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人教版高中物理必修2勻速圓周運(yùn)動”的典型例題2人教版高中物理必修2勻速圓周運(yùn)動”的典型例題2人教版高中物理必修2勻速圓周運(yùn)動”的典型例題2xxx公司人教版高中物理必修2勻速圓周運(yùn)動”的典型例題2文件編號:文件日期:修訂次數(shù):第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計,管理制度“勻速圓周運(yùn)動”的典型例題
【例1】如圖所示的傳動裝置中,a、b兩輪同軸轉(zhuǎn)動.a(chǎn)、b、c三輪的半徑大小的關(guān)系是ra=rc=2rb.當(dāng)皮帶不打滑時,三輪的角速度之比、三輪邊緣的線速度大小之比、三輪邊緣的向心加速度大小之比分別為多少?
【分析】皮帶不打滑,表示輪子邊緣在某段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長總是跟皮帶移動的距離相等,也就是說,用皮帶直接相連的兩輪邊緣各處的線速度大小相等.根據(jù)這個特點(diǎn),結(jié)合線速度、角速度、向心加速度的公式即可得解.【解】由于皮帶不打滑,因此,b、c兩輪邊緣線速度大小相等,設(shè)vb=vc=v.由v=ωr得兩輪角速度大小的關(guān)系ωb∶ωc=rc∶rb=2∶1.因a、b兩輪同軸轉(zhuǎn)動,角速度相等,即ωa=ωb,所以a、b、c三輪角速度之比ωa∶ωb∶ωc=2∶2∶1.因a輪邊緣的線速度va=ωara=2ωbrb=2vb,所以a、b、c三輪邊緣線速度之比va∶vb∶vc=2∶1∶1.根據(jù)向心加速度公式a=ω2r,所以a、b、c三輪邊緣向心加速度之比=8∶4∶2=4∶2∶1.【例2】一圓盤可繞一通過圓盤中心o且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動.在圓盤上放置一木塊,當(dāng)圓盤勻速轉(zhuǎn)動時,木塊隨圓盤一起運(yùn)動(見圖),那么[]a.木塊受到圓盤對它的摩擦力,方向背離圓盤中心b.木塊受到圓盤對它的摩擦力,方向指向圓盤中心c.因?yàn)槟緣K隨圓盤一起運(yùn)動,所以木塊受到圓盤對它的摩擦力,方向與木塊的運(yùn)動方向相同d.因?yàn)槟Σ亮偸亲璧K物體運(yùn)動,所以木塊所受圓盤對它的摩擦力的方向與木塊的運(yùn)動方向相反e.因?yàn)槎呤窍鄬o止的,圓盤與木塊之間無摩擦力【分析】由于木塊隨圓盤一起作勻速圓周運(yùn)動,時刻存在著一個沿半徑指向圓心的向心加速度,因此,它必然會受到一個沿半徑指向中心、產(chǎn)生向心加速度的力——向心力.以木塊為研究對象進(jìn)行受力分析:在豎直方向受到重力和盤面的支持力,它處于力平衡狀態(tài).在盤面方向,可能受到的力只有來自盤面的摩擦力(靜摩擦力),木塊正是依靠盤面的摩擦力作為向心力使它隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動.所以,這個摩擦力的方向必沿半徑指向中心【答】b.【說明】常有些同學(xué)認(rèn)為,靜摩擦力的方向與物體間相對滑動的趨勢方向相反,木塊隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動時,時時有沿切線方向飛出的趨勢,因此靜摩擦力的方向應(yīng)與木塊的這種運(yùn)動趨勢方向相反,似乎應(yīng)該選d.這是一種極普遍的錯誤認(rèn)識,其原因是忘記了研究運(yùn)動時所相對的參照系.通常說做圓運(yùn)動的物體有沿線速度方向飛出的趨勢,是指以地球?yàn)閰⒄障刀缘模o摩擦力的方向總是跟相對運(yùn)動趨勢的方向相反,應(yīng)該是指相互接觸的兩個相關(guān)物體來說的,即是對盤面參照系.