第五章熱力學(xué)第二定律與熵習(xí)題解答課件

第五章習(xí)題解答第五章習(xí)題解答15.1.1試用反證法證明絕熱線與等溫線不能相交于二點(注意:不一定是理想氣體)分析:題中已明確指出這是對于任何物質(zhì)而言的，所以不能應(yīng)用理想氣體等溫線和絕熱線來證明它們不能相交于兩點。由于熱力學(xué)第一定律和熱力學(xué)第二定律具有普適性和可靠性，只要假定在任意一個狀態(tài)圖上的絕熱線與等溫線相交于兩點，然后證明這樣必然違背熱一律或熱二律，那么這一命題必然是錯誤的。證明：假設(shè)絕熱線與等溫線相交于兩點A和B，從而圍城一個閉合區(qū)域，分兩種情況討論。等溫線絕熱線⑴絕熱線在等溫線的下面。假設(shè)此循環(huán)是順時針的，則此過程對外做功，而在整個循環(huán)中只從單一熱源吸熱并全部用來對外做功，而不產(chǎn)生其它影響，這違反了熱二律的開爾文表述，因此，這種情況下，等溫線不能和絕熱線相交于兩點5.1.1試用反證法證明絕熱線與等溫線不能相交于二點(2等溫線絕熱線⑵絕熱線在等溫線的上面。同樣可以假設(shè)此循環(huán)是順時針的，但是它在B-C-A等溫過程中放熱，不吸熱，它無法和熱力學(xué)第二定律相聯(lián)系，但是這樣違背熱力學(xué)第一定律。因為這是一個順時針循環(huán)，它是對外做功的。注意到在A-D-B過程中是絕熱的，在B-C-A過程中是放熱的，所以在整個循環(huán)中即放熱又對外做功，這樣就違背了熱一律。如此題設(shè)得證。等溫線絕熱線⑵絕熱線在等溫線的上面。同樣可以假3等溫線絕熱線5.3.1

如圖所示，圖中1-3為等溫線，1-4為絕熱線，1-2和4-3均為等壓線，2-3為等體線。1molH2(理想氣體)在1點的狀態(tài)參量為V1=0.02m3，T1=300K；在3點的狀態(tài)參量為V3=0.04m3，T3=300K。試分別用如下三條路徑計算S3-S1：⑴1-2-3;⑵1-3;⑶1-4-3.分析：因為能夠用實線表示的狀態(tài)變化圖線一般都可以認為是可逆變化過程，所以可用來計算熵變。解：⑴1-2為等壓過程：2-3為等體過程，且H2為雙原子分子，故：所以1-2-3過程的熵變?yōu)椋旱葴鼐€絕熱線5.3.1如圖所示，圖中1-34等溫線絕熱線⑵1-3為等溫過程，其熵變?yōu)椋孩?-4-3過程由1-4的絕熱過程和4-3的等壓過程組成，有：聯(lián)立上式，代入T1=300K，T3=300K，可得：則1-4-3過程的熵變?yōu)椋嚎梢姡红卮_為態(tài)函數(shù)，其變化僅由始末態(tài)決定，而與路徑無關(guān)。等溫線絕熱線⑵1-3為等溫過程，其熵變?yōu)椋?5.3.2如圖所示，一長為0.8m的圓柱形容器被一薄的活塞分隔成兩部分。開始時活塞固定在距左端0.3m處?；钊筮叧溆?mol壓強為5×105Pa的氦氣，右邊充有壓強為1×105Pa的氖氣，它們都是理想氣體。將氣缸浸入1L水中，開始時整個物體系的溫度均勻地處于25℃。氣缸及活塞的熱容可不考慮。放松以后振動的活塞最后將位于新的平衡位置，試問這時⑴水溫升高多少？⑵活塞將靜止在距氣缸左邊多大距離位置？⑶物體系的總熵增加多少？分析：開始時活塞是固定的，放松以后活塞振動起來，說明開始時活塞兩邊壓強不等，物質(zhì)的量也不等?？紤]到氣缸內(nèi)的氦氣和氖氣作為一個整體它不可能對外做功，而開始時整個物體系（氣缸以及內(nèi)部的氣體和外面的水）的溫度均勻地處于25℃，它不可能和外界交換熱量。所以一開始氣缸以及內(nèi)部氣體的內(nèi)能就不變，溫度不變，以后溫度應(yīng)該仍然不變，誰的溫度也不變。解：⑴水溫保持25℃不變。5.3.2如圖所示，一長為0.8m的圓柱形容器被分析：6⑵設(shè)初態(tài)氦氣、氖氣的狀態(tài)參量為（S表示截面積）：末態(tài)氦氣、氖氣的狀態(tài)參量為(l表示靜止時活塞距氣缸左邊的距離)：由于物質(zhì)的量和溫度都不變，所以有：⑶整個氣體的熵變等于氦氣和氖氣熵變之和。⑵設(shè)初態(tài)氦氣、氖氣的狀態(tài)參量為（S表示截面積）：末態(tài)氦氣、75.3.3

