2020年高考文科數(shù)學《直線與圓》題型歸納與訓練

年高考文科數(shù)學《直線與圓》題型歸納與訓練【題型歸納】題型一傾斜角與斜率例1直線l的方程為U3x+3y-1=0，則直線l的傾斜角為（）A.1500B.1200C.600D.300答案】A【解析】由直線l的方程為J3x+3y-1=0，可得直線的斜率為k二-〒，設(shè)直線的傾斜角為ae[0,兀）,則tan則tana=-=150。故選：A．【易錯點】基礎(chǔ)求解問題注意不要算錯?！舅季S點撥】直線方程的基礎(chǔ)問題（傾斜角，斜率與方程，注意傾斜角為a為-,即斜率k不存在的情況）應(yīng)對相關(guān)知識點充分理解，熟悉熟練例2已知三點AC,。）、BG,7）、C（—2,—9a）在一條直線上，求實數(shù)a的值.【答案】a=2或a=2【解析】k【解析】kAB=三,kcB7+9a5???A、B、C三點在一條直線上，???k=kABBC???A、B、C三點在一條直線上，???k=kABBC3-a59題型二直線方程例1經(jīng)過點M（1,1）且在兩坐標軸上截距相等的直線是（）.D.x+y=2或x=yA.x+y=2B.x+y=D.x+y=2或x=y【答案】D

xy【解析】若直線過原點，則直線為y=x符合題意，若直線不過原點設(shè)直線為一+上二1,mm代入點（1,1）解得m二2，直線方程整理得X+y-2二0，故選D.xy【易錯點】截距問題用截距式比較簡單，但截距式一+上二1中要求m，n均非零。故做題時應(yīng)考慮此情mn形【思維點撥】求解基本直線方程問題通常比較簡單，考慮時注意每種形式的適用范圍即可。不要漏解。題型三直線位置關(guān)系的判斷例1直線l：3kx+（2-k）y-3=0和l:（k-2）x+（k+2）y-2=0互相垂直，則實數(shù)k的值是（）12A.-2或-1B.2或-1C.-2或1D.2或1【答案】D【解析】根據(jù)直線垂直的充要條件得到：3k*（k-2）+（2-k）*（k+2）=0化簡為k2-3k+2=0nk=1或2故選擇D【易錯點】本題若采用斜率之積為-1求解，則容易錯誤。首先求斜率變形時分母不為0，分母為零，實際上上是一條豎線（k不存在）；其次垂直時應(yīng)為：kk=—1（斜率均存在）或k，k中一為0，—不存在1212若用l:ax+by+c=0，l:mx+ny+1=0垂直的充要條件：am+bn=0，則避免上述問題12【思維點撥】直線位置關(guān)系問題（平行與垂直）應(yīng)熟練掌握其判斷方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k不存在的情況）。在做題時應(yīng)該考慮全面，避免少解題型四對稱與直線恒過定點問題例1點（2,4）關(guān)于直線2x+y—3=0的對稱點的坐標為【答案】（-2,2）【解析】設(shè)對稱點坐標為（x0,y0），則對稱點與已知點連線的中點為y—4=1x=—2x=—2，解得｛0y=20x—22由題意可得｛0(x+2)y+42x0+0—3=022所以對稱點坐標為(-2,2).【易錯點】此題求點可以設(shè)點，利用對稱(實則用中垂線)，建立方程組求解；亦可先求過該點與已知線垂直的直線方程，聯(lián)立求交點，反推對稱點(中點坐標公式)即可【思維點撥】對稱問題像點關(guān)于點對稱點關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，其本質(zhì)都是點點對稱。當點運動則軌跡(曲線)得到而已。點點對稱根據(jù)中點坐標公式轉(zhuǎn)化，有時候利用中垂線特性(垂直，平分)進行求解例2直線y=kx-3k+2(kgR)必過定點().A.(3,2)B.(—3,2)C.(-3,-2)D.(3,—2)【答案】A［解析】y=k(x—3)+2，當x二3時，y二2,直線過(3,2)定點，故選A.【易錯點】對直線方程的常見表達式應(yīng)熟悉熟練，并能進行恰當變形【思維點撥】直線過定點關(guān)鍵是把所有參數(shù)提出來，保證參數(shù)后面為零。即可求得題型五圓的方程例1若圓心在x軸上、半徑為^5的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x+2y二0相切，則圓O的方程是A.(x-富5)2+y2=5B.(x+厲2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5【答案】D【解析】設(shè)圓心O(a,0)(a<0)，則<5=巴，即IaI二5，解得a=-5，所以圓O的方程為12+22(x+5)2+y2=5.例2圓心在直線x-2y二0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2爲，貝y圓C的標準方程為.【答案】(x-2)2+(y-1)2二4

