高中物理奧林匹克競(jìng)賽專(zhuān)題力矩與功

11/1111/1111/11§4－4力矩作功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理引言：從力矩對(duì)空間的累積作用出發(fā),引入力矩的功的概念,并得到剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理。一、力矩作功1．引入：質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下發(fā)生位移——力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功剛體在力矩的作用下發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)——力矩對(duì)剛體作功2．力矩所作的元功：剛體在外力F的作用下,繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角位移為dθ,力F的作用點(diǎn)位移的大小為ds=rdθ。根據(jù)功的定義式,可知力F在這段位移內(nèi)所作的功為由于力轉(zhuǎn)軸的力矩為,所以即力矩所作的功等于力矩與角位移的乘積。3．恒力矩所作的功當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)θ時(shí),力矩所作的功為如果力矩的大小和方向不變,那么當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),力矩所作的功為即恒力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功,等于力矩的大小與轉(zhuǎn)過(guò)的角度的乘積。4．變力矩所作的功說(shuō)明：力矩作功的實(shí)質(zhì)仍然是力作功。只是對(duì)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的情況,這個(gè)功不是用力的位移來(lái)表示,而是用力矩的角位移來(lái)表示。二、力矩的功率引入：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功的快慢可以用功率來(lái)表示,同樣,力矩對(duì)剛體作功的快慢可以用力矩的功率來(lái)表示。定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)力矩對(duì)剛體所作的功對(duì)于剛體在恒力矩的作用下,力矩的功率為即力矩的功率等于力矩與角速度的乘積。當(dāng)功率一定時(shí),轉(zhuǎn)速越大,力矩越??；轉(zhuǎn)速越小,力矩越大。三、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能問(wèn)題：質(zhì)量為m,速度為v的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為mv2/2,那么繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能為多少呢？設(shè)剛體以角速度ω作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),取一質(zhì)元Δmi,距轉(zhuǎn)軸ri,那么此質(zhì)元的速度為vi=miω,動(dòng)能為整個(gè)剛體的動(dòng)能就是各個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能之和用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示,那么有即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的平方的乘積的一半。四、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理問(wèn)題：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功使質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能發(fā)生變化,那么力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體作功會(huì)產(chǎn)生什么效果？設(shè)在合外力矩M的作用下,剛體繞定軸轉(zhuǎn)過(guò)的角位移為dθ,合外力矩對(duì)剛體所作的元功為dW=Mdθ由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得假設(shè)在時(shí)間內(nèi),由于合外力矩對(duì)剛體作功,使得剛體的角速度從ω0變成ω,那么合外力矩對(duì)剛體所作的功為即轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。例題：如下圖,一質(zhì)量為M、半徑為R的圓盤(pán),可繞一無(wú)摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤(pán)上繞有輕繩,一端懸掛質(zhì)量為m的物體。問(wèn)物體由靜止下落高度h時(shí),其速度的大小為多少？