曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究

曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究例題1（2013天津預(yù)賽5）如果曲線的兩條互相垂直的切線交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（）(A)(B)(C)(D)解析設(shè)曲線在點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P，那么由題意可知：，其中；即有.又，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因此，當(dāng)時(shí)，，即可知.那么，.故可知(C)錯(cuò).評注此題或先求出和兩個(gè)交點(diǎn)，再利用周期為，同樣得解.例題2（2013山東預(yù)賽10）假設(shè)實(shí)數(shù)b，c滿足，且的圖象上存在兩條切線互相垂直，則a的取值范圍是．解析；設(shè)圖象上兩條切線在曲線上的切點(diǎn)分別為，則有.即：①在①中，令，展開后有，由可知，又②在②中，由于，那么，即③，因此由②③可知，，代入到①中解得.綜上可知：a的取值范圍是.評注此題可溯源到如下例題：例題3已知函數(shù)，(I)記，求的極小值；(II)若函數(shù)的圖象上存在互相垂直的兩條切線，求實(shí)數(shù)的值及相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo).(II)解析，那么，設(shè)切點(diǎn)分別為由題意知，即有，展開得到①，在①中，由可知，，即.又，則代入得.并且切點(diǎn)坐標(biāo)為，，其中.例題4（2014年南京市、鹽城市高三二模第12題）設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得曲線y＝f(x)在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．解析；那么，要使得函數(shù)f(x)的圖象上存在兩個(gè)不同點(diǎn)使得，必有.又由得到，，那么得到：，即有，解得.評注此題解法類似于如下兩道例題：例題已知函數(shù)的圖象為曲線.(1)求過曲線上任意一點(diǎn)的切線的斜率的取值范圍；(2)若在曲線上存在兩條互相垂直的切線，求其中一條切線與曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)略解析(1)；(2)由(1)可知：，解得或；代入解得.例題設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且時(shí)，取極小值，(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直試證明你的結(jié)論.(3)略解析(2)不存在這樣的兩點(diǎn)由(1)得，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則，即①.因?yàn)椋敲?，得?故①不成立.例題5（2010年雅安三模）二次函數(shù)y＝x22x＋2與y＝x2＋ax＋b(a>0,b>0)的圖象在它們的一個(gè)交點(diǎn)處互相垂直，則的最小值是（）(A)(B)(C)4(D)解析設(shè)兩個(gè)函數(shù)交與，則有，即.又y0＝x022x0＋2與y0＝x02＋ax0＋b，得到2x02(2+a)x0+2b=0；亦即；因此，可得，即.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.例題6已知函數(shù)的圖象在()處的切線互相垂直，則的最小值為（）(A)