偏微分方程數(shù)值解期末試題及答案

偏微分方程數(shù)值解期末試題及答案偏微分方程數(shù)值解試題(06B)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)信息與計算科學(xué)專業(yè)（10分AJ(x)

1(Ax,x)(b,x)(xRn)，2()J(x0

x).若'(0)0,則稱稱x0

J(x的駐點（或穩(wěn)定點）A對稱（不必正定，求證x0

J(xx0

是方程組Axb的解x0

RnJ(x的駐點xRn,令()J(x0

x)J(x0

)(Ax0

b,x)2

Axx, (3分)(0)0xRn,Ax0

bx)0xAx0

b,(Ax0

b,Ax0

b)Ax0

b||20,Ax0

b. (3分)反之, 若 x0

Rn 滿足 Ax0

b , 則對于任意的x,J(x0

x)(0)1(Ax,x)J(x2

),因此x0

是J(x)的最小值點. (4分)評分標(biāo)準(zhǔn):()的展開式3分,每問3分,推理邏輯性1分Lud(pdu)quf

x(a,b)二（10分、對于兩點邊值問題： dx dx u(a),u'b)0pC1([abp(x)minp(x)px[a,b]

minqC([a,b]),qfH0([a,b])建立與上述兩點邊值問題等價的變分問題的兩種形式：求泛函極小的Ritz形式和Galerkin形式的變分方程。解: 設(shè)H1|uH1(a,b),u(a)為求解函數(shù)空間,檢驗函數(shù)空間.取EvH1(a,b),乘方程兩端積分應(yīng)用分部積分得到 (3分)Eau,v)b(pdu.dvquv)dxbfvdxf(v),vH1(a,b)a dxdx a E即變分問題的Galerkin形式. (3分)J(u

1au,u)(f,u)1b[p(du)2qu2fudx,則變分問題的Ritz形式2 2a dxu u

un1

u

un un五（10分、逼近 0的三層差分格式 j j jj0t x

2h分析格式的穩(wěn)定性解:計算形式為un1

r(un

un

)un1

(2分)j j1 j1 j此為三層格式,化為兩層格式.令vn1un,則有j jun1run

un )vn j j

jj

(4分)vn1j

unj令un

wneijh,vn

wneijh,代入格式,消去公因子,得到j(luò) 1 j 2wn1 sinh 1wn 1

122(2分)22

wn1

1 0wn2rsinhi 1

2rsinhi 1放大矩陣為G 1 0,特征方程為

EG

1 2

2rsinhi10,1,2

2rsinh 44r2sin2 1,|,|

|}112 1 244r2sin2h0.考慮到的變化,穩(wěn)定條件為r1 (2分)六（10推導(dǎo)格式穩(wěn)定的必要條件.

2ut2

a

2ux2

的初值問題的顯格式，推導(dǎo)截斷誤差,un12un

un1 1解:差分格式為j j j a2 2un, (3分)2 h2 x j14un 4un截斷誤差為 12t4

j

a2x

hj

h4,階為

h2) (3分析穩(wěn)定性必要條件 (4分)七（10分a(2u

2u建立CrankNicolson差分2

2解:差分格式為

un1jk

unjk

a(2un1

2un1) (4誤差階為h2) (3分放大因子為G(,,)

h2 x 1h

y jkh

,恒穩(wěn)定. (3分)14rsin2 4rsin22 2八.用RitzGalerkin方法求邊值問題u"ux2 0x1u(0)1的第n次近似un

,基函數(shù)i

(x)sin(ix),i1,2,...,n解:(1)邊界條件齊次化:令u0

x,wuu0

,則w滿足齊次邊界條件,且LwLuLu0

x2x(3分)第nwn

wn

ci ii1

,其中ci

w(0)0(i1,2,...n)滿足的RitzGalerkin方程為na(,)c

(x2x,

) jn(3又

i1

i j i ja,)1')dxij21cos(ix)cos(jxdxi j 0 i j i j 01sin(ix)sin(jx)dx

ij

cos(ix)cos(jx)dx0 2 1

sinixsinjx由三角函數(shù)的正交性,得到

i22

1, ija( ,i

) 2j ,

2ij1 而(x2x,) x(x1)sin(jx)dx j1 j 于是得到

(x2