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溫度應力問題的基本解法溫度應力問題的基本解法溫度應力問題的基本解法第六章溫度應力問題的基本解法§6-4按位移求解溫度應力的平面問題§6-3溫度場的邊界條件§6-2熱傳導微分方程§6-1溫度場和熱傳導的基本概念§6-5位移勢函數(shù)的引用§6-6軸對稱溫度場平面熱應力問題溫度應力問題的基本解法第六章溫度應力問題的基本解法§6-4§6-1溫度場和熱傳導的基本概念1.溫度場:在任一瞬時,彈性體內(nèi)所有各點的溫度值的總體。用T表示。不穩(wěn)定溫度場或非定常溫度場:溫度場的溫度隨時間而變化。即T=T(x,y,z,t)穩(wěn)定溫度場或定常溫度場:溫度場的溫度只是位置坐標的函數(shù)。即T=T(x,y,z)平面溫度場:溫度場的溫度只隨平面內(nèi)的兩個位置坐標而變。即T=T(x,y,t)2.等溫面:在任一瞬時,連接溫度場內(nèi)溫度相同各點的曲面。顯然,沿著等溫面,溫度不變;沿著等溫面的法線方向,溫度的變化率最大。T+2△TT+△TTT-△Txoy溫度應力問題的基本解法§6-1溫度場和熱傳導的基本概念1.溫度場:在任一瞬時,彈3.溫度梯度:沿等溫面的法線方向,指向溫度增大方向的矢量。用△T表示,其大小用表示。其中n為等溫面的法線方向。溫度梯度在各坐標軸的分量為溫度應力問題的基本解法取為等溫面法線方向且指向增溫方向的單位矢量,則有△T(1)3.溫度梯度:沿等溫面的法線方向,指向溫度增大方向的矢量。用4.熱流速度:在單位時間內(nèi)通過等溫面面積S的熱量。用表示。熱流密度:通過等溫面單位面積的熱流速度。用表示,則有溫度應力問題的基本解法其大小為(2)4.熱流速度:在單位時間內(nèi)通過等溫面面積S的熱量。用溫度應力問題的基本解法5.熱傳導基本定理:熱流密度與溫度梯度成正比而方向相反。即(3)由(1)和(3)可見,熱流密度的大小可見,導熱系數(shù)表示“在單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度”。稱為導熱系數(shù)。由(1)、(2)、(3)式得△T溫度應力問題的基本解法5.熱傳導基本定理:熱流密度與溫度梯度熱流密度在坐標軸上的投影可見:熱流密度在任一方向的分量,等于導熱系數(shù)乘以溫度在該方向的遞減率。溫度應力問題的基本解法熱流密度在坐標軸上的投影可見:熱流密度在任一方向的分量,等于

熱量平衡原理:在任意一段時間內(nèi),物體的任一微小部分所積蓄的熱量,等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量?!?-2熱傳導微分方程xyz

取圖示微小六面體dxdydz。假定該六面體的溫度在dt時間內(nèi)由T升高到。由溫度所積蓄的熱量是,其中是物體的密度,C是單位質(zhì)量的物體升高一度時所需的熱量——比熱容。溫度應力問題的基本解法熱量平衡原理:在任意一段時間內(nèi),物體的任一微小部分所溫度應力問題的基本解法

在同一段時間dt內(nèi),由六面體左面?zhèn)魅霟崃縬xdydzdt,由右面?zhèn)鞒鰺崃?。因此,傳入的凈熱量為將代入可見:由左右兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河缮舷聝擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河汕昂髢擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋阂虼?,傳入六面體的總凈熱量為:簡記為:溫度應力問題的基本解法在同一段時間dt內(nèi),由六面體左

假定物體內(nèi)部有正熱源供熱,在單位時間、單位體積供熱為W,則該熱源在時間dt內(nèi)所供熱量為Wdxdydzdt。根據(jù)熱量平衡原理得:溫度應力問題的基本解法化簡后得:記則這就是熱傳導微分方程。假定物體內(nèi)部有正熱源供熱,在單位時間、單位體積供熱為§6-3溫度場的邊值條件

初始條件:邊界條件分四種形式:第一類邊界條件已知物體表面上任意一點在所有瞬時的溫度,即其中Ts是物體表面溫度。第二類邊界條件已知物體表面上任意一點的法向熱流密度,即其中角碼s表示“表面”,角碼n表示法向。溫度應力問題的基本解法

