二元一次方程組及其解法

關(guān)于二元一次方程組及其解法第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日誰的包裹多累死我了！你還累？這么大的個(gè)，才比我多馱了2個(gè)。

哼!我從你背上拿來1個(gè)，我的包裹數(shù)就是你的2倍！真的嗎？它們各馱了多少包裹呢？第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日小馬:你還累？這么大的個(gè)，才比我多馱了2個(gè)。

老牛:哼!我從你背上拿來1個(gè)，我的包裹數(shù)就是你的2倍！

解:設(shè)老牛馱了X個(gè)包裹,小馬馱了Y個(gè)包裹.根據(jù)題意得到方程:X-Y=2和X+1=2(Y-1)第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日昨天，我們一家8個(gè)人去紅山公園玩，買門票花了34元。哦，那你們家去了幾個(gè)大人？幾個(gè)小孩呢？真笨，自已不會(huì)算嗎？成人票5元每人，小孩3元每人啊!聰明的同學(xué)們，你能幫他算算嗎？第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日解：設(shè)有x個(gè)成人，y個(gè)兒童，由

此可列方程．

第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日思考:上面的方程有哪些相同點(diǎn)?含有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.1：未知數(shù)的個(gè)數(shù)都是22：含有未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)是1次3：含有未知數(shù)的項(xiàng)是整式而不是分式（即分母不含有未知數(shù)）相同點(diǎn)第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日

請(qǐng)判斷下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并說明理由。(1)2x+5y=10(2)2x+y+z=1(5)2a+3b=5(6)2x+10xy=0(3)x+y=202(4)x+2x+1=02第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日議一議:在上面的方程X-Y=2和X+1=2(Y-1)中,X，Y的含義分別相同嗎?

X,Y的含義分別相同.因而X,Y必須同時(shí)滿足方程X-Y=2和X+1=2(Y-1)把它們聯(lián)立起來,得:X-Y=2X+1=2(Y-1)

像這樣，把兩個(gè)一次方程合在一起后共有兩個(gè)未知數(shù)，這樣就組成了一個(gè)二元一次方程組第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日判斷下列方程組哪些是二元一次方程組？★在一個(gè)方程組中，共有兩個(gè)未知數(shù)，并且每個(gè)方程都是一次方程，這樣的方程組是二元一次方程組。第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日x012…18…22yX+y有哪些值滿足方程（1）且符合問題的實(shí)際意義呢？221220…4…0222222…22…22(1)(2)第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程有無窮個(gè)解第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日x012…18…22yX+y在滿足方程（1）的解中有哪些值滿足方程（2）呢？222120…4…0222222…22…22(1)(2)第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。你能告訴大家如何求它們的解嗎？二元一次方程組有且只有一組解。第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日..200克10克探究第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日y克..x克200克y克x克10克x+y=200y=x+10解二元一次方程組一元一次方程二元一次方程組消元用代入法x克10克(x+10)x+(x+10)=200①②x=95y=105∴方程組的解是y=x+10x+y=200x=95，y=105。

求方程組解的過程叫做解方程組轉(zhuǎn)化

將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

由二元一次方程組中一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法（substitutionmethod）。轉(zhuǎn)化探究第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日分析例1

解方程組2y–3x=1x=y-1解：①②把②代入①得：2y–3（y–1）=12y–3y+3=12y–3y=1-3-y=-2y=2把y=2代入②，得x=y–1=2–1=1∴方程組的解是x=1y=22y–3x=1x=y-1(y-1)談?wù)勊悸返谑?，共五十二頁?022年，8月28日例1

解方程組2y–3x=1x=y-1①②變：2y–3x=1x–y=–1①②解：把②代入①得：2y–3（y–1）=12y–3y+3=12y–3y=1-3-y=-2y=2把y=2代入②，得x=y–1=2–1=1∴方程組的解是x=1y=2談?wù)勊悸返谑唔?，共五十二頁?022年，8月28日例2

