角形的五心向量結(jié)論證明

三角形的五心向量結(jié)論證明1.O是uuuruuuruuurr三邊)PP12P3的重心OPOPOP0(此中a,b,c是PP12P3123P1OP2P

P3uuuruuuruuurr證明：充分性:OP1OP2OP30O是PP12P3的重心uuuruuuruuurruuuruuuruuuruuuruuur若OP1OP2OP30，則OP1OP2OP3，以O(shè)P1，OP2為鄰邊作平行四邊形OPP'P，設(shè)交于點P，則P為uuuruuuruuurOP3與PP12PP12的中點，有OP1OP2'，得13233OP3uuuruuuur''OP3,PP3PPP12P3PO,POOP3，即O,P3,P3四點共線，故為的中線，同理，亦為12PPP的中線，所以，O為的重心。1232.在ABC中，給uuuruuuruuurAD1ABAC,2等于已知AD是ABC中BC邊的中線;*△ABC中ABuuurAC必定過BC的中點，經(jīng)過△ABC的重心uuur1uuuruuurAP3(ABAC),為V的重心uuur1uuuruuur，PABCBP3(BABC)uuuruuuruuuruuur*1G為△ABC的重心(P是平面上隨意點).PG(PAPBPC)3uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur證明PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC)∵G是△的重心ruuuruuuruuurruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur∴GAGBGC=0AGBGCG=0，即3PGPAPBPCuuur1uuuruuuruuur由此可得PG3(PAPBPC).(反之亦然(證略))若O是的重心，則uuuruuur02.APgBCV的垂心為g0BPAC*點O是uuuruuuruuuruuuruuuruuurPP12P3的垂心OP1OP2OP2OP3OP3OP1證明：O是uuuruuuurPP12P3的垂心OP3PP12,uuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurOP3PP120OP3(OP2OP1)0OP3OP2OP3OP1uuuruuuuruuuruuuruuuruuur同理OPPPOPOPOPOP1233112uuuruuuruuuruuuruuuruuur故當(dāng)且僅當(dāng)OPOPOPOPOPOP.122331222222*O是△ABC所在平面內(nèi)一點OABCOCBAOBAC則O是△ABC的垂心證明：由，得，所以。同理可證。簡單獲得由以上結(jié)論知O為△ABC的垂心。*設(shè)0,，則向量ABAC)必垂直于邊BC，該向量必經(jīng)過△ABC(ABcosBACcosC的垂心ABAC0,AP,ABcosBACcosC若H是△ABC(非直角三角形)的垂心，則S△BHC：S△AHC：S△AHB=tanA：tanB：tanCuuuruuuruuurr故tanA·HA+tanB·HB+tanC·HC=03.點O是PP12P3的外心uuuruuuruuurOPOP2OP3．證明：O是△ABC的外心uuuruuuruuuruuur2uuur2uuur2)(點O到三邊距離相等)|OA|=|OB|=|OC|(或OA=OB=OCuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruur(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0(O為三邊垂直均分線的交點)若點O為△ABC所在的平面內(nèi)一點，知足，則點O為△ABC的外心。證明：因為，所以C同理得由題意得，所以，得。故點O為△ABC的外心。AOBDD、E兩點分別是VABC的邊BC、CA上的中點,且uuuruuuruuuruuurDPgPBDPgPCP為VABC的外心uuuruuuruuuruuurEPgPCEPgPA若O是△ABC的外心，則S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠：∠：∠uuuruuuruuurr2Asin2Bsin2C2+2+2=0證明：設(shè)O點在ABC內(nèi)部，由向量基本定理，有mOAnOBrOC0m,n,rR，則SBOC:SCOA:SAOBm:n:r設(shè)：mOAOD,nOBOE,rOCOF，則點O為△DEF的重心，又SS

BOC1SEOF，SAOC1SDOF，SAOB1SDOE，∴nrmrmnBOC:SCOA:SAOBm:n:r若O是△ABC的外心，則S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2Cuuuruuuruuurr故sin∠2A·OA+sin∠2B·OB+sin∠2C·OC=04.O是PPP的心里uuuuruuuuruuurrPPP三邊)aOPbOPcOP0。(此中a,b,c是123123123uuuuruuuuruuurrO是PPP的心里證明：充分性：aOPbOPcOP0123123uuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuuraOP1bOP2cOP3aOP1b(OP1PP12)c(OP1PP13)=uuuruuuuruuuurr(abc)OP1bPP12cPP130uuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuurbc(PP12PP13)，而P1P2，P1P3所以PO1分別是PP，PP方向上的單位向量，abccbcb1213uuuuruuuuruuuruuurPPPP13所以向量12均分13，即PO1均分213，同理P2O均分123，獲得點cbP2PPPPPPPP是O為證明：AO同理：uuurAB

