高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn).大全

..知識(shí)點(diǎn)串講必修四第一章：三角函數(shù)1.1．1任意角1、角的有關(guān)概念：①角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．始邊終邊頂點(diǎn)AOB②角的名稱：始邊終邊頂點(diǎn)AOB③角的分類：零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角2、象限角的概念：①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么角的終邊<端點(diǎn)除外>在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角．終邊相同的角的表示：所有與角α終邊相同的角,連同α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整個(gè)周角的和．注意：⑴k∈Z⑵α是任一角；⑶終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無(wú)限個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍；⑷角α+k·720°與角α終邊相同,但不能表示與角α終邊相同的所有角．3、寫出終邊在y軸上的角的集合<用0°到360°的角表示>．解:{α|α=90°+n·180°,n∈Z}．4、已知α角是第三象限角,則2α,各是第幾象限角？解：角屬于第三象限,k·360°+180°＜α＜k·360°+270°<k∈Z>因此,2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°<k∈Z>即<2k+1>360°＜2α＜<2k+1>360°+180°<k∈Z>故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角．又k·180°+90°＜＜k·180°+135°<k∈Z>．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),令k=2n<n∈Z>,則n·360°+90°＜＜n·360°+135°<n∈Z>,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2n+1<n∈Z>,則n·360°+270°＜＜n·360°+315°<n∈Z>,因此屬于第二或第四象限角．1.1.2弧度制1、弧度制我們規(guī)定,長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下,1弧度記做1rad．在實(shí)際運(yùn)算中,常常將rad單位省略．2、弧度制的性質(zhì)：①半圓所對(duì)的圓心角為②整圓所對(duì)的圓心角為③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)．④負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)．⑤零角的弧度數(shù)是零．⑥角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值|α|=3、弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角<的弧度數(shù)>的絕對(duì)值與半徑的積．證法一:∵圓的面積為,∴圓心角為1rad的扇形面積為,又扇形弧長(zhǎng)為l,半徑為R,∴扇形的圓心角大小為rad,∴扇形面積．證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面積公式為,又此時(shí)弧長(zhǎng),∴．可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化,而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡(jiǎn)潔得多．任意角的三角函數(shù)1、三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中,設(shè)α是一個(gè)任意角,α終邊上任意一點(diǎn)〔除了原點(diǎn)的坐標(biāo)為,它與原點(diǎn)的距離為,那么〔1比值叫做α的正弦,記作,即；〔2比值叫做α的余弦,記作,即；〔3比值叫做α的正切,記作,即；〔4比值叫做α的余切,記作,即；2．三角函數(shù)的定義域、值域函數(shù)定義域值域3、求函數(shù)的值域解：定義域：cosx0∴x的終邊不在x軸上又∵tanx0∴x的終邊不在y軸上∴當(dāng)x是第Ⅰ象限角時(shí),cosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2…………ⅢⅣ………,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=04、誘導(dǎo)公式5、三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與軸非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓相交與點(diǎn),過作軸的垂線,垂足為；過點(diǎn)作單位圓的切線,它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線交與點(diǎn).〔Ⅰ〔Ⅰ〔Ⅱ〔Ⅳ〔Ⅳ〔Ⅲ由四個(gè)圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),有向線段,于是有,,我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。說明：〔1三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上,三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi),一條在單位圓外。〔2三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)?！?三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值,與軸或軸反向的為負(fù)值?！?三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前,終點(diǎn)字母在后面。6、利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?與2與解：如圖可知：tantan同角三角函數(shù)的基本關(guān)系由三角函數(shù)的定義,我們可以得到以下關(guān)系：〔1商數(shù)關(guān)系：〔2平方關(guān)系：2、已知,并且是第二象限角,求．解：,∴又∵是第二象限角,∴,即有,從而,3、已知,求4、求證：．證法一：由題義知,所以．∴左邊=右邊．∴原式成立．證法二：由題義知,所以．又∵,∴．證法三：由題義知,所以．,∴．1．