圓錐曲線典例講解課件

(2004?全國東北理科卷)設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,兩條漸近線為y=±x，則該雙曲線的離心率e=()A.5B.C.D.=1+k2.其中k為雙曲線漸近線的斜率.Ce2=5/4.(2004?全國東北理科卷)設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,1

已知F1、F2為雙曲線(a>

0,b>0)的焦點，過F2作垂直于

x

軸的直線交雙曲線于P,且∠PF1F2＝30o(如圖),求雙曲線的漸近線方程.

xyoPF1F22已知F1、F2為雙曲線即

ec＝3a,e2＝3,

已知F1、F2為雙曲線(a>

0,b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于P,且∠PF1F2＝30o(如圖),求雙曲線的漸近線方程.

xyoPF1F2|PF1|＝2|PF2|，

exP+a=2(exP-a)，exP＝3a,k2=e2-1=2.y=±x.即ec＝3a,e2＝3,已知F13(2005·福建理科)已知F1、F2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是()A.4+2B.-1C. D.+1xyoF1F2MA30ox1由已知,|AF1|=c,|AF2|=c,即ex1-a=c,ex1+a=c,兩式相減：2a=(-1)c,兩邊同除以a得e=(2005·福建理科)已知F1、F2是雙曲線4∟(2005·福建理科)已知F1、F2是雙曲線 (a>

0,b>0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是() A.4+2B.-1C.D.+1因為|NF1|=exN-a=c,即exN+a=cyxoMF2NF1又|NF2|=|NF1|,D2exN=(+1)c將xN=c/2代入即得.∟(2005·福建理科)已知F1、F2是雙曲線5

要點提煉：設(shè)雙曲線的離心率為e,一條有較小傾斜角的漸近線的斜率為k,則雙曲線的如下性質(zhì)在解題時十分有用： ①過焦點作一條漸近線的垂線,垂足在雙曲線的準(zhǔn)線上,垂線段的長等于半虛軸長； ②＝arccos(1/e)； ③

e2＝k2＋1.此外,雙曲線的焦半徑公式：r1＝|ex0＋a|，r2＝|ex0－a|在處理涉及雙曲線的焦半徑問題時是十分有用的,必須要學(xué)生熟記它.要點提煉：設(shè)雙曲線的離心率為e,一條有較小傾斜角6設(shè)設(shè)而不求(1994·全國)設(shè)F1,F2為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=90o則△F1PF2的面積是()

A.1B.

C.2

D.=1.A設(shè)設(shè)而不求(1994·全國)設(shè)F1,F2為雙曲線7xyoF1F2P以F1F2為直徑的圓的方程是：

x2+y2=5,xyoF1F2P以F1F2為直徑的圓的方8(2005·全國Ⅲ卷)已知雙曲線的焦點為F1、F2,點M在雙曲線上且MF1·MF2=0,則點M到x軸的距離為() A． B． C． D．xyoF1F2Mx2+y2=3MF1·MF2=0MF1⊥MF2x2+y2=3,2x2-y2=2{

y=平幾知識的應(yīng)用C(2005·全國Ⅲ卷)已知雙曲線9

已知F1、F2為雙曲線(a>

0,b>0)的焦點，M為雙曲線上的點,若∠F1MF2＝90o,則△F1MF2的面積等于________.

xyoF1F2M一般化x2+y2=c2,b2x2-a2y2=a2b2{c2y2=b2(c2-a2)=b4y=b2/cS△F1MF2=b2.已知F1、F2為雙曲線10(2005·全國Ⅲ卷)已知雙曲線的焦點為F1、F2,點M在雙曲線上且MF1·MF2=0,則點M到x軸的距離為() A． B． C． D．xyoF1F2MCS△F1MF2=b2=2設(shè)點M到x軸的距離為d,則cd=Sd=(2005·全國Ⅲ卷)已知雙曲線11將直角坐標(biāo)系中的曲線平移(或平移坐標(biāo)軸)，曲線上任意兩點之間的距離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、以及曲線上任一點處的切線的斜率，都是平移變換下的不變量.將直角坐標(biāo)系中的曲線平移(或平移坐標(biāo)軸)，曲12

(1995?全國)直線l過拋物線y2＝a(x+1)(a>0)的焦點,并且與x軸垂直,若l被拋物線截得的線段長為4,則a＝.