水的比熱容比是4.18KJ·Kg-1·K-1。⑴1Kg0℃的水與一個373K的大熱源相接觸，當(dāng)水的溫度到達373K時，水的熵改變多少？⑵如果先將水與一個323K的大熱源接觸，然后再讓它與一個373K的大熱源接觸，求系統(tǒng)的熵變。⑶說明怎樣才可使水從273K變到373K而整個系統(tǒng)的熵不變。分析：由于前兩問都是在溫差不滿足△T/T<<1的條件下的熱傳遞，因而是不可逆的。應(yīng)該設(shè)想水所經(jīng)歷的是另一個其始、末態(tài)都和他的初、末態(tài)相同的可逆過程。例如，水在等壓條件下依次和一系列的溫度從T1逐步上升到T2的熱源相接觸，相鄰兩熱源之間的溫差滿足△T/T<<1的條件。只有水達到新的平衡態(tài)后，才脫開原來的熱源，再和下一個溫度的熱源相接觸，使達到下一熱源的溫度…如此使得水的溫度也逐步從從T1上升到T2。這樣就可以認為水在任何時刻的溫度幾乎都是處處相等的,它始終滿足熱學(xué)平衡條件，因而是可逆的。由于這兩個可逆和不可逆過程的始末兩態(tài)相同,因而熵變相同。解：⑴設(shè)水的初溫T1,終溫T3,水的定壓比熱容cP，則有:5.3.3水的比熱容比是4.18KJ·Kg-1·K-18⑵整個系統(tǒng)的總熵變應(yīng)為水的兩次熵變和熱源的兩次熵變之和。設(shè)水的初溫T1，323K熱源的溫度為T2，373K熱源的溫度為T3。由于323K和373K熱源處于恒溫下，它們放出的熱量分別為：兩個熱源的熵變分別為：水在兩次傳熱過程中的熵變分別為：整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋孩强梢钥闯鲈冖胖?，水和熱源的總熵變?yōu)棰普麄€系統(tǒng)的總熵變應(yīng)為水的兩次熵變和熱源的兩次熵變之和。設(shè)9整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋孩强梢钥闯鲈冖胖校蜔嵩吹目傡刈優(yōu)樽⒁獾?2)式的總熵變小于(1)式的總熵變，可知增加一個中間溫度(323K)的熱源后，水和熱源合在一起（它們是絕熱系統(tǒng)）的總熵變減小了。可以估計到，中間溫度的熱源數(shù)越多，水和熱源合在一起的總熵變就越小。顯然，若要使水和熱源合在一起的熵不變，應(yīng)該使水所經(jīng)歷的是可逆過程，即按照前面分析中所描述的那樣，使水與一系列溫度相差無窮小的熱源相接觸，使得水所經(jīng)歷的是可逆過程。按照熵增加原理，絕熱可逆過程總熵不變。整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋孩强梢钥闯鲈冖胖校?05.3.5有一熱機循環(huán)，它在T-S圖上可以表示為其半長軸及半短軸分別平行于T軸及S軸的橢圓。循環(huán)中熵的變化范圍從S0到3S0，T的變化范圍從T0到3T0。試求該熱機的效率。解：做出示意圖TS

