八種經(jīng)典線性規(guī)劃例題最全總結(jié)(經(jīng)典)

第7頁(yè)共5頁(yè)線性規(guī)劃常見(jiàn)題型及解法由已知條件寫(xiě)出約束條件，并作出可行域，進(jìn)而通過(guò)平移直線在可行域內(nèi)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是最常見(jiàn)的題型，除此之外，還有以下六類(lèi)常見(jiàn)題型。一、求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）xyxyO22x=2y=2x+y=2BA解：如圖，作出可行域，作直線l：x+2y＝0，將l向右上方平移，過(guò)點(diǎn)A（2,0）時(shí)，有最小值2，過(guò)點(diǎn)B（2,2）時(shí)，有最大值6，故選A二、求可行域的面積2x+y–2x+y–6=0=5x＋y–3=0OyxABCMy=2A、4B、1C、5D、無(wú)窮大解：如圖，作出可行域，△ABC的面積即為所求，由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，選B三、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)例3、滿足|x|＋|y|≤2的點(diǎn)（x，y）中整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)）有（）A、9個(gè)B、10個(gè)C、13個(gè)D、14個(gè)xyO解：|x|＋|y|≤2等價(jià)于xyO作出可行域如右圖，是正方形內(nèi)部（包括邊界），容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13個(gè)，選D四、求線性目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍x+y=5x–y+x+y=5x–y+5=0Oyxx=3A、－3B、3C、－1D、1解：如圖，作出可行域，作直線l：x+ay＝0，要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則將l向右上方平移后與直線x+y＝5重合，故a=1，選D五、求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例5、已知x、y滿足以下約束條件，則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（）2x+y2x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxAC、13，D、，解：如圖，作出可行域,x2+y2是點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方，故最大值為點(diǎn)A（2,3）到原點(diǎn)的距離的平方，即|AO|2=13，最小值為原點(diǎn)到直線2x＋y－2=0的距離的平方，即為，選C六、求約束條件中參數(shù)的取值范圍O2x–y=0O2x–y=0y2x–y+3=0A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等價(jià)于由右圖可知,故0＜m＜3，選C七、比值問(wèn)題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。例已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\al(x－y＋2≤0，,x≥1，,x＋y－7≤0，))則eq\f(y,x)的取值范圍是（）.（A）[eq\f(9,5)，6]（B）（－∞，eq\f(9,5)]∪[6，＋∞）（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]解析eq\f(y,x)是可行域內(nèi)的點(diǎn)M（x，y）與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率，當(dāng)直線OM過(guò)點(diǎn)（eq\f(5,2)，eq\f(9,2)）時(shí)，eq\f(y,x)取得最小值eq\f(9,5)；當(dāng)直線OM過(guò)點(diǎn)（1，6）時(shí)，eq\f(y,x)取得最大值6.答案A八、線性規(guī)劃應(yīng)用例1、某工廠利用兩種燃料生產(chǎn)三種不同的產(chǎn)品、、，每消耗一噸燃料與產(chǎn)品、、有下列關(guān)系：現(xiàn)知每噸燃料甲與燃料乙的價(jià)格之比為，現(xiàn)需要三種產(chǎn)品、、各50噸、63噸、65噸．問(wèn)如何使用兩種燃料，才能使該廠成本最低？分析：由于該廠成本與兩種燃料使用量有關(guān)，而產(chǎn)品、、又與這兩種燃料有關(guān)，且這三種產(chǎn)品的產(chǎn)量也有限制，因此這是一道求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最小值問(wèn)題，這類(lèi)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最優(yōu)解．解：設(shè)該廠使用燃料甲噸，燃料乙噸，甲每噸元，則成本為．因此只須求的最小值即可．又由題意可得、滿足條件作出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖）由得由得作直線，把直線向右上方平移至可行域中的點(diǎn)時(shí)，．∴最小成本為．答：應(yīng)用燃料甲噸，燃料乙噸，才能使成本最低．說(shuō)明：本題中燃料的使用不需要是整數(shù)噸，若有些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的解是整數(shù)解，又該如何來(lái)考慮呢？例2、咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙種飲料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克．如果甲種飲料每杯能獲利0.7元，乙種飲料每杯能獲利1.2元，每天在原料的使用限額內(nèi)飲料能全部售出，每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大？分析：這是一道線性規(guī)劃的應(yīng)用題，求解的困難在于從實(shí)際問(wèn)題中抽象出不等式組．只要能正確地抽象出不等式組，即可得到正確的答案．解：設(shè)每天配制甲各飲料杯、乙種飲料杯可獲得最大利潤(rùn)，利潤(rùn)總額為元．由條件知：．變量、滿足作出不等式組所表示的可行域（如圖）作直線，把直線向右上方平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)的位置時(shí)，取最大值．