函數(shù)極限與連續(xù)

第1章函數(shù)的極限與連續(xù)極限是現(xiàn)代數(shù)學的最基本的概念，是學習微積分學的重要基礎.在后面的幾章學習中可以看到，微積分中的重要概念都是通過極限來定義的.本章將介紹極限的概念、性質(zhì)及運算法則，在此基礎上建立函數(shù)連續(xù)的概念，并討論連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．1.1初等函數(shù)1.1.1函數(shù)1．函數(shù)的定義設是一個數(shù)集，如果對屬于中的每一個數(shù)，依照某個對應關系，都有確定的數(shù)值和它對應，那么就叫做定義在數(shù)集上的的函數(shù)，記作．叫做函數(shù)的自變量，數(shù)集叫做函數(shù)的定義域．函數(shù)的取值范圍叫做函數(shù)的值域.由定義可知，對應關系和定義域構成函數(shù)的二要素.2．函數(shù)的定義域在實際問題中，根據(jù)所考察問題的實際意義來確定其定義域．對于不具有實際意義的抽象函數(shù)，其定義域是使得函數(shù)有意義的全體自變量的集合．常見的有:(1)在分式函數(shù)中，分母不能為零；(2)在根式函數(shù)中，負數(shù)不能開偶次方；(3)在對數(shù)函數(shù)中，真數(shù)大于零；(4)在三角函數(shù)和反三角函數(shù)中，要符合它們的定義域；(5)在含有多種式子的函數(shù)中，應取各部分定義域的交集.例1求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）．3．反函數(shù)在研究函數(shù)的同時，有時函數(shù)和自變量的地位會相互轉(zhuǎn)換，于是就出現(xiàn)了反函數(shù)的概念．例如，在函數(shù)中，定義域和值域都是，按照和的對應關系，任意給出一個∈，都有唯一確定的與之對應．一般地，設函數(shù)，定義域為，值域為．如果對于中的每一個值，都可由確定唯一的值與之對應，這樣就確定一個以為自變量的函數(shù)，該函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記作．顯然，函數(shù)的定義域為，值域為．習慣上常用表示自變量，表示函數(shù)，故常把的反函數(shù)記為．若把函數(shù)與其反函數(shù)的圖形畫在同一個平面直角坐標系內(nèi)，則這兩個圖形關于直線＝對稱．因此，函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其定義域為，值域為．將函數(shù)改為，自變量改為，則函數(shù)的反函數(shù)為（圖1－1）．圖1－1例2求的反函數(shù)．4．分段函數(shù)在自然科學及工程技術中，用公式表示函數(shù)時，經(jīng)常會遇到一個函數(shù)在不同的范圍內(nèi)用不同的式子表示的情況.如函數(shù)是定義在區(qū)間內(nèi)的一個函數(shù).當時，；當時，.在不同的區(qū)間內(nèi)用不同的式子來表示的函數(shù)叫分段函數(shù).分段函數(shù)是用幾個解析式子來表示的一個函數(shù)，而不是表示幾個函數(shù).求分段函數(shù)值時，應把自變量的值代入相應取值范圍的表達式中進行計算.如在上面的分段函數(shù)中，；.5．函數(shù)的幾種特性（1）奇偶性如果函數(shù)的定義域關于原點對稱，且對于任意的，都有，那么叫做奇函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關于原點對稱，且對于任意的，都有，那么叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，則稱為非奇非偶函數(shù).如是奇函數(shù)，是偶函數(shù).奇函數(shù)的圖象關于原點對稱(如圖1－2)；偶函數(shù)的圖象關于軸對稱(如圖1－3).圖1－2圖1－3例3判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)； (2)； (3).（2）單調(diào)性如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)隨著的增大而增大，即對于內(nèi)任意兩點與，當時，有，那么稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間．如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)隨著的增大而減小，即對于內(nèi)任意兩點與，當時，有，那么稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間.顯然，單調(diào)增加函數(shù)的圖象沿軸正向是逐漸上升的；單調(diào)減少函數(shù)的圖象是沿軸正向是逐漸下降的.如圖1－4為單調(diào)增加函數(shù)，圖1－5為單調(diào)減少函數(shù).圖1－4圖1－5在整個區(qū)間上單調(diào)增加（減少）的函數(shù)，稱為這區(qū)間上的單調(diào)增（減）函數(shù)，這個區(qū)間稱為這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例如，指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增加的．