也就是說,對站在盤上跟盤一起轉(zhuǎn)動的觀察者,木塊時刻有沿半徑向外滑出的趨勢,所以,木塊受到盤面的摩擦力方向應(yīng)該沿半徑指向中心【例3】在一個水平轉(zhuǎn)臺上放有a、b、c三個物體,它們跟臺面間的摩擦因數(shù)相同.a(chǎn)的質(zhì)量為2m,b、c各為m.a(chǎn)、b離轉(zhuǎn)軸均為r,c為2r.則[]a.若a、b、c三物體隨轉(zhuǎn)臺一起轉(zhuǎn)動未發(fā)生滑動,a、c的向心加速度比b大b.若a、b、c三物體隨轉(zhuǎn)臺一起轉(zhuǎn)動未發(fā)生滑動,b所受的靜摩擦力最小c.當(dāng)轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速增加時,c最先發(fā)生滑動d.當(dāng)轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時,a比b先滑動【分析】a、b、c三物體隨轉(zhuǎn)臺一起轉(zhuǎn)動時,它們的角速度都等于轉(zhuǎn)臺的角速度,設(shè)為ω.根據(jù)向心加速度的公式an=ω2r,已知ra=rb<rc,所以三物體向心加速度的大小關(guān)系為aa=ab<ac.a(chǎn)錯.三物體隨轉(zhuǎn)臺一起轉(zhuǎn)動時,由轉(zhuǎn)臺的靜摩擦力提供向心力,即f=fn=mω2r,所以三物體受到的靜摩擦力的大小分別為fa=maω2ra=2mω2r,fb=mbω2rb=mω2r,fc=mcω2rc=mω2·2r=2mω2r.即物體b所受靜摩擦力最?。産正確.由于轉(zhuǎn)臺對物體的靜摩擦力有一個最大值,設(shè)相互間摩擦因數(shù)為μ,靜摩擦力的最大值可認(rèn)為是fm=μmg.由fm=fn,即得不發(fā)生滑動的最大角速度為即離轉(zhuǎn)臺中心越遠(yuǎn)的物體,使它不發(fā)生滑動時轉(zhuǎn)臺的最大角速度越?。捎趓c>ra=rb,所以當(dāng)轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)速逐漸增加時,物體c最先發(fā)生滑動.轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時,物體a、b將同時發(fā)生滑動.c正確,d錯.【答】b、c.【例4】如圖,光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘a、b,相距l(xiāng)0=0.1m.長l=1m的柔軟細(xì)線一端拴在a上,另一端拴住一個質(zhì)量為500g的小球.小球的初始位置在ab連線上a的一側(cè).把細(xì)線拉直,給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度,使它做圓周運(yùn)動.由于釘子b的存在,使細(xì)線逐步纏在a、b上.若細(xì)線能承受的最大張力tm=7n,則從開始運(yùn)動到細(xì)線斷裂歷時多長?
【分析】小球轉(zhuǎn)動時,由于細(xì)線逐步繞在a、b兩釘上,小球的轉(zhuǎn)動半徑會逐漸變小,但小球轉(zhuǎn)動的線速度大小保持不變.【解】小球交替地繞a、b作勻速圓周運(yùn)動,因線速度不變,隨著轉(zhuǎn)動半徑的減小,線中張力t不斷增大,每轉(zhuǎn)半圈的時間t不斷減?。顃n=tm=7n,得n=8,所以經(jīng)歷的時間為【說明】圓周運(yùn)動的顯著特點(diǎn)是它的周期性.通過對運(yùn)動規(guī)律的研究,用遞推法則寫出解答結(jié)果的通式(一般表達(dá)式)有很重要的意義.對本題,還應(yīng)該熟練掌握數(shù)列求和方法.如果題中的細(xì)線始終不會斷裂,有興趣的同學(xué)還可計算一下,從小球開始運(yùn)動到細(xì)線完全繞在a、b兩釘子上,共需多少時間?