43123T0T0S03S0

橢圓中心坐標為橢圓半長、半短軸的長度分別為：橢圓面積為T-S圖上順時針循環(huán)面積為熱機對外所做功，因而：由圖可見，3—4—1過程吸熱，吸收的熱量為該段循環(huán)曲線下的面積，故有：熱機效率為：5.3.5有一熱機循環(huán)，它在T-S圖上可以表示為其半長軸115.3.6理想氣體經(jīng)歷一正向可逆循環(huán)，其循環(huán)過程在T-S圖上可表示為從300K、1106J/K的狀態(tài)等溫地變?yōu)?00K、5105J/K的狀態(tài)，然后等熵地變?yōu)?00K、5105J/K，最后按一條直線變回到300K、1106J/K的狀態(tài)。（1）在T-S圖上正確畫出循環(huán)圖；（2）求循環(huán)效率及它對外所作的功解：⑴T-S圖上的循環(huán)過程如圖示T/KS/(KJ/K)3214003005001000⑵1~2過程等溫、放熱；2~3過程等熵、絕熱；3~1過程方程為：此過程是吸熱過程，吸收的熱量為：系統(tǒng)在整個循環(huán)過程中對外作的功為T-S圖中所圍三角形1231的面積，即：循環(huán)效率為：5.3.6理想氣體經(jīng)歷一正向可逆循環(huán)，其循環(huán)過程在T-S125.3.7絕熱壁包圍的氣缸被一絕熱活塞分隔成A、B兩室?；钊跉飧變?nèi)可無摩擦地自由滑動。A、B內(nèi)各有1mol雙原子分子理想氣體。初始時氣體處于平衡態(tài)，他們的壓強、體積、溫度分別為P0,V0,T0。A室中有一電加熱器使之徐徐加熱，直到A室中壓強變?yōu)?P0，試問：⑴最后A、B兩室內(nèi)氣體溫度分別是多少？⑵在加熱過程中，A室氣體對B室氣體做了多少功？⑶加熱器傳給A室氣體多少熱量？⑷A、B兩室的總熵變是多少？分析：注意氣缸和活塞都是絕熱的。A對B的影響是通過活塞的做功實現(xiàn)的，而A、B的壓強始終相等，A、B的總體積不變。解：⑴B經(jīng)歷的是準靜態(tài)絕熱過程。設(shè)B的末態(tài)體積與溫度分別為VB,TB；A的末態(tài)體積與溫度分別為VA,TA。雙原子分子理想氣體的=7/5，則有：所以B室溫度為：5.3.7絕熱壁包圍的氣缸被一絕熱活塞分隔成A、B兩室13則A室溫度為：⑵由于氣缸和活塞都是絕熱的，A室氣體對B室氣體做的功就是B室氣體內(nèi)能的增加（兩室氣體均為1mol），有：⑶加熱器傳給A室的熱量等于A室氣體和B室氣體內(nèi)能增量的和：⑷由理想氣體熵變公式可得：總熵變?yōu)椋簞tA室溫度為：⑵由于氣缸和活塞都是絕熱的，A室氣體145.3.9某熱力學(xué)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2。已知狀態(tài)2的熱力學(xué)概率是狀態(tài)1的熱力學(xué)概率的2倍，試確定系統(tǒng)熵的增量分析：這是一個利用玻爾茲曼關(guān)系S=klnW來計算系統(tǒng)熵的習(xí)題解：5.3.9某熱力學(xué)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2。已知狀態(tài)2155.3.10一定質(zhì)量的氣體在某狀態(tài)時的熱力學(xué)概率為W1，問當(dāng)其質(zhì)量增大n倍時的熱力學(xué)概率W2是多少？設(shè)兩種情況下的溫度和壓強均相同。解：熵為廣延量，因而當(dāng)質(zhì)量由當(dāng)質(zhì)量為m時有：當(dāng)質(zhì)量為nm時有：5.3.10一定質(zhì)量的氣體在某狀態(tài)時的熱力學(xué)概率為W116第五章習(xí)題解答第五章習(xí)題解答175.1.1試用反證法證明絕熱線與等溫線不能相交于二點(注意:不一定是理想氣體)分析:題中已明確指出這是對于任何物質(zhì)而言的，所以不能應(yīng)用理想氣體等溫線和絕熱線來證明它們不能相交于兩點。由于熱力學(xué)第一定律和熱力學(xué)第二定律具有普適性和可靠性，只要假定在任意一個狀態(tài)圖上的絕熱線與等溫線相交于兩點，然后證明這樣必然違背熱一律或熱二律，那么這一命題必然是錯誤的。證明：假設(shè)絕熱線與等溫線相交于兩點A和B，從而圍城一個閉合區(qū)域，分兩種情況討論。等溫線絕熱線⑴絕熱線在等溫線的下面。假設(shè)此循環(huán)是順時針的，則此過程對外做功，而在整個循環(huán)中只從單一熱源吸熱并全部用來對外做功，而不產(chǎn)生其它影響，這違反了熱二律的開爾文表述，因此，這種情況下，等溫線不能和絕熱線相交于兩點5.1.1試用反證法證明絕熱線與等溫線不能相交于二點(18等溫線絕熱線⑵絕熱線在等溫線的上面。同樣可以假設(shè)此循環(huán)是順時針的，但是它在B-C-A等溫過程中放熱，不吸熱，它無法和熱力學(xué)第二定律相聯(lián)系，但是這樣違背熱力學(xué)第一定律。因為這是一個順時針循環(huán)，它是對外做功的。注意到在A-D-B過程中是絕熱的，在B-C-A過程中是放熱的，所以在整個循環(huán)中即放熱又對外做功，這樣就違背了熱一律。如此題設(shè)得證。等溫線絕熱線⑵絕熱線在等溫線的上面。同樣可以假19等溫線絕熱線5.3.1