【解析】設(shè)圓心為(2b,b)，則圓的半徑為2b，圓心到x軸的距離為b，所以24b2-b2=273,b>0,解得b=1，所以圓C的標準方程為(x一2)2+(y一1)2二4.例3已知圓經(jīng)過點A(2,—1),圓心在直線2x+y二0上且與直線Jx-y-1二0相切，求圓的方程.【答案】見解析【解析】設(shè)圓的方程為C—a》+(y—b》=r2(r>0).?.?圓心在直線y=一2x上，b=—2a，即圓心為(a,—2a).又圓與直線x-y-1=0相切，且過點(2,—1)，.__r，(2—a》+(—1+2a》=r2，即(3a—1》=2(2—a》+2(—1+2a》，J2解得a=1或a=9.a=1，b=—2，r=%2或a=9，b=—18，r=*338，故所求圓的方程為：(x一1)2+(y+2》=2，或(x一9》+(y+18)2=338.此題也可設(shè)出圓心所在直線方程l:x+y+1=0，聯(lián)立l與l求圓心P，利用P到A的距離與到l距離相等2121求解t。則方程可求【易錯點】圓方程求解需要對圓的方程形式(標準式與一般式，其適用范圍，兩者轉(zhuǎn)化)充分熟悉。在解題時采用合適的方法(或代數(shù)法，或幾何法)進行相關(guān)求解【思維點撥】求解圓的方程問題可以采用代數(shù)方法：設(shè)合適的方程，根據(jù)條件進行轉(zhuǎn)換。變形解方程等求解；也可以采用幾何法(勾股定理，相似等)進行求解題型六直線、圓的綜合問題例1直線x+2y一5+=0被圓x2+y2—2x一4y=0截得的弦長為()A.1B.2C.4A.1B.2C.4D.4^6答案】C解析】圓心(1,2)圓心到直線的距離d=1+4-5+75所以最后弦長為2\心；5)2-12=4.例2已知點M(a,b)在圓O：x2+y2=1外，則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是()

A.相切BA.相切B?相交C.相離D.不確定【答案】B（、【解析】因為M（a,b）在圓O：x2+y2二1外，所以a2+b2>1，而圓心O到直線ax+by二1的距離1d二<1，故直線與圓O相交.■v'a2+b2（1）例3直線l:y=kx+-與圓C:x2+y2二1的位置關(guān)系為（）I2丿A.相交或相切B.相交或相離C.相切D.相交【答案】D【解析】由于圓心（0,0），半徑等于1，圓心到直線l:y二圓心到直線l:y二k[x+-丿的距離為d=\2丿k0-0+-2<-2+1I-2弋'-2+1故直線和圓相交，故選D.例4已知圓C:（x—2）2+（y—3）2—1，圓C:（x—3）2+（y—4）2—9,M,N分別是圓C,C上的動點,1212P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為A.5^2—4B.\；17-1C.6—2<2D.悩'17答案】D【解析】圓q,C的圓心分別為q,C，由題意知|PM|>|PCJ—1，\PN\>|PCJ—3，.??|PM|+|PN|>|PCJ+[PC?|—4，故所求值為|PCJ+[PC?|—4的最小值.又C關(guān)于x軸對稱的點為C6,-3）,13所以lPC]l+lPC2l—4的最小值為lC3CJ—4—5站2—4，故選A.【易錯點】此題可以采用聯(lián)立方程（a）求解；也可以采用圓心到直線的距離與半徑大小比較求解；還可以利用直線i恒過[0,2j，易得（可作草圖）該點在圓內(nèi)，故應(yīng)為相交。直線（含參數(shù)）過定點特征應(yīng)有I2丿所熟悉，高考中常有涉及【思維點撥】直線與圓位置關(guān)系通常采用圓心到直線距離d與圓半徑r大小確定。

