2020年江蘇南通中考數(shù)學(xué)試卷

word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。息如下表：次數(shù)購頭數(shù)里（件）購買總費(fèi)用（元）AB第一次2155第二次1365根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）求A，B兩種商品的單價(jià)；（2）若第三次購買這兩種商品共12件，且A種商品的數(shù)量不少于B種商品數(shù)量的2倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并說明理由．【解答】解：（1）設(shè)A種商品的單價(jià)為x元，B種商品的單價(jià)為y元，根據(jù)題意可得：f2計(jì)滬55解得：：°，1尸15答：A種商品的單價(jià)為20元，B種商品的單價(jià)為15元；（2）設(shè)第三次購買商品B種a件,則購買A種商品（12-a）件，根據(jù)題意可得:a±2（12-a），得：8WaW12,Tm=20a+15（12-a）=5a+180???當(dāng)a=8時(shí)所花錢數(shù)最少，即購買A商品8件，B商品4件.26.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2-2（k-1）x+k2-k2（k為常數(shù)）.（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1,k2），求k的值；（2）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2k,yx）和點(diǎn)（2,y2），且yx>y2，求k的取值范圍；（3）若將拋物線向右平移1個(gè)單位長度得到新拋物線，當(dāng)1WxW2時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值-色，求k的值.2【解答】解：（1）把點(diǎn)（1,k2）代入拋物線y=x2-2（k-1）x+k2—k，得2k2=l2-2(k-1)+k2-、k2解得k=-|(2)把點(diǎn)(2k,yx)代入拋物線y=x2-2(k-1)x+k2-^-k，得y=(2k)2-2(k-1)?2k+k2-k=k2+k1把點(diǎn)(2,y2)代入拋物線y=x2-2(k-1)x+k2-魯k，得^=22-2(k-1)X2+k2-‘k=k2-，k+82??、1>丫2?°?k2+k>k2-，k+822解得k>1⑶拋物線y=X2-2(k-1)x+k2-號(hào)k解析式配方得y=(x-k+1)2+(-寺k_[)將拋物線向右平移1個(gè)單位長度得到新解析式為y=(x-k)2+(-號(hào)k_l)當(dāng)kV1時(shí)，Kx<2對(duì)應(yīng)的拋物線部分位于對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大,x=1時(shí)，y=(1-k)2-k-1=k2—k，最小22k2-k=-旦，解得k.=1，k2=12都不合題意，舍去；當(dāng)1WkW2時(shí)，y=-丄k-1，最小2???-丄k-1=-■22解得k=1；當(dāng)k>2時(shí)，1WxW2對(duì)應(yīng)的拋物線部分位于對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小,x=2時(shí)，y=(2-k)2—k-1=k2-，k+3，最小22k2-k+3=-—22解得耐=3，k2=■(舍去)122綜上,k=1或3.27.（13分）如圖，正方形ABCD中，AB=2i'E，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，0E=2，連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AE，CF.（1）求證：AE=CF；（2）若A，E，0三點(diǎn)共線，連接OF,求線段OF的長.3）求線段0F長的最小值.【解答】（1）證明：如圖1,由旋轉(zhuǎn)得：ZEDF=90°,ED=DF，???四邊形ABCD是正方形,??.ZADC=90°,AD=CD,???ZADC=ZEDF,即ZADE+ZEDC=ZEDC+ZCDF,???ZADE=ZCDF,在△ADE和厶DCF中，^AD=CD?「三憶E二/CDF,tDE=DF.?.△ADE竺ADCF,?AE=CF；（2）解：如圖2,過F作0C的垂線，交BC的延長線于P,V0是BC的中點(diǎn)，且AB=BC=2育,*?*A,E,0三點(diǎn)共線，???0B=.豆由勾股定理得：A0=5，V0E=2,

???AE=5-2=3,由（1）知：△ADEQADCF,.\ZDAE=ZDCF,CF=AE=3,VZBAD=ZDCP,.\ZOAB=ZPCF,VZABO=ZP=90°???△ABO^???△ABO^△CPF,?CP=2PF,設(shè)PF=x,則CP=2x,由勾股定理得：32=X2+(2x)2,x=或-((舍),由勾股定理得：OF=?FP二弘5,由勾股定理得：OF=5(3)解：如圖3,由于OE=2，所以E點(diǎn)可以看作是以O(shè)為圓心，2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng),延長BA到P點(diǎn)，使得AP=OC,連接PE,VAE=CF,ZPAE=ZOCF,???△PAEQAOCF,?PE=OF,當(dāng)PE最小時(shí)，為O、E、P三點(diǎn)共線,OP=H話+PE上,「(5尸+詩灼)上5'叵???PE=OF=OP-OE=5_邁-2,???OF的最小值是5?一邁-2.

28．（13分）【定義】如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱點(diǎn)A',連接AB交直線丨于點(diǎn)P,連接AP,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A,B關(guān)于直線丨的“等角點(diǎn)”．【運(yùn)用】如圖2,在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知A（2,燥），B（-2,-伍）兩點(diǎn)．（1）C（4,唾），D（4,匹），E（4,丄）三點(diǎn)中，點(diǎn)C是點(diǎn)A,B關(guān)于直222線x=4的等角點(diǎn)；（2）若直線l垂直于x軸，點(diǎn)P（m,n）是點(diǎn)A,B關(guān)于直線丨的等角點(diǎn)，其中m>2,ZAPB=a，求證：tan—；22（3）若點(diǎn)P是點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=ax+b（aHO）的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)ZAPB=60°時(shí)，求b的取值范圍（直接寫出結(jié)果）.

【解答】解：(1)點(diǎn)B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱點(diǎn)為Bz(10,-i?(2)如圖，過點(diǎn)A作直線丨的對(duì)稱點(diǎn)A',連A?,交直線丨于點(diǎn)P作BH丄I于點(diǎn)HLG/0JBH???點(diǎn)A和A'關(guān)于直線I對(duì)稱.??ZAPG=ZA'PGVZBPH=ZA/PG???ZAGP=ZBPHVZAGP=ZBHP=90°.?.△AGPs&HP?AG二GP，即葉…麗訐，二n+V5?°?mn=2T3,即卩m=—VZAPB=a，AP=AP'??.ZA=ZA=詈

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的右下方，ZAPB=60°時(shí)，點(diǎn)P在以AB為弦，所對(duì)圓周為60°，且圓心在AB下方的圓上若直線y=ax+b(aHO)與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b(aHO)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q由對(duì)稱性可知：ZAPQ=ZA'PQ,又ZAPB=60°.??ZAPQ=ZA'PQ=60°.\ZABQ=ZAPQ=60°，ZAQB=ZAPB=60°.\ZBAQ=60°=ZAQB=ZABQ???△ABQ是等邊三角形???線段AB為定線段???點(diǎn)Q為定點(diǎn)若直線y=ax+b(aHO)與圓相切，易得P、Q重合??直線y=ax+b(aHO)過定點(diǎn)Q連OQ,過點(diǎn)A、Q分別作AM丄y軸，QN丄y軸，垂足分別為M、NVA(2,養(yǎng))，B(-2,-舅)OA=OB=.7???△ABQ是等邊三角形AZAOQ=ZBOQ=90°，OQ=方觀二五??.ZAOM+ZNOD=90°又VZAOM+ZMAO=90°，ZNOQ=ZMAOVZAMO+ZONQ=90°.?.△AMOs^ONQAM-OW2ON?????0N=2?込，NQ=3,???Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2?方)設(shè)直線BQ解析式為y=kx+b將B、Q坐標(biāo)代入得(-Vs=-2k+b解得???