設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì)。解：圓盤(pán)和物體的受力如圖,對(duì)于圓盤(pán),根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定律式中Δθ為圓盤(pán)在力矩的作用下轉(zhuǎn)過(guò)的角度,ω0與ω為圓盤(pán)在開(kāi)始和終了時(shí)的角速度,J為圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于物體來(lái)說(shuō),由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理,得式中v0與v為物體在開(kāi)始和終了時(shí)的速度。由牛頓第三定律由于繩與圓盤(pán)之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng),故有和解上述方程,可得補(bǔ)充內(nèi)容：剛體的重力勢(shì)能：在重力場(chǎng)中,剛體也具有一定的重力勢(shì)能,它等于剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能之和。可以證明,剛體的重力勢(shì)能為其中m為剛體的質(zhì)量,hc為剛體重心距勢(shì)能零點(diǎn)的高度。功能原理與機(jī)械能守恒定律：對(duì)于既有平動(dòng)物體又有繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),上一章介紹的功能原理仍然成立。如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,只有保守內(nèi)力作功,那么機(jī)械能守恒定律同樣適用。需要注意的是,系統(tǒng)的動(dòng)能應(yīng)該包括系統(tǒng)內(nèi)平動(dòng)物體的平動(dòng)動(dòng)能和繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,勢(shì)能是平動(dòng)物體和轉(zhuǎn)動(dòng)物體的勢(shì)能之和。

*§4－5剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)根本概念〔Plane-parallelMotion〕剛體的運(yùn)動(dòng)可以看作是質(zhì)心的平動(dòng)和剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。如果質(zhì)心被限制在同一平面上運(yùn)動(dòng),那么剛體的運(yùn)動(dòng)就被稱(chēng)為平面平行運(yùn)動(dòng)。根本方程1．質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程——滿(mǎn)足牛頓第二定律其中——作用在剛體上的合外力——?jiǎng)傮w的質(zhì)量——質(zhì)心的速度——質(zhì)心的加速度2．剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)——遵守轉(zhuǎn)動(dòng)定律其中——對(duì)通過(guò)質(zhì)心平面而垂直于運(yùn)動(dòng)平面的轉(zhuǎn)軸的合外力矩——?jiǎng)傮w繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度——?jiǎng)傮w繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度——?jiǎng)傮w繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3．剛體的動(dòng)能其中——質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能——?jiǎng)傮w繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能4．剛體的勢(shì)能——質(zhì)心的勢(shì)能其中——質(zhì)心相對(duì)于重力勢(shì)能零點(diǎn)的高度三、例題例1．一繩索繞在半徑為、質(zhì)量為的均勻圓盤(pán)的圓周上,繩的另一端懸掛在天花板上,如下圖。繩的質(zhì)量忽略不計(jì),求(1)圓盤(pán)質(zhì)心的角速度；(2)繩的張力。解：作用在圓盤(pán)上力有重力和繩索的張力。選豎直向下為軸的正方向。對(duì)于質(zhì)心的平動(dòng),由質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程得其中為質(zhì)心相對(duì)于天花板的加速度。以通過(guò)垂直圓盤(pán)質(zhì)心的軸為轉(zhuǎn)軸,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得其中,,為繞通過(guò)圓盤(pán)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的角加速度。當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),繩索相對(duì)于圓盤(pán)質(zhì)心的加速度為此加速度與圓盤(pán)質(zhì)心相對(duì)于天花板的加速度相等求解上述方程,可得例2．