為了能夠求解熱傳導微分方程,從而求得溫度場,必須已知物體在初瞬時的溫度,即所謂初始條件;同時還必須已知初瞬時以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律,即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為初值條件?!?-3溫度場的邊值條件初始條件:溫度應力問題的

第三類邊界條件已知物體邊界上任意一點在所有瞬時的運流(對流)放熱情況。按照熱量的運流定理,在單位時間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度,是和兩者的溫差成正比的,即溫度應力問題的基本解法其中Te是周圍介質(zhì)的溫度;稱為運流放熱系數(shù),或簡稱熱系數(shù)。第四類邊界條件已知兩物體完全接觸,并以熱傳導方式進行熱交換。即第三類邊界條件已知物體邊界上任意一點在所有瞬時的§6-4按位移求解溫度應力的平面問題

設彈性體內(nèi)各點的溫變?yōu)門。對于各向同性體,若不受約束,則彈性體內(nèi)各點的微小長度,都將產(chǎn)生正應變(是彈性體的膨脹系數(shù)),這樣,彈性體內(nèi)各點的形變分量為溫度應力問題的基本解法

但是,由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分之間的相互約束,上述形變并不能自由發(fā)生,于是就產(chǎn)生了應力,即所謂溫度應力。這個溫度應力又將由于物體的彈性而引起附加的形變,如虎克定理所示。因此,彈性體總的形變分量是:§6-4按位移求解溫度應力的平面問題設彈性體內(nèi)各對于平面應力的變溫問題,上式簡化為溫度應力問題的基本解法這就是平面應力問題熱彈性力學的物理方程。對于平面應力的變溫問題,上式簡化為溫度應力問題的基本解法這就溫度應力問題的基本解法將應力分量用形變分量和變溫T表示的物理方程為:幾何方程仍然為:溫度應力問題的基本解法將應力分量用形變分量和變溫T表示的物理將幾何方程代入物理方程,得用位移分量和變溫T表示的應力分量將上式代入不計體力的平衡微分方程溫度應力問題的基本解法將幾何方程代入物理方程,得用位移分量和變溫T表示的應力分量簡化得:這就是按位移求解溫度應力平面應力問題的微分方程。同理,將應力分量代入無面力的應力邊界條件溫度應力問題的基本解法(1)簡化得:這就是按位移求解溫度應力平面應力問題的微分方程。溫度溫度應力問題的基本解法簡化后得:這是按位移求解溫度應力平面應力問題的應力邊界條件。

位移邊界條件仍然為:

將式(1)、(2)與第二章§2-8中式(1)、(2)對比,可見(2)溫度應力問題的基本解法簡化后得:這是按位移求解溫度應力平面應代替了體力分量X

及Y,而:則得到在平面應變條件下的相應方程。代替了面力分量及。

對于溫度應力的平面應變問題,只須將溫度應力的平面應力問題的溫度應力問題的基本解法代替了體力分量X及Y,而:則得到在平面應變條件下的相§6-5位移勢函數(shù)的引用

由上一節(jié)知:在平面應力的情況下按位移求解溫度應力問題時,須使位移分量u和v滿足微分方程:并在邊界上滿足位移邊界條件和應力邊界條件。實際求解時,宜分兩步進行:(1)求出上述微分的任意一組特解,它只需滿足微分方程,而不一定要滿足邊界條件。(2)不計變溫T,求出微分方程的一組補充解,使它和特解疊加以后,能滿足邊界條件。溫度應力問題的基本解法§6-5位移勢函數(shù)的引用由上一節(jié)知:在平面應力的溫度應力問題的基本解法

引用一個函數(shù),將位移特解取為:函數(shù)稱為位移勢函數(shù)。以和分別作為u和v代入微分方程,簡化后得:由于和都是常量,所以?。簳r,滿足微分方程。因此,可以作為微分方程的一組特解。將以及代入位移分量和變溫T表示的應力分量表達式溫度應力問題的基本解法引用一個函數(shù)溫度應力問題的基本解法可得相應位移特解的應力分量是:溫度應力問題的基本解法可得相應位移特解的應力分量是:

設,為位移的補充解,則,需滿足齊次微分方程:相應于位移補充解的應力分量為(注意不計變溫,即T=0):溫度應力問題的基本解法設,為位移的補充解,則,需滿總的應力分量是:需滿足應力邊界條件。在應力邊界問題中(沒有位移邊界條件),可以把相應于位移補充解的應力分量直接用應力函數(shù)來表示,即其中的應力函數(shù)可以按照應力邊界條件的要求來選取。溫度應力問題的基本解法

