2023屆廣東省揭陽揭西縣聯(lián)考數(shù)學九年級第一學期期末達標檢測試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知是方程x2﹣2x+c＝0的一個根，則c的值是（）A．﹣3 B．3 C． D．22．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，那么sinA的值是（）A． B． C． D．3．如圖，是的直徑，，垂足為點，連接交于點，延長交于點，連接并延長交于點.則下列結論：①；②；③點是的中點.其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．下列圖案中是中心對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．某廠2017年產值3500萬元，2019年增加到5300萬元.設平均每年增長率為，則下面所列方程正確的是（）A． B．C． D．6．中，，若，，則的長為（）A． B． C． D．57．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連結CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF．給出以下四個結論：①；②點F是GE的中點；③；④，其中正確的結論個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個8．一件產品原來每件的成本是1000元，在市場售價不變的情況下，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在利潤每件增加了190元，則平均每次降低成本的（）A． B． C． D．9．在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為（）A． B． C． D．10．如圖，以原點O為圓心，半徑為1的弧交坐標軸于A，B兩點，P是上一點（不與A，B重合），連接OP，設∠POB=α，則點P的坐標是（）A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知圓錐的底面半徑為3cm，母線長4cm，則它的側面積為cm1．12．已知線段，點是它的黃金分割點，，設以為邊的正方形的面積為，以為鄰邊的矩形的面積為，則與的關系是__________．13．為了加強視力保護意識，小明要在書房里掛一張視力表．由于書房空間狹小，他想根據(jù)測試距離為的大視力表制作一個測試距離為的小視力表．如圖，如果大視力表中“”的高度是，那么小視力表中相應“”的高度是__________．14．在一次夏令營中，小亮從位于點的營地出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到達地，測得地在地南偏西30°方向，則、兩地的距離為_________．15．將拋物線y＝2x2的圖象向上平移1個單位長度后，所得拋物線的解析式為_____．16．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當點H與點A重合時，EF=2．以上結論中，你認為正確的有．（填序號）17．計算：=______．18．在一個不透明的盒子里裝有5個分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4的小球，它們除數(shù)字不同外其余全部相同.現(xiàn)從盒子里隨機摸出一個小球（不放回），設該小球上的數(shù)字為m，再從盒子中摸出一個小球，設該小球上的數(shù)字為n，點P的坐標為，則點P落在拋物線與x軸所圍成的區(qū)域內（含邊界）的概率是________.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別是，，．（1）請畫出關于軸對稱的；（2）以點為位似中心，相似比為1:2，在軸右側，畫出放大后的；20．（6分）定義：如圖1，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與射線OA，OB交于M，N兩點，若∠MPN繞點P旋轉時始終滿足OM?ON＝OP2，則稱∠MPN是∠AOB的“相關角”．（1）如圖1，已知∠AOB＝60°，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與射線OA，OB交于M，N兩點，且∠MPN＝150°．求證：∠MPN是∠AOB的“相關角”；（2）如圖2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相關角”，連結MN，用含α的式子分別表示∠MPN的度數(shù)和△MON的面積；（3）如圖3，C是函數(shù)（x0）圖象上的一個動點，過點C的直線CD分別交x軸和y軸于點A，B兩點，且滿足BC＝3CA，∠AOB的“相關角”為∠APB，請直接寫出OP的長及相應點P的坐標．21．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+2分別交x軸、y軸于點A、B．點C的坐標是（﹣1，0），拋物線y＝ax2+bx﹣2經過A、C兩點且交y軸于點D．點P為x軸上一點，過點P作x軸的垂線交直線AB于點M，交拋物線于點Q，連結DQ，設點P的橫坐標為m（m≠0）．（1）求點A的坐標．（2）求拋物線的表達式．（3）當以B、D、Q，M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求m的值．22．（8分）平面直角坐標系中有兩點、，我們定義、兩點間的“值”直角距離為，且滿足，其中．小靜和佳佳在解決問題：（求點與點的“1值”直角距離）時，采用了兩種不同的方法：（方法一）：；（方法二）：如圖1，過點作軸于點，過點作直線與軸交于點，則請你參照以上兩種方法，解決下列問題：（1）已知點，點，則、兩點間的“2值”直角距離．（2）函數(shù)的圖像如圖2所示，點為其圖像上一動點，滿足兩點間的“值”直角距離，且符合條件的點有且僅有一個，求出符合條件的“值”和點坐標．（3）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走，因此，兩地之間修建垂直和平行的街道常常轉化為兩點間的“值”直角距離，地位于地的正東方向上，地在點東北方向上且相距，以為圓心修建了一個半徑為的圓形濕地公園，現(xiàn)在要在公園和地之間修建觀光步道．步道只能東西或者南北走向，并且東西方向每千米成本是20萬元，南北方向每千米的成本是10萬元，問：修建這一規(guī)光步道至少要多少萬元？23．