懸掛兩重物的塔形滑輪的運(yùn)動(dòng)如下圖,一個(gè)組合滑輪由兩個(gè)勻質(zhì)的圓盤(pán)固接而成,大盤(pán)質(zhì)量M1=6kg,半徑R=0.10m,小盤(pán)質(zhì)量M2=4kg,半徑r=0.05m。兩盤(pán)邊緣上分別繞有細(xì)繩,細(xì)繩的下端各懸掛質(zhì)量m1=m2=2kg的物體。此物體由靜止釋放,求：(1)兩物體m1、m2的加速度大??；(2)兩繩中的張力。思考與分析：這是一個(gè)由質(zhì)點(diǎn)和剛體組成的系統(tǒng),首先要明確,處理這類(lèi)問(wèn)題的根本方法是隔離體法。對(duì)質(zhì)點(diǎn)分析受力,應(yīng)用牛頓定律。對(duì)剛體要分析所受力矩和角加速度,應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律。然后通過(guò)角量與線量的關(guān)系,把質(zhì)點(diǎn)的加速度與剛體的角加速度聯(lián)系起來(lái)。解：對(duì)質(zhì)點(diǎn)m1：m1g-T1=m1a1(1)對(duì)質(zhì)點(diǎn)m2：T2-m2g=m2a2(2)對(duì)于滑輪：畫(huà)出受力圖其中G=(M1+M2)g1．四個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的大小和方向：MN=MG=0理由：作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸MT1=RT1方向R×T1,⊕MT2=rT2方向r×T2,2．設(shè)⊕方向?yàn)檎?由轉(zhuǎn)動(dòng)定律RT1－rT2=(J1+J2)α=〔M1R2/2+M2r2/2〕α(3)3．M1的加速度a1,即為大盤(pán)邊緣處的切向加速度：a1=Rα(4)同樣a2=rα(5)由(1)式―(5)式解得：其中M1’=M1+M1/2M2’=M2+M2/2a1=Rα=2.45m/s2a2=rα=1.23m/s2T1=M1(g-a1)=14.7NT2=M2(g-a2)=22.1N思考與解答思考1：方程(3)是選兩個(gè)固接圓盤(pán)的整體作為研究對(duì)象,能否分別選大盤(pán)和小盤(pán)作為研究對(duì)象？答：可以。思考2：假設(shè)分別選大盤(pán)和小盤(pán)作為研究對(duì)象,可否將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)成：T2R=J1α(6)-T2r=J2α(7)兩式相加,不是與(3)式一樣嗎？答：不可以。因?yàn)榉謩e選大盤(pán)和小盤(pán)作為研究對(duì)象,兩盤(pán)之間的相互作用力矩是外力矩,應(yīng)當(dāng)考慮,不能遺漏。思考3：分別選大盤(pán)與小盤(pán)為研究對(duì)象時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)該怎樣寫(xiě)才對(duì)？答：設(shè)大盤(pán)與小盤(pán)之間的相互作用力矩的大小為M,那么有T1R-M=J1αM-rT2=J2α例3．如下圖,一均勻細(xì)棒,長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m,可繞過(guò)棒端且垂直于棒的光滑水平固定軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),棒被拉到水平位置從靜止開(kāi)始下落,當(dāng)它轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí),與放在地面上一靜止的質(zhì)量亦為m的小滑塊碰撞,碰撞時(shí)間極短,小滑塊與地面間的摩擦系數(shù)為μ,碰后滑塊移動(dòng)距離S后停止,而棒繼續(xù)沿原轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)動(dòng),直到到達(dá)最大擺角。求：碰撞后棒的中點(diǎn)C離地面的最大高度h。分析：此題有三個(gè)物理過(guò)程：過(guò)程Ⅰ,棒由水平轉(zhuǎn)到豎直的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程中,對(duì)棒和地球系統(tǒng),外力〔軸對(duì)棒〕不作功,僅有保守內(nèi)力作功,機(jī)械能守恒。過(guò)程Ⅱ：棒與滑塊碰撞過(guò)程。碰撞過(guò)程中棒與滑塊的位移都可忽略不計(jì)；由于碰撞時(shí)間極短,并且外力為恒力,因此在碰撞過(guò)程中外力對(duì)軸O的沖量矩可忽略,可近似地用對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒定律求解。過(guò)程Ⅲ：碰撞之后,棒繼續(xù)上擺,棒地系統(tǒng)機(jī)械能守恒,滑塊在水平面上運(yùn)動(dòng)。