3誘導(dǎo)公式1、誘導(dǎo)公式〔一誘導(dǎo)公式〔二誘導(dǎo)公式〔三誘導(dǎo)公式〔四sin<p－a>=sinacos<p－a>=－cosatan<p－a>=－tana誘導(dǎo)公式<五>誘導(dǎo)公式〔六2、化簡(jiǎn)：3、4、化簡(jiǎn):5、1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象1、正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．2、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖〔描點(diǎn)法：正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：<0,0><,1><,0><,-1><2,0>余弦函數(shù)y=cosxx[0,2]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？<0,1><,0><,-1><,0><2,1>3、別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法,求滿足下列條件的x的集合：1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)1、奇偶性：y=cosx是偶函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)。2、單調(diào)性正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上都是增函數(shù),其值從－1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上都是減函數(shù),其值從1減小到－1.余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［<2k－1>π,2kπ］<k∈Z>上都是增函數(shù),其值從－1增加到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ,<2k＋1>π］<k∈Z>上都是減函數(shù),其值從1減小到－1.3、有關(guān)對(duì)稱軸觀察正、余弦函數(shù)的圖形,可知y=sinx的對(duì)稱軸為x=k∈Zy=cosx的對(duì)稱軸為x=k∈Z4、判斷下列函數(shù)的奇偶性<1><2>正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象1、正切函數(shù)的定義域是什么？2、,且的圖象,稱"正切曲線"。yy0x0x3、正切函數(shù)的性質(zhì)〔1定義域：；〔2值域：R觀察：當(dāng)從小于,時(shí),當(dāng)從大于,時(shí),?！?周期性：；〔4奇偶性：由知,正切函數(shù)是奇函數(shù)；〔5單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞增。4、求下列函數(shù)的周期：〔1答：。〔2答：。說明：函數(shù)的周期．5、求函數(shù)的定義域、值域,指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性,解：1、由得,所求定義域?yàn)?、值域?yàn)镽,周期,3、在區(qū)間上是增函數(shù)。1.5函數(shù)y=Asin<wx+><A>0,w>0>的圖象1、函數(shù)y=Asin<wx+>,<A>0,w>0>的圖像可以看作是先把y=sinx的圖像上所有的點(diǎn)向左<>0>或向右<＜0>平移||個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短<w>1>或伸長(zhǎng)<0<w<1>到原來(lái)的倍<縱坐標(biāo)不變>,再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)<A>1>或縮短<0<A<1>到原來(lái)的A倍,<橫坐標(biāo)不變>。即：平移變換→周期變換→振幅變換。2、⑴函數(shù)y=sin2x圖像向右平移個(gè)單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為⑵函數(shù)y=3cos<x+>圖像向左平移個(gè)單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為⑶函數(shù)y=2loga2x圖像向左平移3個(gè)單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式⑷函數(shù)y=2tan<2x+>圖像向右平移3個(gè)單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為3、函數(shù)y=Asin<wx+>表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)：A：這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離,稱為"振幅".T：f：稱為"相位".x=0時(shí)的相位,稱為"初相".4、解析：由圖象可知A=2,1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、畫出函數(shù)y＝|sinx|的圖象并觀察其周期.第二章：平面向量2.1.1-2.1.2向量的物理背景與概念及向量的幾何表示A<起點(diǎn)A<起點(diǎn)>B〔終點(diǎn)a數(shù)量只有大小,是一個(gè)代數(shù)量,可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；向量有方向,大小,雙重性,不能比較大小.2、向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母ａ、ｂ〔黑體,印刷用等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；④向量的大小―長(zhǎng)度稱為向量的模,記作||.3、有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段,三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.向量與有向線段的區(qū)別：〔1向量只有大小和方向兩個(gè)要素,與起點(diǎn)無(wú)關(guān),只要大小和方向相同,這兩個(gè)向量就是相同的向量；〔2有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素,起點(diǎn)不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,記作0.0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：〔1綜合①、②才是平行向量的完整定義；〔2向量ａ、ｂ、ｃ平行,記作ａ∥ｂ∥ｃ.相等向量與共線向量1、相等向量定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：〔1向量ａ與ｂ相等,記作ａ＝ｂ；〔2零向量與零向量相等；〔3任意兩個(gè)相等的非零向量,都可用同一條有向線段表示,并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).2、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量,因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上〔與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).