2005-數(shù)三真題、標準答案及解析

2005年考研數(shù)學（三）真題一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）極限=.（2）微分方程滿足初始條件的特解為______.（3）設二元函數(shù)，則________.（4）設行向量組，，，線性相關，且，則a=_____.（5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從=______.中任取一個數(shù)，記為Y,則（6）設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為XY0100.4a1b0.1已知隨機事件與相互獨立，則a=，b=.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）當a取下列哪個值時，函數(shù)恰好有兩個不同的零點.,其中(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.,[]（8）設,，則(A)(C)..（B）.(D).[]（9）設若發(fā)散，收斂，則下列結論正確的是(A)收斂，發(fā)散.（B）收斂，發(fā)散.(C)收斂.(D)收斂.[]（10）設,下列命題中正確的是(A)f(0)是極大值，是極小值.（B）f(0)是極小值，也是極大值.(D)f(0)是極小值，是極大值.（C）f(0)是極大值，也是極小值.[]（11）以下四個命題中，正確的是(A)若在（0，1）內連續(xù)，則f(x)在（0，1）內有界.（B）若（C）若(D)若在（0，1）內連續(xù)，則f(x)在（0，1）內有界.在（0，1）內有界，則f(x)在（0，1）內有界.在（0，1）內有界，則在（0，1）內有界.[]（12）設矩陣A=滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉置矩陣.若為三個線性無相等的正數(shù)，則為(A).(B)3.(C).(D).[]（13）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，關的充分必要條件是(A).(B).(C).(D).[]（14）設一批零件的長度服從正態(tài)分布，其中均未知.現(xiàn)從中隨機抽取16個零件，測得樣本均值，樣本標準差，則的置信度為0.90的置信區(qū)間是(A)(B)(C)(D)[]三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分8分）求（16）（本題滿分8分）設f(u)具有二階連續(xù)導數(shù)，且，求（17）（本題滿分9分）計算二重積分，其中.（18）（本題滿分9分）求冪級數(shù)在區(qū)間(-1,1)內的和函數(shù)S(x).（19）（本題滿分8分）設f(x),g(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,,.證明：對任何a,有（20）（本題滿分13分）已知齊次線性方程組（）和（）同解，求a,b,c的值.（21）（本題滿分13分）設為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣，C為矩陣.()計算，其中；（）利用()的結果判斷矩陣（22）（本題滿分13分）是否為正定矩陣，并證明你的結論.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求：（）(X,Y)的邊緣概率密度；（）的概率密度()（23）（本題滿分13分）設為來自總體N(0,)的簡單隨機樣本，為樣本均值，記求：（）的方差（）與的協(xié)方差；（）若2005一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）=2.【分析】本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可.【詳解是的無偏估計量，求常數(shù)c.年考研數(shù)學（三）真題解析（1）極限】=（2）微分方程滿足初始條件的特解為.【分析】直接積分即可.【詳解】原方程可化為，積分得，代入初始條件得C=2，故所求特解為xy=2.（3）設二元函數(shù)，則.【分析】基本題型，直接套用相應的公式即可.【詳解】,,于是.（4）設行向量組，，，線性相關，且，則a=.【分析】四個4維向量線性相關，必有其對應行列式為零，由此即可確定a.【詳解】由題設，有,得，但題設，故（5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從中任取一個數(shù)，記為Y,則=.【分析】本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式,且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】=+++=（6）設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為XY0100.4a1b0.1已知隨機事件與相互獨立，則a=0.4,b=0.1.【分析】首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】由題設，知a+b=0.5又事件與相互獨立，于是有，即a=,由此可解得a=0.4,b=0.1二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）當a取下列哪個值時，函數(shù)(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.恰好有兩個不同的零點.[B]【分析】先求出可能極值點，再利用單調性與極值畫出函數(shù)對應簡單圖形進行分析，當恰好有一個極值為零時，函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點.【詳解】=，知可能極值點為x=1,x=2，且，可見當a=4時，函數(shù)f(x)恰好有兩個零點，故應選(B).（8）設,,,其中，則（B）(D)(A)(C)....[A]【分析】關鍵在于比較、與在區(qū)域上的大小.【詳解】在區(qū)域上，有，從而有由于cosx在上為單調減函數(shù)，于是因此（9）設(A)，故應選(A).若發(fā)散，收斂，則下列結論正確的是收斂，發(fā)散.（B）收斂，發(fā)散.