解：過(guò)程Ⅰ：棒下落過(guò)程,棒、地球系統(tǒng),機(jī)械能守恒(1)其中過(guò)程Ⅱ：棒與滑塊系統(tǒng)碰撞過(guò)程中,對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒(2)過(guò)程Ⅲ：對(duì)滑塊由動(dòng)量定理(3)對(duì)棒、地球系統(tǒng),棒上升過(guò)程中,機(jī)械能守恒(4)由(1)、(2)、(3)、(4)式,并考慮到解得四、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的比擬質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)位置矢量角位置位移角位移速度角速度加速度角加速度力力矩質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)量角動(dòng)量牛頓第二定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能功力矩的功動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

§4－6經(jīng)典力學(xué)的成就和局限性質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和剛體力學(xué)、以及流體力學(xué)和彈性力學(xué)等,都是在牛頓運(yùn)動(dòng)定律的根底上建立起來(lái)的,屬于經(jīng)典力學(xué)范圍。經(jīng)典力學(xué)是理論嚴(yán)密、體系完整的一門(mén)學(xué)科,還是經(jīng)典電磁理論和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的根底。經(jīng)典力學(xué)的應(yīng)用范圍極為廣泛。但是經(jīng)典力學(xué)也有一定的適用范圍。一、經(jīng)典力學(xué)的成就是理論嚴(yán)密、體系完整、應(yīng)用廣泛的一門(mén)科學(xué)是經(jīng)典電磁學(xué)和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的根底促進(jìn)了蒸汽機(jī)和電機(jī)的創(chuàng)造,為產(chǎn)業(yè)革命和電力技術(shù)奠定了根底是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的根底二、經(jīng)典力學(xué)受到的三次嚴(yán)重挑戰(zhàn)1905年愛(ài)因斯坦建立的狹義相對(duì)論1925年前后建立的量子力學(xué)20世紀(jì)60年代發(fā)現(xiàn)的混沌現(xiàn)象三、經(jīng)典力學(xué)適用范圍經(jīng)典力學(xué)只適用于解決物體的低速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,而不能用來(lái)處理高速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題經(jīng)典力學(xué)只適用于宏觀物體,而一般不適用于微觀粒子處理高速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題——相對(duì)論處理微觀粒子問(wèn)題——量子力學(xué)相對(duì)論和量子力學(xué)將在下冊(cè)中討論。前述的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和剛體力學(xué)以及流體力學(xué)、彈性力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等是在牛頓定律的根底上建立起來(lái)的力學(xué)學(xué)科,屬于牛頓力學(xué)或經(jīng)典力學(xué)。經(jīng)典力學(xué)可應(yīng)用于車(chē)輛、行船、行星、火箭,以至于原子、根本粒子等方面,如對(duì)哈雷彗星回歸時(shí)間的預(yù)測(cè)、海王星的發(fā)現(xiàn)、宇宙飛船與空間站的對(duì)接和返回地球等等大課題,都能得到完美的解決。但是,在經(jīng)典力學(xué)不斷取得輝煌成就的同時(shí),在物理學(xué)的開(kāi)展中,特別是從20世紀(jì)初葉以來(lái),就已發(fā)現(xiàn)一些現(xiàn)象是與經(jīng)典力學(xué)的一些概念和定律相抵觸的。這說(shuō)明經(jīng)典力學(xué)只具有相對(duì)的真理性,或者說(shuō)經(jīng)典力學(xué)是有局限性的。概括地講,牛頓力學(xué)在20世紀(jì)中受到了三次具有革命性的嚴(yán)重挑戰(zhàn),這就是1905年愛(ài)因斯坦建立的狹義相對(duì)論、1925年前后建立起來(lái)的量子力學(xué)和20世紀(jì)60年代發(fā)現(xiàn)的混沌現(xiàn)象。這就向人們明確地揭示了牛頓力學(xué)局限性之所在。一、經(jīng)典力學(xué)只適用于處理物體的低速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,而不能用于處理高速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題經(jīng)典力學(xué)把時(shí)間和空間看作是彼此無(wú)關(guān)的；把時(shí)間和空間的根本屬性也看作與物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有任何關(guān)系而是絕對(duì)的、永遠(yuǎn)不變的。