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同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22第4章矩陣分解MatrixFactorizationandDecomposition定理：若A的各階順序主子式24.1LU分解（圖靈Turing,1948）則

A可唯一分解為：A=LUL

：為主對(duì)角元為1的下三角形，U

：為上三角形。3證明5例：設(shè)求A的三角分解A=LU6解：789例2：設(shè)用三角分解求解Ax=b10解：對(duì)A做三角分解：A=LU，則111213LU分解的改進(jìn)(1)LDU分解14LU分解的改進(jìn)(2)Cholesky(喬列斯基)分解4.2QR分解定義：Remark:這樣的分解稱之為QR分解.(1)利用Gram-Schmidt正交化過(guò)程的QR分解G-S正交化單位化例：解：例：解：Remark:矩陣不可逆時(shí)，這樣的QR分解不唯一.(2)利用Householder變換的QR分解正交變換稱為Householder變換。Householder變換的構(gòu)造定理：Householder變換方法的QR分解定理：Remark：其中B

列滿秩，C

行滿秩。22則稱其為對(duì)A的滿秩分解。4.3滿秩分解定義：矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形滿秩分解的實(shí)現(xiàn)：向量組最大無(wú)關(guān)組的求法例：解：滿秩分解的實(shí)現(xiàn)：向量組最大無(wú)關(guān)組的求法例：解：例4.設(shè)26求A的滿秩分解27例5.設(shè)求A的滿秩分解284.4奇異值分解定義：對(duì)奇異值進(jìn)行排序(1)的性質(zhì)，(2)(3)矩陣的奇異值分解是A的奇異值.定理：令奇異值分解定理的證明Step1Step2即求解方程的基礎(chǔ)解系，再規(guī)范正交化即得Step3Step4例5、求的奇異值分解。解：標(biāo)準(zhǔn)正交化:例6、求的奇異值分解。解：4.5廣義逆設(shè)A

為m×n陣，若存在n×m陣X

滿足：

(1)

AXA=A(2)XAX=X(3)(AX)T=AX(4)(XA)T=XA則稱X為A的Penrose-Moore逆，或“+”號(hào)逆，記作A+46設(shè)rank(A)=r，作滿秩分解A＝BC，則并且，A+存在且唯一.例147求

A的廣義逆48解：A+

的性質(zhì)A+的性質(zhì)：51例2.設(shè)求

A的廣義逆A+

的算法525354用奇異值分解求廣義逆55例3.設(shè)求

A的廣義逆56由其中為正交矩陣58的x*

稱為的最小二乘解。

定義：則滿足4.6廣義逆

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