專題3-6 雙曲線的離心率與常用二級結(jié)論【12類題型】（原卷版）-A4

22/24第頁專題3-6雙曲線的離心率與常用二級結(jié)論（12類題型匯總）總覽題型解讀總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u模塊一：求離心率與其它值【題型1】結(jié)合余弦定理解焦點三角形【題型2】雙焦點三角形模型：導(dǎo)邊【題型3】構(gòu)造齊次化方程【題型4】用2次余弦定理求離心率【題型5】利用幾何性質(zhì)求離心率【題型6】與向量結(jié)合【題型7】求離心率范圍模塊二：雙曲線中常考模型【題型8】點差法（弦中點模型）【題型9】點差法（第三定義）【題型10】漸近線的垂線模型【題型11】雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓【題型12】焦點弦長與焦半徑公式題型匯編知識梳理與?？碱}型題型匯編知識梳理與常考題型模塊一：求離心率與其它值【題型1】結(jié)合余弦定理解焦點三角形（浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知和是雙曲線：的左、右焦點，是上一點，當時，，則的離心率為（

）A． B． C． D．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線離心率的值為A． B． C．2 D．3【題型2】雙焦點三角形模型：導(dǎo)邊已知雙曲線方程為，，兩焦點分別為，，直線經(jīng)過與雙曲線交于兩點，其中且，則此雙曲線離心率為.、分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，若是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過左焦點的直線交雙曲線左支于兩點，且，則該雙曲線的離心率.（廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線E的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，則的面積為．已知，為雙曲線的左、右焦點，斜率為的直線過分別交雙曲線左、右支于、點，，則雙曲線的離心率為______________.已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過點且傾斜角為的直線與雙曲線的左?右支分別交于點，，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．已知點、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【題型3】構(gòu)造齊次化方程雙曲線，的左、右焦點分別為，，是雙曲線上一點，軸，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2已知雙曲線的兩條漸近線分別為，點，分別為雙曲線的左、右焦點，以原點O為圓心且過兩焦點的圓與交于點P(P在第一象限)，點Q為線段的中點，且，則雙曲線的離心率為( )A． B． C． D．（廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）是橢圓上的一點，為左頂點，為右焦點，軸，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．雙曲線，的左、右焦點分別為，，是雙曲線上一點，軸，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2（江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【題型4】用2次余弦定理求離心率已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，且雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點，直線與雙曲線的另一交點為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作直線交雙曲線的右支于，兩點，其中點在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．4【題型5】利用幾何性質(zhì)求離心率求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.已知雙曲線的左焦點為，過的直線與圓相切，切點為，交雙曲線的右支于點，且，則的離心率為．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，直線與交于，兩點，且，則（

）A．2 B． C． D．已知雙曲線的左，右兩個焦點分別為，，A為其左頂點，以線段為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點為，且，則的離心率（

）A． B． C． D．3在平面直角坐標系中，已知雙曲線：的右焦點為，P為C上一點，以為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點O的M，N兩點.若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與的左支交于、兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．（廣東深圳·高二深圳大學附屬中學校考期末）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，，點是和的一個交點.若點滿足是正三角形且，則.【題型6】與向量結(jié)合設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．過雙曲線的右焦點作圓的切線，交軸于點，切圓于點，若，則雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．（24-25高二上·江西南昌·期中）已知雙曲線的左?右作點分別為為坐標原點，傾斜角為的直線過右焦點且與雙曲線的左支交于點，若，則雙曲線的離心率為．【題型7】求離心率范圍解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調(diào)性法；④三角換元法已知橢圓與雙曲線，橢圓的短軸長與長軸長之比大于，則雙曲線離心率的取值范圍為.（23-24高二上·福建漳州·期末）已知雙曲線的左焦點為，以為圓心、為半徑作圓，若圓上存在點，雙曲線的右支上存在點使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為．已知是雙曲線的左右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．已知雙曲線的左右頂點分別為，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，直線的傾斜角分別為，則；當取最小值時，的面積為．模塊二：雙曲線中?？寄Ｐ汀绢}型8】點差法（弦中點模型）中點弦模型（圓錐曲線中的垂徑定理） 橢圓垂徑定理（中點弦模型）：已知A,B是橢圓上任意2點，且弦不平行軸，M為線段AB中點，則有證明（點差法）：設(shè)，，則，，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴【思考】在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？（2）∵A，B在雙曲線上，代入A，B坐標得 ① ②兩式相減得：，整理得可以看到，這一等式建立了二次曲線弦的斜率與弦的中點坐標之間關(guān)系式．也就是說，已知弦的中點，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中點坐標．同時也不難得出這樣的經(jīng)驗，當題目問題涉及到弦的斜率與弦的中點時，就可以考慮“點差法”．諸如求中點弦的方程，弦中點的軌跡，垂直平分線等等，這些都是較為常見題型．注：拋物線中同樣存在類似性質(zhì)：已知雙曲線，過點且被平分的弦所在的直線斜率為（

）A． B． C． D．所以，代入上式可得已知雙曲線，，是上的兩點，是的中點，為坐標原點，直線的斜率為，則直線的斜率為．已知雙曲線，斜率為的直線與的左右兩支分別交于兩點，點的坐標為，直線交于另一點，直線交于另一點.若直線的斜率為，則的離心率為.斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點，點是曲線上的一點，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為.已知雙曲線，過點且被平分的弦所在的直線斜率為（