這就是所謂經(jīng)典力學(xué)中的“絕對(duì)時(shí)間〞和“絕對(duì)空間〞的觀點(diǎn),也稱(chēng)作牛頓絕對(duì)時(shí)空觀。但是,隨著物理學(xué)的開(kāi)展,特別是19世紀(jì)末葉有了新的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),結(jié)果使經(jīng)典力學(xué)和經(jīng)典電磁理論遇到了很大的困難,牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀和建立在這一根底上的經(jīng)典力學(xué)開(kāi)始陷入了無(wú)法解決的困境。在這種情況下,20世紀(jì)初的1905年,愛(ài)因斯坦提出了狹義相對(duì)論。這一理論描述了一種新的時(shí)空觀,認(rèn)為時(shí)間和空間是相互聯(lián)系的,而且時(shí)間的流逝和空間的延拓也與物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)有不可分割的聯(lián)系。1.高速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的相對(duì)性由愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論可得洛倫茲速度變換式其中,c：光速；：系沿軸相對(duì)于系的速度；：質(zhì)點(diǎn)在系中沿軸的速度；：質(zhì)點(diǎn)在系中沿軸的速度。當(dāng)時(shí),上式變?yōu)榻?jīng)典力學(xué)的伽利略速度變換式。這說(shuō)明,經(jīng)典力學(xué)關(guān)于不同慣性系間的速度變換式,并沒(méi)有正確地表達(dá)出物體運(yùn)動(dòng)間的時(shí)空關(guān)系,它只能近似的適用于質(zhì)點(diǎn)的速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)的低速運(yùn)動(dòng)情況。2.高速運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量和質(zhì)量經(jīng)典力學(xué)中,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量；而由狹義相對(duì)論可知即,質(zhì)點(diǎn)在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)的質(zhì)量為,式中稱(chēng)為靜質(zhì)量,而可稱(chēng)為動(dòng)質(zhì)量或相對(duì)論質(zhì)量?？梢?jiàn),質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是依賴(lài)于其運(yùn)動(dòng)速度的,也就是說(shuō),物質(zhì)的根本屬性是與運(yùn)動(dòng)緊密相聯(lián)的。3.高速運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能,經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)能表達(dá)式是上式在時(shí)的近似值。4.質(zhì)量與能量之間的關(guān)系從狹義相對(duì)論可以得出另一重要結(jié)果,即質(zhì)量與能量之間的關(guān)系為或。這個(gè)關(guān)系式深刻地反映了物質(zhì)與其運(yùn)動(dòng)的不可分割性；有質(zhì)量必有能量,有能量必有質(zhì)量,任何物體都具有質(zhì)量和與之相對(duì)應(yīng)的能量。應(yīng)當(dāng)指出,質(zhì)量和能量是表示物質(zhì)不同屬性的物理量,質(zhì)能關(guān)系式給出的是它們之間的聯(lián)系。它說(shuō)明,質(zhì)量和能量并不是相互獨(dú)立的量,物質(zhì)有什么樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),它就必然具有與之相應(yīng)的質(zhì)量和能量。因此,任何能量的改變同時(shí)有對(duì)應(yīng)的質(zhì)量的改變,或任何質(zhì)量的改變同時(shí)必有相應(yīng)的能量的改變。也就是說(shuō),這兩種改變永遠(yuǎn)是同時(shí)發(fā)生的。因而我們不能把質(zhì)量與能量的這種聯(lián)系誤解為質(zhì)量與能量間的相互轉(zhuǎn)變。二、確定性與隨機(jī)性,非線性經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為,運(yùn)動(dòng)物體今后的行為,是由過(guò)去〔或現(xiàn)在〕的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及物體所受的作用力決定的,這就是牛頓力學(xué)〔或經(jīng)典力學(xué)〕確實(shí)定性。即如果知道物體初始的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力情況,那么就可以根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律列出物體的運(yùn)動(dòng)方程,從而可以確知物體在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。