(C)收斂.(D)收斂.[D]【分析】可通過反例用排除法找到正確答案.【詳解】取，則發(fā)散，收斂，但與均發(fā)散，排除(A),(B)選項，且的部分和數(shù)列極限存在.發(fā)散，進一步排除(C),故應選(D).事實上，級數(shù)（10）設,下列命題中正確的是(B)f(0)是極大值，是極小值.（B）f(0)是極小值，也是極大值.(D)f(0)是極小值，是極大值.（C）f(0)是極大值，也是極小值.[B]【分析【詳解】先求出】，再用取極值的充分條件判斷即可.，顯然，又，且，故f(0)是極小值，是極大值，應選(B).（11）以下四個命題中，正確的是(A)若在（0，1）內連續(xù)，則f(x)在（0，1）內有界.在（0，1）內連續(xù)，則f(x)在（0，1）內有界.在（0，1）內有界，則f(x)在（0，1）內有界.在（0，1）內有界，則在（0，1）內有界.（B）若（C）若(D)若[C]【分析】通過反例用排除法找到正確答案即可.【詳解】設f(x)=,則f(x)及均在（0，1）內連續(xù)，但f(x)在（0，1）內無界，排除(A)、(B);又在（0，1）內有界，但在（0，1）內無界，排除(D).故應選(C).是A的伴隨矩陣，為A的轉置矩陣.若（12）設矩陣A=滿足，其中為三個相等的正數(shù)，則為(A).(B)3.(C).(D).[A]【分析】題設與A的伴隨矩陣有關，一般聯(lián)想到用行列展開定理和相應公式：.【詳解】由及，有，其中為的代數(shù)余子式，且或而，于是，且故正確選項為(A).（13）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是(A).(B)【分析】討論一組抽象向量的線性無關性，可用定義或轉化為求其秩即可.【詳解.(C).(D).[D]】方法一：令，則，.由于線性無關，于是有當時，顯然有，此時，線性無關；反過來，若，線性無關，則必然有(,否則，與=線性相關)，故應選(B).方法二：由于，可見，線性無關的充要條件是故應選(D).（14）設一批零件的長度服從正態(tài)分布，其中均未知.現(xiàn)從中隨機抽取16個零件，測得樣本均值，樣本標準差，則的置信度為0.90的置信區(qū)間是(A)(C)(B)(D)[C]【分析】總體方差未知，求期望的區(qū)間估計，用統(tǒng)計量：【詳解】由正態(tài)總體抽樣分布的性質知，，即，故的置信度為0.90的置信區(qū)間是故應選(C).三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分8分）求【分析】型未定式，一般先通分，再用羅必塔法則.【詳解】===（16）（本題滿分8分）設f(u)具有二階連續(xù)導數(shù)，且，求【分析】先求出二階偏導數(shù)，再代入相應表達式即可.【詳解】由已知條件可得，，，，所以==（17）（本題滿分9分）計算二重積分，其中.【分析】被積函數(shù)含有絕對值，應當作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分即可.【詳解】記，，于是===+=（18）（本題滿分9分）求冪級數(shù)在區(qū)間(-1,1)內的和函數(shù)S(x).【分析】冪級數(shù)求和函數(shù)一般采用逐項求導或逐項積分，轉化為幾何級數(shù)或已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式，從而達到求和的目的.【詳解】設，，，則，由于=，,因此，又由于，故所以（19）（本題滿分8分）設f(x),g(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,,.證明：對任何a,有【分析】可用參數(shù)變易法轉化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積函數(shù)的形式，通過分部積分討論.【詳解】方法一：設，則F(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，并且，由于時，，因此，即F(x)在[0，1]上單調遞減.注意到，而=，故F(1)=0.因此時，，由此可得對任何，有方法二：=，=由于時，，因此，，，從而（20）（本題滿分13分）已知齊次線性方程組（）和（）同解，求a,b,c的值.【分析】方程組（）顯然有無窮多解，于是方程組（）也有無窮多解，從而可確定a，這樣先求出（）的通解，再代入方程組（）確定b,c即可.【詳解】方程組（）的未知量個數(shù)大于方程個數(shù)，故方程組方程組（）有無窮多解.因為方程組（）與（）同解，所以方程組（）的系數(shù)矩陣的秩小于3.對方程組（）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，從而a=2.此時，方程組（）的系數(shù)矩陣可化為，故將是方程組（）的一個基礎解系.代入方程組（）可得或當時，對方程組（）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有，顯然此時方程組（）與（）同解.當時，對方程組（）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有，顯然此時方程組（）與（）的解不相同.綜上所述，當a=2,b=1,c=2時，方程組（）與（）同解.（21）（本題滿分13分）設為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣，C為矩陣.()計算，其中；（）利用()的結果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結論.【分析】第一部分直接利用分塊矩陣的乘法即可；第二部分是討論抽象矩陣的正定性，一般用定義.【詳解】()因，有===.（）矩陣是正定矩陣.由()的結果可知，矩陣D合同于矩陣又D為正定矩陣，可知矩陣M為正定矩陣.因矩陣M為對稱矩陣，故為對稱矩陣.對及任意的，有故為正定矩陣.（22）（本題滿分13分）設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求：（）(X,Y)的邊緣概率密度；（）的概率密度()【分析】求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導得到相應的概率密度;直接用條件概率公式計算即可.【詳解】（）關于X的邊緣概率密度===關于Y的邊緣概率密度===（）令1）當，；時，2）當時，=