2020屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)考試伯樂馬模擬考試（八）文科數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬模擬考試(八）文科數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，集合，則(）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A,B,再求交集即可【詳解】解：，，.故選:C，【點睛】此題考查集合的交集運算,考查對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題2。已知且滿足,則（）A。1 B。3 C。4 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件建立方程求解即可?！驹斀狻吭O(shè)，由題意得，，，，。故選：A【點睛】本題考查的是由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，較簡單.3。若拋物線的焦點到頂點的距離為，則（）A。2 B。4 C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線的定義可得焦點到頂點的距離為,從而可得答案【詳解】解：由題意得，.故選:C【點睛】此題考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題。4。已知，，,則（)A. B. C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】變形,利用指對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及中間量比較大小可得解?！驹斀狻?由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得,則所以故選：A【點睛】本題考查利用指對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5.垃圾分類（英文名為Garbageclassification），一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱。垃圾分類可以提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟(jì)價值，力爭物盡其用.為進(jìn)一步在社會上普及垃圾分類知識，某中學(xué)學(xué)生積極到社會上舉行垃圾分類的公益講座,該校學(xué)生會為了解本校高一年級1000名學(xué)生課余時間參加公益講座的情況,隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：參加場數(shù)01234567參加人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比8％10％20%26%18%12%4%2%下列估計該校高一學(xué)生參加公益講座的情況正確的是(）A。參加公益講座次數(shù)是3場的學(xué)生約為360人B.參加公益講座次數(shù)是2場或4場的學(xué)生約為480人C。參加公益講座次數(shù)不高于2場的學(xué)生約為280人D.參加公益講座次數(shù)不低于4場的學(xué)生約為360人【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)計算可得;【詳解】解：估計該校高一學(xué)生參加活動次數(shù)不低于4場的學(xué)生約為：人，參加公益講座次數(shù)是3場的學(xué)生約為人，參加公益講座次數(shù)是2場或4場的學(xué)生約為人，參加公益講座次數(shù)不高于2場的學(xué)生約為人；故選：D?！军c睛】本題考查統(tǒng)計表的應(yīng)用，考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力,屬于基礎(chǔ)題.6。下列命題正確的是（）A。是的必要不充分條件B.是的充分不必要條件C.中,是的充要條件D。命題“，"的否定是“,”【答案】C【解析】【分析】對于選項，是的非充分非必要條件，所以該選項錯誤；對于選項，是的必要非充分條件，所以該選項錯誤；對于選項,中，是的充要條件，所以該選項正確；對于選項，命題“,”的否定是“,”，所以該選項錯誤?！驹斀狻繉τ谶x項，時,不成立；成立時,不成立，所以是的非充分非必要條件,所以該選項錯誤；對于選項,時，不一定成立；成立時，一定成立,所以是必要非充分條件,所以該選項錯誤；對于選項，成立時，,成立；時，，成立,所以中，是的充要條件，所以該選項正確；對于選項,命題“，”的否定是“,"，所以該選項錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查充分必要條件的判定，考查特稱命題的否定,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7.在等腰梯形中，，，則（)A。 B。3 C。 D。12【答案】D【解析】【分析】由平面幾何知識得出梯形中的邊角關(guān)系，再運用向量的加法運算轉(zhuǎn)化向量，代入運用向量的數(shù)量積定義運算可得選項.【詳解】作出圖示如下圖所示,作，因為,所以，所以，，所以，又在中，，所以，。故選：D?！军c睛】本題考查平面幾何圖形中的向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵在于根據(jù)平面幾何知識得出邊角的關(guān)系,再運用向量的線性表示轉(zhuǎn)化向量,運用向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題。8.函數(shù)的圖像大致是（）A。 B.C。 D.【答案】B【解析】【分析】由定義域為,排除AD，令，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值，所以恒成立排除C即可.【詳解】由定義域為，排除AD，令,，當(dāng),單調(diào)遞減,當(dāng)，單調(diào)遞增，則在處取得極小值，也即為最小值.，所以恒成立;排除C.故選：B.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖像的問題。屬于較易題。9.給出下列命題：①直線平面，直線直線，則;②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面;③直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行;④,是異面直線，則存在平面,使它與，都平行且與，的距離相等。其中正確命題的個數(shù)是（）A。l B。2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】對于①直線可能在平面內(nèi)，對于②根據(jù)面面平行進(jìn)行證明，對于③如果這兩點在該平面的異側(cè),則直線與平面相交，對于④找出符合條件的平面即可．