（8分）如圖，AB是的直徑，點C、D在上，且AD平分，過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E，與AB的延長線相交于點F，G為AB的下半圓弧的中點，DG交AB于H，連接DB、GB．證明EF是的切線；求證：；已知圓的半徑，，求GH的長．24．（8分）如圖，在Rt△ABC中，，D是AB的中點，過D點作AB的垂線交AC于點E，若BC＝6，sinA＝，求DE的長．25．（10分）某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元.市場調查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱.（1）求平均每天銷售量（箱）與銷售價（元/箱）之間的函數(shù)關系式.（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤（元）與銷售價（元/箱）之間的函數(shù)關系式.（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？26．（10分）已知拋物線的頂點坐標是（1，－4），且經過點（0，－3），求與該拋物線相應的二次函數(shù)表達式．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】把x＝代入方程得到關于c的方程，然后解方程即可．【詳解】解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0，得（）2﹣2×+c＝0，所以c＝6﹣1＝1．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的性質，解答關鍵是將方程的根代入原方程求出字母系數(shù)．2、C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得BC，AC的關系，根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案．【詳解】tanA＝＝，BC＝x，AC＝3x，由勾股定理，得AB＝x，sinA＝＝，故選：C．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系，利用正切函數(shù)的定義得出BC=x，AC=3x是解題關鍵．3、A【分析】根據(jù)“同弧所對圓周角相等”以及“等角的余角相等”即可解決問題①，運用相似三角形的判定定理證明△EBC∽△BDC即可得到②，運用反證法來判定③即可.【詳解】證明：①∵BC⊥AB于點B，∴∠CBD+∠ABD=90°，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD=∠CEB，∴∠CEB=∠CBD，故①正確；②∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，∴△EBC∽△BDC，∴，故②正確；③∵∠ADB=90°，∴∠BDF=90°，∵DE為直徑，∴∠EBD=90°，∴∠EBD=∠BDF，∴DF∥BE，假設點F是BC的中點，則點D是EC的中點，∴ED=DC，∵ED是直徑，長度不變，而DC的長度是不定的，∴DC不一定等于ED，故③是錯誤的.故選：A.【點睛】本題考查了圓周角的性質，余角的性質，相似三角形的判定與性質，平行線的判定等知識，知識涉及比較多，但不難，熟練掌握基礎的定理性質是解題的關鍵.4、B【解析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．【詳解】解：第一個不是中心對稱圖形；第二個是中心對稱圖形；第三個不是中心對稱圖形；第四個是中心對稱圖形；故中心對稱圖形的有2個．故選B．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形，關鍵是找出對稱中心．5、D【分析】由題意設每年的增長率為x，那么第一年的產值為3500（1+x）萬元，第二年的產值3500（1+x）（1+x）萬元，然后根據(jù)今年上升到5300萬元即可列出方程．【詳解】解：設每年的增長率為x，依題意得3500（1+x）（1+x）=5300，即．故選：D．【點睛】本題考查列出解決問題的方程，解題的關鍵是正確理解“利潤每月平均增長率為x”的含義以及找到題目中的等量關系．6、B【分析】根據(jù)題意，可得=，又由AB=4，代入即可得AC的值.【詳解】解：∵中，，，∴=.∴AC=AB==.故選B.【點睛】本題考查解直角三角形、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理解答．7、C【分析】易得AG∥BC，進而可得△AFG∽△CFB，然后根據(jù)相似三角形的性質以及BA＝BC即可判斷①；根據(jù)余角的性質可得∠ABG＝∠BCD，然后利用“角邊角”可證明△ABG≌△BCD，可得AG＝BD，于是有AG＝BC，由①根據(jù)相似三角形的性質可得，進而可得FG＝FB，然后根據(jù)FE≠BE即可判斷②；根據(jù)相似三角形的性質可得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AC＝AB，然后整理即可判斷③；過點F作FM⊥AB于M，如圖，根據(jù)相似三角形的性質和三角形的面積整理即可判斷④．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA＝BC，∴，故①正確；∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCD+∠CBG＝90°，∴∠ABG＝∠BCD，又∵BA＝BC，∠BAG＝∠CBD＝90°,∴△ABG≌和△BCD（ASA），∴AG＝BD，∵點D是AB的中點，∴BD＝AB，∴AG＝BC，∵△AFG∽△CFB，∴，∴FG＝FB，∵FE≠BE，∴點F是GE的中點不成立，故②錯誤；∵△AFG∽△CFB，∴，∴AF＝AC，∵AC＝AB，∴，故③正確；過點F作FM⊥AB于M，如圖，則FM∥CB，∴△AFM∽△ACB，∴，∵，∴，故④錯誤．綜上所述，正確的結論有①③共2個．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質和等腰直角三角形的性質等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．8、A【分析】設平均每次降低成本的x，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結果．【詳解】解：設平均每次降低成本的x，