【例5】如圖(a)所示,在光滑的圓錐頂用長為l的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球,圓錐頂角為2θ,當(dāng)圓錐和球一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時,球壓緊錐面.此時繩的張力是多少若要小球離開錐面,則小球的角速度至少為多少
【分析】小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,由繩子的張力和錐面的支持力兩者的合力提供向心力,在豎直方向則合外力為零。由此根據(jù)牛頓第二定律列方程,即可求得解答。【解】對小球進(jìn)行受力分析如圖(b)所示,根據(jù)牛頓第二定律,向心方向上有t·sinθ-n·cosθ=mω2r①y方向上應(yīng)有n·sinθ+t·cosθ-g=0②∵r=l·sinθ③由①、②、③式可得t=mgcosθ+mω2lsinθ當(dāng)小球剛好離開錐面時n=0(臨界條件)則有tsinθ=mω2r④t·cosθ-g=0⑤【說明】本題是屬于二維的牛頓第二定律問題,解題時,一般可以物體為坐標(biāo)原點(diǎn),建立xoy直角坐標(biāo),然后沿x軸和y軸兩個方向,列出牛頓第二定律的方程,其中一個方程是向心力和向心加速度的關(guān)系,最后解聯(lián)立方程即可?!纠?】雜技節(jié)目中的“水流星”表演,用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子,演員掄起杯子在豎直面上做圓周運(yùn)動,在最高點(diǎn)杯口朝下,但水不會流下,如下圖所示,這是為什么?
【分析】水和杯子一起在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動,需要提供一個向心力。當(dāng)水杯在最低點(diǎn)時,水做圓周運(yùn)動的向心力由杯底的支持力提供,當(dāng)水杯在最高點(diǎn)時,水做圓周運(yùn)動的向心力由重力和杯底的壓力共同提供。只要做圓周運(yùn)動的速度足夠快,所需向心力足夠大,水杯在最高點(diǎn)時,水就不會流下來。【解】以杯中之水為研究對象,進(jìn)行受力分析,根據(jù)牛頓第二定律【例7】如下圖所示,自行車和人的總質(zhì)量為m,在一水平地面運(yùn)動.若自行車以速度v轉(zhuǎn)過半徑為r的彎道.(1)求自行車的傾角應(yīng)多大(
2)自行車所受的地面的摩擦力多大?【分析】騎車拐彎時不摔倒必須將身體向內(nèi)側(cè)傾斜.從圖中可知,當(dāng)騎車人拐彎而使身體偏離豎直方向α角時,從而使靜摩擦力f與地面支持力n的合力q通過共同的質(zhì)心o,合力q與重力的合力f是維持自行車作勻速圓周運(yùn)動所需要的向心力.【解】(1)由圖可知,向心力f=mgtgα,由牛頓第二定律有:(2)由圖可知,向心力f可看做合力q在水平方向的分力,而q又是水平方向的靜摩擦力f和支持力n的合力,所以靜摩擦力f在數(shù)值上就等于向心力f,即f=mgtgα【例8】用長l1=4m和長為l2=3m的兩根細(xì)線,拴一質(zhì)量m=2kg的小球a,l1和l2的另兩端點(diǎn)分別系在一豎直桿的o1,o2處,已知o1o2=5m如下圖(g=10m·s-2)(1)當(dāng)豎直桿以的角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時,o2a線剛好伸直且不受拉力.求此時角速度ω1.(2)當(dāng)o1a線所受力為100n時,求此時的角速度ω2.【分析】小球做圓周運(yùn)動所需的向心力由兩條細(xì)線的拉力提供,當(dāng)小球的運(yùn)動速度不同時,所受拉力就不同。【解】(1)當(dāng)o2a線剛伸直而不受力時,受力如圖所示。