直線l過拋物線y2＝4(x+1)的焦點,并且與x軸垂直,若l被拋物線截得的線段長為.

44

y2＝a(x-3)(1995?全國)直線l過拋物線y2＝a(x+1)13（2003·新課程卷）設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的傾斜角的取值范圍為，則點P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為()A.B.C.D.

∴曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率k=2ax0.依題意,0≤k≤1,即0≤2ax0≤1.B

∵f(x)=2ax,（2003·新課程卷）設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c14xyoFP

y=ax2

y=-

∵y=2ax,∴y

|=1.證明：點P處的切線斜率為1xyoFPy=ax2y=-∵y=2a15xyoFP證明：點P處的切線斜率為1

法一：由y2=2px

2yy=2p,法二：由xyoFP證明：點P處的切線斜率為1法一：由16F回顧

y2=2px∣PF∣=pxyoAF回顧y2=2px∣PF∣=pxyo17x=-

命題1

設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的通徑為PQ，則拋物線在點P、Q處的切線的斜率分別為1和-1,且切線通過拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點.xyOPQFx=-Mx=-命題1設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的通徑為18xyoFP(2004?全國東部卷)設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]

y2=18x

y2=8(x-6)CxyoFP(2004?全國東部卷)設(shè)19已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上的任一點，過點F且斜率為1的直線與C交于A、B兩點，若PAB的面積為4，則這樣的點P有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個AB：x-y-1=0求得|AB|=8；取點M(1,2)MAB的面積為4C點M到直線AB的距離為xyoABFM已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上的任一點20引申1橢圓通徑一個端點處切線的斜率xyoF1P由得引申2雙曲線通徑端點處切線的斜率為e.引申1橢圓通徑一個端點處切線的斜率xyoF1P21引申3過橢圓上一點P(x0,y0)的切線方程為：引申4過雙曲線上一點P(x0,y0)的切線方程為：引申3過橢圓22引申5過拋物線y2=2px上一點P(x0,y0)的切線方程為：y0y=p(x+x0)

y0y=p(x+x0)k切=引申5過拋物線y2=2px上一點P(x0,y023

命題2若PQ為焦點在x軸上的圓錐曲線的通徑，則曲線在點P、Q處的切線的斜率為e和-e，且切線通過相應(yīng)準(zhǔn)線與x軸的交點.

或表述為：過焦點在x軸上的圓錐曲線的準(zhǔn)線與x軸的交點，且斜率為e(或-e)的直線，與圓錐曲線相切，且切點為圓錐曲線一條通徑的端點.命題2若PQ為焦點在x軸上的圓錐曲線的通徑，則曲線在點24xyo作離心率為1/2的橢圓xyo作離心率為1/2的橢圓25xyoFAB|OF|＝c,|FA|＝b,|OA|＝a.c·|AB|＝2ab|AB|＝＝作離心率為2的雙曲線xyoFAB|OF|＝c,|FA|＝b,26(2004?湖南理科卷)如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.(I)設(shè)點P分有向線段AB所成的比為，證明QP⊥(QA-QB)；(II)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.xyoAPBQ(2004?湖南理科卷)如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上27xyoAPBQ(0,-m)(x1,y1)(x2,y2)AP=(-x1,m-y1),PB=(x2,y2-m),由已知,x1=-x2,y1-m=-(y2-m).即因為A、P、B共線,且AP=PB.∴QP=QA+QB=(QA+QB).欲證QP⊥(QA-QB),只須證QP?(QA-QB)=0,即證|QA|2-2|QB|2=0.而|QA|2-2|QB|2=[+(y1+m)2]-2[