【詳解】解:①錯誤．直線可能在平面內(nèi)．②正確．平面，,，,且、分別為、的中點，過作交平面于，連接、．設(shè)是的中點,則，．平面，平面．平面平面平面．，．③錯誤．如果這兩點在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交．④正確，設(shè)是異面直線、的公垂線段，為的中點，過作，，則、確定的平面即為與、都平行且與、距離相等的平面，并且它是唯一確定的．因此2個假命題，2個真命題故選：B【點睛】本題考查了線線,線面,面面平行關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意這三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．10。已知函數(shù),，若恰有1個零點,則的取值范圍是(）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】恰有1個零點,等價于與的圖像恰有一個交點，而直線恒過點，結(jié)合圖可得答案【詳解】恰有1個零點即與的圖像恰有一個交點，恒過點,由得，所以曲線在點處的切線的斜率為1,由得，所以曲線在點處的切線的斜率為1，所以結(jié)合圖像可知，恰有1個零點當(dāng)且僅當(dāng)。故選：D【點睛】此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.11。已知橢圓,，，點是橢圓上的一動點,則的最小值為()A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】由題意知為橢圓的右焦點，設(shè)左焦點為，由橢圓的定義可得，然后結(jié)合圖形可得答案?！驹斀狻坑深}意知為橢圓的右焦點，設(shè)左焦點為，由橢圓的定義知，所以.又，如圖，設(shè)直線交橢圓于，兩點.當(dāng)為點時，最小，最小值為。故選：B【點睛】本題考查的是橢圓的定義的應(yīng)用,屬于?？碱}型.12.方程在的解為，則（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】先根據(jù)的范圍求得，結(jié)合函數(shù)圖象對稱性得，將換掉求得，然后根據(jù)范圍結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式求得結(jié)果?！驹斀狻恳驗?所以,又因為,是的兩根，結(jié)合圖像可知或即或,當(dāng)時,，又因為，,所以，所以，所以，所以；當(dāng)時，，又因為，，所以，且所以,所以，所以。綜上兩個情況都有，故選：A.【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的對稱性及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題。二、填空題：13。已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及正弦的倍角公式，將目標(biāo)式化為含正切的代數(shù)式，代值即可求得結(jié)果?！驹斀狻坑?，得。故答案為：?！军c睛】本題考查用誘導(dǎo)公式以及倍角公式化簡求值,屬綜合基礎(chǔ)題。14.已知正三棱錐中，,，兩兩互相垂直,若，則正三棱錐外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得該三棱錐外接球與以，，為棱長的正方體的外接球的半徑相同，正方體的體對角線長等于正方體的外接球的直徑，利用球的表面積公式即可求得結(jié)果?！驹斀狻空忮F,,，兩兩互相垂直，，所以,則該三棱錐外接球與以,,為棱長的正方體的外接球的半徑相同，正方體的體對角線長等于正方體的外接球的直徑，即，所以該三棱錐外接球的表面積為,故答案為：【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求法,關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩兩垂直則用（a,b，c為三棱的長）;②若面ABC(SA=），則(r為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球.15。已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】由題得函數(shù)為上的增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即得解?！驹斀狻克运院瘮?shù)為上的增函數(shù)，,.所以不等式的解集為。故答案為：【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平。16.的內(nèi)角,,的對邊分別為，，,,，若的面積為，則其周長是________?！敬鸢浮?5【解析】【分析】根據(jù)余弦定理到，根據(jù)面積公式到，計算得到答案.【詳解】根據(jù)余弦定理：.根據(jù)面積公式：，故。故，故，故周長為。故答案為：.【點睛】本題考查了余弦定理和面積公式，意在考查學(xué)生計算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題17。已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，.(1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1）；（2）.【解析】【分析】（1)利用等比數(shù)列的基本量轉(zhuǎn)化已知條件，解方程求得首項和公比，則問題得解；(2）根據(jù)（1)中所求得到，再用錯位相減法即可求得結(jié)果?！驹斀狻浚?)設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為,，所以，。因為各項均為正數(shù)，所以解得，或.又因為，所以是遞增的等比數(shù)列,所以,.所以數(shù)列的通項公式為。（2）由(1)知.則，①在①式兩邊同時乘以3得,,②①-②得，即，所以?！军c睛】本題考查等比數(shù)例基本量的計算，以及用錯位相減法求數(shù)列的前項和，屬綜合基礎(chǔ)題.18.如圖1，平面四邊形中，和均為邊長為的等邊三角形，現(xiàn)沿將折起，使,如圖2.（1)求證:平面平面；（2)求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析;（2）?！窘馕觥俊痉治觥?1)取的中點，連接，,由已知條件可證得，，所以平面,又平面，由面面垂直的判定定理可得到證明.（2）利用等體積進(jìn)行計算即可得到所求距離?！驹斀狻浚?）取的中點，連接,，因為和均為邊長為的等邊三角形,所以,且,因為,所以,所以,又因為，平面,平面，所以平面，又因為平面,所以平面平面。（2）由（1）知，平面，三棱錐的體積設(shè)點到平面距離為，則由題意中,，，中PA邊上的高為，，,由（1)知,，，.