PPP的心里。123ABC的心里uuuruuuruuurraOAbOBcOC0.心里（角均分線交點）AB、AC分別為AB、AC方向上的單位向量，ABAC均分BAC,cbcb(ABAC)，uuurcuuurbuuuru(BCBA)BOacuuuruuuruuuruuuruuuruuur11uuuruuuur(ABACBCBA[AOOBc)u(a)(c)u]AB()ACbccaab111()u11bccaca代入u得u()u1解得，0bcacabcabAO

bc

（ABAC)abc

cb化簡得(abc)OAbABcAC0，***

aOAbOBcOC0設(shè)0,，則向量(ABAC)必均分∠BAC，該向量必經(jīng)過△ABC的心里;ABAC設(shè)0,，則向量(ABAC)必均分∠BAC的鄰補(bǔ)角ABACuuuruuuruuurABAC),0AP(uuuruuurABACP為VABC的心里uuuruuuruuurBABCBP0t(uuuruuur)，tBABC*O是△ABC的心里充要條件是uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurABACBABCCACBOA?(uuuruuur)OB?(uuuruuur)OC?(uuuruuur)0|AB||AC||BA||BC||CA||CB|若O是△ABC的心里，則S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：cuuuruuuruuurruuuruuuruuurr故a·OA+b·OB+c·OC=0或sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=0;*設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)隨意一點，I為△ABC的心里，*OIaOAbOBcOCabcaXA+bXB+cXC，ayA+byB+cyC）心里I（a+b+ca+b+c證明：由I是ABC的心里uuruurcuurrABC三邊)（見aIAbIBIC0。(此中a,b,c是心里的充要條件的證明）uuruuuruuruuuruuruuuruurOIOAAIOBBIOCCIauuruuuruuruuuruuruuuruurbcOIaOAAIbOBBIcOCCIuuuruuuruuuruuuruuruuruuuruuuruuuraOAbOBcOCaAIbBIcCIaOAbOBcOCOIaOAbOBcOC∴IaXA+bXB+cXCayA+byB+cyCabc,（a+b+c，）.a+b+cuuuuruuuuruuurrO是PP12P3的心里aOP1bOP2cOP30。(此中a,b,c是PP12P3三邊)若o為三角形的旁心，則aOA=bOB+cOC(abc是三邊)*已知uuuruuuruuurrO為的外心，求證：OAsinBOCOBsinAOCOCsinAOB0．△ABC剖析結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系證明．如圖３，以A為坐標(biāo)yC(x3,y3)原點，B在x軸的正半軸，C在x軸的上方．S△AOB1x2y0，直線BC的方程是O(x0,y0)2AB(x2,y2)x圖３y3x(x2x3)yx2y30，因為點A與點O必在直線BC的同側(cè)，且x2y30，所以有x0y3x3y0x2y0x2y30，得S△BOC1(x3y0x2y3x0y3x2y0)．2直線AC的方程是y3xx3y0，因為點(1,0)與點O必在直線AC的同側(cè)，且y31x300，所以有x0y3x3y00，得SAOC△uuuruuuruuur于是，簡單考證，OAS△BOCOBS△AOCOCS△BOC1uuuruuurS△BOA又2|OB||OC|sinBOC，