在平面應變條件下,將上述各方程中的這樣總的位移分量是:需滿足位移邊界條件??偟膽Ψ至渴牵盒铦M足應力邊界條件。在應力邊界問題中(沒有位溫度應力問題的基本解法例1圖示矩形薄板中發(fā)生如下的變溫:其中的T0是常量。若,試求其溫度應力。xyoaabb解:位移勢函數(shù)所應滿足的微分方程為比較兩邊系數(shù),得代入上式,得取溫度應力問題的基本解法例1圖示矩形薄板中發(fā)生如下的變溫:將A,B回代,得位移勢函數(shù)于是相應于位移特解的應力分量為為求補充解,取可得所需要的相應于位移補充解的應力分量:溫度應力問題的基本解法因此,總的應力分量為邊界條件要求將A,B回代,得位移勢函數(shù)溫度應力問題的基本解法因此,總的應顯然,后三個條件是滿足的;而第一個條件不能滿足,但由于,可應用圣維南原理,把第一個條件變換為靜力等效條件,即,在的邊界上,的主矢量及主矩等于零:將溫度應力問題的基本解法代入上式,求得于是矩形板的溫度應力為:顯然,后三個條件是滿足的;而第一個條件不能滿足,但由于§6-6軸對稱溫度場平面熱應力問題

對于圓形、圓環(huán)及圓筒等這類軸對稱結構彈性體,若其變溫也是軸對稱的T=T(r),則可簡化為軸對稱溫度場平面熱應力問題。軸對稱溫度場平面熱應力問題,宜采用極坐標求解。不考慮體積力平面應力問題平衡方程

在軸對稱問題中得到簡化,其第二式自然滿足;而第一式成為溫度應力問題的基本解法§6-6軸對稱溫度場平面熱應力問題對于圓形、圓環(huán)溫度應力問題的基本解法

幾何方程簡化為

物理方程簡化為

將應力用應變表示溫度應力問題的基本解法幾何方程簡化為物理方程簡化為

將幾何方程代入上式,然后將其代入平衡方程,得按位移求解軸對稱熱應力的基本方程:或寫成:

積分兩次可得到軸對稱問題位移分量:式中A,B為任意常數(shù),積分下限取為a。由上式可得應力分量:溫度應力問題的基本解法將幾何方程代入上式,然后將其代入平衡方程,得按位移求其中常數(shù)A,B由邊界條件確定。在平面應變的情況下,只需在以上各式中將例2設有一厚壁圓筒,內(nèi)半徑為a,外半徑為b。從一均勻溫度加熱,內(nèi)表面增溫Ta

,外表面增溫Tb,如圖所示。試求筒內(nèi)無熱源,熱流穩(wěn)定后的熱應力。abTaTb得無熱源,熱流穩(wěn)定后的熱傳導微分方程為解:首先求溫度場。由熱傳導微分方程溫度應力問題的基本解法其中常數(shù)A,B由邊界條件確定。例2設有一厚壁圓筒,內(nèi)半徑對于軸對稱溫度場有

積分兩次得:或

由邊界條件:求出A,B后回代,得溫度場:溫度應力問題的基本解法對于軸對稱溫度場有積分兩次得:或由邊界條件:求出A,B后積分后得溫度應力問題的基本解法將T代入平面應變問題應力表達式積分后得溫度應力問題的基本解法將T代入平面應變問題應力表達式練習6.1

圖示矩形薄板中發(fā)生變溫試求溫度應力(假定a遠大于b)xyoaabb解:取可解得所以溫度應力問題的基本解法練習6.1圖示矩形薄板中發(fā)生變溫試求溫度應力(假定a遠大由此得取則溫度應力問題的基本解法由此得取則溫度應力問題的基本解法所以邊界條件顯然滿足由即溫度應力問題的基本解法所以邊界條件顯然滿足由即溫度應力問題的基本解法得而邊界條件恒成立。故溫度應力問題的基本解法得而邊界條件恒成立。故溫度應力問題的基本解法練習6.2

已知半徑為b的均質(zhì)圓盤,置于等溫剛性套箍內(nèi),圓盤和套箍由相同的材料制成,設圓盤按如下規(guī)律加熱套箍溫度則保持為常溫T0,而由此溫度所引起的應變可以忽略,試求距圓盤中心為r處的壓應力值。解:軸對稱平板的平面應力問題的位移的表達式為由于在中心處,即r=0處,u為有限值,因此c2=0。溫度應力問題的基本解法練習6.2已知半徑為b的均質(zhì)圓盤,置于等溫剛性套箍內(nèi),圓當r=b時,u=0,代入(a)即由(b)式得將c1的值代入溫度應力問題的基本解法當r=b時,u=0,代入(a)即由(b)式得將c1的值代入溫得溫度應力問題的基本解法得溫度應力問題的基本解法溫度應力問題的基本解法結束溫度應力問題的基本解法結束此課件下載可自行編輯修改,僅供參考!