事實(shí)上,確定性確實(shí)取得了大量令人振奮的成就,如哈雷彗星回歸時(shí)間的預(yù)測(cè)、海王星的發(fā)現(xiàn)、宇宙飛船與空間站的對(duì)接和返回地球等等。然而事實(shí)上,物體的運(yùn)動(dòng)并非都是只按照確定性進(jìn)行的,在許多情況下,物體的運(yùn)動(dòng)還表現(xiàn)出相當(dāng)明顯的偶然性、隨機(jī)性。例如,作拋體運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)因?yàn)榭諝獾淖枇Α囟群蜐穸?、風(fēng)速等因素的影響而發(fā)生隨機(jī)的變化。表現(xiàn)物體運(yùn)動(dòng)隨機(jī)性的最典型的例子是布朗運(yùn)動(dòng)。如圖是藤黃粒子在水中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖線。從圖中可看到藤黃粒子的軌跡是一些無(wú)規(guī)那么的折線。這說(shuō)明,藤黃粒子的運(yùn)動(dòng)除了與其起始運(yùn)動(dòng)狀態(tài),以及所受的浮力、粘滯力有關(guān)外,更重要的是與水分子對(duì)其碰撞有關(guān)。由于水分子對(duì)藤黃粒子碰撞的偶然性,致使其因碰撞而受到?jīng)_力的大小和方向也都具有偶然性。這就告訴我們,藤黃粒子在水中運(yùn)動(dòng)軌跡的無(wú)規(guī)性,既反映了確定性,又反映了隨機(jī)性?；蛘哒f(shuō)藤黃粒子的運(yùn)動(dòng)既不是完全確定性的,也不是完全隨機(jī)性的。由此可見(jiàn),自然界存在的運(yùn)動(dòng)是確定性和隨機(jī)性兼而有之的。我們把確定性運(yùn)動(dòng)具有的這種不確性的現(xiàn)象稱(chēng)之為混沌〔Chaos〕。三、能量的連續(xù)性與能量量子化在經(jīng)典力學(xué)中,物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用它的位置和速度〔或動(dòng)量〕來(lái)描述的,而且物體的位置和動(dòng)量在任何時(shí)刻都可具有各種可能的數(shù)值,即它們的變化是連續(xù)的。由此可知,在經(jīng)典力學(xué)中,物體的能量變化亦是連續(xù)的。直至20世紀(jì),普朗克在說(shuō)明黑體輻射的規(guī)律時(shí),首先沖破了能量連續(xù)性這一傳統(tǒng)觀念的束縛,提出了能量量子化的設(shè)想,認(rèn)為能量是不連續(xù)的,而是一份一份的,即量子化。能量量子化是微觀粒子的重要性質(zhì)之一。它指出經(jīng)典物理不能用來(lái)描述像電子、光子、質(zhì)子等微觀粒子的運(yùn)動(dòng)。這樣,繼狹義相對(duì)論之后,經(jīng)德布羅意、薛定諤等人的工作逐步建立了符合微觀粒子特點(diǎn)的新的力學(xué)——量子力學(xué)。量子力學(xué)還指出,描述物體(微觀粒子)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的位置和動(dòng)量有相互聯(lián)系,但不能同時(shí)精確確定,而且一般作不連續(xù)的變化。對(duì)于諸如電子、光子等微觀粒子,一般要用量子力學(xué)來(lái)描述它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但是,對(duì)于宏觀物體,用量子力學(xué)和用經(jīng)典力學(xué)所得的結(jié)果那么相差極微。所以說(shuō),經(jīng)典力學(xué)一般不適用于微觀粒子,而只適用于宏觀物體。由上可知,以牛頓定律為根底建立起來(lái)的經(jīng)典力學(xué),只對(duì)宏觀物體,且其運(yùn)動(dòng)速度比擬小時(shí)才適用。第三章、第四章例題講解第一局部公式對(duì)照表質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度角速度加速度角加速度勻速直線運(yùn)動(dòng)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)力F,質(zhì)量m牛頓第二定律F=ma力矩M,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jb動(dòng)量mv,沖量Ft〔恒力〕動(dòng)量定理ft=mv-mv0〔恒力〕角動(dòng)量Jw,沖量矩Mt〔恒力矩〕角動(dòng)量定理Mt=Jw-J0w0〔恒力矩〕動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律平動(dòng)動(dòng)能常力的功動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能常力矩的功動(dòng)能定理

