進的舍選抽樣法抽樣方法：1.產生兩個隨機數(shù)產生分布102.改進的舍選抽樣法幾何解釋:在二維圖上，隨機選取位于曲線Cgg(x)下的點[x,y]；選取位于曲線f(x)下的那些點，則這些點將服從概率密度為f(x)的分布xcf(x)Cgg(x)2.改進的舍選抽樣法幾何解釋:在二維圖上，隨機選取位于曲線112.改進的舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率：dx和y的概率密度函數(shù)分別為聯(lián)合概率密度函數(shù)為即d的概率函數(shù)為f(x)xcf(x)Cgg(x)2.改進的舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率122.改進的舍選抽樣法抽樣效率:xcf(x)Cgg(x)常數(shù)Cg的選取常數(shù)Cg應盡可能地小,因為抽樣效率與Cg成反比;Cg=max{f(x)/g(x)},x

[a,b]2.改進的舍選抽樣法抽樣效率:xcf(x)Cgg(x)常數(shù)13MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)3.5舍選抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡單舍選抽樣法改進的舍選抽樣法典型的例子MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(S143.典型的例子例1:標準正態(tài)分布的抽樣,x[-a,a]無法用直接抽樣法,累積分布函數(shù)無解析表達式Breit-wignerorCauchy分布3.典型的例子例1:標準正態(tài)分布的抽樣,x[-a,a]無153.典型的例子由g(x)抽取x直接抽樣法抽取u計算f(x),如果u<=f(x),接受x3.典型的例子由g(x)抽取x直接抽樣法抽取u計算f163.典型的例子floatgaussian_reject(doublea){constfloatc=1.52;while(true){floateta=randac();floatx=tan(eta*2.0*atan(a)+atan(-a));floatq=c*1/3.1415926*1.0/(1+x*x);floatksi=randac();floatu=ksi*q;floatp=1/sqrt(2*3.1415926)*exp(-x*x/2.0);if(u<=p)break;}returnx;}3.典型的例子floatgaussian_reject(173.典型的例子voidtest(){SetSeed(9,11);c1=newTCanvas("c1","HistogramDrawingOptions",200,10,700,900);c1->Divide(1,2);TH1F*h1=newTH1F("h1","h1",100,-5.0,5.0);for(inti=0;i<5000;i++){doublex=gaussian_reject(5.0);h1->Fill(x);}c1->cd(2);h1->Draw();}3.典型的例子voidtest()183.典型的例子3.典型的例子193.典型的例子3.典型的例子203.典型的例子AB/2例2：利用舍選法產生隨機數(shù)C=cos,S=sin,其中為[0,2]區(qū)間內均勻分布的隨機數(shù)方法1：先產生[0,2]間均勻分布的隨機數(shù)：=2r，rU[0,1],然后直接計算C和S

因需要計算三角函數(shù)，故此方法運算速度慢方法2：利用舍選法可避免三角函數(shù)運算令A和B為單位圓內直角三角形的兩個邊，則有3.典型的例子AB/2例2：利用舍選法產生隨機數(shù)C=co213.典型的例子因此，只要產生單位圓內的隨機坐標A和B,就可用代數(shù)運算求出C和S,算法為產生兩個[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)u1和u2;令v1=2u1-1,v2=u2,則v1U[-1,1],v2U[0,1];計算r2=v12+v22,如果r2>1,轉到1，重新產生；令A=v1,B=v2,計算C和S3.典型的例子因此，只要產生單位圓內的隨機坐標A和B,就可22MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)3.5舍選抽樣法(acceptance-rejectionsampling)MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(S233.5舍選抽樣法（acceptance-rejectionsampling)直接抽樣法的困難：許多隨機變量的累積分布函數(shù)無法用解析函數(shù)給出;有些隨機變量的累積分布函數(shù)的反函數(shù)不存在或難以求出；即使反函數(shù)存在，但計算困難舍選抽樣法(vonNeumann)：抽取隨機變量x的一個隨機序列xi,i=1,2,…,按一定的舍選規(guī)則從中選出一個子序列，使其滿足給定的概率分布.3.5舍選抽樣法（acceptance-rejection24MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)3.5舍選抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡單舍選抽樣法改進的舍選抽樣法典型的例子MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(S251.簡單舍選抽樣法舍選法抽樣步驟：產生[a,b]區(qū)間內均勻分布的隨機數(shù)x:x=(b-a)r1+a,r1