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熱量平衡原理:在任意一段時間內(nèi),物體的任一微小部分所積蓄的熱量,等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量?!?-2熱傳導微分方程xyz

取圖示微小六面體dxdydz。假定該六面體的溫度在dt時間內(nèi)由T升高到。由溫度所積蓄的熱量是,其中是物體的密度,C是單位質(zhì)量的物體升高一度時所需的熱量——比熱容。溫度應力問題的基本解法熱量平衡原理:在任意一段時間內(nèi),物體的任一微小部分所溫度應力問題的基本解法

在同一段時間dt內(nèi),由六面體左面?zhèn)魅霟崃縬xdydzdt,由右面?zhèn)鞒鰺崃?。因此,傳入的凈熱量為將代入可見:由左右兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河缮舷聝擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河汕昂髢擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋阂虼?,傳入六面體的總凈熱量為:簡記為:溫度應力問題的基本解法在同一段時間dt內(nèi),由六面體左

假定物體內(nèi)部有正熱源供熱,在單位時間、單位體積供熱為W,則該熱源在時間dt內(nèi)所供熱量為Wdxdydzdt。根據(jù)熱量平衡原理得:溫度應力問題的基本解法化簡后得:記則這就是熱傳導微分方程。假定物體內(nèi)部有正熱源供熱,在單位時間、單位體積供熱為§6-3溫度場的邊值條件

初始條件:邊界條件分四種形式:第一類邊界條件已知物體表面上任意一點在所有瞬時的溫度,即其中Ts是物體表面溫度。第二類邊界條件已知物體表面上任意一點的法向熱流密度,即其中角碼s表示“表面”,角碼n表示法向。溫度應力問題的基本解法

為了能夠求解熱傳導微分方程,從而求得溫度場,必須已知物體在初瞬時的溫度,即所謂初始條件;同時還必須已知初瞬時以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律,即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為初值條件?!?-3溫度場的邊值條件初始條件:溫度應力問題的

第三類邊界條件已知物體邊界上任意一點在所有瞬時的運流(對流)放熱情況。按照熱量的運流定理,在單位時間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度,是和兩者的溫差成正比的,即溫度應力問題的基本解法其中Te是周圍介質(zhì)的溫度;稱為運流放熱系數(shù),或簡稱熱系數(shù)。第四類邊界條件已知兩物體完全接觸,并以熱傳導方式進行熱交換。即第三類邊界條件已知物體邊界上任意一點在所有瞬時的§6-4按位移求解溫度應力的平面問題

設彈性體內(nèi)各點的溫變?yōu)門。對于各向同性體,若不受約束,則彈性體內(nèi)各點的微小長度,都將產(chǎn)生正應變(是彈性體的膨脹系數(shù)),這樣,彈性體內(nèi)各點的形變分量為溫度應力問題的基本解法

但是,由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分之間的相互約束,上述形變并不能自由發(fā)生,于是就產(chǎn)生了應力,即所謂溫度應力。這個溫度應力又將由于物體的彈性而引起附加的形變,如虎克定理所示。因此,彈性體總的形變分量是:§6-4按位移求解溫度應力的平面問題設彈性體內(nèi)各對于平面應力的變溫問題,上式簡化為溫度應力問題的基本解法這就是平面應力問題熱彈性力學的物理方程。對于平面應力的變溫問題,上式簡化為溫度應力問題的基本解法這就溫度應力問題的基本解法將應力分量用形變分量和變溫T表示的物理方程為:幾何方程仍然為:溫度應力問題的基本解法將應力分量用形變分量和變溫T表示的物理將幾何方程代入物理方程,得用位移分量和變溫T表示的應力分量將上式代入不計體力的平衡微分方程溫度應力問題的基本解法將幾何方程代入物理方程,得用位移分量和變溫T表示的應力分量簡化得:這就是按位移求解溫度應力平面應力問題的微分方程。同理,將應力分量代入無面力的應力邊界條件溫度應力問題的基本解法(1)簡化得:這就是按位移求解溫度應力平面應力問題的微分方程。溫度溫度應力問題的基本解法簡化后得:這是按位移求解溫度應力平面應力問題的應力邊界條件。