圓C:（x-a）2+（y-b）2=r2,直線l:Ax+By+C二0，圓心C（a,b）到直線l的距離為d，則:1.d>廠，直線與圓相離?？汕髨A上動點到直線距離范圍（最大最?。﹩栴}2-d=廠，直線與圓相切。依此可求過圓C:x2+y2二r2上某點P（x°，yo）的切線方程：xox+=r2；一般地，過圓C:（x-a》+（y-譏=r2上某點P（xo,y°）的切線方程:(x—a)(-a)+(y-b)(-b)=r200（ABA23.d<r,直線與圓相交。此時常用勾股定理r2=d2+—（AB為相交弦）來求解相關(guān)問題.I2丿【鞏固訓練】題型一傾斜角與斜率1?經(jīng)過A（-2,0）,B（-5,3）兩點的直線的斜率是，傾斜角是.【答案】見解析【解析】經(jīng)過A（-2,0），B（-5,3）兩點的直線的斜率k=^）=-1，故傾斜角為135。.2?設(shè)點A（2,-3），B（-3,-2），直線l過點P（1,1）且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是（）3A.k3A.k>或k<-44【答案】AB.-4<k<-4D.以上都不對33【解析】求得k=-4,k=,結(jié)合圖像知k的范圍為k<-4或k>-PAPB443?直線l過點aG,2）,且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是（）A.0B.11C.一2A.0B.11C.一2D.2【答案】D解析】如圖，kOAk的最大值為2.只有當直線落在圖中陰影部分才符合題意，故k題型二直線方程1?過點A（藥,1）且傾斜角為12°。的直線方程為（A.y=A.y=-H3x-4b.y=-j3x+4【答案】B【解析】傾斜角為12廳的直線斜率為-爲.利用點斜式可得y-1整理2?直線l過點(-1,2)且與直線2x-3y+4二0垂直，則l的方程是()A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7—0C.2x—3y+5—0D.2x—3y+8—0【答案】A【解析】設(shè)l：3x+2y+1—0，代入(—1,2).得t——13.已知aG,2),B(3,1),貝y線段AB的垂直平分線的方程是().A.4x—2y+5—0B.4x—2y—5—0C.x+2y—5—0D.x-2y—5—0【答案】B313【解析】AB中點為M(2,),k——~.則中垂線斜率k=2?方程為y——2(x—2).化簡得：2AB224x—2y—5—04?已知直線l過點6,2)，且在x軸截距是在y軸截距的2倍，則直線l的方程()A.x+2y—5—0B.x+2y+5—0C.2x—y—0或x+2y—5—0D.2x—y—0或x—2y+3—0【答案】C【解析】當直線過原點時，又過點6,2),所求直線方程為2x—y—0.2mm當直線不過原點時，由已知設(shè)直線方程為二+-—1，又過點6,2)2mm題型三直線位置關(guān)系的判斷1.已知直線x—y—2—0與直線mx+y—0垂直，那么m的值是().A.—2B.A.—2B.—1C.D.2答案】C【解析】利用垂直的條件：m?1+1?(—1)—0，得m—1