如圖所示，圖中1-3為等溫線，1-4為絕熱線，1-2和4-3均為等壓線，2-3為等體線。1molH2(理想氣體)在1點的狀態(tài)參量為V1=0.02m3，T1=300K；在3點的狀態(tài)參量為V3=0.04m3，T3=300K。試分別用如下三條路徑計算S3-S1：⑴1-2-3;⑵1-3;⑶1-4-3.分析：因為能夠用實線表示的狀態(tài)變化圖線一般都可以認為是可逆變化過程，所以可用來計算熵變。解：⑴1-2為等壓過程：2-3為等體過程，且H2為雙原子分子，故：所以1-2-3過程的熵變?yōu)椋旱葴鼐€絕熱線5.3.1如圖所示，圖中1-320等溫線絕熱線⑵1-3為等溫過程，其熵變?yōu)椋孩?-4-3過程由1-4的絕熱過程和4-3的等壓過程組成，有：聯(lián)立上式，代入T1=300K，T3=300K，可得：則1-4-3過程的熵變?yōu)椋嚎梢姡红卮_為態(tài)函數(shù)，其變化僅由始末態(tài)決定，而與路徑無關(guān)。等溫線絕熱線⑵1-3為等溫過程，其熵變?yōu)椋?15.3.2如圖所示，一長為0.8m的圓柱形容器被一薄的活塞分隔成兩部分。開始時活塞固定在距左端0.3m處?；钊筮叧溆?mol壓強為5×105Pa的氦氣，右邊充有壓強為1×105Pa的氖氣，它們都是理想氣體。將氣缸浸入1L水中，開始時整個物體系的溫度均勻地處于25℃。氣缸及活塞的熱容可不考慮。放松以后振動的活塞最后將位于新的平衡位置，試問這時⑴水溫升高多少？⑵活塞將靜止在距氣缸左邊多大距離位置？⑶物體系的總熵增加多少？分析：開始時活塞是固定的，放松以后活塞振動起來，說明開始時活塞兩邊壓強不等，物質(zhì)的量也不等。考慮到氣缸內(nèi)的氦氣和氖氣作為一個整體它不可能對外做功，而開始時整個物體系（氣缸以及內(nèi)部的氣體和外面的水）的溫度均勻地處于25℃，它不可能和外界交換熱量。所以一開始氣缸以及內(nèi)部氣體的內(nèi)能就不變，溫度不變，以后溫度應(yīng)該仍然不變，誰的溫度也不變。解：⑴水溫保持25℃不變。5.3.2如圖所示，一長為0.8m的圓柱形容器被分析：22⑵設(shè)初態(tài)氦氣、氖氣的狀態(tài)參量為（S表示截面積）：末態(tài)氦氣、氖氣的狀態(tài)參量為(l表示靜止時活塞距氣缸左邊的距離)：由于物質(zhì)的量和溫度都不變，所以有：⑶整個氣體的熵變等于氦氣和氖氣熵變之和。⑵設(shè)初態(tài)氦氣、氖氣的狀態(tài)參量為（S表示截面積）：末態(tài)氦氣、235.3.3