位移邊界條件仍然為:

將式(1)、(2)與第二章§2-8中式(1)、(2)對比,可見(2)溫度應力問題的基本解法簡化后得:這是按位移求解溫度應力平面應代替了體力分量X

及Y,而:則得到在平面應變條件下的相應方程。代替了面力分量及。

對于溫度應力的平面應變問題,只須將溫度應力的平面應力問題的溫度應力問題的基本解法代替了體力分量X及Y,而:則得到在平面應變條件下的相§6-5位移勢函數(shù)的引用

由上一節(jié)知:在平面應力的情況下按位移求解溫度應力問題時,須使位移分量u和v滿足微分方程:并在邊界上滿足位移邊界條件和應力邊界條件。實際求解時,宜分兩步進行:(1)求出上述微分的任意一組特解,它只需滿足微分方程,而不一定要滿足邊界條件。(2)不計變溫T,求出微分方程的一組補充解,使它和特解疊加以后,能滿足邊界條件。溫度應力問題的基本解法§6-5位移勢函數(shù)的引用由上一節(jié)知:在平面應力的溫度應力問題的基本解法

引用一個函數(shù),將位移特解取為:函數(shù)稱為位移勢函數(shù)。以和分別作為u和v代入微分方程,簡化后得:由于和都是常量,所以取:時,滿足微分方程。因此,可以作為微分方程的一組特解。將以及代入位移分量和變溫T表示的應力分量表達式溫度應力問題的基本解法引用一個函數(shù)溫度應力問題的基本解法可得相應位移特解的應力分量是:溫度應力問題的基本解法可得相應位移特解的應力分量是:

設,為位移的補充解,則,需滿足齊次微分方程:相應于位移補充解的應力分量為(注意不計變溫,即T=0):溫度應力問題的基本解法設,為位移的補充解,則,需滿總的應力分量是:需滿足應力邊界條件。在應力邊界問題中(沒有位移邊界條件),可以把相應于位移補充解的應力分量直接用應力函數(shù)來表示,即其中的應力函數(shù)可以按照應力邊界條件的要求來選取。溫度應力問題的基本解法

在平面應變條件下,將上述各方程中的這樣總的位移分量是:需滿足位移邊界條件??偟膽Ψ至渴牵盒铦M足應力邊界條件。在應力邊界問題中(沒有位溫度應力問題的基本解法例1圖示矩形薄板中發(fā)生如下的變溫:其中的T0是常量。若,試求其溫度應力。xyoaabb解:位移勢函數(shù)所應滿足的微分方程為比較兩邊系數(shù),得代入上式,得取溫度應力問題的基本解法例1圖示矩形薄板中發(fā)生如下的變溫:將A,B回代,得位移勢函數(shù)于是相應于位移特解的應力分量為為求補充解,取可得所需要的相應于位移補充解的應力分量:溫度應力問題的基本解法因此,總的應力分量為邊界條件要求將A,B回代,得位移勢函數(shù)溫度應力問題的基本解法因此,總的應顯然,后三個條件是滿足的;而第一個條件不能滿足,但由于,可應用圣維南原理,把第一個條件變換為靜力等效條件,即,在的邊界上,的主矢量及主矩等于零:將溫度應力問題的基本解法代入上式,求得于是矩形板的溫度應力為:顯然,后三個條件是滿足的;而第一個條件不能滿足,但由于§6-6軸對稱溫度場平面熱應力問題

對于圓形、圓環(huán)及圓筒等這類軸對稱結構彈性體,若其變溫也是軸對稱的T=T(r),則可簡化為軸對稱溫度場平面熱應力問題。軸對稱溫度場平面熱應力問題,宜采用極坐標求解。不考慮體積力平面應力問題平衡方程

在軸對稱問題中得到簡化,其第二式自然滿足;而第一式成為溫度應力問題的基本解法§6-6軸對稱溫度場平面熱應力問題對于圓形、圓環(huán)溫度應力問題的基本解法

幾何方程簡化為

物理方程簡化為

將應力用應變表示溫度應力問題的基本解法幾何方程簡化為物理方程簡化為

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