說明：〔1平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；〔2共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.3、判斷：〔1不相等的向量是否一定不平行？〔不一定〔2與零向量相等的向量必定是什么向量？〔零向量〔3兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？〔長(zhǎng)度相等且方向相同〔4共線向量一定在同一直線上嗎？〔不一定4、下列命題正確的是〔A.ａ與ｂ共線,ｂ與ｃ共線,則ａ與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量ａ與ｂ不共線,則ａ與ｂ都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上,而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān),所以Ｄ不正確；對(duì)于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮,假若ａ與ｂ不都是非零向量,即ａ與ｂ至少有一個(gè)是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有ａ與ｂ共線,不符合已知條件,所以有ａ與ｂ都是非零向量,所以應(yīng)選C.5、判斷下列命題是否正確,若不正確,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.①向量與是共線向量,則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)＝⑤一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；⑥共線的向量,若起點(diǎn)不同,則終點(diǎn)一定不同.解：①不正確.共線向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求兩個(gè)向量、在同一直線上.②不正確.單位向量模均相等且為1,但方向并不確定.③不正確.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線,雖起點(diǎn)不同,但其終點(diǎn)卻相同.向量的加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形法則〔"首尾相接,首尾連"如圖,已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作＝a,＝ｂ,則向量叫做a與ｂ的和,記作a＋ｂ,即a＋ｂ,規(guī)定：a+0-=0+aaaaa2、已知向量、,求作向量+作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn),作,則.2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義1、作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作=a,=b則=ab即ab可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.注意：1表示ab.強(qiáng)調(diào)：差向量"箭頭"指向被減數(shù)OABaB’bbbBa+<OABaB’bbbBa+<b>ab向量的數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義1、實(shí)數(shù)與向量的積的定義：一般地,實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,記作,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：〔1；〔2當(dāng)時(shí),的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí),的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí),．2、實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：〔1〔結(jié)合律；〔2〔第一分配律；〔3〔第二分配律．3、計(jì)算：〔1；〔2；〔3．解：〔1原式=；〔2原式=；〔3原式=．4、5、2.3.1-2平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示1、平面向量基本定理：如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2.2、<1>我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；<2>基底不惟一,關(guān)鍵是不共線；<3>由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；OABP<4>基底給定時(shí),分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一確定的數(shù)量OABP3、本題實(shí)質(zhì)是4、向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量、,作,,則∠AOB＝,叫向量、的夾角,當(dāng)=0°,、同向,當(dāng)=180°,、反向,當(dāng)=90°,與垂直,記作⊥。6、正交分解：把向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量。7、在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得…………eq\o\ac<○,1>我們把叫做向量的〔直角坐標(biāo),記作…………eq\o\ac<○,2>在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算〔1若,,則,兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.〔2若和實(shí)數(shù),則.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為、,則,即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。〔3若,,則==<x2,y2><x1,y1>=<x2x1,y2y1>2、一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).3、思考：你能標(biāo)出坐標(biāo)為<x2x1,y2y1>的P點(diǎn)嗎？向量的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)是相同的。4、已知三個(gè)力<3,4>,<2,5>,<x,y>的合力++=,求的坐標(biāo).