水的比熱容比是4.18KJ·Kg-1·K-1。⑴1Kg0℃的水與一個373K的大熱源相接觸，當(dāng)水的溫度到達373K時，水的熵改變多少？⑵如果先將水與一個323K的大熱源接觸，然后再讓它與一個373K的大熱源接觸，求系統(tǒng)的熵變。⑶說明怎樣才可使水從273K變到373K而整個系統(tǒng)的熵不變。分析：由于前兩問都是在溫差不滿足△T/T<<1的條件下的熱傳遞，因而是不可逆的。應(yīng)該設(shè)想水所經(jīng)歷的是另一個其始、末態(tài)都和他的初、末態(tài)相同的可逆過程。例如，水在等壓條件下依次和一系列的溫度從T1逐步上升到T2的熱源相接觸，相鄰兩熱源之間的溫差滿足△T/T<<1的條件。只有水達到新的平衡態(tài)后，才脫開原來的熱源，再和下一個溫度的熱源相接觸，使達到下一熱源的溫度…如此使得水的溫度也逐步從從T1上升到T2。這樣就可以認為水在任何時刻的溫度幾乎都是處處相等的,它始終滿足熱學(xué)平衡條件，因而是可逆的。由于這兩個可逆和不可逆過程的始末兩態(tài)相同,因而熵變相同。解：⑴設(shè)水的初溫T1,終溫T3,水的定壓比熱容cP，則有:5.3.3水的比熱容比是4.18KJ·Kg-1·K-124⑵整個系統(tǒng)的總熵變應(yīng)為水的兩次熵變和熱源的兩次熵變之和。設(shè)水的初溫T1，323K熱源的溫度為T2，373K熱源的溫度為T3。由于323K和373K熱源處于恒溫下，它們放出的熱量分別為：兩個熱源的熵變分別為：水在兩次傳熱過程中的熵變分別為：整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋孩强梢钥闯鲈冖胖校蜔嵩吹目傡刈優(yōu)棰普麄€系統(tǒng)的總熵變應(yīng)為水的兩次熵變和熱源的兩次熵變之和。設(shè)25整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋孩强梢钥闯鲈冖胖?，水和熱源的總熵變?yōu)樽⒁獾?2)式的總熵變小于(1)式的總熵變，可知增加一個中間溫度(323K)的熱源后，水和熱源合在一起（它們是絕熱系統(tǒng)）的總熵變減小了?？梢怨烙嫷?，中間溫度的熱源數(shù)越多，水和熱源合在一起的總熵變就越小。顯然，若要使水和熱源合在一起的熵不變，應(yīng)該使水所經(jīng)歷的是可逆過程，即按照前面分析中所描述的那樣，使水與一系列溫度相差無窮小的熱源相接觸，使得水所經(jīng)歷的是可逆過程。按照熵增加原理，絕熱可逆過程總熵不變。整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋孩强梢钥闯鲈冖胖?，水?65.3.5有一熱機循環(huán)，它在T-S圖上可以表示為其半長軸及半短軸分別平行于T軸及S軸的橢圓。循環(huán)中熵的變化范圍從S0到3S0，T的變化范圍從T0到3T0。試求該熱機的效率。解：做出示意圖TS

43123T0T0S03S0

橢圓中心坐標為橢圓半長、半短軸的長度分別為：橢圓面積為T-S圖上順時針循環(huán)面積為熱機對外所做功，因而：由圖可見，3—4—1過程吸熱，吸收的熱量為該段循環(huán)曲線下的面積，故有：熱機效率為：5.3.5有一熱機循環(huán)，它在T-S圖上可以表示為其半長軸275.3.6理想氣體經(jīng)歷一正向可逆循環(huán)，其循環(huán)過程在T-S圖上可表示為從300K、1106J/K的狀態(tài)等溫地變?yōu)?00K、5105J/K的狀態(tài)，然后等熵地變?yōu)?00K、5105J/K，最后按一條直線變回到300K、1106J/K的狀態(tài)。（1）在T-S圖上正確畫出循環(huán)圖；（2）求循環(huán)效率及它對外所作的功解：⑴T-S圖上的循環(huán)過程如圖示T/KS/(KJ/K)3214003005001000⑵1~2過程等溫、放熱；2~3過程等熵、絕熱；3~1過程方程為：此過程是吸熱過程，吸收的熱量為：系統(tǒng)在整個循環(huán)過程中對外作的功為T-S圖中所圍三角形1231的面積，即：循環(huán)效率為：5.3.6理想氣體經(jīng)歷一正向可逆循環(huán)，其循環(huán)過程