而冪函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的，在內(nèi)是單調(diào)減少的，所以在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).例4判斷函數(shù)的單調(diào)性.（3）周期性對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得對于其定義域內(nèi)的每一個，都有成立，則稱是周期函數(shù)，稱為其周期.顯然，如果是的周期，則（是整數(shù)）均為其周期．一般提到的周期均指最小正周期.我們常見的三角函數(shù)都是以為周期；都是以為周期.（4）有界性設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果存在一個正數(shù)，使得對于任意∈，恒有，那么稱在內(nèi)有界；如果不存在這樣的數(shù)，那么稱在內(nèi)無界.例如，函數(shù)，存在正數(shù)，使得對于任意的，均有,所以函數(shù)在其定義域內(nèi)是有界的．1.1.2基本初等函數(shù)我們學過的冪函數(shù)(為實數(shù)）、指數(shù)函數(shù)且、對數(shù)函數(shù)且、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).1．冪函數(shù)（為實數(shù)）(1)當時，函數(shù)經(jīng)過兩定點和，圖象在第Ⅰ象限內(nèi)單調(diào)增加且無界（如圖1－6（1））.(2)當時，函數(shù)經(jīng)過定點，圖象在第Ⅰ象限內(nèi)單調(diào)減少且無界（如圖1－6（2））.（1）（2）圖1－62．指數(shù)函數(shù)且它的定義域為，值域為，圖象經(jīng)過定點．(1)當時，函數(shù)單調(diào)減少且無界（如圖1－7（1））．(2)當時，函數(shù)單調(diào)增加且無界(如圖1－7（2））．（1）（2）圖1－73．對數(shù)函數(shù)且它的定義域為，值域為，圖象經(jīng)過定點．(1)當時，函數(shù)單調(diào)遞減且無界(如圖1－8(1))；(2)當時，函數(shù)單調(diào)遞增且無界(如圖1－8(2))．(1)(2)圖1－84．三角函數(shù)(1)正弦函數(shù)定義域為，值域為，奇函數(shù)，周期為的周期函數(shù)，有界（如圖1－9）．圖1－9(2)余弦函數(shù)定義域為，值域為，偶函數(shù)，周期為的周期函數(shù)，有界（如圖1－10）.圖1－10(3)正切函數(shù)定義域為，值域為，奇函數(shù)，周期為的周期函數(shù)，無界（如圖1－11）．圖1－11圖1－12(4)余切函數(shù)定義域為，值域為，奇函數(shù)，周期為的周期函數(shù)，無界（如圖1－12）．5．反三角函數(shù)（1）反正弦函數(shù)定義域為，值域為，奇函數(shù)，單調(diào)增加，有界（圖1-13）.（2）反余弦函數(shù)，定義域為，值域為，非奇非偶函數(shù)，單調(diào)減少，有界（圖1-14）.（3）反正切函數(shù)定義域為，值域為，奇函數(shù)，單調(diào)增加，且有界（圖1-15）.（4）反余切函數(shù)定義域為，值域為，非奇非偶函數(shù)，單調(diào)減少，有界（圖1-16）.圖1-13圖1-14圖1-15圖1-161.1.3復合函數(shù)、初等函數(shù)1．復合函數(shù)在同一問題中，兩個變量的聯(lián)系有時不是直接的，而是通過另一變量間接聯(lián)系起來的.例如：某汽車每公里油耗為公升，行駛速度為公里/小時.汽車行駛的里程是其行駛時間的函數(shù)：，而汽車的油耗量又是其行駛里程的函數(shù)：．于是，汽車的油耗量與汽車行駛時間之間就建立了函數(shù)關系：.這時我們稱函數(shù)是由與復合而成的復合函數(shù).一般地，設是的函數(shù)，是的函數(shù)，如果值域與定義域的交集非空，則通過中間變量成為的函數(shù)，我們稱為的復合函數(shù).記作.其中稱為中間變量.例5指出下列函數(shù)的復合過程和定義域：(1)； (2).例6已知，，將表示成的復合函數(shù).2．初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限復合運算構成的，并且能用一個解析表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).例如：，，等都是初等函數(shù).1.1.4建立函數(shù)關系舉例為了解決應用問題，先要給問題建立數(shù)學模型，即建立函數(shù)關系．為此需要明確問題中有因變量與自變量，再根據(jù)題意建立等式，從而得出函數(shù)關系，再確定函數(shù)的定義域．應用問題的定義域，除使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮變量在實際問題中的含義.下面就一些簡單實際問題，說明建立函數(shù)關系的過程.例7某市場對西紅柿的批發(fā)價格如下規(guī)定：批發(fā)量在千克以下為元/千克；批發(fā)量在千克以下超過千克的部分為元/千克；批發(fā)量超過千克的部分為元/千克．設批發(fā)量為千克，總費用為元，試建立與的函數(shù)關系.例8一物體作直線運動，已知所受阻力的大小與其運動速度成正比，方向相反．設物體的速度為米/秒時，所受阻力為牛頓，試建立與的函數(shù)關系.例9公共電話收費問題.在公共電話亭打市內(nèi)電話，每收費元，不足按收費，求電話收費與用時的函數(shù)關系.

