天津理工大學(xué)大學(xué)物理機械振動

機械振動天津理工大學(xué)理學(xué)院物理系康志泰印1

物體或物體的一部分，在平衡位置附近來回地作周期性運動，叫做機械振動，簡稱振動。振動現(xiàn)象是多種多樣的，它在自然界中是廣泛存在的。機械振動擺的運動、心臟的跳動、氣缸中活塞的運動等簡諧振動最簡單、最基本的振動一切復(fù)雜的振動都可以分解為若干個簡諧振動2用激光時間平均法得到的小提琴全息振動模式圖3紙錐揚聲器的振動模式4mmmxo平衡位置設(shè)物體在位置零處時，沒被拉長也未被壓縮，這時物體在水平方向上不受力的作用，此位置就叫做平衡位置。ff彈簧振子一輕彈簧一端固定，另一端系一物體，放在光滑的水平桌面上。將物體稍微移動后，物體就在彈性力的作用下來回自由振動。平衡位置一彈簧振子的諧振動5以此為坐標(biāo)原點，水平直線為x軸，并設(shè)向右為正。當(dāng)物體相對于平衡位置有一位移x時，無論是在平衡位置的左方還是右方，物體都將受到一個彈性力的作用，此時彈簧被伸長或壓縮。根據(jù)虎克定律，物體所受到的彈性力與位移成正比，且永遠指向平衡位置，因此有負(fù)號表示力和位移的方向相反，即彈性力的方向永遠指向坐標(biāo)原點。彈簧的倔強系數(shù)6位移為零，受力為零，所以加速度為零，但此時速度最大。由于作諧振動的物體所受到的彈性力永遠指向平衡位置，所以它的運動總是一種不斷重復(fù)著的周期性運動。物體在左右兩個端點位移最大，因此所受力的數(shù)值最大，加速度亦最大(f=ma)。但由于物體靜止，其速度為零；物體在原點處7以彈簧振子為例，由于即知令則或二諧振動的運動方程與基本特征8對于其它形式的簡諧振動，例如單擺，其方程形式與此相同，只不過是變量位移x為其它物理量而已。此方程的解用余弦函數(shù)來表示為式中A和是兩個積分常數(shù)。此式和上式一樣都可稱為諧振動的運動方程。彈簧振子所作諧振動的微分方程式9物理意義設(shè)=0，上式可寫成隨著時間的推移，m的位移x在數(shù)值A(chǔ)到-A之間作往復(fù)周期性的變化，即振動。A-AxtpP’010A-AxTtpP’0還可看出出，當(dāng)t=0時時當(dāng)t=2/時時（P點））（P’點）這正是作作諧振動動的物體體往復(fù)運運動了一一次振動物體體離開平平衡位置置的最大大位移振幅A11A-AxTtpP’0物體往復(fù)復(fù)運動一一次所需需的時間間頻率振動的圓頻率周期12諧振動的的基本特特征并不是所所有的振振動都是是簡諧振動動，只有滿滿足于一一定條件件的振動動才是簡簡諧振動動。諧振動的的微分方方程它是由下下式得到到的此方程的的解物體所受受的力或或物體的的加速度度與位移移成正比比而方向向相反是是諧振動動的基本本特征。任何一一個物體體的運動動只要具具有這個個特征即即滿足于于上述方方程，則則必遵循循x=Acos(t+)這一一運動方方程而作作簡諧振振動。13由三角學(xué)學(xué)知令則有此時有此式與等效上述兩式式都是微微分方程程的解，，也就都都可以作作為簡諧諧振動的的運動方方程。為為了初學(xué)學(xué)的便利利，一般般采用余余弦形式式。14諧振動的的速度和和加速度度已知簡諧諧振動的的位移則物體的的運動速速度加速度物體作簡簡諧振動動時，不不但它的的位移隨隨時間作作周期性性變化，，它的速速度和加加速度也也隨時間間作周期期性變化化。15設(shè)有一長長度等于于A的矢量三參參考圓（（旋轉(zhuǎn)矢矢量）諧諧振動的的位相在圖示平平面內(nèi)繞繞原點以以角速度度逆時針針旋轉(zhuǎn)（（與圓圓頻率等等值）。。矢徑端端點M在在空間的的軌跡是是一圓。。