解：由題設(shè)++=得：<3,4>+<2,5>+<x,y>=<0,0>即：∴∴<5,1>5、若A<0,1>,B<1,2>,C<3,4>,則2=.2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè)=<x1,y1>,=<x2,y2>其中.由=λ得,<x1,y1>=λ<x2,y2>消去λ,x1y2-x2y1=0∥<>的充要條件是x1y2-x2y1=02、若向量=<-1,x>與=<-x,2>共線且方向相同,求x解：∵=<-1,x>與=<-x,2>共線∴<-1>×2-x?<-x>=0∴x=±∵與方向相同∴x=2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義1、平面向量數(shù)量積〔內(nèi)積的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ,它們的夾角是θ,則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積,記作ab,即有ab=|a||b|cos,〔０≤θ≤π.并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.探究：1、向量數(shù)量積是一個(gè)向量還是一個(gè)數(shù)量？它的符號(hào)什么時(shí)候?yàn)檎?？什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？2、兩個(gè)向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？〔1兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是向量,符號(hào)由cos的符號(hào)所決定.〔2兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成ab；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b,而ab是兩個(gè)向量的數(shù)量的積,書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)"·"在向量運(yùn)算中不是乘號(hào),既不能省略,也不能用"×"代替.〔3在實(shí)數(shù)中,若a0,且ab=0,則b=0；但是在數(shù)量積中,若a0,且ab=0,不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os有可能為0.〔4已知實(shí)數(shù)a、b、c<b0>,則ab=bca=c.但是ab=bca=c如右圖：ab=|a||b|cos=|b||OA|,bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac<5>在實(shí)數(shù)中,有<ab>c=a<bc>,但是<ab>ca<bc>顯然,這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量,而右端是與a共線的向量,而一般a與c不共線.2、"投影"的概念：作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量,不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為|b|；當(dāng)=180時(shí)投影為|b|.3、向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,1、abab=02、當(dāng)a與b同向時(shí),ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí),ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或|ab|≤|a||b|cos=4、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1．交換律：ab=ba證：設(shè)a,b夾角為,則ab=|a||b|cos,ba=|b||a|cos∴ab=ba2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：<a>b=<ab>=a<b>證：若>0,<a>b=|a||b|cos,<ab>=|a||b|cos,a<b>=|a||b|cos,若<0,<a>b=|a||b|cos<>=|a||b|<cos>=|a||b|cos,<ab>=|a||b|cos,a<b>=|a||b|cos<>=|a||b|<cos>=|a||b|cos.3．分配律：<a+b>c=ac+bc在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作=a,=b,=c,∵a+b〔即在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2,∴c<a+b>=ca+cb即：<a+b>c=ac+bc說明：〔1一般地,<ａ·ｂ>с≠ａ〔ｂ·с〔2ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ〔3有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２,〔ａ＋ｂ〔с＋ｄ＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ5、已知|a|=12,|b|=9,,求與的夾角。6、已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60o求：〔1<a+2b>·<a-3b>.〔2|a+b|與|a-b|.〔利用7、已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線,k為何值時(shí),向量a+kb與a-kb互相垂直.2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即2、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式〔1設(shè),則或.〔2如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,那么<平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式>向量垂直的判定設(shè),,則兩向量夾角的余弦〔cos=5、已知a＝〔１,,b＝〔＋１,－１,則a與b的夾角是多少?分析：為求a與b夾角,需先求a·b及｜a｜·｜b｜,再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值.解：由a＝〔１,,b＝〔＋１,－１有a·b＝＋１＋〔－１＝４,｜a｜＝２,｜b｜＝２．記a與b的夾角為θ,則ｃｏｓθ＝又∵０≤θ≤π,∴θ＝評(píng)述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí),應(yīng)注重角的范圍的確定.6、在△ABC中,=<2,3>,=<1,k>,且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角,求k值.解：當(dāng)A=90時(shí),=0,∴2×1+3×k=0∴k=當(dāng)B=90時(shí),=0,==<12,k3>=<1,k3>∴2×<1>+3×<k3>=0∴k=當(dāng)C=90時(shí),=0,∴1+k<k3>=0∴k=2.5.1平面幾何中的向量