解方程組解：①②由①得：x=3+y③把③代入②得：3（3+y）–8y=14把y=–1代入③，得x=3+(-1)=21、將方程組里的一個(gè)方程變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)；2、用這個(gè)式子代替另一個(gè)方程中相應(yīng)的未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；3、把這個(gè)未知數(shù)的值代入上面的式子，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；4、寫出方程組的解。用代入法解二元一次方程組的一般步驟變代求寫x–y=33x-8y=149+3y–8y=14–5y=5y=–1∴方程組的解是x=2y=-1說說方法第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日用代入法解二元一次方程組⑴

y=2x-33x+2y=8⑵2x-y=53x+4y=2練一練第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日解：把②

代入①得,3x-2(2x-3)=8

解得,x=2把x=2

代入②得y=2×2-3,y=1∴原方程組的解為x=2

⑴

y=2x-33x-2y=8②①y=1記得檢驗(yàn)：把x=2,y=-1代入方程①和②得,看看兩個(gè)方程的左邊是否都等于右邊.第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日①②解:由①得,y=2x-5③∴原方程組的解為把③代入②得,3x+4(2x-5)=2解得,x=2把x=2代入③得,y=2×2-5,y=-1⑵2x-y=53x+4y=2y=-1x=2第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日搶答:

請(qǐng)舉手

1．方程-x+4y=-15用含y的代數(shù)式表示x（）

A．-x=4y-15B．x=-15+4yC.x=4y+15D．x=-4y+15

CB3.用代入法解方程組較為簡便的方法（）

A．先把①變形

B．先把②變形

C．可先把①變形，也可先把②變形

D．把①、②同時(shí)變形

B2．將y=-2x-4代入3x-y=5可得（）

A.3x-（2x+4）=5B.3x-（-2x-4）=5C.3x+2x-4=5

D.3x-2x+4=5

2x+5y=21x+3y=8第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日能力檢測2、如果∣y+3x-2∣+∣5x+2y-2∣=0，求x、y的值.1、若方程5x2m+n+4y3m-2n=9是關(guān)于x、y的二元一次方程，求m、n的值.

第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日通過本節(jié)課的研究,學(xué)習(xí),你有哪些收獲？基本思路:一般步驟：

變形技巧：

選擇系數(shù)比較簡單的方程進(jìn)行變形。知識(shí)梳理一元一次方程二元一次方程組轉(zhuǎn)化消元變形代入求解寫出第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日下列是用代入法解方程組①②的開始步驟，其中最簡單、正確的是（）（A）由①，得y=3x-2③，把③代入②，得3x=11-2(3x-2)。（B）由①，得③，把③代入②，得。（C）由②，得③，把③代入①，得。（D）把②代入①，得11-2y-y=2，把(3x看作一個(gè)整體)D細(xì)心選一選第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日隨堂練習(xí)：y=2x⑴x+y=12⑵x=—y-524x+3y=65⑶x+y=11x-y=7⑷3x-2y=9x+2y=3x=4y=8x=5y=15x=9y=2x=3y=0你解對(duì)了嗎？1、用代入消元法解下列方程組第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.鞏固練習(xí)⑴方程5X-3Y=7，變形可得X=_________，Y=__________.

⑵解方程組Y=X-3①2X+3Y=6②應(yīng)消去____，可把_____代入_____.⑶方程Y=2X-3和方程3X+2Y=1的公共解是X=_____Y=_____⑸若是方程組的解，求k和m的值.X=2Y=1kX-mY=1mX+kY=8⑷若+（2X-3Y+5）=0，求X和Y的值.2Y①②1-1第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日和互為相反數(shù)……分析：

①②3x+5y+2x

－

5y＝10①左邊+②左邊=①右邊+②右邊5x＝10x=2（3x

＋5y）+（2x

－5y）＝21+(－11)等式性質(zhì)理解新知第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日思考聯(lián)系上面的解法，想一想怎樣解方程組4x+5y=3①2x+5y=－1②第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日②①①②①+②①－②第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日感悟規(guī)律揭示本質(zhì)

兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日2x-5y=7

①2x+3y=-1

②

觀察方程組中的兩個(gè)方程，未知數(shù)x的系數(shù)相等，都是2。把兩個(gè)方程兩邊分別相減，就可以消去未知數(shù)x，同樣得到一個(gè)一元一次方程。分析：舉一反三解方程組第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日2x-5y=7

①2x+3y=－1

②解：將②－①得:8y＝－8y＝－1將y＝－1代入①，得：

2x－5×（－1）＝7解得:x＝1所以原方程組的解是x＝1y＝－1舉一反三第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日3x-2y=-1①6x+7y=9②運(yùn)用新知拓展創(chuàng)新分析：1、要想用加減法解二元一次方程組必須具備什么條件？2、此方程組能否直接用加減法消元？第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日

用加減法解方程組:解：①×3得6x+9y=36③所以原方程組的解是①②③－④得:y=2將y＝2代入①，解得:x＝3②×2得6x+8y=34④用加減法先消去未知數(shù)y該如何解？解得的結(jié)果與左面的解相同嗎？第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日基本思路:主要步驟：加減消元:二元一元加減消去一個(gè)元求解分別求出兩個(gè)未知數(shù)的值加減消元法解方程組基本思路是什么？主要步驟有哪些？變形同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)寫解寫出方程組的解第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日用加減法解二元一次方程組。⑴7x-2y=39x+2y=-19⑵6x-5y=36x+y=-15

做一做x=-1y=-5x=-2y=-3第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日4s+3t=5

2s-t=-5s=-1t=35x-6y=9(2)

7x-4y=-5x=-3y=-4(1)

第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日1、已知是方程2x-4y+2a=3一個(gè)解，則a=_______；x=-3y=-212第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日2、若方程2x2m+3+3y3n-7=0是關(guān)于x、y的二元一次方程，則

m=______，n=______；思考：.求二元一次方程2X+Y=10的所有正整數(shù)解.-183第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日分別相加y3.已知方程組x+3y=172x-3y=6兩個(gè)方程就可以消去未知數(shù)分別相減4.已知方程組25x-7y=1625x+6y=10兩個(gè)方程就可以消去未知數(shù)x只要兩邊只要兩邊練習(xí)第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5、若單項(xiàng)式與﹣3是同類項(xiàng)，求m、n的值。第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.暴風(fēng)雨即將來臨,一群螞蟻正忙著搬家.其中有大螞蟻和小螞蟻,已知大小螞蟻總共有100只,小螞蟻一次只能搬一粒食物,大螞蟻一次能搬兩粒,一場忙碌過后,洞里的160粒食物剛好一次被安全轉(zhuǎn)移,求大小螞蟻各有幾只?第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日解:設(shè)小螞蟻有X只,大螞蟻有Y只,根據(jù)題意得到方程:X+Y=100和

X+2Y=160第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日7.今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？你現(xiàn)在能用學(xué)過的方法列出方程組嗎？返回雞兔同籠第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日分析：問題包含兩個(gè)條件(兩個(gè)相等關(guān)系)：大瓶數(shù):小瓶數(shù)＝2:5大瓶裝的消毒液＋小瓶裝的消毒液＝總生產(chǎn)量8.根據(jù)市場調(diào)查，某消毒液的大瓶裝(500g)和小瓶裝(250g)，兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量的比(按瓶計(jì)算)是2:5．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5噸，這些消毒液應(yīng)該分裝大、小瓶裝兩種產(chǎn)品各多少瓶？第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日解：設(shè)這些消毒液應(yīng)該分裝x大瓶、y小瓶。根據(jù)題意可列方程組：③①由得：把代入得：③②解得：x=20000把x=20000代入得：y=50000③答：這些消毒液應(yīng)該分裝200