1.2函數(shù)的極限1.2.1數(shù)列的極限數(shù)列（整標函數(shù)）可以看作是按自然數(shù)順序列出的一串函數(shù)值：.現(xiàn)在來考察當自變量無限增大時，數(shù)列的變化趨勢.試看下面幾個下例子：(1)，即，，，，…，，…；(2)，即，，，，…，，…；(3)，即，，，…，，…；(4)，即，，，，…，，….通過仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，當時，這幾個數(shù)列的變化情況是大不相同的．數(shù)列(1)隨著的無限增大，無限接近常數(shù)；數(shù)列(2)隨著的無限增大，無限接近常數(shù)；數(shù)列(3)、(4)隨著的無限增大，都不能無限接近于某一個確定的常數(shù)，當時，數(shù)列的值也無限增大，數(shù)列的值在與兩個數(shù)上來回跳動.為清楚起見，我們把表示(1)、(2)這兩個數(shù)列的點分別在數(shù)軸上描出一些(圖1－18,1－19).圖1－18圖1－19可以看出，當無限增大時，數(shù)列在數(shù)軸上的對應點逐漸密集在右側，即數(shù)列無限趨近于；數(shù)列在數(shù)軸上的對應點逐漸密集在附近，即數(shù)列無限趨近于．總之，當無限增大時，數(shù)列(1)、(2)都趨近于一個常數(shù)，這種數(shù)列稱其為有極限；當無限增大時，數(shù)列(3)、(4)都不趨近于一個常數(shù)，這種數(shù)列稱為無極限．一般地，有下面定義．定義1.1設數(shù)列｛｝，如果當無限增大時，無限趨近于一個確定的常數(shù)，則稱當趨于無窮大時，數(shù)列｛｝以為極限，記作或．此時，也稱數(shù)列｛｝是收斂的；如果數(shù)列｛｝沒有極限，就稱其為發(fā)散的．因此，當時，的極限是，可記作；的極限是，可記作；而數(shù)列和沒有極限，沒有極限的數(shù)列，也說數(shù)列的極限不存在．例1觀察下面數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限：（1）； （2）；（3）； （4）.一般地，任何一個常數(shù)數(shù)列的極限就是這個常數(shù)本身，即（為常數(shù)）.例2（無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式）設數(shù)列．其中首項，公比，求其所有項的和．1.2.2函數(shù)的極限1．當時,函數(shù)的極限例3考察當時,函數(shù)的變化趨勢．定義1.2如果當?shù)慕^對值無限增大（即）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當時的極限，記作（或當時，）.有時，的變化趨向只取或中的一種情況.因此，類似地有下面的定義.定義1.3如果當時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記作（或當時，）.定義1.4如果當時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記作（或當時，）.于是，由圖1－20可以看出.可以證明：若，則．反之也成立.例4求和.2．時函數(shù)的極限為了研究方便，下面介紹鄰域的概念．設是任一正數(shù)，開區(qū)間叫做點的鄰域，記作，其中叫做鄰域中心，叫做鄰域半徑．去掉鄰域中心的鄰域叫做去心鄰域．下面研究當時，函數(shù)的極限．表示無限趨近于定值（），它包含兩種情況：(1)從大于的一側趨近于，記作；(2)從小于的一側趨近于，記作.例5考察當時，函數(shù)的變化趨勢.定義1.5設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義(可以除外)，如果當無限趨近于定點（可以不等于）時，函數(shù)值無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當時的極限．記作（或當時，)．需要注意：函數(shù)在點的極限狀況與函數(shù)在該點是否有定義及如何定義無關.例6討論極限和.解因為函數(shù)是常量函數(shù)，函數(shù)值恒等于常數(shù)C，所以.因為函數(shù)的函數(shù)值與自變量相等，所以當時函數(shù)值也趨于，因此.例7考察極限.3．時函數(shù)的左極限與右極限定義1.6如果當時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當時的左極限，記作（或當時，）.如果當時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當時的右極限，記作（或當時，）.一般地，當時，函數(shù)在點處的極限與左極限、右極限的關系為＝.也就是說，如果函數(shù)在點處的左、右極限都存在且相等，那么函數(shù)在點處的極限存在，且與左、右極限相等；反之，如果那么函數(shù)在點處的極限存在，那么函數(shù)在點處的左、右極限都存在，且與函數(shù)的極限相等.例8討論當→0時，函數(shù)的極限.例9討論當時，函數(shù)的極限.例10討論當時，函數(shù)的極限.

