用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件

新課導(dǎo)入回顧舊知數(shù)學(xué)歸納法的步驟：(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立.新課導(dǎo)入回顧舊知數(shù)學(xué)歸納法的步驟：(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題4.1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力

會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努力不等式).教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明含有任意正整過程與方法

通過例題的學(xué)習(xí)，能夠證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努力不等式).過程與方法通過例題的學(xué)習(xí)，能夠證明含有任意正整數(shù)n的情感態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.情感態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)

會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努利不等式).靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明含有任意正整數(shù)例1

觀察下面兩個(gè)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起an

始終小于bn？證明你的結(jié)論.{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…;{bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…例1觀察下面兩個(gè)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起an始分析由數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想，從第5項(xiàng)起，an<bn即n2<2n(nN+,n≥5)，用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想時(shí)，第(1)步應(yīng)該證明n=5的情形.分析由數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想，從第5項(xiàng)起，an<bn即n2<2n(證明(1)當(dāng)n=5時(shí)，52<25，命題成立.(2)假設(shè)n=k(k≥5)時(shí)，命題成立，即k2<2k.當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)所以(k+1)2<2k+1,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.證明(1)當(dāng)n=5時(shí)，52<25，命題成立.(2)假例2證明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(nN+)例2證明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(nN+)分析

這是個(gè)涉及正整數(shù)n的三角函數(shù)問題，又與絕對(duì)值有關(guān)，在證明遞推關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意利用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕對(duì)值不等式.分析這是個(gè)涉及正整數(shù)n的三角函數(shù)問題，又與絕對(duì)值有關(guān)證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)命題成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊，命題成立.(2)假用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.當(dāng)n=k+1時(shí)，│sin(k+1)θ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=(k+1)│sinθ│由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.當(dāng)n=k+1例3證明貝努利不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x>-1,x0,n為大于1的自然數(shù)，那么有(1+x)n>1+nx例3證明貝努利不等式：分析

貝努利不等式中涉及兩個(gè)字母，x表示大于-1且不等于0的任意實(shí)數(shù),n是大于1的自然數(shù)，我們用數(shù)學(xué)歸納法只能對(duì)n進(jìn)行歸納.分析貝努利不等式中涉及兩個(gè)字母，x表示大于-1且不等證明(1)當(dāng)n=2時(shí)，由x≠0得(1+x)2>1+2x,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立，即有(1+x)k>1+kx.當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx）>1+(k+1)x證明(1)當(dāng)n=2時(shí)，由x≠0得(1+x)2>1所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.由(1)(2)可知，貝努利不等式成立.所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.例4證明：如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an的乘積a1,a2,…,an，那么它們的和a1+a2…+an=1.例4證明：

在數(shù)學(xué)研究中，經(jīng)常用貝努利不等式把二項(xiàng)式的乘方(1+x)n縮小為簡單的1+nx的形式.這在數(shù)值估計(jì)和放縮法證明不等式中可以發(fā)揮作用.在數(shù)學(xué)研究中，經(jīng)常用貝努利不等式把二項(xiàng)式的乘方(1+事實(shí)上，貝努利不等式的一般形式是：當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足a>1或者a<0時(shí)，有(1+x)a≥1+ax(x>-1);當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足a>1或者0<a<1時(shí)，有(1+x)a≤1+ax(x>-1).事實(shí)上，貝努利不等式的一般形式是：當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足a>1分析

這是與正整數(shù)密切相關(guān)的不等式，它的形式簡潔和諧.用數(shù)學(xué)歸納法證明它時(shí)，應(yīng)注意利用n個(gè)正數(shù)的乘積為1的條件，并對(duì)什么時(shí)歸納假設(shè)和由它要遞推的目標(biāo)心中有數(shù).分析這是與正整數(shù)密切相關(guān)的不等式，它的形式簡潔和諧.證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，有a1=1，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即若k個(gè)正數(shù)的乘積a1a2…ak=1，則a1+a2+…+ak≥k.當(dāng)n=k+1時(shí)，已知k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,…,ak滿足條件a1a2…ak+1=1.證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，有a1=1，命題成立.(2)假若這k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,…,ak+1都相等，則它們都是1.其和為k+1，命題成立.若這k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,…,ak+1不全相等，則其中必有大于1的數(shù)，也有小于1的數(shù).不妨設(shè)a1>1,a2<1有歸納假設(shè)可得到：a1+a2+…+ak+ak+1≥k(1)若這k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,…,ak+1都相等，則它們都是1我們要證a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1(2)由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1.(3)則(1)+(3)=(2).由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0,即a1+a2-a1a2>1.于是目標(biāo)得證，即：當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)可知，原命題成立.我們要證a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1(2)由課堂小結(jié)