）A． B． C． D．已知直線l與雙曲線交于A、B兩點，且弦AB的中點為，則直線l的方程為．已知A，B為雙曲線C：上的兩點，且A，B關(guān)于直線：對稱，則線段中點的坐標為.不與軸重合的直線經(jīng)過點，雙曲線：上存在兩點A，B關(guān)于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為.（24-25高二上·河南南陽·期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線相交于，兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程．【題型9】點差法（第三定義）第三定義 點差法是不是只能解決同時與中點和斜率有關(guān)的問題呢?其實不然．其實點差法的內(nèi)核還是“設(shè)而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點橫縱坐標和差之間的聯(lián)系，這其實也是第三定義的體現(xiàn).第三定義：平面內(nèi)與兩個定點，的斜率乘積等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個頂點)．其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點．當常數(shù)大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數(shù)大于0時為雙曲線，此時．【第三定義推廣】：平面內(nèi)與兩個關(guān)于原點對稱的點，的斜率乘積等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線．當常數(shù)大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數(shù)大于0時為雙曲線，此時．【證明】是橢圓上的一組對稱點，P為橢圓上任意點，則有 證明（點差法）：設(shè)，，，，，∵P，A在橢圓上，代入坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴法二：通過橢圓的垂徑定理轉(zhuǎn)換 中點弦和第三定義本質(zhì)上是一樣的【思考1】在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？設(shè)，，，，，① ②兩式相減得：，整理得∴法二：構(gòu)造中位線設(shè)，∵P，B在雙曲線上，代入雙曲線方程得① ②兩式相減得：，整理得∴同理可得，當焦點在y軸上時，橢圓有：；雙曲線有：已知為雙曲線的右頂點，為雙曲線右支上一點，若點關(guān)于雙曲線中心的對稱點為，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．已知點A，B，C都在雙曲線：上，且點A，B關(guān)于原點對稱，.過A作垂直于x軸的直線分別交，于點M，N.若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.已知雙曲線的右焦點為，左?右頂點分別為、，點在上運動（與、枃不重合），直線交直線于點，若恒成立，則的離心率為.已知雙曲線的左?右頂點分別為，拋物線與雙曲線交于兩點，記直線，的斜率分別為，則為.已知，是橢圓的左右頂點，是雙曲線在第一象限上的一點，直線，分別交橢圓于另外的點，．若直線過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為．已知、是橢圓與雙曲線的公共頂點，是雙曲線上一點，，交橢圓于，.若過橢圓的焦點，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．

【題型10】漸近線的垂線模型一、焦點到漸近線的距離為b1．設(shè)雙曲線方程（焦點在x軸）、設(shè)（右）焦點，求出雙曲線的漸近線方程，求焦點到（過一三象限的）漸近線的距離2．將漸近線的方程化為一般式，利用點到直線距離公式求距離，結(jié)合雙曲線中a、b、c的關(guān)系求出結(jié)果3．根據(jù)雙曲線的對稱性（x、y軸對稱，原點中心對稱）可知，無論焦點在x軸還是y軸，無論是左焦點還是右焦點，無論到哪一條漸近線，焦點到漸近線的距離都是b（半虛軸長）【證明】

設(shè)雙曲線的方程為：則雙曲線的漸近線方程為：設(shè)右焦點為（c，0），漸近線的一般式為：根據(jù)點到直線的距離公式得：故焦點到漸近線的距離都是b（半虛軸長）二、已知雙曲線方程為的右焦點為，過點且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點.情形1.如圖1.若,則圖1圖2如圖2.若，則過雙曲線的右焦點做一條漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的另一條漸近線交于點，若，則此雙曲線的離心率為________已知雙曲線，過的右焦點作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于、兩點、兩點分別在一、四象限，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點，已知，則雙曲線的漸近線方程為．設(shè)雙曲線C：(，)的一個焦點為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點在C上，則C的離心率為．已知分別是雙曲線的左，右焦點，過點作E的漸近線的垂線，垂足為P．點M在E的左支上，當軸時，，則E的漸近線方程為．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為雙曲線的右焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，與另一條漸近線交于．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．已知雙曲線與直線相交于，兩點，點為雙曲線上的一個動點，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的標準方程為．（多選）已知點為雙曲線上的任意一點，過點作漸近線的垂線，垂足分別為，則（）A．B．C．D．的最大值為【題型11】雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓一、單個焦點三角形的內(nèi)切圓：圓心在直線上證明：不妨設(shè)點P在雙曲線C右支上的任意一點，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心I在三邊上的投影分別為B，E，D因為由雙曲線定義，可知：又因為，所以，所以。即B恰為雙曲線的右頂點，所以點I必在直線上．根據(jù)對稱性可知，點I必在直線上二、焦點和一條焦點弦所成三角形的內(nèi)切圓:有一個焦點為切點證明：設(shè)內(nèi)切圓分別與的三邊F1A，F(xiàn)1B，AB相切于M，N，P，由切線長定理可知，，設(shè)，則有故，即，所以P，F(xiàn)2重合．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3如圖，雙曲線的左右焦點分別為，，若存在過的直線交雙曲線右支于，兩點，且，的內(nèi)切圓半徑，滿足，則雙曲線的離心率取值范圍為（

）A． B． C． D．雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，則的內(nèi)切圓周長為.（多選題）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心在直線上C． D．的取值范圍是（多選）過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于兩點，的內(nèi)切圓分別切直線于點，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（