1.3極限的運算1.3.1極限運算法則利用極限的定義只能求一些簡單函數(shù)的極限，對于復雜函數(shù)的極限卻無法解決．下面介紹極限的運算法則，進而解決復雜函數(shù)的求極限問題．設，則(1)；(2)；(3)；(4)（為常數(shù)）；(5)（為正整數(shù)）．以上結論僅就時加以敘述，對于自變量的其它變化過程同樣成立．其中，法則（1）、（2）可以推廣到有限個函數(shù)的情況.例1求極限．例2求極限．例3求極限．例4求極限．例5求極限．例6求極限．由以上三例，可得一般結論（）：.1.3.2兩個重要極限1．極限例7求極限．例8求極限．例9求極限．例10求．一般地，，這就是說不論在怎樣的情況下，只要這種特定形式的極限均為.2．極限例11求極限．例12求極限．例13求極限．

1.4無窮小量與無窮大量1.4.1無窮小量1．無窮小量的定義在實際問題中，經(jīng)常會遇到以零為極限的變量.例如，當關掉電源時，電扇的扇葉會逐漸慢下來，直至停止轉(zhuǎn)動；又如，電容器放電時，其電壓隨時間的增加而逐漸減少并趨近于零；再如，用抽氣機來抽容器中的空氣，容器中的空氣含量將隨著時間的增加而逐漸減少并趨近于零.對于這種變量，給出下面的定義.定義1.7如果當（或）時，，則稱當（或）時，函數(shù)為無窮小量，簡稱無窮小，通常用等表示.例如，當時，函數(shù)都是無窮?。划敃r，函數(shù)，都是無窮小；當時，函數(shù)是無窮小量.應當注意：(1)無窮小是以零為極限的函數(shù)．當我們說函數(shù)是無窮小量時，必須同時指明自變量的變化趨向．例如，當時，函數(shù)是無窮小量，而當時，函數(shù)就不是無窮小量.(2)常數(shù)中只有“”是無窮小，這是因為.而對其它函數(shù)，盡管它的值可以很小，因其值已取定（不為零），極限都不是，因此都不能說成是無窮小.2．無窮小量的性質(zhì)（1）有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小.（2）有限個無窮小的乘積是無窮小.（3）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.例1求極限.3．無窮小與函數(shù)極限的關系定理函數(shù)以常數(shù)為極限的充分必要條件是可以表示為與一個無窮小之和.即，其中.例如，，，而.4．無窮小的階無窮小雖然都是趨近于0的變量，但不同的無窮小趨近于0的速度卻不一定相同，有時可能差別很大.如當時，都是無窮小，但它們趨近于的速度卻不一樣，列表如下：000顯然，比與趨近于0的速度都快得多.快慢是相對，是相互比較而言的，下面通過比較兩無窮小趨于0的速度引入無窮小的階的概念.定義1.8設是同一過程中的兩個無窮小.如果，則稱是比較高階的無窮小.如果，則稱與是同階的無窮小.特別是當時，稱與是等價無窮小，記作.如果，則稱是比較低階的無窮小.例如，，所以當時，是比較高階的無窮小量.反之，當時，是比較低階的無窮小量.又如，，所以當時，與是同階無窮小量.1.4.2無窮大量1．無窮大量的定義定義1.8如果當（或）時，函數(shù)的絕對值無限增大，則稱當（或）時，函數(shù)為無窮大量，簡稱無窮大．例如，當時，函數(shù)是無窮大量.應當注意：(1)說函數(shù)是無窮大量，必須同時指明自變量的變化趨勢.例如，當時，函數(shù)是無窮大量，但當時，函數(shù)就不是無窮大量.(2)一定要把絕對值很大的數(shù)與無窮大量區(qū)分開.因為絕對值很大的數(shù)，無論多么大，都是常數(shù)，不會隨著自變量的變化而絕對值無限增大，所以都不是無窮大量.根據(jù)定義，函數(shù)是無窮大時，其極限是不存在的，但為了便于敘述，我們常說函數(shù)的極限是無窮大，并記作.如果當（或）時，取正值而無限增大，記作.如果當（或）時，取負值而絕對值無限增大，記作.例如，當時，函數(shù)取正值而無限增大，所以是時的無窮大量，記作；當時，函數(shù)取負值而絕對值無限增大，所以是時的無窮大量，記作.2．無窮大與無窮小的關系為了說明無窮大與無窮小的關系，我們先考察下面的例子：當時，函數(shù)是無窮小，而函數(shù)則是無窮大；當時，函數(shù)是無窮大，而函數(shù)是無窮小.一般地，在自變量的同一變化過程中，如果是無窮大量，那么是無窮小量；如果是無窮小量，且，那么是無窮大量.例2求極限.例３求極限.