根據(jù)題意得：1000-1000（1-x）2=190，

解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），

則平均每次降低成本的10%，

故選A．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，弄清題意是解本題的關鍵．9、A【分析】延長AB至D，使AD=4個小正方形的邊長，連接CD，先證出△ADC是直角三角形和CD的長，即可求出的值．【詳解】解：延長AB至D，使AD=4個小正方形的邊長，連接CD，如下圖所示，由圖可知：△ADC是直角三角形，CD=3個小正方形的邊長根據(jù)勾股定理可得：AC=個小正方形的邊長∴故選A．【點睛】此題考查的是求一個角的正弦值，掌握構造直角三角形的方法是解決此題的關鍵．10、C【解析】過P作PQ⊥OB，交OB于點Q，在直角三角形OPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OQ與PQ，即可確定出P的坐標．解：過P作PQ⊥OB，交OB于點Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，則P的坐標為（cosα，sinα），故選C．二、填空題(每小題3分,共24分)11、11π【解析】試題分析：圓錐的側面積公式：圓錐的側面積底面半徑×母線．由題意得它的側面積．考點：圓錐的側面積點評：本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握圓錐的側面積公式，即可完成.12、【分析】根據(jù)黃金分割比得出AP，PB的長度，計算出與即可比較大?。驹斀狻拷猓骸唿c是AB的黃金分割點，，∴，設AB=2，則，∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割比的應用，熟知黃金分割比是解題的關鍵．13、【分析】先利用平行線證明相似，再利用相似三角形的性質得到比例式，即可計算出結果．【詳解】解：如圖，

由題意得：CD∥AB，

∴，，∵AB=3.5cm，BE=5m，DE=3m，，∴CD=2.1cm，

故答案是：2.1cm．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，比較簡單；根據(jù)生活常識，墻與地面垂直，則兩張視力表平行，根據(jù)平行得到相似列出比例式，可以計算出結果．14、【分析】由已知可得到△ABC是直角三角形，從而根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC的長．【詳解】解：如圖．由題意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．

