學(xué)案27平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用

學(xué)案 向量數(shù)量積的定義： ，其中〈a，bab＝e· ②非零向量 ③a· 或 ⑤|a· ：a· 數(shù)乘向量結(jié)合律：(λa)·＝ 兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a· 設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則 則 ，所以→

|AB1.（2010·湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,則→→等 a· B．2 2 2

2y（0，C（x，yA 2 ）若等邊△ABC23M滿足

1→＋2→則→→

探究點(diǎn)一向量的模及夾角問題例 abθ；(2)求（3）若→＝a＝b，求△ABC變式遷移 C.2D.C.2λ的取值范圍 探究點(diǎn)二兩向量的平行與垂直問題例2 求證：a＋ba－bka·bab

變式遷移 (1)ab－2ctan(α＋β)的值；(3)tanαtanβ＝16 3例 已知向量a＝cos2x，sinb＝cosx，－sinx a·f(x)＝a·1→ 變式遷移3 ）已知△ABC的面積S=2AB·AC·＝3，且cosB＝5，求cosa·a＝0()a

·()(a

a·

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θab的夾角a|a|＝a·＝|a|＝ aba·a·aba⊥b?a·aba·cos cos AB=CD，可轉(zhuǎn)化證明2＝2AB∥CD，只要證存在唯一實(shí)數(shù)≠0，使等式→＝AB⊥CD

→

(滿分：75分一、選擇題(525分a(3mb＝(－)a· 已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實(shí)數(shù)k的

→a

△ABC＝4 4．(2010·湖南)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為 A.65

B.55D.12345二、填空題(412分

a·2＝5，則sin 與b的夾角 4已知向量m＝(1,1)，向量n與向量m夾角為3π，且m·n＝－1，則向量4 三、解答題(38分9.(12分)已知

→

時(shí)t 11．(14分)(2011·濟(jì)南模擬)a＝(1,2sinx)，b＝2cos＋6，1f(x)＝a·

答案a

＝|a||b|cos〈a，b〉(2)①|(zhì)a|cos〈a，e〉a·

a·aa·

＋

3.(1)a1b1＋ (2)a1b1＋a2b2＝ [|2a－b|＝＝4a2－4a·＋b2＝8＝2 a· 解析由題意得 →＝x，y，又→

→

即2，－y·x，y＝0 2 —解析C(0,0)，A(23，0)，B(—，這樣利用向量關(guān)系式，求得＝

1，→＝

3

5 2→

2

2例 解∴4a2－4a·a＝4，b＝3，∴64－4a·∴a· ∴cos a·

4×3又 ＝3(2)|a＋b|＝|a|2＋2a·＝16＋2×－6＋9＝∵→與→的夾角

＝3

—3又 1→ 3＝2×4×3×2＝3變式遷移 ＝a展開

＝|c|·|a＋b|cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝2cos∴|c|的最大值是1解析∵〈a，b

π，∴a·b>0a·b即

1a·ba＝kb(k>0)∴例 解題導(dǎo)引1.非零向量2aba、b用已知的不共線的向量表示．但要注意運(yùn)解(1)∴a＋ba－b垂直．(3|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6ka·b.從而有，a·b＝4k (3)由(2)a·b＝4k1k＝k

＝此時(shí)cos a·b ＝

|a||b|＝21

π

變式遷移2 (1)解因?yàn)閍與b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsintan(α＋β)＝2.(2)解b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sin得得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sin＝17－15sin2β≤4

|b＋c|4(3)證明tanαtan

4cos sinα，

sinβ＝4cos例3解題導(dǎo)引與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱解(1)a·

x＝coscos2xcos

2xsin cos2x＋cos2＋sin2x－sin＝2＋2cos2x＝2|cos ∵x∈－3，4，∴cos∴|a＋b|＝2cos(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cos＝2cos 2 ∵x∈－3，4，∴2≤cos∴當(dāng)cos cosx＝1時(shí)，f(x)變式遷移 解由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c，則 ＝2bcsin→AB·AC＝bccos∴A∈0，π，cosA＝3sin ∴sinA＝

cos

310

＝10cos

sin

10∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－10 a· ＝4 a·∴∠BAC 2a·1a·

|b|2 a·所以，ab上的投影為|a|·cos〈a，ba· 21－8

65＝|b|

＝53

4 解析∵a·＝cos2α＋2sin2α－sin ∴1－2sin2α＋2sin2α－sin sin

解析abc

(·2a

∴cos 解析n＝(x，y)·

m

444

解M＝＝(6λ，3λ (4分∵ (8分即45λ2－48λ＋11＝0，解得

＝3或 ∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)或55

MA

(510．(1)證明a

＝sinθcosθ－sinθcos (4分(2)解x⊥y得，xy·＝0，∴－k2＋(3＋3)2＋－(2＋)a· (6分又 (8分 ∴t ＝＋2 故當(dāng)t＝－2時(shí)，t有最小值 (12分 11．解(1)f(x)＝a·＝2cos＋6