1(x0y3x3y0)．2r△0，SAOB1uuuruuur2|OB||OA|sinAOB，1uuuruuuruuuruuuruuur△|OA||OC|sinAOC，又|OA||OB||OC|，則所證成立．SAOC2與三角形“四心”有關(guān)的向量結(jié)論跟著新課程對平面幾何推理與證明的引入，三角形的有關(guān)問題在高考取的比重有所增加。平面向量作為平面幾何的解題工具之一，與三角形的聯(lián)合就顯得尤其自然，所以對三角形的有關(guān)性質(zhì)的向量形式進(jìn)行商討，就顯得很有必需。本文經(jīng)過對一道高考模擬試題的思慮和研究，獲得了與三角形“四心”有關(guān)的向量結(jié)論。希望在得出結(jié)論的同時，能惹起一些啟迪。問題：設(shè)點O在ABC內(nèi)部，且有OA3OBOC0，則BOC與AOC的面積的比值是____.剖析：∵OA3OBOC0設(shè)3OBOD，則OAODOC0，則點O為ADC的重心.∴SDOCSCOASAOD1SACD.3而SBOC1SCOD1SAOC，∴SBOC:SCOA1.333研究：實質(zhì)上，能夠?qū)⑸鲜鼋Y(jié)論加以推行，即可得本題的根源。結(jié)論：設(shè)O點在ABC內(nèi)部，若mOAnOBrOC0m,n,rR，則SBOC:SCOA:SAOBm:n:r證明：已知O點在ABC內(nèi)部，且mOAnOBrOC0m,n,rR設(shè)：mOAOD,nOBOE,rOCOF，則點O為△DEF的重心，又SBOC1SEOF，SAOC1SDOF，SAOB1SDOE，nrmrmn∴SBOC:SCOA:SAOBm:n:r說明:此結(jié)論說明當(dāng)點O在ABC內(nèi)部時，點O把ABC所分紅的三個小三角形的面積之比等于此后點出發(fā)分別指向與三個小三角形相對應(yīng)的極點的三個向量所構(gòu)成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比。應(yīng)用舉例：設(shè)點在內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是：A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2剖析：由上述結(jié)論易得：SBOC:SCOA:SAOB4:1:1，所以SABC:S6:43:2，OBC應(yīng)選D當(dāng)把這些點特定為三角形的“四心”時，我們就能獲得有關(guān)三角形“四心”的一組一致的向量形式。引申：設(shè)O點在ABC內(nèi)部，且角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c結(jié)論1：若O為ABC重心，則OAOBOC0剖析：重心在三角形的內(nèi)部，且重心把ABC的面積三均分.結(jié)論2：O為ABC心里，則aOAbOBcOC0剖析：心里在三角形的內(nèi)部，且易證S△BOC：S△COA：S△AOB=a:b:c結(jié)論3：O為ABC的外心，則sin2AOAsin2BOBsin2COC0剖析：易證S△BOC：S△COA：S△AOB=sin2A：sin2B：sin2C.由結(jié)論3及結(jié)論：O為ABC的外心，H為ABC的垂心，則OHOAOBOC可得結(jié)論4。結(jié)論4：若H為ABC垂心，則sin2Bsin2Csin2AHAsin2Asin2Csin2BHBsin2Asin2Bsin2CHC0即sinAcosBcosCHA證明：∵對隨意ABC有OH

sinBcosAcosCHBOAOBOC，此中

sinCcosAcosBHC0O為外心，H為垂心，∴HAOBOC，HBOAOCHCOBOA則由平面向量基本定理得：存在獨一的一組不全為0的實數(shù)x,y,z，使得xHAyHBzHC0，即yzOAzxOBxyOC0，由結(jié)論3得：sin2AOAsin2BOBsin2COC0yzsin2Axsin2Bsin2Csin2A所以有：zxsin2B，ysin2Csin2Asin2Bxysin2Czsin2Asin2Bsin2C所以可得：sin2Bsin2Csin2AHAsin2Asin2Csin2BHBsin2Asin2Bsin2CHC0化簡后可得：sinAcosBcosCHAsinBcosAcosCHBsinCcosAcosBHC0應(yīng)用舉例：例1：已知O為ABC的心里，且2OA3OB4OC0，則角A的余弦值為。剖析：由結(jié)論2可得a:b:c2:3:4，所以由余弦定理可得：cosA169472348例2：已知ABC的三邊長為AB1,BC6,CA2，設(shè)ABC的外心為O，若AOsABtBC，務(wù)實數(shù)s,t的值。剖析：AOsAOOBtBOOC，整理后即得：OAstOBstOC.s11stsin2B由結(jié)論3可得：s1sin2A，又易得tsin2Cs1sin2A15,sin2B15315sin2A,sin2C16，84∴.s7,t3255AOABsABtBCAB評論：本題的通用解法應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)與基底有關(guān)的以下方程組：2AOBCsABBCtBC解方程組可得結(jié)果。例3：設(shè)H是ABC的垂心，當(dāng)ABAC5,BC6時，AHmABnBC，務(wù)實數(shù)mn的值.分析：由結(jié)論4可得：sinAcosBcosCHAsinBcosAcosCHBsinCcosAcosBHC0.而BC，整理后得：1cosAHAcosAHBcosAHC0由AHmABnBC，可得m1HAmnHBnHC0，∴mnncosA.而cosA2525