M在0x軸上的投投影P點點就在0x軸上上作往復(fù)復(fù)運動。。M點t=0時時刻在位位置M0矢徑A與與0x軸的夾角角是pM0Mxyox16在以后任任一時刻刻t，M點的的位置矢矢徑與0x軸的夾角角為（t+）。?？疾霱點點在0x軸上的投投影點P的運動動，易看看出在任任一時刻刻t，A在0x軸上的投投影是：：pM0Mxyox17此結(jié)果正正說明P點在0x軸上作諧諧振動。。反過來來說，任任何一個個諧振動動都可以以想象為為某一相相應(yīng)參考考圓上M點的投投影，M點就叫叫參考點。諧振動的的運動方方程18數(shù)值上等等于它所所對應(yīng)的的參考圓圓的半徑徑當(dāng)然振動動中并不不存在角角速度問問題，但但聯(lián)系參參考圓來來理解是很方方便的。。振幅矢量量A諧振動的的周期M點繞圓圓周運動動一周所所需的時時間（即即P點往往復(fù)運動動一次所所需的時時間）圓頻率M點的角角速度pM0Mxyox19現(xiàn)在已知知運動方程程速度加速度都包含有有（t+）項，，括號中中的整體體具有角角度量綱綱（弧度度）稱為為相位或周相。在振動動過程中中，相位位（t+）隨隨時間變變化，當(dāng)當(dāng)相位變變化2時，作振振動的質(zhì)質(zhì)點就完完成一次次全振動動。當(dāng)振振幅A為已知時時，任一一時刻的的相位可可完全決決定這一一時刻的的位置和和速度。。初相t=0時時的相位位它決定開開始計時時時的位位置和速速度20pM0Mxyox相位與初初相位21當(dāng)位移為為零時，，加速度度也為零零，但速速度的數(shù)數(shù)值最大大；而當(dāng)當(dāng)加速度度的數(shù)值值最大時時，位移移的數(shù)值值也最大大，但加加速度與與位移的的方向相相反，此此時速度度等于零零。Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A諧振動的的x、v、a與t的關(guān)系圖圖三者的周周期相同同，但在在同一時時刻三者者的相位位不同。。22前面曾令令周期頻率T與稱為固固有周期期和固有有頻率。。其它振動動系統(tǒng)例例如單擺擺，振動動周期與與頻率也也是由振振動系統(tǒng)統(tǒng)本身力力學(xué)性質(zhì)質(zhì)決定，，與振幅幅及初相相無關(guān)。。振子的周周期（頻頻率）是是由振動動系統(tǒng)本本身力學(xué)學(xué)性質(zhì)決決定，而而與振幅幅及初相相位無關(guān)關(guān)。四彈彈簧振子子的周期期、振幅幅及初位位相的確確定xA023振幅及及初相相的確確定已知A和可由由振動動初始始條件件來確確定將兩式式平方方，有有相加得得到若t=0，x=x0，v=v0，則24將兩式式平方方，有有相加得得到即及上述結(jié)結(jié)果表表明，，如果果已知知初位位移x0和初速速度v0，就能能由上上式求求出諧諧振動動的振振幅和和初位位相。。25①起始時時，小小球在在振動動正方方向的的端點點，即即t=0時時，x=A，，則cos=1=0。小球從從正的的最大大位移移開始始運動動時，，初相相=0，運運動方方程的的形式式為利用旋旋轉(zhuǎn)矢矢量法法，據(jù)據(jù)起始始條件件可立立即看看出矢矢徑A在0A位位置，，即矢矢徑與與X軸軸之間間的夾夾角為為零，，所以以初位位相為為零。。