則f1cosθ=mg①f1sinθ=mrω12②由幾何知識知∴r=2.4mθ=37°代入式③ω1=1.77(rad/s)(2)當(dāng)o1a受力為100n時,由(1)式f1cosθ=100×0.8=80(n)>mg由此知o2a受拉力f2。則對a受力分析得f1cosθ-f2sinθ-mg=0④f1sinθ+f2cosθ=mrω22⑤由式(4)(5)得【說明】向心力是一種效果力,在本題中o2a受力與否決定于物體a做圓周運(yùn)動時角速度的臨界值.在這種題目中找好臨界值是關(guān)鍵.[例9]一輛實(shí)驗(yàn)小車可沿水平地面(圖中紙面)上的長直軌道勻速向右運(yùn)動,有一臺發(fā)出細(xì)光束的激光器裝在小轉(zhuǎn)臺m上,到軌道的距離mn為d=10m,如圖所示。轉(zhuǎn)臺勻速轉(zhuǎn)動,使激光束在水平面內(nèi)掃描,掃描一周的時間為t=60s,光束轉(zhuǎn)動方向如圖箭頭所示。當(dāng)光束與mn的夾角為45°時,光束正好射到小車上,如果再經(jīng)過△t=2.5s光束又射到小車上,則小車的速度為多少(
結(jié)果保留二位數(shù)字)
[分析]激光器掃描一周的時間t=60s,那么光束在△t=2.5s時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度激光束在豎直平面內(nèi)的勻速轉(zhuǎn)動,但在水平方向上光點(diǎn)的掃描速度是變化的,這個速度是沿經(jīng)向方向速度與沿切向方向速度的合速度。當(dāng)小車正向n點(diǎn)接近時,在△t內(nèi)光束與mn的夾角由45°變?yōu)?0°隨著θ減小,v掃在減小若45°時,光照在小車上,此時v掃>v車時,此后光點(diǎn)將照到車前但v掃↓v車不變,當(dāng)v車>v掃時,它們的距離在縮小。[解]在△t內(nèi),光束轉(zhuǎn)過角度如圖,有兩種可能(1)光束照射小車時,小車正在接近n點(diǎn),△t內(nèi)光束與mn的夾角從45°變?yōu)?0°,小車走過l1,速度應(yīng)為由圖可知l1=d(tg45°-tg30°)③由②、③兩式并代入數(shù)值,得v1=1.7m/s④(2)光束照到小車時,小車正在遠(yuǎn)離n點(diǎn),△t內(nèi)光束與mn的夾角從45°為60°,小車走過l2速度為由圖可知l2=d(tg60°-tg45°)⑥由⑤、⑥兩代并代入數(shù)值,得v2=2.9m/s[說明]光點(diǎn)在水平方向的掃描速度是變化的,它是沿經(jīng)向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解為切向速度的分速度,即則掃描速度不變化,就談不上與小車的“追趕”了,將不可能發(fā)生經(jīng)過一段時間,再照射小車的問題。這一點(diǎn)速度的合成與分解應(yīng)理解正確。另外光束與mn的夾角為45°時,光束正好射到小車上有兩種情況(見分析)要考慮周全,不要丟解。[例10]圖所示為測量子彈速度的裝置,一根水平轉(zhuǎn)軸的端部焊接一個半徑為r的薄壁圓筒(圖為其橫截面),轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速是每分鐘n轉(zhuǎn),一顆子彈沿圓筒的水平直徑由a點(diǎn)射入圓筒,在圓筒轉(zhuǎn)過不到半圓時從b點(diǎn)穿出,假設(shè)子彈穿壁時速度大小不變,并在飛行中保持水平方向,測量出a、b兩點(diǎn)間的孤長為l,寫出子彈速度的表達(dá)式。[分析]子彈穿過筒壁,子彈與筒壁發(fā)生相互作用,既影響筒的轉(zhuǎn)速,又影響子彈飛行速度,因?yàn)檫@種影
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