∵EF//PQ，

∴∠1=∠EAB=60°

又∵∠2=30°，

∴∠ABC=180°?∠1?∠2=180°?60°?30°=90°，

∴△ABC是直角三角形．

又∵MN//PQ，

∴∠4=∠2=30°．

∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．

∴AC===(km)，

故答案為．【點睛】本題考查了解直角三角形的相關知識，解答此類題目的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形利用解直角三角形的相關知識解答．15、y＝2x2＋1．【分析】根據(jù)左加右減，上加下減的規(guī)律，直接得出答案即可．【詳解】解：∵拋物線y＝2x2的圖象向上平移1個單位，∴平移后的拋物線的解析式為y＝2x2＋1．故答案為：y＝2x2＋1．【點睛】考查二次函數(shù)的平移問題；用到的知識點為：上下平移只改變點的縱坐標，上加下減．16、①③④【解析】解：∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四邊形CFHE是平行四邊形，由翻折的性質得，CF=FH，∴四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，（故②錯誤）；點H與點A重合時，設BF=x，則AF=FC=8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8﹣x）2，解得x=3，點G與點D重合時，CF=CD=4，∴BF=4，∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，（故③正確）；過點F作FM⊥AD于M，則ME=（8﹣3）﹣3=2，由勾股定理得，EF==2，（故④正確）；綜上所述，結論正確的有①③④共3個，故答案為①③④．考點：翻折變換的性質、菱形的判定與性質、勾股定理17、【分析】直接利用平面向量的加減運算法則求解即可求得，注意去括號時符號的變化．【詳解】解：==故答案為：.【點睛】此題考查了平面向量的運算．此題難度不大，注意掌握運算法則是解此題的關鍵．18、【分析】采用畫樹狀圖法寫出的所有可能出現(xiàn)的結果，畫出函數(shù)圖像，并描出在拋物線與x軸所圍成的區(qū)域內（含邊界）點，再用符合題意的點的個數(shù)除以總個數(shù)，即可求出答案．【詳解】如圖，由樹狀圖可知共有20種等可能結果，由坐標系可知，在拋物線與x軸所圍成的區(qū)域內（含邊界）的點有（0，0）、（1，3），（2，0）、（3，3），（3，0），（4，0），共6種結果，∴點在拋物線上的概率是=，故答案為：．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）利用關于軸對稱點的性質:橫坐標相等,縱坐標互為相反數(shù)可以求出.（2）利用位似圖像的性質得出對應點位置.【詳解】如圖所示：畫出軸對稱的．畫出放大后的位似．【點睛】本題考查了關于對稱軸對稱的點的性質以及位似的性質.20、（1）見解析；（2）；（3），P點坐標為或【分析】（1）由角平分線求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝30°，再證出∠OMP＝∠OPN，證明△MOP∽△PON，即可得出結論；（2）由∠MPN是∠AOB的“相關角”，判斷出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；過點M作MH⊥OB于H，由三角形的面積公式得出：S△MON＝ON?MH，即可得出結論；（3）設點C（a，b），則ab＝3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，BC＝3CA不可能；當點A在x軸的正半軸上時；先求出，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：，得出OB，OA，求出OA?OB，根據(jù)∠APB是∠AOB的“相關角”，得出OP，即可得出點P的坐標；②當點B在y軸的負半軸上時；同①的方法即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵∠AOB＝60°，P為∠AOB的平分線上一點，∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，∴∠OMP+∠MPO＝150°，∵∠MPN＝150°，∴∠MPO+∠OPN＝150°，∴∠OMP＝∠OPN，∴△MOP∽△PON，∴，∴OP2＝OM?ON，∴∠MPN是∠AOB的“相關角”；（