初相位位也可可用參參考圓圓法確確定假定彈彈簧下下掛一一小球球作諧諧振動動，其其方程程為xA00A=026用旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢量量圖畫畫簡諧諧運動動的圖27②起始時時，小小球在在振動動負(fù)方方向的的端點點當(dāng)t=0時，，x=－－A，，此時時v=00Ax0x=-A28③起始時時在平平衡位位置向向負(fù)方方向運運動當(dāng)t=0時，，x=0，此此時小球沿沿x軸負(fù)方方向運運動，，所以以v<0，則則取方程x00x29用旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢量量圖畫畫簡諧諧運動動的圖30④起始時時在平平衡位位置向向正方方向運運動當(dāng)t=0時，，x=0，此此時小球沿沿x軸正方方向運運動，，所以以v>0，則則取或x00xA31⑤起始時時過x=A/2向向x正方向向運動動當(dāng)t=0時，，x=A/2，此此時小球沿沿x軸正方方向運運動，，所以以v>0，則則取或方程x0A/20xAA/232振動曲曲線①起始時時小球球在振振動正正方向向的端端點tx0AA/20A=033tx0AA/2①起始時時小球球在振振動正正方向向的端端點②起始始時小小球在在振動動負(fù)方方向的的端點點振動曲曲線0x=A34tx0AA/2①起始時時小球球在振振動正正方向向的端端點②起始始時小小球在在振動動負(fù)方方向的的端點點③起始始時在在平衡衡位置置向負(fù)負(fù)方向向運動動振動曲曲線0x35tx0AA/2①起始時時小球球在振振動正正方向向的端端點②起始始時小小球在在振動動負(fù)方方向的的端點點③起始始時在在平衡衡位置置向負(fù)負(fù)方向向運動動④起始始時在在平衡衡位置置向正正方向向運動動振動曲曲線0xA36tx0AA/2①起始時時小球球在振振動正正方向向的端端點②起始始時小小球在在振動動負(fù)方方向的的端點點③起始始時在在平衡衡位置置向負(fù)負(fù)方向向運動動④起始始時在在平衡衡位置置向正正方向向運動動⑤起始始時過過x=A/2向向x正方向向運動動（紅虛線線）振動曲曲線0xAA/237tx0AA/2①起始時時小球球在振振動正正方向向的端端點②起始始時小小球在在振動動負(fù)方方向的的端點點③起始始時在在平衡衡位置置向負(fù)負(fù)方向向運動動④起始始時在在平衡衡位置置向正正方向向運動動⑤起始始時過過x=A/2向向x正方向向運動動（紅虛線線）(6)起始始時過過x=A/2向向x負(fù)方向向運動動（黑黑虛線線）振動曲曲線38k為彈簧簧的倔倔強系系數(shù)，，負(fù)號號表示示力和和位移移的方方向相相反，，即彈彈性力力的方方向永永遠指指向原原點。。物體在在左右右兩個個端點點位移移最大大，因因此所所受力力的數(shù)數(shù)值最最大，，加速速度亦亦最大大。但但由于于物體體靜止止，其其速度度為零零；但但在其其原點點處，，位移移為零零，受受力為為零，，所以以加速速度為為零，，但此此時速速度最最大。?；⒖硕ǘ蒻mmxo平衡位置ff39運動方方程mmmxo平衡位置ff40設(shè)=0圖像如如下A-AxTtpP’0此圖像像表明明，隨隨著時時間的的推移移，m的位移移x在數(shù)值值A(chǔ)到到-A之間間作往往復(fù)周周期性性的變變化，，即振振動。。A振幅：：振動物物體離離開平平衡位位置的的最大大位移移周期：：作諧諧振動動的物物體往往復(fù)運運動一一次所所需的的時間間T41A-AxTtpP’0頻率圓頻率率42諧振動動的速速度和和加速速度已知簡簡諧振振動的的位移移則物體體的運運動速速度加速度度Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A43pM0Mxyox在任一一時刻刻t，A在0x軸上的的投影影是參考圓圓（旋旋轉(zhuǎn)矢矢量））諧振振動的的位相相諧振動動的運運動方方程44上述結(jié)結(jié)果表表明，，如果果已知知初位位移x0和初速速度v0，就能能由上上式求求出諧諧振動動的振振幅和和初位位相。。