2.若直線l:(m+3)x+4y+3m-5=0與直線l:2x+(m+5)y-8=0平行，則m的值為().12A.一B.-1或-7C.-6D.-73【答案】D【解析】Tlnl，?:(m+3)?(m+5)=2x4,1U2解得m=—1或—7，又當m=-1時，兩條直線重合，故m=-7.+y=3和直線x+3.直線A.+y=3和直線x+3.直線A.垂直y=2的位置關(guān)系是()．B.相交不垂直C.平行D重合.答案】A【解析】：1+【解析】：1+(迂-朽)x1=0,???兩條直線相互垂直.故選A.題型四對稱與過定點1.直線2x-my+1-3m=0，當m變化時，所有直線都過定點()A.〔-2,3]B.1，A.〔-2,3]B.1，3C.D.〔-2,-3答案】D解得x=-2,y=-3,解得x=-2,y=-3,【解析】直線2x-my+1-3m=0，化為2x+1-m(y+3)=0，令｛y+3=0(1J當m變動時，所有直線都通過定點-2,-3，故選D.I2丿2.直線l:(m+n)x+(2m-n)y-m+2n=0，對任意m,ngR直線l恒過定點【答案】(-1,1)解析】(m+n)x+(2m-n)y-m+2n=0可化為：m(x+2y一1)+n(x-y+2)=0，若要讓m,n“失去作用”，則｛x+去作用”，則｛x+2y一1=0x一y+2=0解得｛y=1即定點為(一1,1).3.已知直線l經(jīng)過點P(6,4)，斜率為k若l的縱截距是橫截距的兩倍，求直線1的方程；若k=一1，一條光線從點M(6,0)出發(fā)，遇到直線1反射，反射光線遇到y(tǒng)軸再次反射回點M，求光線所經(jīng)過的路程.【答案】(1)l:2x-3y=0或l:2x+y-16=0；(2)4辺7.【解析】(1)由題意得k豐0。直線l的方程為y-4=k(x-6)，即y=k(x-6)+4,4令x=0，得y=—6k+4令y=0，得x=——+6；k(4\2???l的縱截距是橫截距的兩倍???-6k+4=2-丁+6解得k=三或k=-2Ik丿3?：直線l的方程為y=3(x一6)+4或y=-2(x-6)+4，即2x-3y=0或2x+y-16=0(2)當k=-1時，直線l的方程為x+y-10=0，設(shè)點M關(guān)于l的對稱點為M(a,b),1則｛ba-則｛ba-6解得｛a=10b=4?點M］的坐標為(10,4),?M(10,4)關(guān)于y軸的對稱點為M(-10,4)12?光線所經(jīng)過的路程為M2M1=\：'(6+10匕+(0-4)2=4、麗題型五圓的方程1.圓與直線l:4x-3y+6=0相切于點A(3,6),且經(jīng)過點B(5,2),求此圓的方程.【答案】x2+y2-10x-9y+39=0.【解析】設(shè)圓的方程為6-a》+(y-b》=r2，則圓為C(a,b),由|C4|=|CB|,CA丄l,

Ca—3》+Cb—6》=Ca—5》+@—2》=r2得\b-64“x—=—1、a—33解得a=5，b二I，r2二呂，???圓的方程為Cx一5》2.求過三點A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圓的方程.答案】x2+y2+6x-2y-15=0.【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=°'5E+F+25_0因為點在圓上所以點的坐標是方程的解，把它們的坐標代入圓的方程得｛D-2E+F+5_03D+4E—F—25_0D_6，解這個方程得<E_-2，所求方程為x2+y2+6x-2y_15=0.F_-15,此題亦可先求兩條中垂線，其交點為圓心，則半徑可求，得到方程3?若RtAABC的斜邊的兩端點A，B的坐標分別為（—3,0）和G,0）,貝y直角頂點C的軌跡方程為（）A．x2+y2_25（y豐0）B．x2+y2_25C.（x-2》+y2_25（y豐0）D.Cx-2》+y2_25【答案】C【解析】線段AB的中點為（2,0）,因為AABC為直角三角形，C為直角頂點，所以C到點（2,0）的距離為—AB\_5，所以點C（x,y）滿足jG—2》+y2_5（y豐0），即（x—2》+y2_25（y豐0）.^2求軌跡問題應(yīng)注意變量的范圍.題型六直線、圓的綜合問題1.直線y_x+1與圓x2+y2_1的位置關(guān)系為（）A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離答案】B【解析】圓心（0,0）為到直線y_【解析】圓心（0,0）為到直線y_x+1，即x—y+1_0的距離d1<1，選B.2?已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數(shù)a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】B【解析】圓的標準方程為(x+1)2+(y-1)2二2-a，則圓心C(-1,1)，半徑r滿足r=2-a，則圓心C到故a=一4直線x+y+2=0的距離d==2，所以r2=4+2=故a=一41+1若圓C:x2+y2=1與圓C:x2+y2—6x—8y+m=0外切，則m=（）12A．21B．19C．9D．-11【答案】B【解析】由題意得C（0,0）,C（3,4），r=1,r=J25-m，1212ICC1=r+r=1+\；'25-m=5，所以m=9.1212從圓x2-2x+y2-2y+1=0外一點P