+(y2+m)2]xyoAPBQ(0,-m)(x1,y1)(x2,28光的反射基本原理:(Ⅰ)光的傳播遵循“光行最速原理”;(Ⅱ)光的反射應(yīng)滿足：“入射角=反射角”;由此推得入射線與反射線關(guān)于法線對稱;投影線為水平線時,

k入射線+k反射線=0.光的反射基本原理:(Ⅰ)光的傳播遵循“光行最速原29光的反射基本技巧:始點終點

——入射線;

始點終點的對稱點——反射線.始點的對稱點終點光的反射基本技巧:始點終點——入射30(1989·全國)自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線l所在直線的方程.(x-2)2+(y-2)2=1x1yo1-1..A..A?始點的對稱點終點-——反射線；終點的對稱點始點-——入射線.(1989·全國)自點A(-3,3)發(fā)出的光31(2005?江蘇)點P(-3,1)在橢圓的左準(zhǔn)線上,過點P且方向為a=(2,-5)的光線,經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點,則這個橢圓的離心率為()A.B.C.D.(2005?江蘇)點P(-3,1)在橢圓32xyoP(-3,1)F(-c,0)MNl解法一：依題意,入射線方程為y-1=-(x+3)令y=-2,得M(-,-2);令y=0,得N(-,0).F(-1,0)a2=3xyoP(-3,1)F(-c,0)MNl解法33xyoP(-3,1)F(-c,0)MNl解法二：點F關(guān)于直線y=-2的對稱點為Q(-c,-4).c=1a2=3依題意,kPQ=-,QxyoP(-3,1)F(-c,0)MNl解法34要點提煉：光反射的理論依據(jù)，是物理學(xué)中的光行最速原理；數(shù)學(xué)中處理這類問題的基本方法是運用平面幾何中的對稱性，這就是“通法”.只有把握住“通法”，不論題目如何變化，你才能在解題時得心應(yīng)手，游刃有余.要點提煉：35(2004?江蘇卷)已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點是F(-m,0)(m是大于零的常數(shù)).(Ⅰ)求橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)Q是橢圓上的一點，且過點F，Q的直線l與y軸交于點M，若|MQ|=2|QF|，求直線l的斜率.(Ⅰ)(2004?江蘇卷)已知橢圓的中心在原點，離心率為36(Ⅰ)xyoMQF|MQ|=2|QF|(Ⅱ)分析：由題設(shè)，|xM-xQ|=2|xQ-xF|，即|xQ|=2|xQ+m|，即xQ=-2m或xQ=-

m.{3x2+4y2=12m2,y=k(x+m)(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0令x=-2m，得k=0；令x=-

m，得k=±2.(Ⅰ)xyoMQF|MQ|=2|QF|(Ⅱ)分析37(2004·東北理科卷)給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點.(Ⅰ)設(shè)l的斜率為1，求OA與OB的夾角；(Ⅱ)設(shè)BF=FA,若[4,9]，求l在y軸上截距的變化范圍.xyoABF(Ⅱ)由對稱性，我們只須研究如圖的情況.(2004·東北理科卷)給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C38xyoABF(1)當(dāng)yB=-4yA時，yA=－1m=.令x=0，得y1=－(2)當(dāng)yB=-9yA時，同理可得y2=－

∴mxyoABF(1)當(dāng)yB=-4yA時，y39(2004?全國東北理科卷)設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,兩條漸近線為y=±x，則該雙曲線的離心率e=()A.5B.C.D.=1+k2.其中k為雙曲線漸近線的斜率.Ce2=5/4.(2004?全國東北理科卷)設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,40

已知F1、F2為雙曲線(a>

0,b>0)的焦點，過F2作垂直于

x

軸的直線交雙曲線于P,且∠PF1F2＝30o(如圖),求雙曲線的漸近線方程.

xyoPF1F241已知F1、F2為雙曲線即

ec＝3a,e2＝3,

已知F1、F2為雙曲線(a>

0,b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于P,且∠PF1F2＝30o(如圖),求雙曲線的漸近線方程.