彈簧振振子的的周期期、振振幅及及初位位相的的確定定則彈簧簧振子子的周周期頻率初位相相也可可以用用參考考圓法法來確確定452.如如圖所所示，，以向向右為為正方方向，，用向向左的的力壓壓縮一一彈簧簧，然然后松松手任任其振振動。。若從從松手手時開開始計計時，，則該該彈簧簧振子子的初初相應(yīng)應(yīng)為mF0[]D0x=A起始時時物體體在X軸負(fù)負(fù)方向向的端端點465一一個質(zhì)質(zhì)點作作簡諧諧振動動，已已知質(zhì)質(zhì)點由由平衡衡位置置運動動到二二分之之一最最大位位移處處所需需要的的最短短時間間為t0，則該該質(zhì)點點的振振動周周期T應(yīng)為為（A））4t0（B））12t0（C））6t0（D））8t0A/2x平衡位位置開開始，，=-/2，二分之之一最最大位位移處處取[]B方程為為477.一一簡諧諧振動動的旋旋轉(zhuǎn)矢矢量圖圖如圖圖所示示，設(shè)設(shè)圖中中圓的的半徑徑為R，則則該簡簡諧振振動的的振動動方程程為0xt/4t=tt=0[]A488.已已知某某簡諧諧振動動的振振動曲曲線如如圖所所示，，位移移的單單位為為米，，時間間單位位為秒秒，則則此簡簡諧振振動的的振動動方程程為x(m)t(s)010–54[]C-A/2-2/3x493.已知簡簡諧振振動x=Acos(t+0)的周周期為為T，，在t=T/2時質(zhì)質(zhì)點的的速度度為____________;加速速度為為____________。505.一一簡諧諧振動動的振振動曲曲線如如圖所所示，，則由由圖可可得其其振幅幅為__________，，其初初相位位_________，，其周周期為為________，其其振動動方程程為______________.x(cm)t(s)0–5–10102-A/22/3v>0，，取=-/2或=3/251由于五簡簡諧振動動的能量量以彈簧振振子為例例，當(dāng)物物體處于于位移為為x的某點時時，其速速度為v，具有動能彈性勢能能m0xx52彈簧振子子作簡諧諧振動時時的總機機械能為為振動過程程中，振振幅A是是一恒量量，所以以諧振動動的機械械能為一一恒量，，即機械械能守恒恒。530EEkEpt能量變化化與時間間的關(guān)系系曲線盡管作諧諧振動的的物體的的動能和和勢能分分別隨時時間作周周期性變變化，但但諧振動動的總能能量保持持恒定不不隨時間間變化。。在運動動過程中中，動能能和勢能能相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化，而而總和保保持不變變，即符符合機械械能守恒恒與轉(zhuǎn)化化定律。。對于作諧諧振動的的一定的的振動系系統(tǒng)，振振動的總總能量與與振幅的的平方成成正比，，這個規(guī)規(guī)律具有有普遍意意義。對對其它形形式的振振動及波波動也適適用。54考慮兩簡簡諧振動動，其頻頻率相同同，但相相位不同同。其振振動方程程為顯然在同同一時刻刻t，它們的的相位不不同，因因此它們們在同一一時刻的的運動狀狀態(tài)亦不不同，即即一個比比一個超超前或落落后一些些。這種種差異就就可以用用它們之之間的相相位差來來描述。。即在同頻頻率的條條件下，，它們的的相位差差等于它它們的初初相差。。七相位差差550PQN(2)M(1)12x假定兩振振動的振振幅相同同，我們們用OM和ON分別代代表這兩兩個振動動的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢量，，它們的的長度相相等，初初角位置置分別是是1和2，并設(shè)2>1。