U[0,1];產生[0,c]區(qū)間內均勻分布的隨機數(shù)y:y=cr2,r2

U[0,1];當yf(x)時，接受x為所需的隨機數(shù)，否則，返回到第一步重新抽取一對(x,y).VonNeumannrejectionmethodorHit-and-missmethod設隨機變量x的取值區(qū)間為x[a,b],其概率密度函數(shù)f(x)有界，即抽取r1,r2

U[0,1]x=a+(b-a)r1y=cr2y

f(x)X=x>1.簡單舍選抽樣法舍選法抽樣步驟：產生[a,b]區(qū)間內均261.簡單舍選抽樣法abxf(x)c幾何解釋:在二維圖上，隨機選取位于矩形abef內的點[x,y]；選取位于曲線f(x)下的那些點，則這些點將服從概率密度為f(x)的分布ef1.簡單舍選抽樣法abxf(x)c幾何解釋:在二維圖上，隨271.簡單舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率：abxf(x)cefx和y的概率密度函數(shù)分別為聯(lián)合概率密度函數(shù)為即d的概率函數(shù)為f(x)d1.簡單舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率：281.簡單舍選抽樣法抽樣效率:對舍選抽樣法：欲產生m個隨機變量x的值需產生n對(x,y)，顯然，mn如果選出某特定分布的一個隨機數(shù)平均地需要n個隨機數(shù)r1

U[0,1]，則抽樣效率定義為abxf(x)cefd1.簡單舍選抽樣法抽樣效率:對舍選抽樣法：欲產生m個隨機變29MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)3.5舍選抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡單舍選抽樣法改進的舍選抽樣法典型的例子MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(S302.改進的舍選抽樣法改進的舍選抽樣法簡單舍選抽樣法的問題：如果f(x)曲線下的面積占矩形面積的比例很小，則抽樣效率很低，這是因為隨機數(shù)x和y是在區(qū)間[a,b]和[0,c]內均勻分布，所產生的大部分投點不會落在f(x)曲線下xcf(x)改進方法：構造一個新的概率密度函數(shù)g(x)，使它的形狀接近f(x),且有式中Cg為常數(shù)，而g(x)的抽樣相對比較容易。Cgg(x)2.改進的舍選抽樣法改進的舍選抽樣法簡單舍選抽樣法的問題312.改進的舍選抽樣法抽樣方法：1.產生兩個隨機數(shù)產生分布為g(x)的隨機數(shù)x，x[a,b];產生[0,Cgg(x)]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)y，y=Cgg(x)

,U[0,1].2.接收或舍棄取樣值

x.如果

y>f(x)，舍棄，返回到1,重復上述過程;否則，接受;2.改進的舍選抽樣法抽樣方法：1.產生兩個隨機數(shù)產生分布322.改進的舍選抽樣法幾何解釋:在二維圖上，隨機選取位于曲線Cgg(x)下的點[x,y]；選取位于曲線f(x)下的那些點，則這些點將服從概率密度為f(x)的分布xcf(x)Cgg(x)2.改進的舍選抽樣法幾何解釋:在二維圖上，隨機選取位于曲線332.改進的舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率：dx和y的概率密度函數(shù)分別為聯(lián)合概率密度函數(shù)為即d的概率函數(shù)為f(x)xcf(x)Cgg(x)2.改進的舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率342.改進的舍選抽樣法抽樣效率:xcf(x)Cgg(x)常數(shù)Cg的選取常數(shù)Cg應盡可能地小,因為抽樣效率與Cg成反比;Cg=max{f(x)/g(x)},x

[a,b]2.改進的舍選抽樣法抽樣效率:xcf(x)Cgg(x)常數(shù)35MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)3.5舍選抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡單舍選抽樣法改進的舍選抽樣法典型的例子MonteCarlo模擬第三章從概率分布函數(shù)的抽樣

(S363.典型的例子例1:標準正態(tài)分布的抽樣,x[-a,a]無法用直接抽樣法,累積分布函數(shù)無解析表達式Breit-wignerorCauchy分布3.典型的例子例1:標準正態(tài)分布的抽樣,x[-a,a]無373.典型的例子由g(x)抽取x直接抽樣法抽取u計算f(x),如果u<=f(x),接受x3.典型的例子由g(x)抽取x直接抽樣法抽取u計算f383.典型的例子floatgaussian_reject(doublea){constfloatc=1.52;while(true){floateta=randac();floatx=tan(eta*2.0*atan(a)+atan(-a));floatq=c*1/3.1415926*1.0/(1+x*x);floatksi=randac();floatu=ksi*q;floatp=1/sqrt(2*3.1415926)*exp(-x*x/2.0);if(u<=p)break;}returnx;}3.典型的例子floatgaussian_reject(393.典型的例子voidtest(){SetSeed(9