xyoPF1F2|PF1|＝2|PF2|，

exP+a=2(exP-a)，exP＝3a,k2=e2-1=2.y=±x.即ec＝3a,e2＝3,已知F142(2005·福建理科)已知F1、F2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是()A.4+2B.-1C. D.+1xyoF1F2MA30ox1由已知,|AF1|=c,|AF2|=c,即ex1-a=c,ex1+a=c,兩式相減：2a=(-1)c,兩邊同除以a得e=(2005·福建理科)已知F1、F2是雙曲線43∟(2005·福建理科)已知F1、F2是雙曲線 (a>

0,b>0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是() A.4+2B.-1C.D.+1因為|NF1|=exN-a=c,即exN+a=cyxoMF2NF1又|NF2|=|NF1|,D2exN=(+1)c將xN=c/2代入即得.∟(2005·福建理科)已知F1、F2是雙曲線44

要點提煉：設(shè)雙曲線的離心率為e,一條有較小傾斜角的漸近線的斜率為k,則雙曲線的如下性質(zhì)在解題時十分有用： ①過焦點作一條漸近線的垂線,垂足在雙曲線的準(zhǔn)線上,垂線段的長等于半虛軸長； ②＝arccos(1/e)； ③

e2＝k2＋1.此外,雙曲線的焦半徑公式：r1＝|ex0＋a|，r2＝|ex0－a|在處理涉及雙曲線的焦半徑問題時是十分有用的,必須要學(xué)生熟記它.要點提煉：設(shè)雙曲線的離心率為e,一條有較小傾斜角45設(shè)設(shè)而不求(1994·全國)設(shè)F1,F2為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=90o則△F1PF2的面積是()

A.1B.

C.2

D.=1.A設(shè)設(shè)而不求(1994·全國)設(shè)F1,F2為雙曲線46xyoF1F2P以F1F2為直徑的圓的方程是：

x2+y2=5,xyoF1F2P以F1F2為直徑的圓的方47(2005·全國Ⅲ卷)已知雙曲線的焦點為F1、F2,點M在雙曲線上且MF1·MF2=0,則點M到x軸的距離為() A． B． C． D．xyoF1F2Mx2+y2=3MF1·MF2=0MF1⊥MF2x2+y2=3,2x2-y2=2{

y=平幾知識的應(yīng)用C(2005·全國Ⅲ卷)已知雙曲線48

已知F1、F2為雙曲線(a>

0,b>0)的焦點，M為雙曲線上的點,若∠F1MF2＝90o,則△F1MF2的面積等于________.

xyoF1F2M一般化x2+y2=c2,b2x2-a2y2=a2b2{c2y2=b2(c2-a2)=b4y=b2/cS△F1MF2=b2.已知F1、F2為雙曲線49(2005·全國Ⅲ卷)已知雙曲線的焦點為F1、F2,點M在雙曲線上且MF1·MF2=0,則點M到x軸的距離為() A． B． C． D．xyoF1F2MCS△F1MF2=b2=2設(shè)點M到x軸的距離為d,則cd=Sd=(2005·全國Ⅲ卷)已知雙曲線50將直角坐標(biāo)系中的曲線平移(或平移坐標(biāo)軸)，曲線上任意兩點之間的距離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、以及曲線上任一點處的切線的斜率，都是平移變換下的不變量.將直角坐標(biāo)系中的曲線平移(或平移坐標(biāo)軸)，曲51

(1995?全國)直線l過拋物線y2＝a(x+1)(a>0)的焦點,并且與x軸垂直,若l被拋物線截得的線段長為4,則a＝.

直線l過拋物線y2＝4(x+1)的焦點,并且與x軸垂直,若l被拋物線截得的線段長為.

44

y2＝a(x-3)(1995?全國)直線l過拋物線y2＝a(x+1)52（2003·新課程卷）設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的傾斜角的取值范圍為，則點P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為()A.B.C.D.