由方程組：得點(diǎn)坐標(biāo)．答：應(yīng)每天配制甲種飲料200杯，乙種飲料240杯方可獲利最大．高考真題練習(xí)1.（2010年浙江理7）若實(shí)數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9，則實(shí)數(shù)（A）（B）（C）1（D）2解析：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，將m等價(jià)為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選C，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題2.(2009年陜西理11)若x，y滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是(A)（，2）(B)（，2）(C)(D)答案：B解析：根據(jù)圖像判斷，目標(biāo)函數(shù)需要和，平行，由圖像知函數(shù)a的取值范圍是（，2）x22yOx22yO-2z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為().A.B.C.D.4【解析】:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by=z（a>0，b>0）過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=,故選A.【命題立意】:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.要求能準(zhǔn)確地畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對(duì)于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答4.（2009年安徽理7）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是（A）（B）（C）（D）AxDyCOAxDyCOy=kx+由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）∴△ABC=，設(shè)與的交點(diǎn)為D，則由知，∴∴選A。5.(2008年山東理12)設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，使函?shù)的圖象過(guò)區(qū)域的的取值范圍是（）A． B． C．D．解：C,區(qū)域是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖）顯然，只需研究過(guò)、兩種情形，且即6.(2010年安徽理13)設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為_(kāi)_______?！敬鸢浮?【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)是，易見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)在取最大值8，所以，所以，在時(shí)是等號(hào)成立。所以的最小值為4.【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入得，要想求的最小值，顯然要利用基本不等式.7.(2010年陜西理14)鐵礦石和的含鐵率,冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的的排放量及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格如下表：(萬(wàn)噸)（百萬(wàn)元）50%1370%0．56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬(wàn)噸)鐵,若要求的排放量不超過(guò)(萬(wàn)噸),則購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的最少費(fèi)用為(百萬(wàn)元).【解析】設(shè)鐵礦石購(gòu)買(mǎi)了萬(wàn)噸，鐵礦石購(gòu)買(mǎi)了萬(wàn)噸，購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的費(fèi)用為百萬(wàn)元，則由題設(shè)知，本題即求實(shí)數(shù)滿足約束條件，即（*）時(shí)，的最小值.作不等式組(*)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.現(xiàn)讓直線，即平移分析即知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值.又解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)為.故.商業(yè)計(jì)劃書(shū)是公司、企業(yè)或項(xiàng)目單位為了達(dá)到招商融資和其它發(fā)展目標(biāo)，根據(jù)一定的格式和內(nèi)容要求而編輯整理的一個(gè)向受眾全面展示公司和項(xiàng)目狀況、未來(lái)發(fā)展?jié)摿Φ臅?shū)面材料。商業(yè)計(jì)劃書(shū)是一份全方位的項(xiàng)目計(jì)劃，其主要意圖是遞交給投資商，以便于他們能對(duì)企業(yè)或項(xiàng)目做出評(píng)判，從而使企業(yè)獲得融資。商業(yè)計(jì)劃書(shū)有相對(duì)固定的格式，它幾乎包括反映投資商所有感興趣的內(nèi)容，從企業(yè)成長(zhǎng)經(jīng)歷、產(chǎn)品服務(wù)、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)、管理團(tuán)隊(duì)、股權(quán)結(jié)構(gòu)、組織人事、財(cái)務(wù)、運(yùn)營(yíng)到融資方案。只有內(nèi)容詳實(shí)、數(shù)據(jù)豐富、體系完整、裝訂精致的商業(yè)計(jì)劃書(shū)才能吸引投資商，讓他們看懂您的項(xiàng)目商業(yè)運(yùn)作計(jì)劃，才能使您的融資需求成為現(xiàn)實(shí)，商業(yè)計(jì)劃書(shū)的質(zhì)量對(duì)您的項(xiàng)目融資至關(guān)重要。中國(guó)企業(yè)在國(guó)際上融資成功率不高，不是項(xiàng)目本身不好也不是項(xiàng)目投資回報(bào)不高，而是項(xiàng)目方商業(yè)計(jì)劃書(shū)編寫(xiě)的草率與策劃能力讓投資商感到失望。商業(yè)計(jì)劃書(shū)的起