本節(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式通過4個(gè)例題由淺入深的討論如何通過“奠基”“假設(shè)和遞推”證明含有任意正整數(shù)n的不等式.課堂小結(jié)本節(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式通過4個(gè)例題由淺入隨堂練習(xí)1.對(duì)任意的nN+,試比較n!與2n-1的大小，證明你的結(jié)論.隨堂練習(xí)1.對(duì)任意的nN+,試比較n!與2n-1的大小，解:對(duì)任意的nN+,有n!≥2n-1可用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論.(1)當(dāng)n=1時(shí)，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)，命題成立.即k!≥2k-1.當(dāng)n=k+1時(shí)，(k+1)!=k!(k+1)≥2k-1(k+1)≥2k.所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立.由(1)(2)知，命題對(duì)一切正整數(shù)成立.解:對(duì)任意的nN+,有n!≥2n-1可用數(shù)學(xué)歸納法證明此2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n,不等式

都成立.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n,不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件習(xí)題答案習(xí)題4.2（第53頁）習(xí)題答案習(xí)題4.2（第53頁）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件新課導(dǎo)入回顧舊知數(shù)學(xué)歸納法的步驟：(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立.新課導(dǎo)入回顧舊知數(shù)學(xué)歸納法的步驟：(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題4.1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力

會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努力不等式).教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明含有任意正整過程與方法

通過例題的學(xué)習(xí)，能夠證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努力不等式).過程與方法通過例題的學(xué)習(xí)，能夠證明含有任意正整數(shù)n的情感態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.情感態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)

會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努利不等式).靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明含有任意正整數(shù)例1

觀察下面兩個(gè)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起an

始終小于bn？證明你的結(jié)論.{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…;{bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…例1觀察下面兩個(gè)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起an始分析由數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想，從第5項(xiàng)起，an<bn即n2<2n(nN+,n≥5)，用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想時(shí)，第(1)步應(yīng)該證明n=5的情形.分析由數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想，從第5項(xiàng)起，an<bn即n2<2n(證明(1)當(dāng)n=5時(shí)，52<25，命題成立.(2)假設(shè)n=k(k≥5)時(shí)，命題成立，即k2<2k.當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)所以(k+1)2<2k+1,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.證明(1)當(dāng)n=5時(shí)，52<25，命題成立.(2)假例2證明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(nN+)例2證明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(nN+)分析

這是個(gè)涉及正整數(shù)n的三角函數(shù)問題，又與絕對(duì)值有關(guān)，在證明遞推關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意利用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕對(duì)值不等式.分析這是個(gè)涉及正整數(shù)n的三角函數(shù)問題，又與絕對(duì)值有關(guān)證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)命題成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊，命題成立.(2)假用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.當(dāng)n=k+1時(shí)，│sin(k+1)θ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=(k+1)│sinθ│由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.當(dāng)n=k+1例3證明貝努利不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x>-1,x0,n為大于1的自然數(shù)，那么有(1+x)n>1+nx例3證明貝努利不等式：分析

貝努利不等式中涉及兩個(gè)字母，x表示大于-1且不等于0的任意實(shí)數(shù),n是大于1的自然數(shù)，我們用數(shù)學(xué)歸納法只能對(duì)n進(jìn)行歸納.分析貝努利不等式中涉及兩個(gè)字母，x表示大于-1且不等證明(1)當(dāng)n=2時(shí)，由x≠0得(1+x)2>1+2x,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立，即有(1+x)k>1+kx.當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx）>1+(k+1)x證明(1)當(dāng)n=2時(shí)，由x≠0得(1+x)2>1所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.由(1)(2)可知，貝努利不等式成立.所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.例4證明：如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an的乘積a1,a2,…,an，那么它們的和a1+a2…+an=1.例4證明：

在數(shù)學(xué)研究中，經(jīng)常用貝努利不等式把二項(xiàng)式的乘方(1+x)n縮小為簡單的1+nx的形式.這在數(shù)值估計(jì)和放縮法證明不等式中可以發(fā)揮作用.在數(shù)學(xué)研究中，經(jīng)常用貝努利不等式把二項(xiàng)式的乘方(1+事實(shí)上，貝努利不等式的一般形式是：當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足a>1或者a<0時(shí)，有(1+x)a≥1+ax(x>-1);當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足a>1或者0<a<1時(shí)，有(1+x)a≤1+ax(x>-1).事實(shí)上，貝努利不等式的一般形式是：當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足a>1分析

這是與正整數(shù)密切相關(guān)的不等式，它的形式簡潔和諧.用數(shù)學(xué)歸納法證明它時(shí)，應(yīng)注意利用n個(gè)正數(shù)的乘積為1的條件，并對(duì)什么時(shí)歸納假設(shè)和由它要遞推的目標(biāo)心中有數(shù).分析這是與正整數(shù)密切相關(guān)的不等式，它的形式簡潔和諧.證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，有a1=1，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即若k個(gè)正數(shù)的乘積a1a2…ak=1，則a1+a2+…+ak≥k.當(dāng)n=k+1時(shí)，已知k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,…,ak滿足條件a1a2…ak+1=1.證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，有a1=1，命題成立.(2)假若這k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,…,ak+1都相等，則它們都是1.其和為k+1，命題成立.若這k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,…,ak+1不全相等，則其中必有大于1的數(shù)，也有小于1的數(shù).不妨設(shè)a1>1,a2<1有歸納假設(shè)可得到：a1+a2+…+ak+ak+1≥k(1)若這k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,…,ak+1都相等，則它們都是1我們要證a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1(2)由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1.(3)則(1)+(3)=