1.5函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，它反映了許多自然現(xiàn)象的一個共性．例如氣溫的變化、動植物的生長、空氣的流動等，都是隨著時間在連續(xù)不斷地變化著的.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學上，這是函數(shù)的連續(xù)性.1.5.1連續(xù)函數(shù)的概念1．函數(shù)的增量設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量從(稱為初值)變化到(稱為終值)時，終值與初值之差稱為自變量的增量(或改變量)，記為.相應地，函數(shù)的終值與初值之差稱為函數(shù)的增量，記為.容易理解，增量可以是正值，可以是負值，也可以是零.例1設，求適合下列條件的自變的增量和函數(shù)的增量：（1）從變到時；（2）從變到時；（3）從變到時.2．函數(shù)在點的連續(xù)性函數(shù)在點連續(xù)，反映到圖形上即為曲線在的左右近旁是連綿不斷的，如（圖1－26）所示，給自變量一個增量，對應就有函數(shù)的增量，且當趨于時，的絕對值將無限變小．圖1－26定義1.10設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果在點自變量的增量趨于時，相應函數(shù)的增量也趨于，即，那么，稱函數(shù)在點連續(xù)．例2利用定義證明函數(shù)在點處連續(xù)．令，則當時，，同時時，．于是，函數(shù)在點處連續(xù)可描述成下面的定義.定義1.11設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果當時，函數(shù)的極限存在，且等于在點的函數(shù)值，即，那么，稱函數(shù)在點處連續(xù).由定義可以看出，函數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足如下條件：(1)函數(shù)在點處必須有定義；(2)函數(shù)在點處必須有極限；(3)函數(shù)在點處的極限值必須等于它在點處的函數(shù)值，即.函數(shù)在點處連續(xù)和函數(shù)當時有極限的區(qū)別.函數(shù)在點處連續(xù)能保證存在，同時還能保證在點有定義，并且極限值為函數(shù)值.反之，僅當存在時，在點處不一定連續(xù)，甚至在處可能沒有定義，所以，函數(shù)在時有極限，是在點處連續(xù)和必要條件.如果，則稱函數(shù)在點處左連續(xù).如果，則稱函數(shù)在點處右連續(xù).函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是在點處既左連續(xù)又右連續(xù).3．函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任一點都連續(xù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)．此時，函數(shù)叫做區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間叫做的連續(xù)區(qū)間.如果函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間的左端點處右連續(xù)，即，在區(qū)間的右端點左連續(xù)，即，那么稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).1.5.2函數(shù)的間斷點如果函數(shù)在