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相關角”，∴OM?ON＝OP2，∴，∵P為∠AOB的平分線上一點，∴∠MOP＝∠NOP＝α，∴△MOP∽△PON，∴∠OMP＝∠OPN，∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，即∠MPN＝180°﹣α；過點M作MH⊥OB于H，如圖2，則S△MON＝ON?MH＝ON?OMsinα＝OP2?sinα，∵OP＝3，∴S△MON＝sinα；（3）設點C（a，b），則ab＝4，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：①當點B在y軸正半軸上時；Ⅰ、當點A在x軸的負半軸上，如圖3所示：BC＝3CA不可能，Ⅱ、當點A在x軸的正半軸上時，如圖4所示：∵BC＝3CA，∴，∵CHOB，∴△ACH∽△ABO，∴，∴,∴OB＝4b，OA＝a，∴OA?OB＝a?4b＝ab＝，∵∠APB是∠AOB的“相關角”，∴OP2＝OA?OB，∴，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴點P的坐標為：；②當點B在y軸的負半軸上時，如圖5所示：∵BC＝3CA，∴AB＝2CA，∴，∵CHOB，∴△ACH∽△ABO，∴，∴∴OB＝2b，OA＝a，∴OA?OB＝a?2b＝ab＝，∵∠APB是∠AOB的“相關角”，∴OP2＝OA?OB，∴，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴點P的坐標為：；綜上所述：點P的坐標為：或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，掌握數(shù)形結合和分類討論的思想是解題的關鍵．21、（1）點A坐標為（4，0）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）m＝2或1+或1﹣．【分析】(1)直線y=﹣x+2中令y=0，即可求得A點坐標；(2)將A、C坐標代入，利用待定系數(shù)法進行求解即可；(3)先求出BD的長，用含m的式子表示出MQ的長，然后根據(jù)BD=QM，得到關于m的方程，求解即可得.【詳解】(1)令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，所以點A坐標為：(4，0)；(2)把點A、C坐標代入二次函數(shù)表達式，得，解得：，故：二次函數(shù)表達式為：y＝x2﹣x﹣2；(3)y=﹣x+2中，令x=0，則y=2，故B(0，2)，y＝x2﹣x﹣2中，令x=0，則y=-2，故D(0，-2)，所以BD=4，設點M(m，﹣m+2)，則Q(m，m2﹣m﹣2)，則MQ=|(m2﹣m﹣2)-(﹣m+2)|=|m2﹣m﹣4|以B、D、Q，M為頂點的四邊形是平行四邊形時，則：MQ＝BD＝4，即|m2﹣m﹣4|=4，當m2﹣m﹣4=-4時，解得：m＝2或m＝0(舍去)；當m2﹣m﹣4=4時，解得m＝1±，故：m＝2或1+或1-．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象與坐標軸的交點，平行四邊形的性質，解一元二次方程等內容，綜合性較強，熟練掌握相關內容并運用分類討論思想是解題的關鍵.22、（1）10（2），（3）【分析】（1）根據(jù)直角距離的公式，直接代入求解即可；（2）設點C的坐標為，代入直角距離公式可得根據(jù)根的判別式求出k的值，即可求出點C的坐標；（3）如圖，⊙C與線段AC交于點D，過點D作與AB交于點E，先證明△ADE是等腰直角三角形，從而得出，再根據(jù)直角距離的定義，即可求出出最低的成本．【詳解】（1）∵，點，點∴；（2）設點C的坐標為∵∴∵∴∴∵符合條件的點有且僅有一個，且∴解得∴解得∴故，；（3）如圖，⊙C與線段AC交于點D，過點D作與AB交于點E由題意得∴∵∴△ADE是等腰直角三角形∴∵步道只能東西或者南北走向，并且東西方向每千米成本是20萬元，南北方向每千米的成本是10萬元∴步道的最短距離為A和D的直角距離，即最低總成本（萬元）故修建這一規(guī)光步道至少要萬元．【點睛】本題考查了直角距離的問題，掌握直角距離的定義以及公式、根的判別式、解一元二次方程的方法是解題的關鍵．23、（1）詳見解析；（1）詳見解析；（3）.【解析】（1）由題意可證OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切線；（1）由同弧所對的圓周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性質可得∠DGB＝∠BDF；（3）由