由于頻率率相同即即旋轉(zhuǎn)角角速度相相同，所所以O(shè)N矢量的的運動始始終比OM矢量量的運動動超前一一個角度度2－1，相應(yīng)地地端點N在x軸上的投投影點Q及端點點M在x軸上的投投影點P，在同同一直線線上作簡簡諧振動動，它們們的振幅幅和頻率率相同，，但在步步調(diào)上有有先后之之分。利用參考考圓法可可進一步步理解相相位差56用兩相位位來加以以比較知知，Q點點比P點點的振動動超前一一恒定的的相位差差2－1，在振動動的步調(diào)調(diào)上Q點點要比P點超前前一段時時間△tA-A1(P)2(Q)xt此兩振動動的位移移與時間間關(guān)系曲曲線如下下圖。如如果把紅紅線向左左方沿t軸移動t，兩曲線線重迭。。這表明明振動2（Q點點）取某某一x值的時刻刻比振動動1（P點）取取同一x值的時刻刻提前t，也就是是Q點的的振動在在時間上上比P點點超前t，在相位位上就是是超前t·=2－1（當(dāng)然也也可以說說振動1比振動動2落后后相位））。571122xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)兩振動相相位相差差半周期期，反向。相位差2－1可正可負(fù)負(fù)，相應(yīng)應(yīng)地常說說振動2比振動動1超前前或落后后。2=1兩個振動動同相2－1=58實際問題題中，常常遇到一一質(zhì)點同同時參與與兩個或或幾個振振動的情情況，例例如兩列列聲波傳傳到某處處，該處處的空氣氣質(zhì)點就就同時參參與這兩兩個振動動，這就就需要討討論振動動的合成成問題。。設(shè)有物體體同時參參與兩個個頻率相相等，沿沿著同一一方向例例如X軸軸的諧振振動，它它們的振振動方程程分別是是下面求合合振動的的方程八兩兩同方向向同頻率率簡諧振振動的合合成59xx2x1p1pp1AA2A1210用參考圓圓法。振振幅矢量量A1和A2以同樣的的角速度度繞原點點0轉(zhuǎn)動動，在x軸上的投投影x1和x2分別是P1和P2點沿x軸作諧振振動的位位移。因因角速度度相同，，A1和A2在轉(zhuǎn)動過過程中始始終保持持一定的的夾角2－1，且它們們的矢量量和A始終保持持一定的的大小，，又以同同樣的角角速度繞原點點轉(zhuǎn)動。。這表明明合成矢矢量A的端點在在x軸上的投投影點P也沿x軸作諧振振動，A的投影x就是P點作諧振振動的位位移，即即可知，兩兩同方向向同頻率率諧振動動的合成成運動也也是一諧諧振動，，其振動動方程為為60xx2x1p1pp1AA2A1210如果用三三角函數(shù)數(shù)的方法法進行運運算同樣樣可以得得到上述述結(jié)果。。式中的初初相及合成成振幅A可從圖圖上直接接得出611、應(yīng)用用解析法法令620AA2A1xt從上式中中可以看看出，合合振幅A除了與與分振幅幅A1、A2有關(guān)外，，還決定定于兩個個振動的的位相差差。討論論兩種特特殊情況況。①即兩分振振動的位位相差為為2的整數(shù)數(shù)倍。這這種情況況叫同位相，此時上式表明明，此時時合振幅幅為最大大，兩個個分振動動的合成成效果使使振動加加強。63（1）相位差64②0AA2A1xt即兩分振振動的位位相差等等于的奇數(shù)數(shù)倍時，，位相相相反。這表明此此種情況況下合振振幅最小小，兩分分振動的的合成效效果使振振動減弱弱。65（2）相位差66AA2A1xt特別地，，若A1=A2，則A=0，，即物體體處于靜靜止?fàn)顟B(tài)態(tài)。一般地，，若=2－1為上述兩兩種特殊殊情況外外的任意意值時，，合振幅幅A在A1+A2和|A1－A2|之間。。6