第二局部例題講解例題一質(zhì)量分別為m1及m2的二滑塊,分別穿于二平行水平光滑的導(dǎo)桿上,二導(dǎo)桿間的距離為d,再以一勁度系數(shù)為k1,原長(zhǎng)為d的輕質(zhì)彈簧連接二滑塊。設(shè)開(kāi)始m1時(shí)位于x1=0處,m2位于x2=l處,且其速度均為零,求釋放后兩滑塊的最大速度分別是多少？解：選擇二滑塊及彈簧組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,那么系統(tǒng)不受外力作用,只有內(nèi)部保守力作功,因此系統(tǒng)機(jī)械能守恒及動(dòng)量守恒。如下圖：

t=0時(shí)刻：彈簧伸長(zhǎng)量為：,初動(dòng)能：EK=0；初始勢(shì)能為：t時(shí)刻：設(shè)兩滑塊的速度分別為v1和v2,那么系統(tǒng)動(dòng)能,勢(shì)能為EPt。由機(jī)械能守恒定律可得顯然EPt=0時(shí)兩個(gè)滑塊的速度到達(dá)最大值,因此：〔1〕由動(dòng)量守恒定律可得：〔2〕聯(lián)立方程〔1〕和〔2〕,即可解得：例題二某彈簧不遵守胡克定律,假設(shè)施力F,那么相應(yīng)伸長(zhǎng)為x,力與伸長(zhǎng)的關(guān)系為,求：〔1〕將彈簧從定長(zhǎng)拉伸到定長(zhǎng)時(shí),外力需做的功?！?〕將彈簧橫放在水平光滑桌面上,一端固定,另一端系一個(gè)質(zhì)量為2.17kg的物體,然后將彈簧拉伸到一定長(zhǎng),再將物體由靜止釋放,求當(dāng)彈簧回到時(shí),物體的速率。〔3〕此彈簧的彈力是保守力嗎？解：〔1〕外力作的功為〔2〕根據(jù)動(dòng)能定理有〔3〕為保守力,因?yàn)槠涔χ慌c彈簧的始末位置有關(guān)和運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)關(guān)。例題三質(zhì)量為m的木塊置于一質(zhì)量為M的鍥上,鍥體傾角為α并放在水平桌面上,所有外表都是光滑的,如圖。如果系統(tǒng)由靜止釋放,任其自由運(yùn)動(dòng),當(dāng)木塊滑下h高碰到桌面時(shí),鍥體的速度為多大？解：選桌面為參照系,建立如圖〔2〕所示的坐標(biāo)系。設(shè)m相對(duì)M速度為,M相對(duì)桌面速度為,m相對(duì)桌面速度為,那么有：圖〔1〕圖〔2〕,,,從而有：注意到水平方向動(dòng)量守恒：解得：〔1〕系統(tǒng)機(jī)械能守恒：〔2〕將〔1〕代入〔2〕即得當(dāng)木塊滑下h高碰到桌面時(shí),鍥體的速度為：例題四兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的木塊A和B,用一質(zhì)量可以忽略不計(jì),勁度系數(shù)為k的彈簧聯(lián)接起來(lái),放置在光滑水平面上,使A緊靠墻壁,然后用力推木塊B使彈簧壓縮了x0,然后釋放。m1=m,m2=3m,求：〔1〕釋放后,A、B兩木塊速度相等時(shí)的瞬時(shí)速度的大??；〔2〕釋放后,彈簧的最大伸長(zhǎng)量。解：〔引導(dǎo)學(xué)生思考分析外力釋放后系統(tǒng)中物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化過(guò)程和遵循的規(guī)律〕。〔1〕釋放后,彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí),A要離開(kāi)墻壁,設(shè)此時(shí)B的速度為vB0,由機(jī)械能守恒得,。A離墻后,系統(tǒng)在光滑水平面上運(yùn)動(dòng),動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒,有：〔1〕〔2〕當(dāng)時(shí),由〔1〕式可得：〔2〕彈簧有最大伸長(zhǎng)量時(shí)：,代入〔2〕式得：例題五如圖,一個(gè)質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián),繩子質(zhì)量可以忽略,它與定滑輪之間無(wú)滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪的質(zhì)量為M、半徑為R,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,滑輪軸光滑。試求該物體由靜止開(kāi)始下落的過(guò)程中,下落速度與時(shí)間的關(guān)系。解：如圖,選取向下為坐標(biāo)軸正向,設(shè)物體下落的角速度為a,滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為β,根據(jù)牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,對(duì)m：〔1〕對(duì)M：〔2〕又因?yàn)椋骸?〕聯(lián)立〔1〕、〔2〕、〔3〕解得：,可見(jiàn)物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。由初始條件,得。例題六如下圖,A、B兩圓盤(pán)可分別繞O1,O2軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。重物C系在繩上〔繩不伸長(zhǎng)〕,且與圓盤(pán)邊緣之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。A、B的半徑分別為R1,R2,A、B、C的質(zhì)量分別為m1,m2,m,求：重物C由靜止下降h時(shí)的速度v。