所以,點到的距離為.【點睛】本題考查面面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查利用等體積法求點到面的距離，考查空間想象能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題。19。某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽的內(nèi)容。同時提供快樂兒歌、國學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新。萌寵機(jī)器人一投放市場就受到了很多家長歡迎。為了更好地服務(wù)廣大家長，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取200件萌寵機(jī)器人(以下簡稱產(chǎn)品)，免費送給家長試用，試用結(jié)束后將200件產(chǎn)品的試用報告收回，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品歡迎度達(dá)80％（即80%的產(chǎn)品受家長歡迎），研究部門同時統(tǒng)計了產(chǎn)品的性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖）:產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合小托班幼兒使用(簡稱第1組產(chǎn)品）,性能指數(shù)在的適合大托班幼兒使用(簡稱第2組產(chǎn)品)，性能指數(shù)在的適合小班幼兒使用（簡稱第3組產(chǎn)品），性能指數(shù)在的適合中班幼兒使用（簡稱第4組產(chǎn)品），性能指數(shù)在的適合大班幼兒使用(簡稱第5組產(chǎn)品）.（1）求；（2）現(xiàn)在要從第1組和第2組中用分層抽樣的方法抽取5件產(chǎn)品，并再從這5件中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行測試，求這兩件恰好屬于不同組別的概率；(3）把在第1，2，3組的產(chǎn)品稱為標(biāo)準(zhǔn)版，在第4,5組的產(chǎn)品稱為提高版，若選出的200件中不受家長歡迎的標(biāo)準(zhǔn)版產(chǎn)品有30件，問是否有99％的把握認(rèn)為是否受家長歡迎與性能指數(shù)有關(guān)？附:0.1500。1000.0500.0250.0100。0050.0012。0722。7063。8415。0246.6357.87910。828，.【答案】(1）;（2）；（3）沒有99％的把握認(rèn)為是否受家長歡迎與性能指數(shù)有關(guān).【解析】【分析】（1)根據(jù)頻率之和等于1，結(jié)合頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，即可得出答案；（2)由分層抽樣的性質(zhì)得出第1，2組選取的產(chǎn)品數(shù)，列舉出所有情況，再由概率公式求解即可；（3）列出列聯(lián)表,計算，即可作出判斷.【詳解】（1)，。（2)由題意可知從第1組選取的產(chǎn)品數(shù)為件，設(shè)為，從第2組選取的產(chǎn)品數(shù)為件,設(shè)為,，。從這5件中隨機(jī)抽取2件的所有情況有：，，，,，,，,，，共10種.這兩件恰好屬于不同組別有，，，，,，共6種?！嗨蟮母怕蕿?。（3）選出的200件產(chǎn)品中，各組的產(chǎn)品數(shù)分別為：第1組:件,第2組：件，第3組：件，第4組：件，第5組：件?！鄻?biāo)準(zhǔn)版有件，提高版有件，∵80％的產(chǎn)品受家長歡迎，即有件不受家長歡迎，∵選出的200件中不受家長歡迎的標(biāo)準(zhǔn)版產(chǎn)品有30件，∴選出的200件中不受家長歡迎的提高版產(chǎn)品有10件。于是得列聯(lián)表：受家長歡迎不受家長歡迎合計標(biāo)準(zhǔn)版9030120提高版701080合計16040200∴沒有99％的把握認(rèn)為是否受家長歡迎與性能指數(shù)有關(guān).【點睛】本題主要考查了補(bǔ)全頻率分布直方圖，古典概型概率公式的應(yīng)用，獨立性檢驗的實際應(yīng)用，屬于中檔題。20。已知函數(shù).（1)判斷在上的單調(diào)性;（2）時，求證:（為自然對數(shù)的底數(shù)）.【答案】（1)在上為單調(diào)增函數(shù)；(2）證明見解析.【解析】【分析】（1）要判斷在上的單調(diào)性,只需研究的值域，進(jìn)一步研究的取值情況即可.(2）由（1)知,在單調(diào)遞增,且易證,所以只需證明當(dāng)時,，此結(jié)論易證.【詳解】解：（1）的定義域為，，∴當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，時，，在上為單調(diào)增函數(shù)。（2），即,由（1）知，在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時,即,所以要證明原不等式成立，只需證明，令，，則,,得，在上單調(diào)遞減,可知，因為，，所以時,，即。所以,原不等式成立?！军c睛】考查函數(shù)單調(diào)性的求法以及函數(shù)型不等式的證明，注意兩個問題之間的聯(lián)系,屬于難題。21。已知圓，拋物線，傾斜角為直線過的焦點且與相切。（1）求的值;(2）點在的準(zhǔn)線上，動點在上，在點處的切線交軸于點，設(shè)四邊形為平行四邊形,求證：點在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?)依題意設(shè)直線的方程為，解方程即得的值；（2)依題意設(shè)，,根據(jù)四邊形為平行四邊形，求出,即得解.【詳解】（1)依題意設(shè)直線的方程為,由已知得，圓的圓心，半徑因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離。即，解得或（舍去），所以.（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以,所以，設(shè),則以為切點的切線的斜率為,所以切線的方程為.令，,即交軸于點坐標(biāo)為.四邊形為平行四邊形，所以，所以，，，.設(shè)點坐標(biāo)為，則，所以點在直線上?！军c睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì),考查直線和圓的位置關(guān)系，考查拋物線中的定直線問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力。（二）選考題:請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22。在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和