∴曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率k=2ax0.依題意,0≤k≤1,即0≤2ax0≤1.B

∵f(x)=2ax,（2003·新課程卷）設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c53xyoFP

y=ax2

y=-

∵y=2ax,∴y

|=1.證明：點P處的切線斜率為1xyoFPy=ax2y=-∵y=2a54xyoFP證明：點P處的切線斜率為1

法一：由y2=2px

2yy=2p,法二：由xyoFP證明：點P處的切線斜率為1法一：由55F回顧

y2=2px∣PF∣=pxyoAF回顧y2=2px∣PF∣=pxyo56x=-

命題1

設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的通徑為PQ，則拋物線在點P、Q處的切線的斜率分別為1和-1,且切線通過拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點.xyOPQFx=-Mx=-命題1設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的通徑為57xyoFP(2004?全國東部卷)設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]

y2=18x

y2=8(x-6)CxyoFP(2004?全國東部卷)設(shè)58已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上的任一點，過點F且斜率為1的直線與C交于A、B兩點，若PAB的面積為4，則這樣的點P有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個AB：x-y-1=0求得|AB|=8；取點M(1,2)MAB的面積為4C點M到直線AB的距離為xyoABFM已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上的任一點59引申1橢圓通徑一個端點處切線的斜率xyoF1P由得引申2雙曲線通徑端點處切線的斜率為e.引申1橢圓通徑一個端點處切線的斜率xyoF1P60引申3過橢圓上一點P(x0,y0)的切線方程為：引申4過雙曲線上一點P(x0,y0)的切線方程為：引申3過橢圓61引申5過拋物線y2=2px上一點P(x0,y0)的切線方程為：y0y=p(x+x0)

y0y=p(x+x0)k切=引申5過拋物線y2=2px上一點P(x0,y062

命題2若PQ為焦點在x軸上的圓錐曲線的通徑，則曲線在點P、Q處的切線的斜率為e和-e，且切線通過相應(yīng)準(zhǔn)線與x軸的交點.

或表述為：過焦點在x軸上的圓錐曲線的準(zhǔn)線與x軸的交點，且斜率為e(或-e)的直線，與圓錐曲線相切，且切點為圓錐曲線一條通徑的端點.命題2若PQ為焦點在x軸上的圓錐曲線的通徑，則曲線在點63xyo作離心率為1/2的橢圓xyo作離心率為1/2的橢圓64xyoFAB|OF|＝c,|FA|＝b,|OA|＝a.c·|AB|＝2ab|AB|＝＝作離心率為2的雙曲線xyoFAB|OF|＝c,|FA|＝b,65(2004?湖南理科卷)如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.(I)設(shè)點P分有向線段AB所成的比為，證明QP⊥(QA-QB)；(II)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.xyoAPBQ(2004?湖南理科卷)如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上66xyoAPBQ(0,-m)(x1,y1)(x2,y2)AP=(-x1,m-y1),PB=(x2,y2-m),由已知,x1=-x2,y1-m=-(y2-m).即因為A、P、B共線,且AP=PB.∴QP=QA+QB=(QA+QB).欲證QP⊥(QA-QB),只須證QP?(QA-QB)=0,即證|QA|2-2|QB|2=0.而|QA|2-2|QB|2=[+(y1+m)2]-2[

+(y2+m)2]xyoAPBQ(0,-m)(x1,y1)(x2,67光的反射基本原理:(Ⅰ)光的傳播遵循“光行最速原理”;(Ⅱ)光的反射應(yīng)滿足：“入射角=反射角”;由此推得入射線與反射線關(guān)于法線對稱;投影線為水平線時,

k入射線+k反射線=0.光的反射基本原理:(Ⅰ)光的傳播遵循“光行最速原68光的反射基本技巧:始點終點

——入射線;

始點終點的對稱點——反射線.始點的對稱點終點光的反射基本技巧:始點終點——入射69(1989·全國)自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線l所在直線的方程.(x-2)2+(y-2)2=1x1yo1-1..A..A?始點的對稱點終點